第二章 变分原理
变分原理与变分法
变分原理与变分法变分原理是数学物理中的一种基本原理，用于描述自然界中的物理现象。
它是物理学中的最小作用量原理的数学表述。
变分原理与变分法密切相关，是变分法的基础。
变分原理是由欧拉-拉格朗日提出的，并以他们的名字命名。
它表明，自然界的真实运动是使作用量取极值的路径。
作用量是在一个过程中所有可能路径上对拉格朗日量（描述系统运动的函数）进行积分得到的。
换句话说，作用量是描述系统整体运动的一个量度。
在物理学中，拉格朗日函数常常由系统的动能和势能构成。
通过对动能和势能的定义，我们可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
拉格朗日方程是变分原理的数学表达式，它通过求解一组微分方程来描述系统的运动。
变分法是一种数学方法，用于求解泛函问题。
泛函是一个函数的函数，通常是由一个区间上的函数组成的。
在变分法中，我们通过将泛函写成一族函数的积分形式，并求解使得泛函取极值的函数。
这就涉及到求取泛函的变分（即导数）。
变分法的基本思想是将泛函中的函数进行微小的变化，然后求取这个变化对泛函的影响。
这个变化就是变分，通常用符号δ表示。
然后通过对泛函进行导数运算，得到变分后的泛函表达式。
最后，将变分的泛函表达式置于极值条件下，即求取变分后的泛函为零的解，就可以求得泛函的最优解。
在物理学中，变分法常常用于求解极值问题，如最小作用量问题、哈密顿原理以及量子力学中的路径积分等。
它为我们提供了一种强大的工具，用于描述和预测自然界中的物理现象。
总结起来，变分原理是描述自然界中物理现象的最小作用量原理的数学表述，而变分法是求解泛函问题的一种数学方法。
它们相互依存，变分原理提供了变分法的理论基础，而变分法为我们提供了一种强大的工具，用于求解各种物理问题。
变分原理与变分法的理论和应用涉及数学、物理、工程等多个领域，对于理解和研究复杂的物理现象具有重要的意义。
力学的变分原理
那么，要使泛函J 取极值，或者说使 J =0，函数q(t)应该满足什么 条件呢？ 泛函 J 的普遍形式为: J F (q,q,t )dt， J =0即可表示为
t1 t2
J F q( , t ), q( , t ), t dt =0
t2 t1
又
F F F= q q 故 q q t2 F F J = ( q q)dt 0， t1 q q
q p
,
q=q(t)+εη(t) δq dq q=q(t) t
dq q '(t )dt
或:
(1)
o
p dt t
dq q ' (t ) dt
t+dt
如果自变量t保持不变，而函数q=q(t)本身形式发生微小变 化，则得另一条曲线 q (t )，如图中虚线所示，显然这种曲线有 无数条。令 式中 是一个参数，为无穷小量。 p δq dq q=q(t) 如果 0，即得函数 q (t )；如果取 p dt 其他值，即得一些与 q (t )非常相近的 t o 函数。因此上式表示的是一族依赖于 t t+dt 参数 的函数 q (t ) ，相应的是一族非常 (t ) 是t的连续可微函数。 接近的曲线。式中， 在瞬时t，由函数本身形式的微小变化而得的微小增量的主 部 q 称为函数的变分： q q q (t ) (3)
任一可能运动用虚线AM B表示，此曲线称为系统的可能路径。 在任一瞬时t，可能路径对真实路径的偏离用等时变分 qk 表示，真实路径的M 点坐标为(qk , t ),而可能路径对应的M 点的 坐标为(qk qk , t )，则真实运动和可能运动的拉氏函数分别为 L L(qk ,qk ,t ) 和 L (qk + qk ,qk + qk ,t ) 函数L的等时变分则为
变分原理与变分法
变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数，这类函数可以是数学上的对象，也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础，通过对泛函进行变分计算，求取泛函的极值。
在变分原理中，被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下：1.建立泛函：根据具体的问题，建立一个泛函表达式，其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算：对建立的泛函进行变分计算，即对泛函中的待求函数及其导数进行变动，求出泛函的变分表达式。
3.边界条件：根据具体问题的边界条件，对变分表达式进行求解，得到泛函的变分解。
