上海市杨浦区届九年级上期中质量数学试题含答案解析教学教材
沪教版-九年级(初三)数学上册-期中考试复习试卷试题及答案(Word版)
沪教版-九年级(初三)数学上册-期中考试复习试卷试题及答案(Word版)AC51.将抛物线y=x^2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为哪一个？A。
y=(x-1)^2+2B。
y=(x+1)^2+2C。
y=(x-1)^2-2D。
y=(x+1)^2-22.已知二次函数y=ax^2-1的图象经过点(1,-2)，那么a的值为多少？A。
a=-2B。
a=2C。
a=1D。
a=-13.对于非零向量a、b，如果2|a|=3|b|，且它们的方向相同，那么用向量a表示向量b正确的是哪一个？A。
b=a*(3/2)B。
b=a*(2/3)C。
b=-a*(3/2)D。
b=-a*(2/3)4.在四边形ABCD中，若AB=a，AD=b，BC=c，则CD等于哪一个？A。
a-b-cB。
-a+b-cC。
a-b+cD。
-a+b+c5.在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=3，那么AC等于哪一个？A。
3sinαB。
3cosαC。
sinα/3D。
cosα/36.在直角三角形ABC中，∠C=90°，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正切值为多少？A。
3/4B。
4/3C。
5/3D。
3/57.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列结论正确的是哪一个？A。
sinA=3/2B。
tanA=1/2C。
cosB=3/2D。
tanB=3/48.抛物线y=-3x^2+2x-1的图象与x轴交点的个数是多少？A。
没有交点B。
只有一个交点C。
有且只有两个交点D。
有且只有三个交点9.关于二次函数y=(x+1)^2的图象，下列说法正确的是哪一个？A。
开口向下B。
经过原点C。
对称轴右侧的部分是下降的D。
顶点坐标是(-1,0)10.在三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE//BC的是哪一个？A。
DE^2/BC^2=3/2B。
上海市杨浦区2018-2019学年九年级(上)期中数学试卷含答案
上海市杨浦区2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.如果，那么下列结论正确的是A. x：：5B. x：：6C. ，D. ，2.下列说法正确的是A. 菱形都相似B. 正六边形都相似C. 矩形都相似D. 一个内角为的等腰三角形都相似3.如图，点B在线段AC上，且，设，则AB的长为A. B. C. D.4.在中， ，于点D，下列式子表示B错误的是A. B. C. D.5.已知和，下列条件中一定能推得与相似的是A. B.C. 且D. 且6.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值A. 只有一个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 无数个二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是______cm．8.已知线段b是线段a、c的比例中项，如果，，那么______．9.在中，若 ，，，则______10.如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，，如果，，，那么______．11.已知点D、E分别在的边AB、AC上，如果，，那么BC的长为______．12.如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为______．13.如图，线段AE、BD交于点C，如果，，，，那么______．14.如果为非零向量方向上的单位向量，那么______．15.如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有______个16.如图，将 放置在的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么 的正切值为______．17.如图，BD是四边形ABCD的对角线，， ，点、分别是和的重心，则点、间的距离为______．18.矩形ABCD中，E是AB的中点如图，将沿CE翻折，点B落在点F处，联结AF，如果，那么的比值为______．三、解答题（本大题共7小题，共46.0分）19.计算：20.在中，点D、E分别在边AB、AC上，，AD：：2，点M为EC的中点，，．填空：______；______；结果用、表示在图中分别作出向量在向量、向量方向上的分向量不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量21.如图，在中，，的高AM交DE于点N，，，，求MN的长．22.如图，在中， ，的周长为24，，点D为边BC的中点．求BC的长．求 的余切值．23.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，，连接EB、ED，延长BE交AD于点求证：．24.已知：点E在线段AB上，．如图1，AB是的边，作交边AC于点F，连接求的值．如图2，AB是梯形ABCD的一腰，，且，作交边DC于点F，连接求的值．梯形25.在中， ，，点C在直线m上，， ，其中点D、E分别在直线AC、m上，将 绕点B旋转点D、E都不与点C重合．当点D在边AC上时如图，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；当为等腰三角形时，求CD的长．上海市杨浦区2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷解析一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）26.如果，那么下列结论正确的是A. x：：5B. x：：6C. ，D. ，【答案】A【解析】解：，，故选项A正确．故选：A．直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题关键．27.下列说法正确的是A. 菱形都相似B. 正六边形都相似C. 矩形都相似D. 一个内角为的等腰三角形都相似【答案】B【解析】解：A、所有的菱形，边长相等，所以对应边成比例，角不一定对应相等，所以不一定都相似，故本选项错误；B、所有的正六边形，边长相等，所以对应边成比例，角都是，相等，所以都相似，故本选项正确；C、所有的矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故本选项错误；D、一个内角为的等腰三角形可能是顶角也可能是底角是，无法判断，此选项错误；故选：B．根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．28.如图，点B在线段AC上，且，设，则AB的长为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，解得，，舍去，故选：C．根据题意列出一元二次方程，解方程即可．本题考查的是黄金分割的概念以及黄金比值，掌握一元二次方程得到解法、理解黄金分割的概念是解题的关键．29.在中， ，于点D，下列式子表示B错误的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：在中，于点D，，故选：D．根据三角函数的定义解答即可．此题考查锐角三角函数的定义，关键是根据正弦函数是对边与斜边的比进行解答．30.已知和，下列条件中一定能推得与相似的是A. B.C. 且D. 且【答案】B【解析】解：A、与的三组边不是对应成比例，所以不能判定与相似故本选项错误；B、与的三组边对应成比例，所以能判定与相似故本选项正确；C、与的两组不是对应边的比相等且夹角对应相等，所以不能判定与相似故本选项错误；D、与的两组不是对应边成比例，所以不能判定与相似故本选项错误；故选：B．根据三角形相似的判定方法 三边对应成比例的两个三角形相似可以判断出A、B的正误； 两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断C，进行判断．此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．31.如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值A. 只有一个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 无数个【答案】B【解析】解：一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，可能是斜边或4是斜边，或．的值可以有2个．故选：B．由一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，可得x可能是斜边或4是斜边，继而求得答案．此题考查了相似三角形的性质与勾股定理，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）32.已知A、B两地的实际距离为100千米，地图上的比例尺为1：2000000，则A、B两地在地图上的距离是______cm．【答案】5【解析】解：根据比例尺图上距离：实际距离．100千米厘米得：A，B两地的图上距离为，故答案为：5．根据比例尺图上距离：实际距离依题意由实际距离乘以比例尺即可得出图上距离．此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的统一．33.已知线段b是线段a、c的比例中项，如果，，那么______．【答案】【解析】解：线段b是线段a、c的比例中项，，，，故答案为：．根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．34.在中，若 ，，，则______【答案】4【解析】解：，，，故答案为：4．根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可．本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．35.如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，，如果，，，那么______．【答案】【解析】解：，，，，，，，．故答案为．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．36.已知点D、E分别在的边AB、AC上，如果，，那么BC的长为______．【答案】【解析】解：如图，，，，∽ ，，，，故答案为：．根据已知条件得到，推出 ∽ ，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．37.如图，在中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且，，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么的值为______．【答案】【解析】解：，，，， ，，≌ ，，：：3，：：4，，故答案为．首先证明EF：：3，再利用全等三角形的性质证明即可解决问题．本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．38.如图，线段AE、BD交于点C，如果，，，，那么______．【答案】【解析】解：，，，，，∽ ，，，故答案为：根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．39.如果为非零向量方向上的单位向量，那么______．【答案】【解析】解：为非零向量方向上的单位向量，．故答案是：．根据向量的几何意义填空即可．考查了平面向量，两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量．40.如图，在矩形ABCD中，，，点P是边AB上一点，若与相似，则满足条件的点P有______个【答案】3【解析】解：设AP为x，，，和PB是对应边时，与相似，，即，整理得，，解得，，和BC是对应边时，与相似，，即，解得，所以，当、4、时，与相似，满足条件的点P有3个．故答案为：3．设AP为x，表示出，然后分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．41.如图，将 放置在的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么 的正切值为______．【答案】1【解析】解：如图所示，连接BC，则，，，是等腰直角三角形，且 ，，则，故答案为：1．连接BC，先利用勾股定理逆定理证是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和三角函数的定义．42.如图，BD是四边形ABCD的对角线，，，点、分别是和的重心，则点、间的距离为______．【答案】2【解析】解：取BD的中点G，连接AG，CG，AC，点、分别是和的重心，在AG上，在CG上，，，∽ ，，， ，是等边三角形，，，故答案为：2．取BD的中点G，连接AG，CG，AC，根据点、分别是和的重心，得到在AG上，在CG上，求得，根据相似三角形的性质得到，根据已知条件得到是等边三角形，求得，于是得到结论．本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．43.矩形ABCD中，E是AB的中点如图，将沿CE翻折，点B落在点F处，联结AF，如果，那么的比值为______．【答案】【解析】解：如图，，，，可设，，由勾股定理可得，由轴对称的性质，可得CE垂直平分BF，，，是AB的中点，，， ，又，，中，，，故答案为：．设，，由勾股定理可得，再根据CE垂直平分BF，可得，，再根据勾股定理可得，即可得出的比值．本题考查的是翻折变换的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共7小题，共46.0分）44.计算：【答案】解：原式．【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．45.在中，点D、E分别在边AB、AC上，，AD：：2，点M为EC的中点，，．填空：______；______；结果用、表示在图中分别作出向量在向量、向量方向上的分向量不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量【答案】【解析】解：：：2，：：3，，∽ ，，，；点M为EC的中点，，，；故答案为：，；如图，向量在向量、向量方向上的分向量分别是和．根据已知条件得到AD：：3，根据相似三角形的性质得到，由，得到；根据三角形法则得到；利用平行四边形法则，即可求得答案．此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．46.如图，在中，，的高AM交DE于点N，，，，求MN的长．【答案】解：设，则，，，即，即MN的长为6．【解析】设，则，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出MN的长．本题主要考查了平行线分线段成比例的性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．47.如图，在中， ，的周长为24，，点D为边BC的中点．求BC的长．求 的余切值．【答案】解：，，设，，则，的周长为24，，，，，，；过点D作，垂足为E，为中线，，，，在中，，，，．【解析】根据三角函数的定义设，，则，再由三角形的周长得出k的值，即可得出三角形的三边；过点D作，垂足为E，根据，再由余弦函数的定义得出答案即可．本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理以及三角函数的定义是解题的关键．48.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，，连接EB、ED，延长BE交AD于点求证：．【答案】证明：连接BD．四边形ABCD是正方形，，且 ，又是公共边，≌ ，．，．， ，．，．四边形ABCD是正方形，，，．．又是公共角，∽ ，，即．【解析】想办法证明 ∽ 即可解决问题；本题考查了相似三角形的判定与性质，和正方形的性质，正确理解正方形的性质是关键．49.已知：点E在线段AB上，．如图1，AB是的边，作交边AC于点F，连接求的值．如图2，AB是梯形ABCD的一腰，，且，作交边DC于点F，连接求的值．梯形【答案】解：如图1，，，，∽ ，，，设，则，，四边形，，，；如图2，设，则，连接AC，交EF于G，连接AF，，∽ ，，，，，，同理可得，，，，，设，则，，，，，，．梯形【解析】证明 ∽ ，得，根据相似三角形的性质得两三角形面积的关系，设，则，根据，得，所以，可得结论；设，则，证明 ∽ ，得，则，设，则，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得：，，代入可得结论．本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度．50.在中， ，，点C在直线m上，， ，其中点D、E分别在直线AC、m上，将 绕点B旋转点D、E都不与点C重合．当点D在边AC上时如图，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；当为等腰三角形时，求CD的长．【答案】解：，．．，，．∽ ．，即．；当时，C、D重合，不符合题意，舍去； 当时，如图1，，，．则．．，是等腰直角三角形．，；当时，Ⅰ如图2，，．．．，．；Ⅱ如图3，则 ，．，，．．．所以当为等腰三角形时，CD的长为2或或．。
2010-2011学年上海市杨浦区九年级(上)期中数学试卷
20．（5 分）如图，锐角△ABC 中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC 的面积为 27cm2．求 tanB 的值．
21．（5 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，且 EF∥BD，AD=3AF，CF 交 BD 于 G，设 =， =． （1）用 ， 表示 ； （2）作出向量 分别在 、 方向上的分向量，并分别用 、 表示（写出结论，不要求写作法）．
C．
D．
考点： *平面向量。 1561964
分析： 由
，可知四边形 ABCD 是平行四边形，根据相等向量的定义即可作出判断．
解答：
解：∵
，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
A、 与 长度相等，方向相反，不相等，故本选项错误；
B、 与 长度相等且方向相同，相等，正确；
C、 与 长度不一定相等，方向不同，不相等，故本选项错误；
解答此题的关键． 6．（3 分）下列各组图形必相似的是（ ） A．任意两个等腰三角形 B．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形 C．两边为 4 和 5 的直角三角形与两边为 8 和 10 的直角三角形 D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形
考点： 相似三角形的判定。 1561964
专题： 证明题。 分析： 分别根据相似三角形的判定判断 A、B、C、D 是否可以证明相似三角形，即可判断 A、B、C、D 选项的正
确性，即可解题． 解答： 解：A、任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误；
B、两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误； C、两边为 4 和 5 的直角三角形与两边为 8 和 10 的直角三角形，因为不确定边长为 5 和边长为 10 的边是斜 边，故无法判定三角形相似，故本选项错误； D、两边和一边的中线均对应成比例，即可判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，因此可判定三角形 相似，正确， 故选 D． 点评： 本题考查了相似三角形的判定，相似三角形各边均对应成比例的性质． 二、填空题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 7．（3 分）线段 4 和 9 的比例中项是 6 ．
【初三数学】上海市九年级数学上期中考试测试题(含答案解析)
