《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题

四、计算题：

1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T

)0,0,0()0(=x ，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

⎪⎨⎧--=--=--=++++++)222(51)218(41)211(4

1)

1(2)1(1)1(3

)

(3)1(1)1(2

)

(3)(2)1(1

k k k k k k k k k x x x x x x x x x

2、求A 、B 使求积公式

⎰-+-++-≈1

1)]21

()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求

⎰

=2

1

1dx

x I (保留四位小数)。

答案：2

,,1)(x x x f =是精确成立，即

⎪⎩⎪

⎨⎧=+=+32212222B A B A 得98,91==B A

求积公式为

)]21

()21([98)]1()1([91)(1

1f f f f dx x f +-++-=⎰-

当3)(x x f =时，公式显然精确成立；当4

)(x x f =时，左=52，右=31

。所以代

数精度为3。

69286.0140

97

]

3

21132/11[98]311311[9131111322

1

≈=

+++-++++-≈+=⎰⎰--=dt t dx x x t

3、已知

分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。

答案：

)53)(43)(13()

5)(4)(1(6

)51)(41)(31()5)(4)(3(2

)(3------+------=x x x x x x x L

)45)(35)(15()

4)(3)(1(4

)54)(34)(14()5)(3)(1(5

------+------+x x x x x x

差商表为

)4)(3)(1(41

)3)(1()1(22)()(33---+

----+==x x x x x x x N x P

5.5)2()2(3=≈P f

4、取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题

⎩⎨

⎧=+='1)0(32y y

x y )10(≤≤x

答案：解：

⎪⎩⎪⎨⎧+++⨯+=+⨯+=++++)]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y

即 04.078.152.01++=+n n n y x y

5、已知

求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。 答案：解：

正规方程组为 ⎪⎩⎪

⎨

⎧=+==+41

34103101510520120a a a a a

1411,103,710210===

a a a

221411103710)(x x x p ++= x

x p 711

103)(2+=' 103

)0()0(2

='≈'p f

6、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表

如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

答案：解： 应选三个节点，使误差

|)(|!3|)(|33

2x M x R ω≤

尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点

}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果

596274.063891.0sin ≈，

且

4

1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(!

31

596274

.063891.0sin -⨯≤----≤

-

7、构造求解方程0210=-+x e x

的根的迭代格式 ,2,1,0),(1==+n x x n n ϕ，讨论其收敛

性，并将根求出来，4

110||-+<-n n x x 。

答案：解：令 010)1(,

02)0(,

210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x

.

且010e )(>+='x

x f )(∞+-∞∈∀，

对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为

)e 2(101

x x -=

则当)1,0(∈x 时

)e 2(101

)(x x -=

ϕ，

1

10

e

10e |)(|<≤-='x x ϕ

故迭代格式

)e 2(101

1n x n x -=

+

收敛。取5.00=x ，计算结果列表如下：