4.极值问题：根据泛函的变分解，通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用：变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如，拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外，在量子力学和场论中，变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用：在工程学中，变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中，变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用：变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如，在函数极值问题中，变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之，变分原理与变分法是一种强有力的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法，可以更好地解决求极值问题，进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此，深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
第2章变分法
第二章变分法变分法（Variational calculus ）是研究泛函极值的数学方法，早在十七世纪末，几何学、力学等领域相继提出了一些泛函极值问题（最速降线问题、最小旋转曲面问题等），导致了变分法的形成和发展。
本章我们介绍变分法及其在最优控制中的应用。
第一节 泛函及其极值我们首先给出泛函的定义定义1.1 设Ω为一函数的集合，若对于每一个函数Ω∈)(t x ，都有一个实数J 与之对应，则称J 是定义在Ω上的泛函，记作))((t x J 。
Ω称为J 的容许函数集合，Ω∈)(t x 称为宗量。
例 1 对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函⎰+=21))(1()(2))((2x x dx x yx y x y J π， 容许函数集合可表示为})(,)(],,[)()({2211211y x y y x y x x C x y x y ==∈=Ω.第一章中介绍的三个性能指标1）终端型性能指标也称麦耶（Mayer ）型性能指标)),(()(11t t x x J Φ=，2）积分型性能指标还称拉格郎日（Lagrange ）型性能指标⎰=1))(),(,()(0t t dt t xt x t f x J ， 3）混合型性能指标也叫包尔查（Bolza ）型性能指标⎰+Φ=1))(),(,()),(()(011t t dt t xt x t f t t x x J ， 它们都是泛函，并且它们之间可以相互转化。
引进新的函数)(0t x ，它是如下微分方程初值问题的解.0)()),(),(,()(0000==t x t x t x t f t x则拉格郎日（Lagrange ）型性能指标就化为⎰=≡Φ1))(),(,()()),((01011t t dt t xt x t f t x t t x ， 变成麦耶（Mayer ）型性能指标。
变分原理
§9 变分原理9.1 弹性变形体的功能原理学习要点：本节讨论弹性体的功能原理。
能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。
而功能关系是能量原理的基础。
首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．态，二者彼此独立而且无任何关系。
．．．．．．．．．．．．．．．．建立弹性体的功能关系。
功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。
9.1.1 静力可能的应力：假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。
表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。
+Sσ显然S=Su假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。
静力可能的应力未必是真实的应力，．．．．．．．．．．．．．．．．因为真实的应力还．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。
．．．．．．．．．为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。
9.1.2 几何可能的位移：假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。