新九年级上学期期中考试数学试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）2．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得(A)A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝1C．(x＋10)2＝91 D．(x＋10)2＝1093．(2018·济宁)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x 轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标是( A)A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)4．(雅安中考)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为(D) A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6C．y＝x2＋6 D．y＝x25．某商品原售价为50元，10月份下降了10%，从11月份起售价开始增长，12月份售价为64.8元，设11、12月份每个月的平均增长率为x，则下列结论正确的是（D）A．10月份的售价为50(1＋10%)元B．11月份的售价为50(1＋10%)元C．50(1＋x)2＝64.8D．50(1－10%)(1＋x)2＝64.86．已知a≥2，m，n为x2－2ax＋2＝0的两个根，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（ A ）A．6 B．3 C．－3 D．07．(呼和浩特中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx ＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是（D）8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是( A )A.7 B．2 2 C．3 D．2 3第8题图第9题图第10题图9．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( A )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③10．(2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc<0；②9a ＋3b ＋c>0；③若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 1、点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 2是函数图象上的两点，则y 1<y 2； ④－35<a<－25.其中正确结论有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线x＝2.第11题图第15题图第18题图12．一元二次方程(x＋3)2－x＝2(x2＋3)化成一般形式为x2－5x－3＝0，方程根的情况为有两个不相等的实数根．13．等边三角形绕中心点至少旋转120度后能与自身重合，正方形绕中心点至少旋转90度后能与自身重合．14．平面直角坐标系中有一个点A(－2，6)，则与点A关于原点对称的点的坐标是(2，－6)，经过这两点的直线的解析式为y＝－3x.15．(原创)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等于x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x ＜1或x＞ 3.16．一位运动员投掷铅球的成绩是14 m，当铅球运行的水平距离是6 m时达到最大高度4 m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是1.75 m.17．已知方程(p－2)x2－x＋p2－3p＋2＝0的一个根为0，则实数p的值是1.18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B三、解答题(本大题共7小题，共66分)19．(8分)(1)解方程3x2－x－1＝0；解：∵a＝3，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝(－1)2－4× 3×(－1)＝13＞0，∴x＝－（－1）±132× 3＝1±136，∴x1＝1＋136，x2＝1－136；(2)通过配方，写出抛物线y＝1＋6x－x2的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝1＋6x－x2＝－(x－3)2＋10，开口向下，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，10)．20．(8分)如图所示，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，AP＝5，则PP′的长是多少？解：由旋转易知AP′＝AP＝5，∠BAP＝∠CAP′，∵∠BAC ＝90°，∴∠PAP′＝∠CAP＋∠CAP′＝∠CAP＋∠BAP＝90°，则在Rt△PAP′中，由勾股定理得PP′＝AP2＋AP′2＝5 2.21(8分)(眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A2B2C2；(3)若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标．解：(1)如图；(2)如图；(3)旋转中心的坐标为(－1，0)．22．(8分)如图，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)与x 轴交于另一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B(2，t)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 在抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，求点M 的坐标．新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（）A．（x+1）（x﹣2）＝0 B．（x﹣1）（x+2）＝1C．（x+2）2＝1 D．5．把二次函数y＝3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+16．函数y＝﹣x2﹣4x+3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣7）B．（2，7）C．（﹣2，﹣7）D．（﹣2，7）7．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．不论x 为何值，函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的值恒大于0的条件是（ ）A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＜0D ．a ＜0，△＞012．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A ．x （x +1）＝1035B ．x （x ﹣1）＝1035×2C ．x （x ﹣1）＝1035D ．2x （x +1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．14．方程x 2﹣3x +1＝0的解是 ．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y ＝3x 2②y ＝x 2③y ＝x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．16．抛物线y ＝﹣x 2+15有最 点，其坐标是 ．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 ．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ﹣2＝0或x ＝0，解得，x 1＝2，x 2＝0；故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ． 【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断；根据方程解的定义对B 进行判断；根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．6．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．解：∵原函数解析式可化为：y ＝﹣（x +2）2+7，∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．故选：D ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 解：因为y ＝（x +2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B ．【点评】考查顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．要掌握顶点式的性质．8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝1【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）．解：y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线x ＝1．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数顶点式中对称轴的求法．9．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．【分析】可以直接利用两根之和得到所求的代数式的值．解：如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2＝2．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程ax2+bx+c＝0的根与系数的关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．10．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知．解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；∵b＜0，∴对称轴为x＝＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向上，且与x轴无交点即可．解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△＜0．故选：B．【点评】当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．解：一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，△＝b2﹣4ac＝9﹣4m≥0，解得m．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是x1＝，x2＝．【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．解：a＝1，b＝﹣3，c＝1，b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）①③②．【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．【点评】抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．抛物线y＝﹣x2+15有最高点，其坐标是（0，15）．【分析】根据抛物线的开口方向判断该抛物线的最值情况；根据顶点坐标公式求得顶点坐标．解：∵抛物线y＝﹣x2+15的二次项系数a＝﹣1＜0，∴抛物线y＝﹣x2+15的图象的开口方向是向下，∴该抛物线有最大值；当x＝0时，y取最大值，即y最大值＝15；∴顶点坐标是（0，15）．故答案是：高、（0，15）．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 a （1+x ）2 ．【分析】第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．关键描述语是：以后每季度比上一季度增产的百分率为x ．解：依题意可知：第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．故答案为a （1+x ）2．【点评】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，需注意第三季度是在第二季度的基础上增加的．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为 y 1＜y 2＜y 3【分析】先利用抛物线的对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线x ＝﹣5，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，然后根据二次函数的性质得到y 1，y 2，y 3的大小关系．解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝﹣5，抛物线开口向上，所以当x ＞﹣5时，y 随x 的增大而增大，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，所以y 1＜y 2＜y 3．故答案为y 1＜y 2＜y 3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；【分析】先移项得x 2﹣4x ＝﹣1，再把方程两边加上4得到x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法求解；先移项，然后分解因式得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可．解：x 2﹣4x +1＝0x 2﹣4x ＝﹣1，x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，∴x ﹣2＝±， ∴x 1＝2+，x 2＝2﹣；x （x ﹣2）＝4﹣2xx （x ﹣2）+2（x ﹣2）＝0，（x ﹣2）（x +2）＝0，∴x ﹣2＝0或x +2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．也考查了因式分解法解一元二次方程．20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．【分析】先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（1，2）代入即可解决，解：由抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，可设抛物线为：y ＝a （x ﹣2）2+4，把（1，2）代入得：2＝a +4，解得：a ＝﹣2，所以抛物线为：y ＝﹣2（x ﹣2）2+4，即y ＝﹣2x 2+8x ﹣4，【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，再代入可得9﹣4m ＞0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2＝﹣，再代入可得答案．解：（1）由题意得：△＝（﹣3）2﹣4×1×m ＝9﹣4m ＞0，解得：m ＜；（2）∵x1+x2＝﹣＝3，x1＝1，∴x2＝2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．22．（8分）已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？【分析】（1）把二次函数的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过判断方程﹣x2+x ﹣＝0没有实数得到抛物线与x轴没有交点；（3）利用二次函数的性质确定x的范围．解：（1）y＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣1）2﹣2，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x﹣＝﹣，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，△＜0，方程没有实数解，则抛物线与x轴没有交点；即抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，﹣）；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可；解：设每件童装应降价x 元，根据题意列方程得， （40﹣x ）（20+2x ）＝1200，解得x 1＝20，x 2＝10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）， 答：每件童装降价20元；【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，考查了一元二次方程的解法和基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润的运用．24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？ 【分析】设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，列出面积与x 的二次函数关系式，求最值．解：设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，则其面积S ＝x •＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+6x ．∵0＜2x ＜12， ∴0＜x ＜6．∵S ＝﹣x 2+6x ＝﹣（x ﹣3）2+9， ∴a ＝﹣1＜0，S 有最大值， 当x ＝3时，S 最大值＝9．∴设计费最多为9×1000＝9000（元）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，由矩形面积等于长乘以宽列出函数关系式，利用函数关系式求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）由对称性可直接得出B（5，0），当x＝0时，代入抛物线的解析式可得与y轴交点C 的坐标；（3）根据90°所对的弦是直径可知：过O，B，C三点的圆的直径是线段BC，利用勾股定理求BC的长，代入圆的面积公式可以求得面积．解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5；（2）∵对称轴为直线x＝2，A（﹣1，0），∴B（5，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），（3）∵∠BOC＝90°，∴BC是过O，B，C三点的圆的直径，由题意得：OB＝5，OC＝5，由勾股定理得；BC＝＝5，S＝π•＝π，答：过O，B，C三点的圆的面积为π．【点评】本题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，明确令x＝0时，求抛物线与y轴的交点；令y＝0时，求抛物线与x轴的交点；同时要想求过O，B，C三点的圆的面积就要先求圆的半径可直径，根据圆周角定理可以解决这个问题，从而使问题得以解决．26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【分析】（1）函数的表达式为y＝kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y＝﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）＝6750，解得，x1＝10，x2＝70∵投入成本最低．∴x2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w＝（﹣0.5x+80）（80+x）＝﹣0.5 x2+40 x+6400＝﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a＝﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x＝40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．最新九年级（上）数学期中考试试题【含答案】一、选择题（共12小题，共36分）1．﹣2的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2 D．22．地球和太阳间的距离为150 000 000km，用科学记数法表示150 000 000为（）A．15×107B．1.5×108C．0.15×109D．1.5×1073．下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3C．D．（a+b）2＝a2+b24．一组数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.55．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．其图象经过点（3，1）B．其图象分别位于第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＞1时，y＞36．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是（）A．B．C．D．7．不等式组的最小整数解是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．18．甲乙两位赛车手同时从起点出发，行驶20千米到达终点．已知甲车手每小时比乙车手多行驶1千米，甲比乙早到达12分钟，若设乙每小时跑x千米，则所列方程式为（）A．B．C．D．9．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．下列结论错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形11．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．612．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（共2小题，共6分）13．因式分解：2m3﹣8m＝．14．若直线y＝﹣2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式﹣2x+b＜5的解集是．三、解答题（共3小题，共18分）15．（5分）计算：（﹣）﹣1﹣﹣（π﹣3.14）0+|1﹣|16．（6分）先化简，再求值：（﹣m+1）÷，其中m的值从﹣1，0，2中选取．17．（7分）某中学为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6个型号）：根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有名学生；（2）补全条形统计图；（3）该班学生所穿校服型号的众数为，中位数为；（4）如果该校预计招收新生1500名，根据样本数据，估计新生穿170型校服的学生大约有多少名？一、填空题（本题共有2小题，每小题3分，共6分）18．若，则＝．19．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．二、解答题（本题共有4小题，其中第20题7分，第21题8分，第22题9分，第23题10分，共34分）20．（7分）在平面直角坐标系中，把横纵坐标都是整数的点称为“整点”．（1）直接写出函数y＝图象上的所有“整点”A1，A2，A3…的坐标；（2）在（1）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出这两点关于原点对称的概率．21．（8分）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．。
2024年上海市杨浦区九年级上学期期末数学中考一模试卷含详解
C. D.
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割点,根据黄金分割点的定义得出线段比例关系,选出正确选项,解题的关键是掌握黄金分割点的性质．
【详解】解：如图.
∵点 是线段 的黄金分割点,且 .
∴ .
故选：A．
4.如果两个非零向量 与 的方向相反,且 ,那么下列说法错误的是（）
A. 与 是平行向量B. 的方向与 的方向相同
【详解】解：因为锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍,所得的三角形与原三角形相似.
所以锐角 的大小没改变.
所以锐角 的正切函数值也不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了正切的定义,解题的关键是掌握在直角三角形中,一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．
3.已知 是线段 的黄金分割点,且 ,那么下列等式能成立的是（ ）
【详解】如图.
∵ .
∴ .
∴ .
∵ .
∴ .
∴ .
∵ .
∴ .
故答案为： ．
13.小华沿着坡度 的斜坡向上行走了 米,那么他距离地面的垂直高度上升了_____米．
【答案】
【分析】本题考查了坡度,根据题意画图,过点 作 于点 ,由坡度 得到 ,再利用勾股定理即可求解,熟练掌握坡度及勾股定理．
【详解】如图,过点 作 于点 ,则由题意得 米.
C.若 ,则 D.若 ,则
【答案】B
【分析】设 ,m,n都是正数, ,c,d都是负数,根据向量运算法则计算判断即可．
【详解】设 ,m,n都是正数, ,c,d都是负数.
则 .
故A正确,不符合题意.
的方向与 的方向相反.
故B错误,符合题意.
若 ,则 正确,不符合题意.
若 ,则 正确,不符合题意.