几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程．．．．．．．．．．；在面力已知的边界．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件几何可能的。
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
第二章、变分原理及应用
(2.1.4)
因为 ij 是任意的，所以(2.1.4)成立的充要条件是
0 ij
i (1, 2,...., n), j (1, 2,...., m)
(2.1.5)
(2.1.5)式的方程数量与待定参数 α 的数量相等，用于求解 α 各元素。这种方法称里兹(Litz)法。里兹 法和迦辽金法是连续介质问题中最经典、最常用、最著名的两种数值方法。 如果泛函 中 E 和 F 微分算子对 u 和它导数的最高次方为二次， 则称泛函 为二次泛函， 大量 工程与物理问题泛函都属于二次泛函。对于二次泛函(2.1.1)的近似解是参数 α 的二次多项式，可写成 1 (2.1.6) αT Kα Pα 2 其驻值 其中
利用虚应变
Ω
fi ui dΩ
Γ
pi ui dΓ ij ij dΩ
Ω
(2.3.4)
ij ( ui ' j u j 'i ) / 2
1
(2.3.5)
以及应力张量的对称性、散度定理（Green 公式）和分部积分，对(2.3.4)式的右边积分作如下变换
Ω
而对于非线弹性材料，两者并不相等，只是对全功 W ij ij 是互余关系。
(2.3.3)
3.2 虚位移（虚功）原理
虚功原理或虚位移原理： 外力在虚位移所做的功 （虚功） 等于物体内部应力在虚应变上所做的功， 其中虚位移指的是在物体几何约束所允许位移的任意微小量 ui 。 把虚功原理应用到固体力学中可得
4
所以余应力原理或最小余能原理与几何协调条件和位移边界条件等效。 在以上推导中应用了小变 形假定，从而得出的是小变形条件下的几何方程。如果采用虚应力原理作为数值解法中的等效积分形 式，则平衡方程和应力边界条件是它的约束条件，而几何方程和位移边界条件是近似得到满足。
变分原理-2
un = n1u1 + n2 u2 = lu + mv ， vs = −n2 u1 + n1u2 = −mu + lv
2 σ n = n12σ 1 + 2n1n2σ 6 + n2 σ 2 = l 2σ x + 2lmσ xy + m 2σ y
σ ns = n1n2 (σ 2 − σ 1 ) + (n − n )σ 6 = lm(σ y − σ x ) + (l − m )σ xy
2 1 2 2 2 2
(7)
σ nz = n1σ 5 + n2σ 6 = lσ xz + mσ yz
为了近似求解上述板弯曲问题，对板中的位移和应力作如下假定
u = u1 = − zψ 1 = − zψ x ， v = u2 = − zψ 2 = − zψ y ， w = u3 ( x, y ) = w( x, y )
B1 B2
(1)
在式(1)中的余应变能密度可以缩简下标写成我们习惯的形式： 1 1 ( p, q = 1, 2, ", 6) Vc = sijklσ ijσ kl = s pqσ pσ q 2 2 式中
变分原理及其应用
变分原理及其应用变分原理是变分法的理论基础，它起源于十八世纪，由欧拉首次提出，并由拉格朗日、哈密顿等学者进一步完善和推广。
变分原理为求解极值问题提供了一种统一的方法，广泛应用于物理学、力学、电磁学、光学、量子力学等领域。
变分问题是寻找一个函数使得一些函数能量泛函取得极值，通常是最小值。
而变分原理则提供了一个求极值问题的一般性框架，其核心思想是找到一个引理或原理，使得能量泛函的极值条件变得容易得到。
对于一个实数域上的函数，可以定义一个泛函，称为能量泛函，它通常用一个定积分表示：\[ J[y(x)]=\int_{a}^{b}F(x,y(x),y'(x))dx \]其中，\[F(x,y(x),y'(x))\]是在积分区间[a,b]上的连续函数，而\[y'(x)\]是\[y(x)\]的导数。
变分原理的基本思想是，如果\[J[y]\]在\[y(x)\]处取得极值，那么\[y(x)\]应该满足一些特殊的微分方程，这个微分方程称为欧拉-拉格朗日方程。
应用领域：1.牛顿力学：变分原理被应用于质点、刚体和连续介质的力学问题。
通过将物体运动的能量泛函进行最小化，可以得到物体运动的欧拉-拉格朗日方程，从而推导出牛顿第二定律。
2.动力学：变分原理被应用于研究力学系统的动力学性质，如自由自由度系统和约束系统。
通过最小化系统的哈密顿量泛函，可以推导出系统的哈密顿方程，得到系统的运动方程。
3.场论：变分原理可用于描述场的运动和作用，并得到相应的场方程。
例如，通过最小化电磁波的作用量泛函，可以得到麦克斯韦方程组。
4.最优控制：变分原理可用于寻找动力系统的最优控制策略。
通过最小化控制系统的哈密顿量泛函，可以得到系统的最优控制方程。
5.经济学：变分原理被应用于经济学中的边际分析。
通过最小化经济系统的效用泛函，可以得到最优生产和消费策略。
总之，变分原理是一种强大的数学工具，可以应用于各种不同领域的问题求解。
通过最小化能量泛函，可以得到物体、场或系统的运动方程和约束条件，从而解决实际问题。
变分原理 (2)
F、变分的计算方法： 微分与变分可互调换顺序： y y
() x x
(4.5) (4.6)
积分与变分可互调换顺序，设
F y, y, xdx
x2 x1
x2 x2 F y, y , x dx F y, y , x dx x1 x1
k 如果 yx 与 y1 x 很接近，且函数有k阶导， y x 也与 k y1 x 很接近，即其差的模都很小，则 yx 与 y1 x 具有k阶接 y k 称为k阶变分。 近度。 y, y ,y k 具有相同量级的微量。 一般认为，
x2 x1
F x 0
一般条件包括： y x1 0 • 一阶或若干阶可微；在 端点 x1 , x2 处为零， y x 0 2 • yx ,
y x
•
对于多变量，类推；
•
上述， 的变分。 y x 为宗量 yx
yx y0 x 0或 0
则泛函 而且在
yx 在曲线 y y0 x 上达到极大（或极小）值。
y y0 x上有驻值条件：
yx 0
与函数极值判定条件类似：
2 0
2 0
(4.4)
取极小值
取极大值
y 0
2
y 0
0
故，
T
1 2g
x1
0
1 2y
1 y 2
y
d dx
y ydx 2 y(1 y )
由于y 为任选函数，且 ，由变分法基本定理：
2 1 1 y d y 2y y dx y 1 y2
变分原理及其应用
变分原理及其应用在物理学和工程学中，变分原理被广泛应用于探究自然界和工程问题中涉及的基本定律和最优解。
变分法是一种将问题转化为“寻找使某个变量极小或极大”的数学方法，通过求解变分以获得问题的解决方案。
变分原理基础变分原理最早由伯努利家族的哥哥丹尼尔·伯努利在18世纪提出，也是最早应用变分法的学者之一。
变分原理的基本思想是将一个问题的求解转化为求解特定的函数。
例如，对于固体力学问题，我们希望求解固体的应力分布，也就是求解固体中任意两点间的内应力。
这种情况下，通过变分法，我们可以将问题简化为求解某个应变能的变分，从而推导出最小能量原理。
变分的意义在于确定使所求函数取得最值的“变量”，通过对变量的操作来得到一组动态的函数。
变分也可以被看作一种一阶微分运算。
具有不同但至关重要的现实意义的两个经典例子是勒让德原理和哈密顿-雅可比原理。
勒让德原理勒让德原理是力学的一个基本原理。
勒让德原理的本质是最小化能量的原理（最小作用量原理），它体现了自然界中存在的最小基本作用量。
对于力学问题，勒让德原理是在保证物理系统动力学表现为微扰线性的情况下，以引入变分运算来表述一个完整的力学原理。
在使用勒让德原理进行力学系统建模时，我们需要：首先确定系统的能量，系统数学表示为拉格朗日量；其次，使用变分法求解系统拉格朗日量的变分，从而确定系统遵循的运动方程；最后，利用运动方程分析系统的行为。
哈密顿-雅可比原理哈密顿-雅可比原理是关于机械运动理论的一个基本原理。
该原理强调机械作用与物质粒子的动力学特性和几何特性之间的紧密联系。
在哈密顿-雅可比原理之中，能量被视为基本概念，被公认为是一个机械运动的根本特性，机械运动使能量的变化具有一个特定的意义，这一变化往往是非线性的。
应用实例通过变分原理的应用，人们已经在许多物理学和工程学的领域中发现了许多有趣的现象。
以下是一些具体细节：建筑工程建筑工程中可以使用变分方法来寻求最小表面积问题的解决方案。
变分原理
虚位移:是约束许可下某瞬时可能发生的微小位移.它只是一个抽象的几何概念,与系统或质点的实际运动,力的作用,时间历程,初始条件和能量无关.
三个位移可由时间概念和约束概念加以联系和区分:
变分原理是针对以下积分形式的标量（泛函）Π而言的：
其中u是未知函数，F，E是确定的算子， 对于小变化的δu使得Π取得驻值的函数u就是连续体问题的解。因此，对于连续体问题的解，有变分为零即：
δ Π=0
这就是变分原理。
力学变分原理
首先来说明几个概念:
定律:对物理现象进行观察,实验,在积累了大量事实和实验结果的基础上经过归纳,总结而得到的一们科学的
基本规律.如:牛顿三定律.
定理:从基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的进一步反映事物间的内在联系的数学关系表达式.如:
动量定理等
原理:也是有基本定律出发,由数学演绎和逻辑推理而得到的命题.其不同与定理之处在于:原理具有高度的概括
性,可以认为与基本定律等价.
变分原理的特征在于它只是提供了一个准则.根据这个准则可以把相同条件下系统的真实运动与约束所允许的一切可能运动区分出来,从而得到系统的真实运动.
力学的变分原理可分为两大类:
在定常约束条件下,虚位移为可能发生而未发生的可能位移,实位移是众多虚位移中的一个.
在非定常约束条件下,虚位移与时间无关,实位移是众多可能位移中的一个.