2012-2013学年上海市杨浦区九年级上期中数学试卷
2012-2013学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷2012-2013学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）下列各组线段中，成比例线段的一组是（）A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，82．（3分）（2010•嘉定区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF=2：5，那么下列结论正确的是（）A．A C：AE=2：5 B．A B：CD=2：5 C．C D：EF=2：5 D．C E：EA=5：73．（3分）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么sinA的值等于（）A．B．C．D．4．（3分）下列命题中，假命题的是（）A．两个等边三角形一定相似B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似C．两个全等三角形一定相似D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似5．（3分）下列各组条件中一定能推得△ABC与△DEF相似的是（）A．B．，且∠A=∠EC．，且∠A=∠D D．，且∠A=∠D6．（3分）如图，在△ABC中，D、E在AB边上，且AD=DE=EB，DF∥BC交AC于点F，设，，下列式子中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：7．（3分）若，且a+b+c=15，则a=_________．8．（3分）线段3和6的比例中项是_________．9．（3分）等边三角形的中位线与高之比为_________．10．（3分）点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=_________．11．（3分）如果，那么用、表示为：=_________．12．（3分）（2010•徐汇区一模）如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9．则它的重心G到C点的距离是_________．13．（3分）在△ABC中，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，那么∠C=_________度．14．（3分）（2010•徐汇区一模）如图，直线l1∥l2∥l3，已知AG=0.6cm，BG=1.2cm，CD=1.5cm，CH=_________ cm．15．（3分）（2010•徐汇区一模）如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，F是BC的中点，EF⊥BC交AB于E，若BD：DC=3：2，则BE：AB=_________．16．（3分）（2012•南宁模拟）如图，将一副直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于_________．17．（3分）（2010•嘉定区一模）如图：在△ABC中，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，过点A作AE∥CB交CD 的延长线于点E，那么图中相似三角形共有_________对．18．（3分）（2012•安徽）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．三、解答题19．（6分）计算：cos60°+sin45°•tan30°．20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点F在AD边上，BA的延长线交CF的延长线于点E，EC交BD于点M，求证：CM2=EM•FM．21．（6分）已知非零向量，，（1）求作：；（2）求作向量分别在，方向上的分向量．注：不写作法，但须说明结论．22．（6分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，DC=5，梯形ABCD的面积S ABCD=16，求∠B的余切值．23．（6分）如图，点P是等腰△ABC的底边BC上的点，以AP为腰在AP的两侧分别作等腰△AFP和等腰△AEP，且∠APF=∠APE=∠B，PF交AB于点M，PE交AC于点N，连接MN．求证：MN∥BC．24．（8分）在△ABC中，AC=2，AB=3，BC=4，点D在BC边上，且CD=1（1）求AD的长；（2）点E是AB边上的动点（不与A、B重合）连接ED，作射线DF交AC边于点F，使∠EDF=∠BDA．请补全图形，说明线段BE与AF的比值是否为定值？请证明你的结论．25．（8分）如图，tan∠MAB=2，AB=6，点P为线段AB上一动点（不与点A、B重合）．过点P作AB的垂线交射线AM于点C，连接BC，作射线AD交射线CP于点D，且使得∠BAD=∠BCA，设AP=x（1）写出符合题意的x的取值范围；（2）点N在射线AB上，且△ADN∽△ABC，当x=2时，求PN的长；（3）试用x的代数式表示PD的长．2012-2013学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）下列各组线段中，成比例线段的一组是（）A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．1，3，5，7 D．2，4，6，8考点：比例线段．分析：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．解答：解：A、1×4≠2×3，故本选项错误；B、2×6=3×4，故本选项正确；C、1×7≠3×5，故本选项错误；D、2×8≠4×6，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．2．（3分）（2010•嘉定区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF=2：5，那么下列结论正确的是（）A．A C：AE=2：5 B．A B：CD=2：5 C．C D：EF=2：5 D．C E：EA=5：7考点：平行线分线段成比例．分析：由AB∥CD∥EF，BD：DF=2：5，根据平行线分线段成比例定理，即可求得=，又由AE=AC+CE，即可求得答案．解答：解：∵AB∥CD∥EF，BD：DF=2：5，∴=，∵AE=AC+CE，∴CE：EA=5：7．故选D．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意对应线段．3．（3分）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么sinA的值等于（）A．B．C．D．考点：同角三角函数的关系．分析：根据公式cos2A+sin2A=1解答．解答：解：∵cos2A+sin2A=1，cosA=，∴sin2A=1﹣=，∴sinA=．故选B．点评：本题考查公式cos2A+sin2A=1的利用．4．（3分）下列命题中，假命题的是（）A．两个等边三角形一定相似B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似C．两个全等三角形一定相似D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似考点：命题与定理；相似三角形的判定．分析：本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可．解答：解：两个等边三角形，三角相等，一定相似，A是真命题；有一个锐角相等的两个直角三角形，三角相等，一定相似，B是真命题；全等三角形是特殊的相似三角形，C是真命题；有一个锐角相等的两个等腰三角形，其它两角不一定相等，不能判定这两个三角形相似．故选：D．点评：本题主要考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（3分）下列各组条件中一定能推得△ABC与△DEF相似的是（）A．B．，且∠A=∠EC．，且∠A=∠D D．，且∠A=∠D考点：相似三角形的判定．分析：根据三角形相似的判定方法（①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）进行判断．解答：解：A、△ABC与△DEF的三组边不是对应成比例，所以不能判定△ABC与△DEF相似．故本选项错误；B、∠A与∠E不是△ABC与△DEF的对应成比例的两边的夹角，所以不能判定△ABC与△DEF相似．故本选项错误；C、△ABC与△DEF的两组对应边的比相等且夹角对应相等，所以能判定△ABC与△DEF相似．故本选项正确；D、，不是△ABC与△DEF的对应边成比例，所以不能判定△ABC与△DEF相似．故本选项错误；故选C．点评：此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．（3分）如图，在△ABC中，D、E在AB边上，且AD=DE=EB，DF∥BC交AC于点F，设，，下列式子中正确的是（）A．B．C．D．考点：*平面向量．分析：先根据相似三角形对应边成比例列出比例式，求出BC=3DF，再根据向量的三角形法则求出，然后选择答案即可．解答：解：∵AD=DE=EB，DF∥BC，∴AB=3AD，△ADF∽△ABC，∴==，∴BC=3DF，∴=﹣，即3=﹣，∴=﹣+．故选C．点评：本题考查了平面向量，主要利用了相似三角形的判定与性质，向量的三角形法则．二、填空题：7．（3分）若，且a+b+c=15，则a=3．考点：比例的性质．分析：设比值为k，然后用k表示出a、b、c，代入等式求出k值，再计算即可求出a．解答：解：设===k，则a=2k，b=3k，c=5k，∵a+b+c=15，∴2k+3k+5k=15，解得k=，∴a=2k=2×=3．故答案为：3．点评：本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出a、b、c可以使运算更加简便．8．（3分）线段3和6的比例中项是3．考点：比例线段．分析：根据线段比例中项的概念，可得线段3和6的比例中项的平方=3×6=18，依此即可求解．解答：解：∵3×6=18，（±3）2=18，又∵线段是正数，∴线段3和6的比例中项为3．故答案为：3．点评：考查了比例中项的概念．注意线段不能是负数．9．（3分）等边三角形的中位线与高之比为1：．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质．分析：可设等边三角形的边长为2a，根据三角形的中位线定理和等边三角形的性质以及勾股定理可分别求出中位线的长和高的长度即可求出其比值．解答：解：设等边三角形的边长为2a，则中位线长为a，高线的长为=a，所以等边三角形的中位线与高之比为a：a=1：，故答案为：1：．点评：本题考查了等边三角形的性质和三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．10．（3分）点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=．考点：黄金分割．分析：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．解答：解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴==．故答案为．点评：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．11．（3分）如果，那么用、表示为：=．考点：*平面向量．分析：根据向量方程的求解方法，可以先移项，再系数化一，即可求得答案．解答：解：∵，∴2=﹣3，∴=．故答案为：﹣+．点评：此题考查了平面向量的知识．解此题的关键是掌握向量方程的求解方法．12．（3分）（2010•徐汇区一模）如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9．则它的重心G到C点的距离是5．考点：三角形的重心；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：计算题．分析：根据勾股定理求出AB的长，然后再利用三角形重心的性质，即可求出重心G到C点的距离．解答：解：∵∠C=90°，AC=12，BC=9，∴AB===15，设△ABC斜边上的中线为x，则x=AB=×15=7.5，又∵G是△ABC的重心，∴CG==×7.5=5．故答案为：5．点评：此题主要考查学生对直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形重心和勾股定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题．13．（3分）在△ABC中，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，那么∠C=75度．考点：特殊角的三角函数值．专题：探究型．分析：先根据，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=求出∠A及∠B的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可．解答：解：∵∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣60°=75°．故答案为：75°．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．14．（3分）（2010•徐汇区一模）如图，直线l1∥l2∥l3，已知AG=0.6cm，BG=1.2cm，CD=1.5cm，CH=0.5cm．考点：平行线分线段成比例．分析：由直线l1∥l2∥l3，即可得到，又由设CH=xcm，则DH=1.5﹣x（cm），代入数值解方程即可求得CH 的长．解答：解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AG=0.6cm，BG=1.2cm，CD=1.5cm，设CH=xcm，则DH=1.5﹣x（cm），∴，解得：x=0.5．即CH=0.5cm．故答案为：0.5．点评：本题考查平行线分线段成比例定理．注意解题时要找准对应关系．15．（3分）（2010•徐汇区一模）如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，F是BC的中点，EF⊥BC交AB于E，若BD：DC=3：2，则BE：AB=5：6．考点：平行线分线段成比例．专题：数形结合．分析：结合图形，已知F是BC的中点，且BD：DC=3：2，即可推知BD：BC=3：5．再根据平行线分线段成比例定理，即可得出BE和AB之间的比例关系．解答：解：F是BC的中点，所以FB=BC，因为BD：DC=3：2，所以BD=，所以FD=BD﹣FB=BC﹣BC=BC，所以BF：FD=：=5：1因为EF⊥BC，AD⊥BC，所以AD∥EF，所以根据平行线等分线段定理，得BE：EA=BF：FD=5：1即BE：AB=5：6．故答案为5：6．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用，要求学生能够把握题目的要求，认真分析所给条件，属于基础性题目．16．（3分）（2012•南宁模拟）如图，将一副直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于1：3．考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：计算题．分析：结合图形可推出△AOB∽△COD，只要求出AB与CD的比就可知道它们的面积比，我们可以设BC为a，则AB=a，根据直角三角函数，可知DC=a，即可得△AOB与△COD的面积之比解答：解：∵直角三角板（含45°角的直角三角板ABC及含30°角的直角三角板DCB）按图示方式叠放∴∠D=30°，∠A=45°，AB∥CD∴∠A=∠OCD，∠D=∠OBA∴△AOB∽△COD设BC=a∴CD= a∴S△AOB：S△COD=1：3故答案为1：3点评：本题主要考查相似三角形的判定及性质、直角三角形的性质等，本题关键在于找到相关的相似三角形17．（3分）（2010•嘉定区一模）如图：在△ABC中，点D在边AB上，且∠ACD=∠B，过点A作AE∥CB交CD 的延长线于点E，那么图中相似三角形共有4对．考点：相似三角形的判定．分析：由AE∥CB可得∠EAD=∠B，则∠EAD=∠ACD=∠B，结合公共角判断相似三角形．解答：解：依题意得∠EAD=∠ACD=∠B，∵AE∥CB，∴△AED∽△BCD，∵∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∵∠AED=∠CEA，∴△AED∽△CEA，由相似三角形的传递性，得△BCD∽△CEA．故有4对相似三角形．故答案为：4．点评：本题考查了相似三角形的判定方法．关键是利用平行线找相等角，利用公共角判断三角形相似．18．（3分）（2012•安徽）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是②和④（把所有正确结论的序号都填在横线上）．考点：矩形的性质．专题：压轴题．分析：根据三角形面积求法以及矩形性质得出S1+S3=矩形ABCD面积，以及=，=，即可得出P点一定在AC上．解答：解：如右图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S1+S3=矩形ABCD面积；同理可得出S2+S4=矩形ABCD面积；∴②S2+S4=S1+S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误，③若S3=2S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故此选项错误；④若S1=S2，×PF×AD=PE×AB，∴△APD与△PBA高度之比为：=，∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴此时矩形AEPF与矩形ABCD位似，∴=，∴P点在矩形的对角线上．故④选项正确，故答案为：②和④．点评：此题主要考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据已知得出=是解题关键．三、解答题19．（6分）计算：cos60°+sin45°•tan30°．考点：特殊角的三角函数值．专题：探究型．分析：先根据把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可．解答：解：原式=﹣×+•，=2﹣+，=+．故答案为：+．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值、二次根式的化简、实数的运算，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点F在AD边上，BA的延长线交CF的延长线于点E，EC交BD于点M，求证：CM2=EM•FM．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：首先利用AB∥CD，AD∥BC，得出△BEM∽△CDM，△BMC∽△DMF，进而利用相似三角形的性质得出比例式之间关系，求出即可．解答：证明：∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴△BEM∽△CDM，△BMC∽△DMF，∴=，=，∴=，∴CM2=EM•FM．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用平行得出△BEM∽△CDM，△BMC∽△DMF是解题关键．21．（6分）已知非零向量，，（1）求作：；（2）求作向量分别在，方向上的分向量．注：不写作法，但须说明结论．考点：*平面向量．分析：（1）将平移到如图所示的位置，可求出：=；（2）将平移到如图所示的位置，然后分别过向量b方向及向量a向量方向上的垂线，则可得出向量分别在，方向上的分向量．解答：解：（1）作图如下：就是所作的；（2）作图如下：向量分别在，方向上的分向量分别为：、．点评：本题考查了向量的知识，注意在作图的时候先平移，使进行计算的两个向量有公共点，这样就方便求解了．22．（6分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，DC=5，梯形ABCD的面积S ABCD=16，求∠B的余切值．考点：梯形；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC交BC于E，F点，根据已知梯形面积和梯形的面积公式求出AE的长，由勾股定理求出CF的长，进而求出BE，利用余切的定义即可求出∠B的余切值．解答：解：过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC交BC于E，F点，∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形，∴AE=DF，AD=EF，∵梯形ABCD的面积S ABCD=16，∴16=，∵AD=2，BC=6，∴AE=4，∴DF=AE=4，在Rt△DEC中，DC=5，由勾股定理得CF=3，∴BE=BC﹣EF﹣CF=6﹣3﹣2=1，∴∠B的余切值=．点评：本题主要考查对梯形、矩形．勾股定理等知识点的理解和掌握，把梯形转化成矩形和直角三角形是解此题的关键．题型较好．23．（6分）如图，点P是等腰△ABC的底边BC上的点，以AP为腰在AP的两侧分别作等腰△AFP和等腰△AEP，且∠APF=∠APE=∠B，PF交AB于点M，PE交AC于点N，连接MN．求证：MN∥BC．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由已知条件可以得出AF=AP，∠F=∠APN，∠FAM=∠PAN，可以得出△AFM≌△APN，得到AM=AN，从而得出结论．解答：证明：∵△ABC、△AFP和△AEP是等腰三角形，∴AF=AP，∠F=∠APN，∠FAM=∠PAN，在△AFM和△APN中，∵∴△AFM≌△APN（ASA），∴AM=AN．∴∠AMN=∠B，∴MN∥BC．点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质的运用．24．（8分）在△ABC中，AC=2，AB=3，BC=4，点D在BC边上，且CD=1（1）求AD的长；（2）点E是AB边上的动点（不与A、B重合）连接ED，作射线DF交AC边于点F，使∠EDF=∠BDA．请补全图形，说明线段BE与AF的比值是否为定值？请证明你的结论．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）利用两边对应成比例且夹角相等得出△ADC∽△BAC，即可求出AD的长；（2）利用已知得出∠BDE=∠ADF以及∠B=∠DAF，即可求出△BDE∽△ADF，进而利用对应边关系得出BE与AF的比值．解答：（1）解：在△ADC和△BAC中，∵∠C=∠C，==，∴△ADC∽△BAC，∴=，∵AB=3，∴AD=1.5；（2）如图所示：线段BE与AF的比值为定值2，证明：∵∠EDF=∠BDA，∴∠BDE=∠ADF，∵△ADC∽△BAC，∴∠B=∠DAF，∴△BDE∽△ADF，∴=，∵BC=4，CD=1，AD=1.5，∴===2．∴线段BE与AF的比值为定值2．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质得出是解题关键．25．（8分）如图，tan∠MAB=2，AB=6，点P为线段AB上一动点（不与点A、B重合）．过点P作AB的垂线交射线AM于点C，连接BC，作射线AD交射线CP于点D，且使得∠BAD=∠BCA，设AP=x（1）写出符合题意的x的取值范围；（2）点N在射线AB上，且△ADN∽△ABC，当x=2时，求PN的长；（3）试用x的代数式表示PD的长．考点：相似形综合题．分析：（1）由于点P为线段AB上一动点（不点A、B重合），则有0＜x＜6；（2）由于△ADN∽△ABC，根据相似的性质得∠AND=∠ACB，而∠BAD=∠BCA，则∠AND=∠NAD，又DP⊥AN，可判断△DAN为等腰三角形，根据其性质有PN=PA=2；（3）如左图过B点作BE⊥AC于点E，在Rt△ABE中，利用三角函数的定义tan∠EAB==2，得到BE=2AE，再利用勾股定理可计算出AE=，则BE=，在Rt△APC中运用同样的方法得到CP=2AP=2x，AC=x，则CE=AC﹣AE=x﹣，再利用∠BAD=∠BCA可证得Rt△APD∽Rt△CEB，根据相似的性质得到=，即=，即可求出AD．解答：解：（1）x的取值范围为：1.2＜x＜6；（2）如右图，∵△ADN∽△ABC，∴∠AND=∠ACB，∵∠BAD=∠BCA，∴∠AND=∠NAD，∵DP⊥AN，∴△DAN为等腰三角形，∴PN=PA，当x=2时，PN=2；（3）如左图，过B点作BE⊥AC于点E，在Rt△ABE中，AB=6，∵tan∠EAB==2，∴BE=2AE，∵AE2+BE2=AB2，∴AE2+4AE2=36，解得AE=，∴BE=，在Rt△APC中，AP=x，∵tan∠CAP==2，∴CP=2AP=2x，∴AC==x，∴CE=AC﹣AE=x﹣，∵∠BAD=∠BCA，∴Rt△APD∽Rt△CEB，∴=，即=，∴PD=．点评：本题考查了相似形综合题：运用相似比和勾股定理进行几何计算是常用的方法；理解三角函数值的定义和等腰三角形的判定与性质．参与本试卷答题和审题的老师有：CJX；gsls；HJJ；zcx；wdxwwzy；yangwy；dbz1018；zjy011；ZHAOJJ；fxx；sd2011；gbl210；星期八；zhangCF；caicl（排名不分先后）菁优网2013年10月11日。