从数学概念上,可能位移是满足指定位移约束条件的位移自变函数,而虚位移是位移自变函数的变分.
通过前面的一些基础，我们现在来说什么是变分原理
变分法原理与技术 PPT
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利 曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向 数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自 然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂 的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水 珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是 悬链线（catenary）。
q
2. 离散系统 Jx2(i)2u2(i) i1
都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。
例2.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa) x 和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如 图2-1所示。
当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ，
x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点 间的弧长为：
解一个二阶常微分方程
d2y
dy
a 1 ( )2
dx2
y(0)
dx y0
y (0) 0
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
解此方程并适当选取参数，得
1 y (eax eax )
2a
即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比·贝努 利随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在 所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”， 有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，称函数 x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。如图2-3所示。
x
x(t)
x0(t)
o t1 图2－3 t2
t
一阶相近
当函数 x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导 数 x ( t ) 和 x 0 ( t ) 之差的绝对值，即
变分原理
变分原理变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。
把一个力学问题（或其他学科的问题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，就称为该物理问题（或其他学科的问物理题）的变分原理。
变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。
泛函定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系。
如果对于变量x的某一区域中的每一个x值，y都有一值与之对应，或者数y 对应于数x的关系成立，则我们称变量y是变量x的函数，即y=y（x）。
如果对于某一类函数{y（x）}中的每一函数y（x），Π有一值与之对应，或者数Π对应于函数y（x）的关系成立，则称变量Π是函数y（x）的泛函，即Π=Π[y(x)]。
所以函数是变量和变量的关系，泛函是变量与函数的关系，泛函是一种广义的函数。
如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。
1964年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变分原理的方法。
日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等都是这方面的世界级大师。
变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等。
在当代变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。
在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。
近似计算方法主要有：李兹法、伽辽金法、康托洛维奇法、屈列弗兹法等。
例如：① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）；CB AC EB AE +>+总结：实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
变分原理-第2章
（2-2）
应变张量的 6 个分量的几何意义是：当 i = j 时， eij 表示沿坐标轴 i 方向 线元的正应变；当 i ≠ j 时， eij 的两倍表示沿坐标轴 i 与 j 方向两个正交 线元间的角应变。 3、 物理方程：
σ ij = aijkl ekl
（2-3）
其中 aijkl 为弹性模量，而且 4、 边界条件－边界 S = S u + S p ： σ ij n j = p i （1） 力的边界条件 （在 S p 上） ： ui = u i （2） 位移边界条件 （在 S V = ∫∫∫
V
∂A δu i , j dV ∂eij
∂A ∂A = ∫∫∫ δ ui − ∂e V , j ∂eij ij = ∫∫
S
δu i dV , j δu i dV , j δu i dV , j
+ ∫∫∫
V
1 ∂2 A δeij δekl dV + L 2 ∂eij ∂ekl
= Π + δΠ + δ 2 Π + L Π 取极小值的必要和充分条件为
δΠ = 0 ，
δ 2Π ≥ 0
其中
δΠ = ∫∫∫
V
∂A δeij dV − ∫∫∫ Fi δu i dV − ∫∫ p i δu i dS ∂eij V Sp 1 ∂2 A δeij δekl dV 2 ∂eij ∂ekl
∂A ∂A δu i n j dS − ∫∫∫ ∂e ∂eij ij V ∂A ∂A n j δu i dS − ∫∫∫ ∂e ∂eij ij V
= ∫∫
Sp
将上式代入式（1）得
δΠ = − ∫∫∫
(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
变分原理和基态能量
变分原理和基态能量变分原理是应用数学中的一种方法，用于解决极值问题。
在物理学中，变分原理被广泛应用于研究系统的基态能量。
本文将从理论和应用两个方面探讨变分原理与基态能量的关系。
一、变分原理的基本概念和原理变分原理是对函数的极值问题进行求解的一种方法。
它通过对函数进行微小的变化，然后利用极值点的性质来求得函数的极值。
变分原理的关键在于选取合适的变分函数和边界条件。
根据变分原理，我们可以将一个函数视为一个整体，而不仅仅是一系列离散的数值。
通过对函数引入适当的变分函数，然后求解变分函数的极值，我们可以得到原函数的极值。
二、基态能量的概念和意义基态能量是指系统在最低能级时具有的能量。
在量子力学中，基态能量是系统最稳定和最低能量的状态。
研究系统的基态能量对于了解系统的稳定性和行为具有重要意义。
基态能量的计算涉及到系统的波函数和哈密顿算符。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的波函数，进而计算出基态能量。
三、变分原理与基态能量的关系变分原理在研究基态能量时起到了重要的作用。
通过变分法，我们可以从整体上考虑系统的波函数的变化，从而更准确地计算系统的基态能量。
在应用变分原理求解基态能量时，我们首先选择一个适当的变分函数，然后求解该变分函数对应的极值，即找到使得变分函数取极小值的波函数。
这个波函数就是系统的基态波函数，基态能量可以由此得到。
通过变分原理求解基态能量的好处在于，我们不需要事先知道系统的确切波函数形式。
通过选择合适的变分函数，我们可以逼近真实的波函数，并得到较为准确的基态能量。
四、变分原理和基态能量的应用变分原理和基态能量的概念和方法在物理学的各个领域都有着广泛的应用。
在量子力学中，变分原理被用来求解系统的基态能量，从而研究原子、分子和凝聚态物理的性质和行为。
在固态物理学中，变分原理被用来研究晶体和材料的基态能量，从而探索材料的电子结构和导电性等性质。
在统计物理学中，变分原理被用来分析系统的基态能量和热力学性质，从而研究相变、磁性和量子统计效应等现象。
变分原理
泛函的变分定义与函数的微分定义很相似
自变函数y (x)的变分 δy (x)
引起泛函的增量
y ( x ) y ( x ) y ( x )
可以展开为线性项和非线性项
L y ( x ) ,y ( x ) y ( x ) ,y ( x ) y m a x
就是求解最速降线问题——求出的曲线就是最速降线。
A（0，0）
y
O
P（x，y）
B(x1 ，x2)
X
v
速度
利用能量守恒定律写出该问题的数学 形式： 位能= 动能
mgy= 1 mv 2 2
v= 2gy
从A点沿曲线到任一点p走过的弧长来看
速度又可表示为： v= ds = 2gy dt
ds=
1+
③ 变分 研究函数的极值的方法就是微分法 研究泛函极值的方法就是变分法
而我们过去是利用微分学来研究函数的极值 问题的。
举例：最速降线问题
平面两点： A、B，不在同一个水平面上，也不
在同一铅垂线上
一重物沿曲线受重力作用从A点向B点自由 下滑，不计重物与曲面之间的摩擦力，从A 到B自由下滑所需时间随该曲线的形状不同 而不同。问下滑时间最短的曲线是哪一条？
记作：
L y( x )
x2
1 y'( x )2dx
x1
显然：当取不同函数Y对应有不同的泛函值
举例2：弹性基础梁
x l y
x0, xl: v(0)v(l)0 v"(0)v"(l)0
位能： Π =梁的变形能+弹性基础的变形能-力函数
梁的变形能
V1
附录2-变分原理
π/2
满足边界条件 y(0) 0 ， y(π / 2) 1，试求泛函在什么曲线上取极值。 解：此泛函的欧拉方程为
2y
d (2 y) 0 dx
y y 0
通解：
y C1 cos x C2 sin x
根据边界条件，可得： C1 = 0， C2 = 1 所以
y sin x
δ( F1 F2 ) F2δF1 F1δF2
δ( F1 1 ) 2 ( F2δF1 F1δF2 ) F2 F2
δ( F ) n nF n1δF
§ 5 变分法的基本引理
引理 1：设函数 f ( x) 在区间[a, b]上连续，任意函数 g ( x) 在区间[a, b]上具有 n 阶连续导数，且对于某个正数 m（m = 0, 1, … , n），当满足条件
y´ = y( x) -y´ (x) = ´ (x)
应该注意y 与函数 y(x)的微分 dy 之间的差别，dy 是自变量 x 的改变量 dx 引起的 y(x)的无穷小增量。而变分y 是 y(x)的任意一个微小的改变量。 设泛函增量
J [ y ] F ( x, y , y ' )dx F ( x, y, y ' )dx
的函数 y(x)中，求使得泛函 L[y(x)]为极值的特定函数。因此 y(x)称为容许函数。 上述问题应用变分法可以概括为求解泛函
J [ y ] F ( x, y, y ' )dx
x1
x2