2023-2024学年上海市杨浦区九年级上学期期中考试数学试卷含详解
2023学年度第一学期初三期中学业质量调研数学学科（测试时间：90分钟，满分：100分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.如果32a b =（a 、b 均不为零），那么下列四个结论中，正确的是（）A.32a b = B.23a b = C.35a b = D.25a b =2.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5B =，那么下列结论正确的是（）A.3sin 4A =B.4cos 5A =C.4tan 5A =D.cot 34A =3.下列两个三角形不一定相似的是（）A.有一个内角是30︒的两个等腰三角形B.有一个内角是60︒的两个等腰三角形C.有一个内角是90︒的两个等腰三角形D.有一个内角是120︒的两个等腰三角形4.下列说法中，正确的是（）A.如果a 和b 是相反向量，那么0a b +=rr B.如果a 和b 是平行向量，那么a b=C.如果a b =，那么a b=D.如果2a b = （b为非零向量），那么a b∥5.已知点D 、E 分别在ABC 边BA 、CA 的延长线上，下列条件中一定能判断DE BC ∥的是（）A.::AD AB DE BC =B.::AD AB AE EC =C.::AD AB AE AC= D.::AD AC AE AB=6.如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，四边形DEGF 是平行四边形，点F 、G 在边BC 上，AN DF ∥交BC 于点N ．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①1BF NGBN CN+=；②1DE DFBC AN+=．那么下列说法中，正确的是（）A .①正确②错误B.①错误②正确C.①、②皆正确D.①、②皆错误二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.已知35x y =，那么y x y-=___________．8.已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），若6AP =，则BP =______9.已知向量a 与单位向量e 方向相反，且5a = ，那么a =___________．（用向量e 的式子表示）10.如果两个相似三角形对应边之比是2:3，且较小的三角形的周长是12，那么较大三角形的周长是___________．11.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，26AB =，5tan 12A =，那么BC =___________．12.如图，已知123l l l ∥∥，6AC =，8DF =，2AB =，那么EF =___________．13.如图，是洞孔成像原理的示意图，物体AB 平行物像CD ，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 长8cm ，那么物像CD 的长度是___________cm．14.已知点G 是ABC 的重心，过点G 作DE BC ∥，分别交边AB 、AC 于点D 、E ，那么ADEDBCES S △四边形的值是___________．15.已知在ABC 与DEF 中，40A ∠=︒，50D ∠=︒，90E ∠=︒，且AB FEAC FD=，那么B ∠=___________度．16.如图，已知在ABC 中，点D 在边AB 上，3AC AD BD ==，DCB A ∠=∠，那么cos ACD ∠的值是___________．17.在ABC 中，10BC =D 是边BC 上的一点，线段AD 将ABC 分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段AD 的长是___________．18.如图，已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，4BC =，点D 是边AC 上一点，将BCD △沿着BD 翻折，点C 落在点E 处，连接AE ，如果AE BD ，设DE 与边AB 交于点F ，那么AFBF的值是___________．三、解答题：（本大题共7题，满分46分）19.计算：22cos 453tan302sin60cot452︒-︒︒-︒．20.如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，BE 和AC 交于点F ，设AB a =，AD b =．（1）用向量a 、b 表示向量BF，即BF = ___________；（2）在图中分别作出向量AF 在a 、b方向上的分向量（不要求写做法，但要指出所作图中表示结论的向量）．21.如图，在ABC 中，点D 是边BC 上一点，DE 分别交BA 延长线、边AC 于点E 、F ，AH BC ∥，交DE 于点H ，EH FD HF ED ⋅=⋅，求证：CD BD =．22.如图，已知在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点D 是边AC 的中点，连接BD ，求DBC ∠的正弦值．23.已知：如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE BC ∥，EB 平分DEC ∠．（1）求证：AE ABED BD=；（2）如果22BE AEBC AC=，求证：ABE ACB ∽．24.已知：如图，在ABC 中，点P 是边BC 上的一点，连接AP ，2CABP ACP AB S S S ⋅=△△△（1）求证：2BP CP BC =⋅；（2）过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，4BD DC =，点E 在边AB 上，BDE ABP S S =△△，求BEAB的值．25.如图，已知在ABC 中，4AB AC ==，30C ∠=︒，点D 、E 在边BC 上（点E 在点D 右侧，点D 不与点B 重合），DAE C ∠=∠，过点B 作BF AC ∥，交AD 的延长线于点F ．（1）当AF BC ⊥时，求线段CE 的长；（2）设CE x =，BF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）连接CF ，如果CDF 与ABD △相似，求BF 的长．2023学年度第一学期初三期中学业质量调研数学学科一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.如果32a b =（a 、b 均不为零），那么下列四个结论中，正确的是（）A.32a b = B.23a b = C.35a b = D.25a b =【答案】B【分析】将四个选项的比例式都转化成等积式，看哪一个结果为32a b =，即可选出正确答案．【详解】A 、将32a b =转化成等积式为23a b =；B 、将23a b =转化成等积式为32a b =；C 、将35a b =转化成等积式为53a b =；D 、将将25a b =转化成等积式为52a b =．故选：B【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，若a c b d =，则ad bc =．反之，若ad bc =，则a cb d=．熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．2.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5B =，那么下列结论正确的是（）A.3sin 4A = B.4cos 5A =C.4tan 5A =D.cot 34A =【答案】D【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解．【详解】解：如图，∵3sin 5AC B AB ==，∴可设3,5AC x AB x ==，∴4BC x =，A 、44sin 55BC x A AB x ===，故本选项错误，不符合题意；B 、3cos 553AC x A AB x ===，故本选项错误，不符合题意；C 、44tan 33BC x A AC x ===，故本选项错误，不符合题意；D 、cot 3344A AC x BC x ===，故本选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.下列两个三角形不一定相似的是（）A.有一个内角是30︒的两个等腰三角形B.有一个内角是60︒的两个等腰三角形C.有一个内角是90︒的两个等腰三角形D.有一个内角是120︒的两个等腰三角形【答案】A【分析】根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定方法分别判断得出答案．【详解】解：A 、有一个内角是30︒的两个等腰三角形，因为30︒是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意；B 、有一个内角是60︒的两个等腰三角形都是等边三角形，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意；C 、有一个内角是90︒的两个等腰三角形是等腰直角三角形，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意；D 、有一个内角是120︒的两个等腰三角形，则底角均为30︒，则两个三角形一定相似，故此选项不符合题意；故选：A【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的最常用的方法判断方法是解题的关键．4.下列说法中，正确的是（）A.如果a 和b 是相反向量，那么0a b +=rr B.如果a 和b 是平行向量，那么a b=C.如果a b =，那么a b=D.如果2a b = （b为非零向量），那么a b∥【答案】D【分析】根据向量的定义与性质，逐一对选项判断即可．【详解】解：A 、相反向量的和为零向量，而不是数字0，故本选项不符合题意；B 、平行向量为方向相同或相反，模不一定相等，故本选项不符合题意；C 、两个向量的模相等，不能保证方向相同，故本选项不符合题意；D 、两个向量方向相同，所以是平行向量，故本选项符合题意；答案：D ．【点睛】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键．5.已知点D 、E 分别在ABC 边BA 、CA 的延长线上，下列条件中一定能判断DE BC ∥的是（）A.::AD AB DE BC =B.::AD AB AE EC =C.::AD AB AE AC =D.::AD AC AE AB=【答案】C【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，推出ADE ABC △△∽，进而推出D B ∠=∠或E C ∠=∠即可判断．【详解】解：如图：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，∵DAE BAC ∠=∠，要使三角形ADE ABC △△∽，∴AD AEAB AC=，即：::AD AB AE AC =．故选：C ．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定、平行线的判定，解题的关键是两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．6.如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，四边形DEGF 是平行四边形，点F 、G 在边BC 上，AN DF ∥交BC 于点N ．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①1BF NGBN CN+=；②1DE DFBC AN+=．那么下列说法中，正确的是（）A.①正确②错误B.①错误②正确C.①、②皆正确D.①、②皆错误【答案】C【分析】证明BDF BAN ∽△△和CEG CAN ∽△△，推出BF DF BN AN =，CG EGCN AN =，据此计算可证明①正确；再证明ADE ABC △△∽，ADH ABN ∽△△，推出DE AHBC AN=，可证明②正确．【详解】解：∵四边形DEGF 是平行四边形，∴DF EG =，DE FG ∥，DF EG ∥，∵AN DF ∥，∴EG AN ∥，∵AN DF ∥，∴BDF BAN ∽△△，∴BF DFBN AN=，∵EG AN ∥，∴CEG CAN ∽△△，∴CG EG CN AN =，即CN NG EGCN AN -=，∴1NG EG CN AN -=，即1NG EGCN AN =-，∴11BF NG DF EGBN CN AN AN+=+-=，故①正确；设AN 交DE 于点H ，∵四边形DEGF 是平行四边形，AN DF ∥，∴DF HN =，∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，ADH ABN ∽△△，∴DE AD BC AB=，AD AHAB AN =，∴DE AHBC AN=，∴1DE DF DF BC AN AN AH AH HNAN AN=++=+=，故②正确；故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质以及等量代换是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.已知35x y =，那么y x y-=___________．【答案】25##0.4【分析】由35x y =，根据比例的性质，即可求得y x y-的值．【详解】解：35x y =，53255y x y --∴==，故答案为：25．【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．8.已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），若6AP =，则BP =______【答案】3-##3-+【分析】根据黄金分割的定义列出方程即可求出结论．【详解】解：根据黄金分割的定义，得2AP AB BP =⋅，即()266BP BP =+⋅，整理得：26360BP BP +-=，解得3BP =-+3--（不符合实际，舍去），因此3BP =，故答案为：3-．【点睛】本题考查黄金分割点，掌握黄金分割的定义是解题的关键．9.已知向量a 与单位向量e 方向相反，且5a = ，那么a =___________．（用向量e 的式子表示）【答案】5e-【分析】根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案.【详解】∵向量a 与单位向量e 方向相反，且5a =5.a e ∴=- 故答案为：5.e -【点睛】此题考查了平面向量的知识.此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义.10.如果两个相似三角形对应边之比是2:3，且较小的三角形的周长是12，那么较大三角形的周长是___________．【答案】18【分析】根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形对应边之比是2:3，且较小的三角形的周长是12，∴较大三角形的周长312182=⨯=，故答案为：18．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形周长比等于相似比．11.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，26AB =，5tan 12A =，那么BC =___________．【答案】10【分析】设5BC x =，则12AC x =，求出13AB x =，然后解出x 的值即可解题．【详解】解：∵5tan 12BC A AC ==，设5BC x =，则12AC x =，∴1326AB x ====，解得：2x =，∴510BC x ==，故答案为：10．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．12.如图，已知123l l l ∥∥，6AC =，8DF =，2AB =，那么EF =___________．【答案】163##153【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．【详解】解：∵123l l l ∥∥，∴AB DE AC DF =，即268DE =，解得：83DE =，∴816833EF DF DE =-=-=，故答案为：163．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．13.如图，是洞孔成像原理的示意图，物体AB 平行物像CD ，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 长8cm ，那么物像CD 的长度是___________cm ．【答案】165【分析】根据AB CD ，可得ABO CDO ∽△△，再由8cm AB =，即可求出CD ．【详解】解：∵AB CD ，∴ABO CDO ∽△△，∴156AB CD =，又∵8cm AB =，∴16cm 5CD =．故答案为：165．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛．14.已知点G 是ABC 的重心，过点G 作DE BC ∥，分别交边AB 、AC 于点D 、E ，那么ADEDBCES S △四边形的值是___________．【答案】45##0.8【分析】延长AG 交BC 于H ．由点G 是ABC 的重心，推出:2:1AG GH =，则:2:3AG AH =，由DE BC ∥，推出ADE ABC △△∽，23AG AD AH AB ==，可得24()=9ADE ABC S AD S AB = ，得到4=9ADE ABC S S ，5=9ABC DBCE S S 四边形，即可解决问题．【详解】解：如图，延长AG 交BC 于H．∵点G 是ABC 的重心，∴:2:1AG GH =，∴:2:3AG AH =，∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，23AG AD AH AB ==，∴24()=9ADE ABC S AD S AB = ，∴4=9ADE ABC S S ，5=9ABC ADE ABC DBCE S S S S -= 四边形，∴45ADEDBCES S =△四边形，故答案为：45【点睛】本题考查三角形的重心，平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.已知在ABC 与DEF 中，40A ∠=︒，50D ∠=︒，90E ∠=︒，且AB FEAC FD=，那么B ∠=___________度．【答案】90【分析】先根据三角形的内角和得到F A ∠=∠，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到ABC FED ∽，最后由相似三角形的性质求出B ∠的度数即可．【详解】解：∵50D ∠=︒，90E ∠=︒，∴180180905040F E D ∠=︒-∠-∠=︒=︒-︒=︒，又∵40A ∠=︒，∴F A ∠=∠，∵AB FEAC FD=，∴ABC FED ∽，∴90B E ∠=∠=︒，故答案为：90．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．16.如图，已知在ABC 中，点D 在边AB 上，3AC AD BD ==，DCB A ∠=∠，那么cos ACD ∠的值是___________．【答案】14##0.25【分析】设BD a =，则3AC AD a ==，4AB a =，然后根据相似三角形的性质得到BC BD CDAB BC AC==，解得2BC a =，32CD a =，然后过点A 作AE CD ⊥于点E ，求出CE 长，然后计算解题即可．