在边界条件 y(x1)=y1, y(x2)=y2 的极小值问题。
§ 2 泛函极值的必要条件-欧拉方程
假设函数 y(x)是使得泛函 J[y]为最小的特定函数（真实的）。变分法有兴 趣研究的是邻近于 y(x)的任意容许函数 y ( x) 引起泛函 J[ y ( x) ]的改变。设
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第二章 变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。
变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。
关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。
1872年Betti 提出了功的互等定理。
1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。
德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。
我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。
我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。
1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。
1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。
1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。
1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。
§ 2.1 历史上著名的变分法命题历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。
这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。
1、最速降线命题1695年，Bernoulli 以公开信方式提出了最速降线命题。
如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A 、B 两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB 光滑下滑的时间最短。
设A 点与坐标原点O 重合，B 点的坐标为(x 1,y 1)，滑体质量为m ，从O 点下滑至P 点时的速度为v ，根据能量恒原理，有：221mv mgy =(2-1)用s 表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图gy dt ds v 2==(2-2)曲线弧长为：dx dx dy dydx ds 2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=(2-3)于是，时间为：()dx gyyvds dt 212'+==(2-4)下降时间为：()⎰⎰+==12'021x Tdx gyydt T (2-5)经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为：()()θθθcos 12sin 2-=-=C y C x (2-6)2、短程线命题设()0,,=z y x ϕ是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A 、B 两点，试问如何连接可使此曲面上A 、B 两点间的距离最短。
设A 点的坐标为()111,,z y x A 、B 点的坐标为()222,,z y x B ，在曲面上A 、B 两点的曲线长度为：dx dx dz dx dy L x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21221 (2-7)其中，()()x z z x y y ==,是满足曲面()0,,=z y x ϕ的约束条件。
3、等周命题等周命题为在长度一定的闭合曲线中，什么曲线围成的面积最大。
图2-2 短程线 设所给曲线的参数方程为()()s y y s x x ==,，因这条曲线是封闭的，在这条曲线的始端和末端，有()()()()1010,s y s y s x s x ==。
该曲线周长为：ds ds dy ds dx L s s ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=122 (2-8) 由于该曲线封，根据格林公式：()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ΩYdy Xdxdxdy dx dX dx dY (2-9)该曲线所围成的面积为：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=ΩΩ1021211121s s ds dsdx y ds dyx ydx xdydxdydxdy (2-10) 于是等周问题可以归纳为在满足()()()()1010,s y s y s x s x ==和式(2-8)条件下，从所有可能函数中选择一对函数使面积最大。
§ 2.2 泛函的概念在函数论中，自变量x 对应着另一变量y ，则变量y 称为自变量x 的函数()y x 。
假如自变函数()y x 对应着另一个函数[]()y x ∏，则[]()y x ∏称为泛函。
函数是变量与变量之间的关系，泛函是变量与函数之间的关系。
泛函是函数的函数，是函数的广义函数。
通过微分学和变分学对比，可理解变分特性。