【详解】设BD a =，则3AC AD a ==，∴4AB a =，又∵DCB A ∠=∠，B B ∠=∠，∴BCD BAC ∽，∴BC BD CD AB BC AC ==，即43BC a CDa BC a==，解得：2BC a =，32CD a =，过点A 作AE CD ⊥于点E ，则11332224a a CE CD ==⨯=，∴314cos 34a CE ACD AC a ∠===．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．17.在ABC 中，10BC =D 是边BC 上的一点，线段AD 将ABC 分成两个小三角形，如果这两个小三角形是相似三角形，且相似系数等于2，那么线段AD 的长是___________．【答案】2105【分析】首先画出图形，然后根据相似三角形的性质得到2BD ADAD CD==，得到4BD CD =，然后结合10BC =列方程求解即可．【详解】如图所示，设BDA ADC △∽△∵相似系数等于2∴2BD ADAD CD==∴4BD CD=∵10BC BD CD =+=∴410CD CD +=解得105CD =∴21025AD CD ==故答案为：2105．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．18.如图，已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，4BC =，点D 是边AC 上一点，将BCD △沿着BD 翻折，点C 落在点E 处，连接AE ，如果AE BD ，设DE 与边AB 交于点F ，那么AFBF的值是___________．【答案】1825【分析】连接CE ，交BD 于点G ，根据折叠的性质可得CE 垂直平分BD ，,4,90CD DE BE BC BED BCD ===∠=∠=︒，再由AE BD ，可得,AE CE CDG CAE ⊥ ∽，从而得到132DE CD AD AC ====，在Rt BCD 中，根据勾股定理可得5BD =，再由1122BCD S BC CD BD CG =⨯=⨯ ，可得2425CE CG ==，从而得到185AE =，然后根据AEF BDF ∽，即可求解．【详解】解：如图，连接CE ，交BD 于点G ，∵将BCD △沿着BD 翻折，点C 落在点E 处，∴BD 垂直平分CE ，,4,90CD DE BE BC BED BCD ===∠=∠=︒，∵AE BD ，∴,AE CE CDG CAE ⊥ ∽，∴12CD CG AC CE ==，∴132DE CD AD AC ====，在Rt BCD 中，225BD BC CD =+=，∵1122BCD S BC CD BD CG =⨯=⨯ ，∴1143522CG ⨯⨯=⨯⨯，解得：125CG =，∴2425CE CG ==，∴22185AE AC CE =-=，∵AE BD ，∴AEF BDF ∽，∴1825AF AE BF BD ==．故答案为：1825【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠问题是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分46分）19.计算：22cos 453tan302sin60cot452︒-︒︒-︒．【答案】12【分析】将特殊三角函数值代入，利用有理数混合运算法则求解即可．【详解】解：原式2222311232222⎛⨯=⨯==-．【点睛】本题主要考查了特殊三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值，结合有理数的混合运算法则．20.如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，BE和AC交于点F，设AB a=，AD b=．（1）用向量a、b表示向量BF，即BF=___________；（2）在图中分别作出向量AF在a、b方向上的分向量（不要求写做法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【答案】（1）2133b a-（2）见解析【分析】（1）先根据平行四边形的法则得到DC AB a==，BC AD b==，进而求得1122EC DC a==uu u r uuu r r，再根据三角形法则求得12BE BC EC b a=-=-uu u r uu u r uu u r r r，证明CEF ABF△∽△，利用相似三角形的性质得到23BF BE=，进而可求解；（2）过F作FN AB∥，FM AD∥，分别交AD、AB于N、M，则AM、AN分别为AF在AB、AD方向上的分向量．【小问1详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD AB∥，CD AB=，AD BC∥，AD BC=，∴DC AB a==，BC AD b==，∵点E是边CD的中点，∴1122EC DC AB==，则1122EC DC a==uu u r uuu r r，∴12BE BC EC b a=-=-uu u r uu u r uu u r r r，∵CE AB∥，∴ECF BAF∠=∠，又EFC BFA ∠=∠，∴CEF ABF △∽△，∴12EF CE BF AB ==，∴23BF BE =，∴2212133233BF BE b a b a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭uu u r uu u r r r r r ，故答案为：2133b a -；【小问2详解】解：如图，过F 作FN AB ∥，FM AD ∥，分别交AD 、AB 于N 、M ，则AM 、AN分别为向量AF 在a 、b方向上的分向量．【点睛】本题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21.如图，在ABC 中，点D 是边BC 上一点，DE 分别交BA 延长线、边AC 于点E 、F ，AH BC ∥，交DE 于点H ，EH FD HF ED ⋅=⋅，求证：CD BD =．【答案】见解析【分析】根据AH BC ∥，得出,FAH FCD EAH EBD ∽∽，则HF AH FD CD =，EH AHED BD=，根据EH FD HF ED ⋅=⋅，得出EH HF ED FD =，则AH AHCD BD=，即可求证CD BD =．【详解】证明：∵AH BC ∥，∴,FAH FCD EAH EBD ∽∽，∴HF AH FD CD =，EH AHED BD=，∵EH FD HF ED ⋅=⋅，∴EH HFED FD =，∴AH AHCD BD=，∴CD BD =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例．22.如图，已知在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，点D 是边AC 的中点，连接BD ，求DBC ∠的正弦值．【答案】1717【分析】过点A 作AE BC ⊥于点E ，D 作DF BC ⊥于点F ，根据勾股定理求出AE 长，然后根据中点和相似三角形得到DF 和CF 长，再利用勾股定理得到BD 长求出DBC ∠的正弦值．【详解】过点A 作AE BC ⊥于点E ，D 作DF BC ⊥于点F ，∵AB AC =，∴4BE EC ==，∴3AE ===，∵AE BC ⊥，DF BC ⊥，∴90AEC DFC ∠=∠=︒，∴DF AE ，∴CDF CAE ∽，∴DF CF CDAE CE CA ==，又∵点D 是边AC 的中点，∴12DF CF CD AE CE CA ===，即1342DF CF ==，∴322DF CF ==，，∴826BF BC CF =-=-=，∴BD ===，∴17sin 17DF DBC BD ∠==．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．23.已知：如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE BC ∥，EB 平分DEC ∠．（1）求证：AE AB ED BD=；（2）如果22BE AEBC AC=，求证：ABE ACB ∽．【答案】（1）见详解（2）见详解【分析】（1）根据平行得内错角相等和对应线段成比例，又因为EB 平分DEC ∠得DEB BEC ∠=∠，有EC CB =，代换即可得出结论．（2）根据平行得同位角相等和对应线段成比例，代入22BE AE BC AC=化解得2BE DE BC =⋅，转化为DE BE BE BC =，再利用夹角相等得出DEB EBC ，进一步得到DBE C ∠=∠，根据角度相等得ABE AED △△即可得到答案．【小问1详解】证明：∵DE BC ∥，∴AB AC BD EC =，AE ACED CB=，DEB EBC ∠=∠，又∵EB 平分DEC ∠，∴DEB BEC ∠=∠，∴BEC EBC ∠=∠，则EC CB =，∴AB ACBD BC=，故AE ABED BD=．【小问2详解】∵DE BC ∥，∴AE DEAC BC=，C AED ∠=∠，又∵22BE AE BC AC=，∴2BE DE BC =⋅，则DE BEBE BC=，∵DEB EBC ∠=∠，∴DEB EBC ，∴DBE C ∠=∠，又∵C AED ∠=∠，∴DBE AED ∠=∠，∵BAE EAD ∠=∠，∴ABE AED △△，∵AED ACB △△，∴ABE ACB ，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用平行线的同位角、内错角相等，对应线段成比例性质，结合角平分线得出角度相等，等量代换有三角形相似，熟练掌握线段之间的等量代换和相似的代换是解题的关键．24.已知：如图，在ABC 中，点P 是边BC 上的一点，连接AP ，2CABP ACP AB S S S ⋅=△△△（1）求证：2BP CP BC =⋅；（2）过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，4BD DC =，点E 在边AB 上，BDE ABP S S =△△，求BEAB的值．【答案】（1）见解析（2）5558【分析】（1）根据三角形的面积直接推到即可；（2）由（1）中结论可以得到5552BP DC -=，然后利用面积可以计算出5558EF AD -=，再根据BEF BAD ∽得到结果．【小问1详解】证明：设BC 边上的高为h ，∵2C ABP ACP AB S S S ⋅=△△△∴2111222BP CP CB ⎛⎫⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，∴2BP CP BC =⋅，【小问2详解】如图，又∵4BD DC =，∴5BC DC =，由1（）可得()255BP CP BC DC CP DC =⋅=-⋅，解得：5552BP DC =或5552BP DC -=（舍去），过点E 作EF BC ⊥于点F，∵BDE ABP S S =△△，∴1122BD EF BP AD ⋅=⋅，∴5555248DC EF BP AD BD DC --===，∵AD BC ⊥，EF BC ⊥，∴90BFE ADB ∠=∠=︒∴EF AD ，∴BEF BAD ∽，∴5558BE EF BA AD ==【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形的面积，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．25.如图，已知在ABC 中，4AB AC ==，30C ∠=︒，点D 、E 在边BC 上（点E 在点D 右侧，点D 不与点B 重合），DAE C ∠=∠，过点B 作BF AC ∥，交AD 的延长线于点F ．（1）当AF BC ⊥时，求线段CE 的长；（2）设CE x =，BF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）连接CF ，如果CDF 与ABD △相似，求BF 的长．【答案】（1）433（2）803y x ⎛⎫=≤< ⎪ ⎪⎝⎭（3）CDF 与ABD △相似时，BF 的长为4或8【分析】（1）根据4AB AC ==，AF BC ⊥，得出12BD CD BC ==，30ABC C ∠=∠=︒，90ADB ADC ∠=∠=︒，根据勾股定理得出BD CD ===，求出2BC BD ==，根据直角三角形性质得出12DE AE =，根据勾股定理得出()22222DE DE -=，求出233DE =，根据234333CE CD DE =-==求出结果即可；（2）证明ADC FDB ∽，得出AC CD BF BD =，求出4BD y =+，证明ABE DBF △△∽，得出AB BE BD BF =，求出8y =，根据点D 、E 在边BC 上，点E 在点D 右侧，点D 不与点B 重合，得出0y >，0x ≥，求出8303x ≤<即可；（3）分两种情况，当CDF BDA ∽时或当CDF ADB ∽时，分别画出图形，求出结果即可．【小问1详解】解：∵4AB AC ==，AFBC ⊥，∴12BD CD BC ==，30ABC C ∠=∠=︒，90ADB ADC ∠=∠=︒，∴122AD AB ==，根据勾股定理得：BD CD ===，∴2BC BD ==∵30DAE C ∠=∠=︒，90ADE ∠=︒，∴12DE AE =，根据勾股定理得：222AE DE AD =+，即()22222DE DE -=，解得：233DE =，∴234333CE CD DE =-==；【小问2详解】解：∵BF AC ∥，∴30FBC C ∠=∠=︒，BFA CAD ∠=∠，∴ADC FDB ∽，∴AC CD BF BD=，即443BD y BD-=，解得：434BD y =+，∵在FDB △和EDA 中，30FBD DAE ∠=∠=︒，FDB ADE ∠=∠，∴BFD AED ∠=∠，∵30ABE DBF ∠=∠=︒，∴ABE DBF △△∽，∴AB BE BD BF=，∵BE BC CE x =-=，43434xyy-=+，解得：8y =，∵点D 、E 在边BC 上，点E 在点D 右侧，点D 不与点B 重合，∴0y >，0x ≥，∴80>，∴833x <，∴8303x ≤<．【小问3详解】解：当CDF BDA ∽时，如图所示：∵CDF BDA ∽，∴ABD DCF ∠=∠，∴AB CF ∥，∵BF AC ∥，∴四边形ABFC 为平行四边形，∴4BF AC ==；当CDF ADB ∽时，如图所示：∵CDF ADB ∽，∴BAD DCF ∠=∠，30CFD ABD ∠=∠=︒，AD BD CD DF=，根据解析（2）可知，ADC FDB ∽，∴AD CD DF BD =，∴AD DF CD BD =，∴BD DF DF BD =，∴BD DF =，∴30DFB DBF ∠=∠=︒，∴18090BAF ABD DBF BFD ∠=︒-∠-∠-∠=︒，∴28BF AB ==．综上分析可知，CDF 与ABD △相似时，BF 的长为4或8．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出相应的图形，并注意分类讨论．。
2020-2021学年上海市杨浦区九年级上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市杨浦区九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1. 下列四组线段中，不能成比例的是 ( )A. a =1，b =，c =，d =B. a =3，b =6，c =4，d =2C. a =4，b =6，c =5，d =10D. a =，b = ，c =2，d =2. 为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据(单位：米)，则该坡道倾斜角α的正切值是( ) A. 34 B. 43C. 35D. 453. 如图，已知M ，N 分别为AB ，AC 上的两点，且MN//BC ，AN =4CN ，若AB =10，则BM 的长为( ) A. 1B. 2C. 3D. 44. 如图，点D ，E ，F 分别在△ABC 的各边上，且DE//BC ，DF//AC ，若AE ：EC =1：2，BC =12，则DE 的长为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么DA ⃗⃗⃗⃗⃗等于( )A. 12a ⃗ −b ⃗B. b ⃗ −12a ⃗ C. 12b ⃗−a ⃗ D. a⃗ −12b ⃗ 6. 已知P 是△ABC 的边AC 上一点，连接BP ，则下列不能判定△ABP∽△ACB 的是( ) A. ∠ABP =∠CB. ∠APB =∠ABCC. AB AP =AC ABD. AB BP =AC BC 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7. 相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于______厘米．8. 如图，已知在△ABC 中，D 是边BC 的中点，点E 在边BA 的延长线上，AE =AB ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______．9. 如图，OP =1，过P 作PP 1⊥OP 且PP 1=1，由勾股定理得OP 1=√2；再过P 作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2=1，得OP 2=√3；又过P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1，得OP 3=2；…依此类推，得OP 2020= ______ ．10. 若线段AB =10，点C 是线段AB 的黄金分割点，AC <BC ，那么AC = ______ ，BC = ______ ．11.如图，AF是△ABC的高，点D、E分别在AB、AC上，且DE//BC，DE交AF于点G，若DE=6，BC=10，GF=5，则AG的长为______．12.如图，AB//CD//EF，AC=2，EC=3，BD=3，则BF=______ ．13.如图，AB//CD，GF与AB相交于点H，FE平分∠HFD，若∠EHF=50°，则∠HFE的度数为______．14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则CD为______ ．15.如图：在△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC，AD//BC，AD交BE的延长线于D，EF平分∠AED，若AB=8，AF=3，AE：ED=AF：FD，则CE=______．16.如图，∠1=∠2，请补充一个条件：______ ，使△ABC∽△ADE．17.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC=6，BD=8，则OE=______ ．18.如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以AB为边作正方形ABCD(点D、P在直线AB两侧).若AB边绕点P旋转一周，则对角线BD边扫过的面积为______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）19.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P(4,2)是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．(1)证明PA是⊙O的切线；(2)求点B的坐标．四、解答题（本大题共6小题，共41.0分）20.计算√49−√273+|1−√2|+√(−3)2．21.如图，在正△ABC中，点D是AC的中点，点E在BC上，且CEBC =13.求证：(1)△ABE∽△DCE；(2)S△DCE=6√3cm2，求S△ABC．22.已知AB⏜，通过作图，求出AB⏜的中点．23.小妍想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？24.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点．已知ADAB =AEAC=13，DE=3cm．(1)求证：DE//BC；(2)求BC的长．25.【操作发现】三角形三个顶点与重心的连线段，将该三角形面积三等分(1)如图①：△ABC中，中线AD、BE、CF相交于点G.求证：S△ABG=13S△ABC【提出问题】如图②，探究在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间的关系．(2)为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：如图③，当AP=12AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程．【问题解决】(3)推广，当AP=1nAD(n表示正整数)时，直接写出S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系；______．(4)一般地，当AP=mn AD(0≤mn≤1时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为；______．参考答案及解析1.答案：C解析：若a，b，c，d成比例，即有a：b=c：d.只要代入验证即可．解：A．，则a：b=d：c.故a，b，d，c成比例；B.2：4=3：6，则d：c=a：b.故a，b，d，c成比例；C.四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例；D.，则a：c=b：d.故a，b，d，c成比例．故选C．2.答案：A解析：试题分析：根据正切的定义，即所对的直角边与邻边的比值，即可求解．AC=3，BC=4．则tanα=ACBC =34．故选：A．3.答案：B解析：解：∵AN=4CN，∴ACCN =51，∵MN//BC，∴ABBM =ACCN，∵AB =10， ∴10BM =51， 解得：BM =2， 故选：B ．求出AC CN =51，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再求出答案即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 4.答案：D解析：解：如图，∵AE ：EC =1：2，∴AE AC =13 ∵DE//BC ，∴△ADE∽△ABC∴DE BC =AE AC ，即DE 12=13∴DE =4．故选：D ．先由AE ：EC =1：2，可得AE ：AC =1：3，再根据相似三角形性质即可求得DE ．本题考查了相似三角形判定和性质，平行线分线段成比例等，是一道基础型的几何计算题． 5.答案：D解析：解：∵D 是边BC 的中点，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ， ∴DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ +a ⃗ =a ⃗ −12b ⃗ ． 故选D ．