2.2.1 微分和变分函数()y x 的自变量x 的增量x ∆是x ∆=x -1x ，当x 是独立变量时，x 的微分等于x 的增量，即dx x =∆；泛函[]()y x ∏的自变函数c 的增量在它很小时称为变分，用()y x δ或简单地用y δ表示。
变分y δ等于()y x 与跟它相接近、并通过边界的另一个函数1()y x 之差，即()y x δ=()y x -1()y x 。
特别指出的是，变分()y x δ不是常值，而是通过边界条件的函数。
两个自变函数相接近的意义可有不同的理解，最简单的理解是在任意x 值上()y x 和1()y x 之差很小，即：()y x -1()y x ε≤ (2-11)这种接近称零阶接近度，如图2-3所示。
很明显，这时之差''1()()y x y x -不一定是微量。
如果满足零阶接近，同时满足自变函数的斜率也很接近，即：1''1()()()()y x y x y x y x ⎧-≤⎪⎨-≤⎪⎩εε(2-12)这种接近称一阶接近度，如图2-4所示。
图 2-3 零阶接近度 图2-4 一阶接近度依次类推，k 阶接近度要求零阶至k 阶导数之差都很小。
1111122211()()()()()()...()()k k k y y x y x y y x y x y y x y x y y x y x ⎧=-≤⎪=-≤⎪⎪=-≤⎨⎪⎪⎪=-≤⎩δεδεδεδε (2-14) 接近度越高，两条曲线亦越接近。
2.2.2 函数的微分和泛函的变分函数的微分有两个定义。
一个是通常的定义，即函数的增量定义为：()()y y x x y x ∆=+∆- (2-15) 可展开为x ∆的线性项和非线性项之和，即()(,)y A x x x x x β∆=∆+∆∆ (2-16) 其中线性项()A x 和x ∆无关，(,)x x β∆与x ∆有关，是高次项，当0x ∆→时(,)x x β∆0→，此时可称()y x 是可微，相应有：'()lim()x y dy A x x y dxdyy A x dxx∆→∆==∆=∆==∆ (2-17)也可以说，对于可微函数，函数的微分是函数增量的主部分，即线性项。
函数的第二定义是设ε是为一小参数，将()y x x ε+∆对ε求导数，即'()()()()()y x x x x y x x y x x x x x εεεεεεε∂+∆∂+∆+∆==+∆∆∂∂+∆∂ (2-18)当ε趋近于零时'()()y x x y x x εεε→∂+∆|=∆∂ (2-19)这就说明，()y x x ε+∆在ε=0处对ε的导数等于()y x 在x 处的微分。
ε称为拉格朗日乘子，此法称为拉格朗日乘子法。
泛函的变分也有类似的两个定义。
第一个定义：自变函数()y x 的变分()y x δ所引起的泛函的增量，即： [][]()()()y x y x y x δ∆∏=∏+-∏ (2-20)类似地，其可展开为线性项和非线性项 [][]m a x (),()(),()L y x y x y x y x y δβδδ∆∏=+ (2-21) 其中L 是对()y x δ的线性泛函项，而β是非线性泛函项，是()y x δ的同阶或高阶微量，当()y x δ0→时m ax 0y δ→，同时β也趋近于零，这时泛函的增量等于()y x δ的线性部分[](),()L y x y x δ，叫做泛函的变分，用δ∏来表示。
[][][]0()()()(),()y y x y x y x L y x y xδδδδ→∏=∆∏|=∏+-∏= (2-22) 所以泛函的变分是泛函增量的主部，而且这个主部对于函数变分()y x δ来说是线性的。
第二个定义：泛函变分是[]()()y x y x ∏+εδ对ε在0=ε处的示导值。
泛函的增量用微小参数ε表示为：[][][][]m a x()()()(),()(),()y x y x y x L y x y x y x y x yεδεδβεδεδ∆∏=∏+-∏=+ (2-23)因为泛函导数是[]()()y x y x εδ∏+对ε的导数在ε=0时的值，于是有[][][][]m a xm a x()()(),()(),()()(),()()y x y x Ly x y x y x y x y x y x y x yx εδεδβεδδεεβεδεδε∂∂∏+=+∂∂∂+∂ (2-24)因为线性项[](),()L y x y x εδ对()y x δ是线性的，故 [][](),()(),()L y x y x L y x y x εδεδ= (2-25) 并且当ε0→时[](),()0y x y x βεδ→，m ax 0y δ→，得[][]()()(),()y x y x Ly x y x εδδε∂∏+=∂ (2-26)由此得拉格朗日的泛函变分定义为 [][]0()()(),()y x y x Ly x y xεδεδδε→∂∏=∏+|=∂ (2-27)2.2.2 变分运算规则自变函数的变分()y x δ是x 的函数，于是可以用x 求导数[]''11()()()()()()dy x d dy x dy x y x y x y x dxdxdxdx δδ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦(2-28) 即[]()()d dy x y x dx dx δδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2-29) 因此，变分δ和导数d d x的运算可换，变分的导数等于导数的变分。
同理有：[][]""()()()()n ny x y x y x y x δδδδ== (2-30) 其它运算规则如下：()()()()()()221112121221122122112211 ()2 ()3 (/)()/45 ()()6 n n n nx x x x n y y dx dx-∏+∏=∏+∏∏∏=∏∏+∏∏∏∏=∏∏-∏∏∏∏=∏∏=∏=∏⎰⎰δδδδδδδδδδδδδδδ (2-31)2.2.3 极大极小——极值问题与函数的极大、极小问题相类似，泛函也有极大、极小问题。