由D 是边BC 的中点与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，即可求得DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，又由DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求得答案． 此题考查了平面向量的知识．注意数形结合思想的应用是解此题关键，还要注意向量是有方向的．解析：解：A 、∵∠A =∠A ，∠ABP =∠C ，∴△ABP∽△ACB ，故本选项错误；B 、∵∠A =∠A ，∠APB =∠ABC ，∴△ABP∽△ACB ，故本选项错误；C 、∵∠A =∠A ，AB AP =AC AB ， ∴△ABP∽△ACB ，故本选项错误；D 、根据AB BP =AC BC 和∠A =∠A 不能判断△ABP∽△ACB ，故本选项正确；故选D ．根据相似三角形的判定定理(①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似)逐个进行判断即可．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用． 7.答案：(10√5−10)解析：解：设所求边长为x ，由题意，得x 20=√5−12， 解得x =(10√5−10)cm ．故答案为(10√5−10)．由黄金矩形的定义，可知黄金矩形的宽与长之比为√5−12，设所求边长为x ，代入已知数据即可得出答案．本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．8.答案：2a ⃗ −12b ⃗ 解析：解：∵D 是边BC 的中点，∴BD =12BC ，∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ， ∵AE =AB ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −12b ⃗ ． 故答案为：2a⃗ −12b ⃗ ． 根据中点定义可得BD =12BC ，然后表示出BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用向量的三角形法则解答即可． 本题是对平面向量的考查，向量问题的求解要从向量的方向与模两个方面考虑，主要运算法则是平行四边形法则与三角形法则，本题想法把已知与所求向量转化为△BDE 中是解题的关键． 9.答案：√2021解析：解：由勾股定理得：OP 1=√2，OP 2=√3；OP 3=2；OP 4=√22+12=√5；依此类推可得OP n =√n +1，∴OP 2020=√2020+1=√2021．故答案为：√2021．首先根据勾股定理求出OP 4，再由OP 1，OP 2，OP 3的长度找到规律，进而求出OP 2020的长． 本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．10.答案：15−5√5；5√5−5解析：解：∵C 为线段AB 的黄金分割点，且AC <BC ，∴BC =√5−12AB ，AC =3−√52AB ，∵AB =10，∴BC =5√5−5，AC =15−5√5．故答案为：15−5√5；5√5−5．根据点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC <BC ，得出BC =√5−12AB ，AC =3−√52AB ，代入数据即可得出AC 的值．此题考查了黄金分割，用到的知识点是黄金分割点的概念，关键是熟记黄金比的值，列出算式． 11.答案：7.5解析：解：∵DE//BC ，∴△ADG∽△ABF ，△ADE∽△ABC ，∴AD AB =AG AF ，DE BC =AD AB ，∴AGAF =DEBC，∵DE=6，BC=10，GF=5，∴AGAG+5=610，解得：AG=7.5，故答案为：7.5．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的性质是关键．12.答案：7.5解析：解：∵AB//CD//EF，∴ACEC =BDDF，∵AC=2，EC=3，BD=3，∴23=3DF，∴DF=4.5，∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5，故答案为：7.5．由平行可得到ACEC =BDDF，代入可求得DF，则可得出BF．本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段成比例是解题的关键，注意线段的对应．13.答案：65°解析：解：∵AB//CD，∠EHF=50°，∴∠HFD=180°−∠EHF=130°，又∵FE平分∠HFD，∴∠HFE=12∠HFD=65°．故答案是：65°．根据平行线的性质求得∠HFD=130°，然后由角平分线定义可求∠HFE的度数．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．属于基础题．也考查了角平分线定义．14.答案：2.4解析：解：连接OD、OE，设CD=x，∵半圆分别与AC、BC相切，∴∠CDO=∠CEO=90°，∵∠C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∴OD=CE，OE=CD，又∵OD=OE，∴AD=AC−CD=4−x，OD=x，∵∠ADO=∠C=90°，∠DAO=∠CAB，∴△AOD∽OABC，∴ADAC =ODBC，∴4−x4=x6，解得x=2.4，∴CD=2.4故答案为2.4．连接OD、OE，先设CD=x，再证明四边形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，从而得出OD=x，AD=4−x，可证明△AOD∽△ABC，再由比例式得出OD的长即可．本题考查了切线的性质．相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题．15.答案：72解析：解：如图，作AH⊥BD于H，FM⊥BD于M，FN⊥EA于N．∵AD//BC，∴∠D=∠DBC，∵∠DBC =∠ABD ，∴∠ABD =∠D ，∴AD =AB =8，∵AF =3，∴DF =5，∵AE ：ED =AF ：FD =3：5，可以假设AE =3m ，DE =5m ，∵AE ：EC =DE ：BE ，∴EC ：BE =AE ：DE =3：5，可以假设EC =3n ，BE =5n ，∴3m +3n =8，∴m +n =83， ∴BD =5m +5n =403，∵AB =AD ，AH ⊥BD ，∴BH =DH =203，AH =√AD 2−DH 2=4√113， ∵FM//AH ，∴FM AH =DM DH =DF DA =58， ∴FM =FN =56√11，DM =256，在Rt △ANF 中，AN =√AF 2−FN 2=√32−(56√11)2=76， 在△EFN 和△EFM 中，{EF =EF FN =FM， ∴△EFN≌△EFM ，∴EN =EM ，设EN =EM =x ，∵AE ：DE =3：5，∴(76+x)：(x +256)=3：5， ∴x =103，∴AE =AN +EN =76+103=92， ∴EC =AC −AE =8−92=72．故答案为72．如图，作AH ⊥BD 于H ，FM ⊥BD 于M ，FN ⊥EA 于N.由AE ：ED =AF ：FD =3：5，可以假设AE =3m ，DE =5m ，由AE ：EC =DE ：BE ，推出EC ：BE =AE ：DE =3：5，可以假设EC =3n ，BE =5n ，得3m +3n =8，推出m +n =83，所以BD =5m +5n =403，由FM//AH ，得FM AH =DM DH =DF DA =58，求出FM =FN =56√11，DM =256，在Rt △ANF 中，利用勾股定理求出AN ，再证明EN =EM ，设EN =EM =x ，由AE ：DE =3：5，可得(76+x)：(x +256)=3：5，解方程求出x 即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16.答案：∠C =∠E 或∠B =∠ADE解析：解：∵∠1=∠2，∴∠BAC =∠DAE又∵∠C =∠E(或∠B =∠ADE)∴△ABC∽△ADE ．故答案为：∠C =∠E 或∠B =∠ADE ．再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．此题是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．17.答案：125解析：解：∵菱形ABCD 中，AC =6，BD =8，∴OA =OC =12AC =3，OB =12BD =4，AC ⊥BD ， ∴BC =√OB 2+OC 2=√42+32=5，∵OE ⊥BC ，∴S △OBC =12×OB ×OC =12×BC ×OE ， ∴OE =OB×OC BC=4×35=125， 故答案为：125．先由菱形的性质得OA =OC =12AC =3，OB =12BD =4，AC ⊥BD ，再由勾股定理求出BC 的长，然后由面积法可求OE 的长．本题考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．18.答案：84π解析：解：连接PD，过点P作PE⊥CD与点E，PE交AB于点F，则BD边扫过的面积为以PD为外圆半径、PB为内圆半径的圆环面积，如图所示∵PE⊥CD，AB//CD，∴PF⊥AB．又∵AB为⊙P的弦，∴AF=BF，∴DE=CE=12CD=12AB=3，在Rt△PFB中，易知AF=BF=3，∵PB=5，∴PF=4，∵EF=6，∴PE=10，在Rt△PDE中，PD2=PE2+DE2=109，∴BD边扫过的面积为π(PD2−PB2)=84π．故答案为：84π．连接PD，过点P作PE⊥CD与点E，PE交AB于点F，则CD边扫过的面积为以PD为外圆半径、PE为内圆半径的圆环面积，利用垂径定理即可得出AF=BF，进而可得出DE=CE=3，再根据圆环的面积公式结合勾股定理即可得出BD边扫过的面积．本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，结合AB边的旋转，找出BD边旋转过程中扫过区域的形状是关键．19.答案：(1)证明：∵圆O的半径为2，P(4,2)，∴AP⊥OA，则AP为圆O的切线；(2)解：连接OP，OB，过B作BQ⊥OC，∵PA、PB为圆O的切线，∴∠APO=∠BPO，PA=PB=4，∵AP//OC，∴∠APO=∠POC，∴∠BPO=∠POC，∴OC=CP，在Rt△OBC中，设OC=PC=x，则BC=PB−PC=4−x，OB=2，根据勾股定理得：OC2=OB2+BC2，即x2=4+(4−x)2，解得：x=2.5，∴BC=4−x=1.5，∵S△OBC=12OB⋅BC=12OC⋅BQ，即OB⋅BC=OC⋅BQ，∴BQ=2×1.52.5=1.2，在Rt△OBQ中，根据勾股定理得：OQ=√OB2−BQ2=1.6，则B坐标为(1.6,−1.2)．解析：(1)由AO=2，P的纵坐标为2，得到AP与x轴平行，即PA与AO垂直，即可得到AP为圆O的切线；(2)连接OP，OB，过B作BQ垂直于OC，由切线长定理得到PA=PB=4，PO为角平分线，进而得到一对角相等，根据AP与OC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到OC=CP，设OC=x，BC=BP−PC=4−x，OB=2，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OC与BC的长，在直角三角形OBC中，利用面积法求出BQ的长，再利用勾股定理求出OQ的长，根据B在第四象限，即可求出B的坐标．此题考查了切线的性质与判定，坐标与图形性质，勾股定理，三角形的面积求法，平行线的性质，以及切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解本题的关键．20.答案：解：√49−√273+|1−√2|+√(−3)2=7−3+√2−1+3=6+√2．解析：直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.答案：(1)证明：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C，AB=AC．∵点D是AC的中点，∴AC=2CD．∵=，∴BE=2CE．∴==．∴△ABE∽△DCE．(2)解：∵△ABE∽△DCE，∴S△ABE=()2×S△DCE=4×6=24cm2，又∵AD=DC且△AED与△EDC具有相同的高和底，∴S△AED=S△EDC=6cm2∴S△ABC=S△ABE+S△DCE+S△AED=24++=cm2．解析：试题分析：(1)由题意可以得出∠B=∠C=60°，又==，所以=2，又点D是AC的中点，即：===，所以△ABE∽△DCE；(2)由(1)知△ABE∽△DCE，由相似三角形的性质(相似三角形的面积之比等于边之比的平方)可得S△ABE=()2×S△DCE=4×6=cm2，又AD=DC且△AED与△EDC具有相同的高和底，所以S△AED=S△EDC=6cm2，S△ABC=S△ABE+S△DCE+S△AED，代入求值．22.答案：解：如图，点C即为AB⏜的中点．解析：根据垂径定理即可画图，进而求出AB⏜的中点．本题考查了作图−复杂作图、垂径定理、圆心角、弧弦的关系，解决本题的关键是掌握垂径定理．23.答案：解：设两段彩带长分别为xcm和(72−x)cm，设：两个正方形面积和为y，则y=(14x)2+(72−x4)2=18x2−9x+324，∵−18<0，故y有最小值，当x=−b2a=−−92×18=36时，y的最小值为162；故当把彩带平均分为两段时，两个正方形的面积和最小，此时的面积和为162cm2．解析：通过设两段彩带长为xcm和(72−x)cm，根据正方形的面积公式列出函数表达式，即可求解．此类题目涉及到最值，它的解决需建立二次函数的关系式，然后利用函数在对称轴处取得最小值求解．24.答案：(1)证明：∵，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵DE=3cm，∴BC=9cm．解析：(1)由ADAB =AEAC=13，∠A=∠A，根据由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，即可证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠ADE=∠B，又由同位角相等，两直线平行即可证得DE//BC；(2)由相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长．25.答案：S△PBC=1n S△DBC+n−1nS△ABC S△PBC=mnS△BDC+n−mnS△ABC解析：(1)证明：如图①中，∵BD=CD，∴S△ABD=12S△ABC，∵G是重心，∴AG=2DG，∴S△ABG=23S△ABD=13S△ABC．(2)解：结论：S△PBC=12S△DBC+12S△ABC．理由：如图③中，∵AP=12AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=12S△ABD．∵PD=AD−AP=12AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=12S△CDA．∴S△PBC=S四边形ABCD−S△ABP−S△CDP=S四边形ABCD −12S△ABD−12S△CDA=S四边形ABCD −12(S四边形ABCD−S△DBC)−12(S四边形ABCD−S△ABC)=12S△DBC+12S△ABC．(3)解：结论：S△PBC=1n S△DBC+n−1nS△ABC；理由：∵AP=1nAD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=1nS△ABD．又∵PD=AD−AP=n−1nAD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=n−1nS△CDA∴S△PBC=S四边形ABCD−S△ABP−S△CDP=S四边形ABCD −1nS△ABD−n−1nS△CDA=S四边形ABCD −1n(S四边形ABCD−S△DBC)−n−1n(S四边形ABCD−S△ABC)=1n S△DBC+n−1nS△ABC．∴S△PBC=1n S△DBC+n−1nS△ABC，故答案为：S△PBC=1n S△DBC+n−1nS△ABC．(4)解：结论：S△PBC=mn S△DBC+n−mnS△ABC．理由是：∵AP=mnAD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=mnS△ABD．又∵PD=AD−AP=n−mnAD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=n−mnS△CDA．∴S△PBC=S四边形ABCD−S△ABP−S△CDP，=S四边形ABCD −mnS△ABD−n−mnS△CDA，=S四边形ABCD −mn(S四边形ABCD−S△BDC)−n−mn(S四边形ABCD−S△ABC)，=mn S△BDC+n−mnS△ABC，∴S△PBC=mn S△BDC+n−mnS△ABC，故答案为：S△PBC=mn S△BDC+n−mnS△ABC，(1)利用三角形的中线的性质，解决问题即可．(2)结论：S△PBC=12S△DBC+12S△ABC.根据S△PBC=S四边形ABCD−S△ABP−S△CDP=S四边形ABCD−1 2S△ABD−12S△CDA=S四边形ABCD−12(S四边形ABCD−S△DBC)−12(S四边形ABCD−S△ABC)化简计算即可．(3)根据AP=1n AD，△ABP和△ABD的高相等，得到S△ABP=1nS△ABD，PD=AD−AP=n−1nAD，根据△CDP和△CDA的高相等，得到S△CDP=n−1nS△CDA，整理即可；(4)与(3)的解答方法类似，计算即可．本题属于三角形综合题，考查了三角形的重心，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，属于中考常考题型．。
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初三数学第 1 页 共4 页2010学年度第一学期期中质量抽测初 三 数 学（满分：100分 完卷时间：90分钟）2010.11一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．若，则下列比例式正确的是…………………………………………………（mn pq =）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）．m p n q =q pn m=n p q m =n p m q =2．如图1，，下列比例式中正确的是………………………………………（123//// ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）．AD CE BC DF =AD DF BC CE =AB CD CD EF =AD BCBE AF=3．如图2，△ABC 中，DE //BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果，ADE BCED S S ∆=四边形那么下列等式成立的是…………………………………………………………………（）（A ）；（B ）；:1:2DE BC =:1:3DE BC =（C ）；（D ）:1:4DE BC =:DE BC =4．如果，那么下列结论正确的是…………………………………………（AB CD =）（A ）；（B ）；（C ）；AC DB = AC BD =AD BC = （D ）．AD CB = 5． 如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =，CD ⊥AB 于D ，下列式子正确的是………（90︒）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）sin BDA BC=cos ACA AD=cot ADA BC=．tan CDA AB=6．下列各组图形必相似的是……………………………………………………………（）（A ）任意两个等腰三角形；（B ）有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形；（C ）两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形；初三数学第 2 页 共4 页（D ）两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形．二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．线段4和9的比例中项是．8．如果，，那么 ． 235a b c==24a b c +-=a =9．点P 为线段AB 的黄金分割点（PA ＞PB ），则关于PA 、PB 、AB 的比例式是 ．10．等腰直角三角形斜边上的高与直角边之比为．11．在△ABC 中，若中线AD 和中线CE 相交于G ，则．=AD AG :12．线段AB 与CD 交于点O ，若AB =3AO ，则当CO :DO 的值为时，线段AC//BD ．13．三角形的周长是a ，三边中点连线所组成的三角形的周长是．14．化简：= ．113232a b a b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．已知，如果，那么 ．090α︒<<︒2sin 3α=tan α=16．如图4，矩形DEFG 内接于△ABC ，BC =6cm ，DE =3cm ，EF =2cm ，则BC 边上的高的长是．17．如图5，梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、DB 交于点O ，如果S △AOD ∶S △ABD =2∶5，那么S △AOD ∶S △BOC =．18．若△ABC ∽△DEF ，且∠A =∠E ，AB =DF =6，BC =5，AC =4，则DE =．123ABC DE F （图1）（图2）(图4)BCDB(图5)A（图3）初三数学第 3 页 共4 页三、解答题（本大题共7题，满分46分）19．（本题满分5分）如图6，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE //CD 交CA 延长线于点E 。
2020-2021学年上海市浦东新区九年级(上)期中数学试卷 解析版
2020-2021学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共6小题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值为（）A．B．C．D．2．已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（）A．4：9B．2：3C．8：18D．16：813．已知，下列说法中，错误的是（）A．B．C．D．4．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（）A．B．C．D．5．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．6．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（）A．50m B．100m C．150m D．200m二、填空题7．如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，那么从目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为．8．如果向量与单位向量方向相反，且长度为2，那么用向量表示＝9．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2cm，则AC＝cm．10．如果，那么用表示．11．已知梯形的上下两底长度为4和6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是．12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么边AB上的高为．13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝（结果保留根号）14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC＝2BE，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为．15．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝．16．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC ＝4，那么sin∠AOE＝．17．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x 轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是．18．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为．三、解答题（本大题共7题，满分78题）【请将解题过程写在答题纸的相应位置】19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．20．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．21．（10分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB＝1：3，设＝，＝．（1）用向量、分别表示下列向量：＝，＝，＝；（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果）22．（10分）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G．（1）求证：∠CDF＝∠DAE；（2）如果DE＝CE，求证：AE＝3EG．24．（12分）如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）求sin∠BAC的值．（2）若点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标．（3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC比AB大3，sin B＝，点G是△ABC 的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC 于点Q．（1）求AG的长；（2）当∠APQ＝90°时，直线PG与边BC相交于点M．求的值；（3）当点Q在边AC上时，设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．2020-2021学年上海市浦东新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值为（）A．B．C．D．【分析】锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，据此进行计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tan A＝＝．故选：C．2．已知两个相似三角形的周长比为4：9，则它们的面积比为（）A．4：9B．2：3C．8：18D．16：81【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为4：9，∴两个相似三角形的相似比为4：9，∴两个相似三角形的面积比为16：81，故选：D．3．已知，下列说法中，错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质（合分比定理）来解答．【解答】A、如果，那么（a+b）：b＝（c+d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确；B、如果a：b＝c：d那么（a﹣b）：b＝（c﹣d）：d（b、d≠0）．所以由，得，故该选项正确；C、由得，5a＝3b，所以a≠b；又由得，ab+b＝ab+a即a＝b．故该选项错误；D、由得，5a＝3b；又由得，5a＝3b．故该选项正确；故选：C．4．已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（）A．B．C．D．【分析】若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE ∥AB．【解答】解：如图，若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，即＝，＝，故选项A、B正确；＝，即＝，故选项C正确；而＝，故D选项答案错误．故选：D．5．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，因为点C是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答．【解答】解：A、＝，故本选项错误；B、＝，故本选项正确；C、+＝，故本选项错误；D、+＝，故本选项错误．故选：B．6．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（）A．50m B．100m C．150m D．200m【分析】已知了坡面长为260米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡面的铅直高度，即此人上升的最大高度．【解答】解：如图，Rt△ABC中，tan A＝，AB＝260米．设BC＝x，则AC＝2.4x，根据勾股定理，得：x2+（2.4x）2＝2602，解得x＝100（负值舍去）．故选：B．二、填空题7．如果在某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，那么从目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°．【分析】根据俯角和仰角的定义和平行线的性质即可得到目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°．【解答】解：如图，∵某建筑物的A处测得目标B的俯角为37°，∴目标B可以测得这个建筑物的A处的仰角为37°，故答案为：37°8．如果向量与单位向量方向相反，且长度为2，那么用向量表示＝﹣2【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．【解答】解：∵的长度为2，向量是单位向量，∴a＝2e，∵与单位向量的方向相反，∴＝﹣2．故答案为：﹣2．9．点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2cm，则AC＝（）cm．【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB，把AB＝2cm代入计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC＝AB，而AB＝2cm，∴AC＝×2＝（﹣1）cm．故答案为（﹣1）．10．如果，那么用表示＝．【分析】利用加减消元的思想，消去即可解决问题．【解答】解：∵，∴3+3＝6，4﹣2＝6，∴3+3＝4﹣2，∴＝，故答案为＝．11．已知梯形的上下两底长度为4和6，将两腰延长交于一点，这个交点到两底边的距离之比是2：3．【分析】首先根据题意画出图形，由题意易得△EAD∽△EBC，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得答案．【解答】解：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，∴△EAD∽△EBC，∵EN⊥BC，∴EN⊥AD，∴EM：EN＝AD：BC＝4：6＝2：3，即这个交点到两底边的距离之比是：2：3．故答案为：2：3．12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么边AB上的高为m sinαcosα．【分析】利用直角三角形中的余弦三角函数的定义求得AC的长度，然后利用三角形的面积公式求得AB边上的高的长度．【解答】解：根据题意，知AC＝m cosα，BC＝m sinα，∴AC•BC＝mh，即h＝m sinαcosα，故答案是：m sinαcosα．13．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝（结果保留根号）【分析】先根据AB＝5，∠B＝60°，求出△ABC中BC边上的高，再根据三角形的面积公式代入计算即可．【解答】解：∵AB＝5，∠B＝60°，∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝×5＝，∵BC＝8，∴S△ABC＝×8×＝10；故答案为：10．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，EC＝2BE，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2，则△AFD的面积为18．【分析】根据四边形ABCD是平行四边形得到BC∥AD，判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△AFD的面积．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∵EC＝2BE，∴BC＝3BE，即：AD＝3BE，∴S△AFD＝9S△EFB＝18．故答案为：18．15．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝4．【分析】根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B＝∠D＝90°，∠A+∠ACB＝90°∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB＝90°∴∠A＝∠ECD∴△ABC∽△CDE∴∴AB＝4．16．已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC ＝4，那么sin∠AOE＝．【分析】菱形对角线互相垂直，故AC⊥BD，根据∠OAE＝∠BAO，∠OEA＝∠AOB可以判定△OAE∽△ABO，∴∠AOE＝∠BAO，根据AO和AB的值即可求得sin∠AOE的值．【解答】解：∵菱形对角线互相垂直，∴∠OEA＝∠AOB，∵∠OAE＝∠BAO，∴△OAE∽△ABO，∴∠AOE＝∠ABO，∵AO＝AC＝2，AB＝6，∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝＝．故答案为：．17．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x 轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是（﹣1，0）或（3，0）．【分析】已知tan∠ABO＝2就是已知一次函数的一次项系数是或﹣．根据函数经过点P，利用待定系数法即可求得函数解析式，进而可得到A的坐标．【解答】解：在Rt△AOB中，由tan∠ABO＝2，可得OA＝2OB，则一次函数y＝kx+b中k＝±．∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），∴当k＝时，求可得b＝；k＝﹣时，求可得b＝．即一次函数的解析式为y＝x+或y＝﹣x+．令y＝0，则x＝﹣1或3，∴点A的坐标是（﹣1，0）或（3，0）．故答案为：（﹣1，0）或（3，0）．18．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为或．【分析】先根据勾股定理得到AC＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5，设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC 中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，∴AC＝5，∵DE∥BC，∴AD：AB＝AE：AC，即AD：AE＝AB：AC＝4：5，设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，A′C＝，∵△A′EC是直角三角形，∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C＝90°，∠BA′C＝∠ACB，A′B＝3×tan∠ACB＝，AD＝；②点A在线段AB的延长线上（）2+（5﹣x）2＝（x）2，解得x1＝4（不合题意舍去），x2＝．故AD长为或．故答案为：或．三、解答题（本大题共7题，满分78题）【请将解题过程写在答题纸的相应位置】19．（10分）计算：cos245°﹣+cot230°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝（）2﹣+（）2＝﹣+3＝．20．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB 的长，然后即可得出BE的长．【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，∴，∴DE＝9．（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，则CG＝BH＝AD＝9，∴GF＝14﹣9＝5，∵HE∥GF，∴，∵DE：DF＝2：5，GF＝5，∴，∴HE＝2，∴BE＝9+2＝11．21．（10分）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点G，AE：AB＝1：3，设＝，＝．（1）用向量、分别表示下列向量：＝，＝﹣，＝﹣；（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出画图结果）【分析】（1）根据AE＝BA即可求出，根据＝+即可求出，先证明EG＝EC，即可求出（2）首先过点G作GM∥AB，NN∥BC，根据平行四边形法则即可求得答案．【解答】解：（1）∵＝，AE＝BA，∴＝，∵＝+，EB＝﹣，＝，∴＝﹣，∵CD∥EB，∴EG：CG＝EB：CD＝4：3，∴EG：EC＝4：7，∴＝﹣，故答案分别为，﹣，﹣．（2）点G作GM∥AB交BC于M，NN∥BC交AB于N，则向量、是向量分别在、方向上的分向量．22．（10分）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x．在Rt△ACD中，sin∠A＝，AC＝＝2x，在Rt△BCD中，sin∠B＝，BC＝＝x，∵AC+BC＝2x+x＝68∴x＝≈＝20．在Rt△ACD中，tan∠A＝，AD＝＝20，在Rt△BCD中，tan∠B＝，BD＝＝20，AB＝20+20≈54，AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G．（1）求证：∠CDF＝∠DAE；（2）如果DE＝CE，求证：AE＝3EG．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到AD＝CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠DCF，推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得到∠CDF＝∠DAE；（2）过E作EH∥BF交DF于H，根据三角形中位线的性质得到EH＝CF，推出DE ＝CF＝CD＝AD，求得EH＝AD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCF，在△ADE与△DCF中，，∴△ADE≌△DCF，∴∠CDF＝∠DAE；（2）过E作EH∥BF交DF于H，∵DE＝CE，∴EH＝CF，∵△ADE≌△DCF，∴DE＝CF＝CD＝AD，∴EH＝AD，∵EH∥AD，∴△GHE∽△GDA，∴，∴AE＝3EG．24．（12分）如果，已知△ABC，A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0）．（1）求sin∠BAC的值．（2）若点P在y轴上，且△POC与△AOB相似，请直接写出点P的坐标．（3）已知点M在y轴上，如果∠OMB+∠OAB＝∠ACB，求点M的坐标．【分析】（1）由两点距离公式可求AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，由直角三角形的性质可求BH的长，即可求解；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）取OA的中点，记为点N，证明∠OMB＝∠NBA，分两种情况讨论：①当点M在点N的上方时，记为M1，因为∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，所以△ABN∽△AM1B，求出AM1＝10，又根据A（0，﹣4），所以M1（0，6）．②当点M在点N的下方时，记为M2，点M1与点M2关于x轴对称，所以M2（0，﹣6）．【解答】解：（1）∵A（0，﹣4），B（﹣2，0），C（4，0），∴AO＝4＝CO，BO＝2，AB＝2，∴BC＝6，AC＝4，∠BCA＝45°，如图1，过点B作BH⊥AC于H，∴∠BCA＝∠CBH＝45°，∴BH＝CH，∴BC＝BH＝6，∴BH＝3＝HC，∴sin∠BAC＝＝＝；（2）∵点P在y轴上，∴∠POC＝∠AOB＝90°，当时，则△AOB∽△COP，∴，∴PO＝2，∴点P（0，2）或（0，﹣2）；当时，则△AOB∽△POC，∴，∴OP＝8，∴点P（0，8）或（0，﹣8），综上所述：当点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）时，△POC 与△AOB相似；（3）如图2：取OA的中点，记为点N，∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵点N是OA的中点，∴ON＝2，又∵OB＝2，∴OB＝ON，又∵∠BON＝90°，∴∠ONB＝45°，∴∠ACB＝∠ONB，∵∠OMB+∠OAB＝∠ACB，∠NBA+∠OAB＝∠ONB，∴∠OMB＝∠NBA；①当点M在点N的上方时，记为M1，∵∠BAN＝∠M1AB，∠NBA＝∠OM1B，∴△ABN∽△AM1B∴，又∵AN＝2，AB＝2，∴AM1＝10，又∵A（0，﹣4）∴M1（0，6）．②当点M在点N的下方时，记为M2，点M1与点M2关于x轴对称，∴M2（0，﹣6），综上所述，点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC比AB大3，sin B＝，点G是△ABC 的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC 于点Q．（1）求AG的长；（2）当∠APQ＝90°时，直线PG与边BC相交于点M．求的值；（3）当点Q在边AC上时，设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．【分析】（1）根据已知条件和重心的性质得出BD＝DC＝BC，AD⊥BC，再根据sin B ＝＝，求出AB、BC、AD的值，从而求出AG的长；（2）根据∠GMD+∠MGD＝90°和∠GMD+∠B＝90°，得出∠MGD＝∠B，再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM＝CD﹣DM的值，在△ABC中，根据AA求出△QCM∽△QGA，即可求出的值；（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF，得出＝，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根据BD＝CD，求出EG ＝FG，即可得出CE+BE＝2GD，从而得出求y关于x的函数解析式并得出它的定义域．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AB＝AC，点G是△ABC的重心，∴BD＝DC＝BC，∴AD⊥BC．在Rt△ADB中，∵sin B＝＝，∴＝．∵BC﹣AB＝3，∴AB＝15，BC＝18．∴AD＝12．∵G是△ABC的重心，∴AG＝AD＝8．（2）在Rt△MDG，∵∠GMD+∠MGD＝90°，同理：在Rt△MPB中，∠GMD+∠B＝90°，∴∠MGD＝∠B．∴sin∠MGD＝sin B＝，在Rt△MDG中，∵DG＝AD＝4，∴DM＝，∴CM＝CD﹣DM＝，在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD．∵∠QCM＝∠CDA+∠DAC＝90°+∠DAC，又∵∠QGA＝∠APQ+∠BAD＝90°+∠BAD，∴∠QCM＝∠QGA，又∵∠CQM＝∠GQA，∴△QCM∽△QGA．∴＝＝．（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF．∵BE∥AD，∴＝，即＝，∴BE＝．同理可得：＝，即＝，∴CF＝．∵BE∥AD∥CF，BD＝CD，∴EG＝FG．∴CF+BE＝2GD，即+＝8，∴y＝，（0≤x≤）．。
2010-2011学年上海市杨浦区九年级(上)期中数学试卷
2010-2011学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．（3分）若mn=pq，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，ℓ1∥ℓ2∥ℓ3，下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果S△ADE=S四边形BCED，那么下列等式成立的是（）A．D E：BC=1：2 B．D E：BC=1：3 C．D E：BC=1：4 D．4．（3分）如果，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）下列各组图形必相似的是（）A．任意两个等腰三角形B．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形C．两边为4和5的直角三角形与两边为8和10的直角三角形D．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形二、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）7．（3分）线段4和9的比例中项是_________．8．（3分）如果，2a+b﹣c=4，那么a=_________．9．（3分）点P为线段AB的黄金分割点（PA＞PB），则关于PA、PB、AB的比例式是_________．10．（3分）在等腰直角三角形中，底边上的高与腰的长度之比是_________．11．（3分）在△ABC中，若中线AD和中线CE相交于G，则AG：AD=_________．12．（3分）线段AB与CD交于点O，若AB=3AO，则当CO：DO的值为_________时，线段AC∥BD．13．（3分）三角形的周长是a，三边中点连线所组成的三角形的周长是_________．14．（3分）化简：3（a﹣b）﹣2（a+b）=_________．15．（3分）已知0°＜α＜90°，如果，那么tanα=_________．16．（3分）如图，矩形DEFG内接于△ABC，BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，则BC边上的高的长是_________．17．（3分）如图，梯形ABCD对角线AC、BD交于点O，若S△AOD：S△ACD=1：4，则S△AOD：S△BOC=_________．18．（3分）若△ABC∽△DEF，且∠A=∠E，AB=DF=6，BC=5，AC=4，则DE=_________．三、解答题（共7小题，满分46分）19．（5分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于点E．求证：OC2=OA•OE．20．（5分）如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．21．（5分）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，且EF∥BD，AD=3AF，CF交BD于G，设=，=．（1）用，表示；（2）作出向量分别在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）．22．（5分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=12，CD=9，过对角线交点O作EF∥AB交AD于E，交BC于F．求EF的长．23．（6分）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D在边AB上，且BD=2AD，点E为边AC的中点，连接DE、DC．求证：AC•DE=AE•DC．24．（8分）已知△ABC中，AC=4，BC=5，AB=6．（1）如图，点D为边AC上任意一点，点E在边AB上，且△ADE与△ABC相似．①请在图中画出所有符合题意的△ADE（不必尺规作图）；②若AD=m，试用m的代数式表示AE的长；（2）点M、N分别在边AB、BC上，且△BMN与△ABC相似，若AM=x，试求当符合题意的△BMN唯一时，x 的取值范围（请写出必要的解题过程）．25．（12分）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G．（1）若，求的值；（2）连接AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；（3）连接AG，若AD=2，AB=3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长．2010-2011学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．（3分）若mn=pq，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．考点：比例的性质。
上海市杨浦区九年级上期中质量数学试题含答案解析
2022-2023上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共6小题，每题3分，共18分．1．将等式2ax=bc化成以x为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（）A．B．C．D．2．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．3．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果S△ADE=S四边形BCED，那么下列等式成立的是（）A．B．DE：BC=1：3 C．DE：BC=1：4 D．DE：BC=1：24．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．5．已知△ABC中，tanA=，下列说法正确的是（）A．tanB=2 B．tanB=C．sinA=D．sinA=6．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大共12小题，每题3分，共36分．7．已知，则的值为．8．在比例尺为1：1000000的地图上，如果点A与点B两点间的距离为2厘米，那么点A、B分别表示的两地间相距米．9．已知线段AB的长为4，点P为线段AB上的一点，如果线段AP是线段BP与线段AB的比例中项，那么线段AP的长为．10．如图，在梯形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，且AD∥BC∥EF，AE：EB=2：1，DF=8，则FC=．11．如图，点G为△ABC的重心，联结CG，则S△CDG：S△ABD=．12．已知两个相似三角形的周边长比为2：3，且其中较大三角形的面积是36，那么其中较小三角形的面积是．13．如图，如果∠EAC=∠DAB，∠C=∠D，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB=．14．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F在边AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设=，=，则用表示=．15．在△ABC中，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，那么∠C=度．16．若0°＜α＜90°，且sinα=，则cotα=．17．已知△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，如果AB=16，AC=12，DF=6，EF=4，那么BC=．18．如图，已知△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为．三、解答题：本大题共7题，共46分．19．（5分）计算：．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6．（1）求AC的长；（2）求cotB的值．21．（5分）如图，已知向量、，求作向量，使满足﹣2（﹣）=3﹣（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点F在边AD上，BA的延长线交CF的延长线于点E，EC交BD于点M，且CM2=EM•FM．求证：AD∥BC．23．（7分）如图，在矩形ABCD中，点P在边DC上，联结AP，过点A作AE⊥AP交CB的延长线于点E，联结EP交边AB于点F．（1）求证：△ADP∽△ABE；（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，过点A作直线CD的垂线交CD的延长线于点H，交CB的延长线于点M．（1）求证：AH•AB=AC•BC；（2）求证：HM•AB=CH•AM．25．（12分）如图，已知AB=5，tanB=，点P是射线BC上的一个动点（不与点B重合），作∠APD=∠B交射线AB于点D．（1）若PD⊥AB，求BP的长；（2）当点D在边AB上，且不与点B重合时，设BP=x，BD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）若△BDP是等腰三角形，求BP的长．2022-2023上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每题3分，共18分．1．将等式2ax=bc化成以x为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（）A．B．C．D．【考点】等式的性质．【分析】根据等式的性质把每个选项去分母，看看结果和2ax=bc是否相等即可．【解答】解：A、∵=，∴去分母得：2bc=ax，和2ax=bc不同，故本选项错误；B、∵=，∴去分母得：2ax=bc，和2ax=bc相同，故本选项正确；C、∵=，∴去分母得：2bc=ax，和2ax=bc不同，故本选项错误；D、∵=，∴去分母得：2ax=bc，和2ax=bc不同，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了等式的基本性质的应用，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．2．（•浦东新区期中）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【专题】常规题型．【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．【解答】解：如图，可假设DE∥BC，则可得==，==，但若只有==，并不能得出线段DE∥BC．故选D．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．3．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果S△ADE=S四边形BCED，那么下列等式成立的是（）A．B．DE：BC=1：3 C．DE：BC=1：4 D．DE：BC=1：2【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，由已知得S△ADE =S△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求对应边的比．【解答】解：∵S△ADE=S四边形BCED，∴S△ADE =S△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2==，∴DE：BC=1：．故选A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例．关键是利用平行线得出相似三角形，利用相似三角形的性质解题．4．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【考点】*平面向量；比较线段的长短．【专题】数形结合．【分析】根据题意画出图形，因为点C是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答．【解答】解：A、=，故本选项错误；B、=，故本选项正确；C、+=，故本选项错误；D、+=，故本选项错误．故选B．【点评】本题主要考查线段的中点定义，难度不大，注意向量的方向及运算法则．5．已知△ABC中，tanA=，下列说法正确的是（）A．tanB=2 B．tanB=C．sinA=D．sinA=【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1解答即可．【解答】解：∵直角顶点不确定，∴tanB不确定，∵tanA=，∴=，解得，sinA=，故选：D．【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，掌握勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．6．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】相似三角形的判定．【分析】根据三角形相似的判定方法：①两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．【解答】解：①由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；②由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；③由∠A=∠D、∠B=∠F可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；④∠E和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故错误；故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．二、填空题：本大共12小题，每题3分，共36分．7．已知，则的值为．【考点】比例的性质．【分析】设x=7a，则y=4a，代入所求的式子，然后进行化简即可求解．【解答】解：∵，∴设x=7a，则y=4a，则===．故答案是：．【点评】本题考查了分式的求值，正确理解未知数的设法是关键．8．在比例尺为1：1000000的地图上，如果点A与点B两点间的距离为2厘米，那么点A、B分别表示的两地间相距20000米．【考点】比例线段．【分析】设两地间的实际距离是x厘米，根据比例尺的性质列出方程，求出x的值，再进行换算即可得出答案．【解答】解：设两地间的实际距离是x厘米，∵比例尺为1：1000000，量得两地间的距离为2厘米，∴，解得：x=2000000，∵2000000厘米=20千米，∴两地间的实际距离是20000米．故答案为：20000【点评】此题考查了比例尺的性质．解题的关键是根据题意列出方程，还要注意统一单位．9．已知线段AB的长为4，点P为线段AB上的一点，如果线段AP是线段BP与线段AB的比例中项，那么线段AP的长为．【考点】比例线段．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据题意知，点P是线段AB的黄金分割点，则①，又∵AB=4，②BP=AB ﹣AP ，③由①②③，解得AP=； 故答案是：； 【点评】本题考查了比例线段．解答此题须理解黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．10．如图，在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、DC 上，且AD ∥BC ∥EF ，AE ：EB=2：1，DF=8，则FC= 4 ．【考点】平行线分线段成比例；梯形．【分析】由AD ∥EF ∥BC ，得==，由此即可解决问题．【解答】解：∵AD ∥EF ∥BC ，∴== ∵DF=8，∴CF=4，故答案为4．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度适中，解题的关键是注意比例变形与数形结合思想的应用．11．如图，点G 为△ABC 的重心，联结CG ，则S △CDG ：S △ABD = ．【考点】三角形的重心．【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，由此可得△ABD 的面积与△ACD 的面积相等；根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可得△CDG 的面积等于△ACD 面积的三分之一．【解答】解：∵点G 为△ABC 的重心，∴△ABD 的面积与△ACD 的面积相等，且DG=AD ，∴△CDG 的面积等于△ACD 面积的，∴△CDG 的面积等于△ABD 面积的，即S △CDG ：S △ABD =， 故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形重心性质的运用，解题时注意：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．12．（•黄浦区一模）已知两个相似三角形的周边长比为2：3，且其中较大三角形的面积是36，那么其中较小三角形的面积是 16 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的性质对应边成比例，面积比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：两个相似三角形周长的比为2：3，则相似比是2：3，因而面积的比是4：9，设小三角形的面积是4a ，则大三角形的面积是9a ， 则9a=36，解得a=4，因而较小的三角形的面积是16．故答案为：16．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．13．如图，如果∠EAC=∠DAB ，∠C=∠D ，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB= 12 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】探究型．【分析】先根据∠EAC=∠DAB 可得出∠EAC +∠BAE=∠DAB +∠BAE ，即∠DAE=∠BAC ，再由∠C=∠D 即可得出△ADE ∽△ACB ，故可得出=，再由AD=4，AE=6，AC=8即可得出AB 的长．【解答】解：∵∠EAC=∠DAB ，∴∠EAC +∠BAE=∠DAB +∠BAE ，即∠DAE=∠BAC ，∵∠C=∠D ，∴△ADE ∽△ACB ，∴=，∵AD=4，AE=6，AC=8，∴=，解得AB=12．故答案为：12．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ADE∽△ACB，再由相似三角形对应边的比相等求解是解答此题的关键．14．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F在边AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设=，=，则用表示=﹣．【考点】*平面向量；平行线的性质．【分析】由AD=DE=EB，=，可求得与，然后由三角形法则，求得，继而求得，又由△ADF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：∵AD=DE=EB，∴=3=3，=2=2，∴=+=2+，∴=﹣=﹣，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴DF：BC=AD：AB=1：3，∴==﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．15．（•浦东新区期中）在△ABC中，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，那么∠C=75度．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】探究型．【分析】先根据，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=求出∠A及∠B的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可．【解答】解：∵∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣60°=75°．故答案为：75°．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．16．若0°＜α＜90°，且sinα=，则cotα=．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据正弦与余弦之间的关系求出cosα，根据cotα=计算即可．【解答】解：∵sinα=，∴cosα==，∴cotα==，故答案为：．【点评】本题考查的是同角三角函数的关系，掌握cotα=是解题的关键．17．已知△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，如果AB=16，AC=12，DF=6，EF=4，那么BC=24或18．【考点】相似三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】根据△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，分两种情况讨论：△ABC∽△EFD，△ABC∽△EDF，分别根据对应边成比例，求得BC的长．【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，∴当△ABC∽△EFD时，=，即=，解得BC=24；当△ABC∽△EDF时，=，即=，解得BC=18．故答案为：24或18．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．18．（•滨湖区一模）如图，已知△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D是边AB上一点，DE∥BC 交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为或．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据勾股定理得到AC=5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE=AB：AC=4：5，设AD=x，则AE=A′E=x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，∴AC=5，∵DE∥BC，∴AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC=4：5，设AD=x，则AE=A′E=x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，在Rt△A′BC中，A′C=，∵△A′EC是直角三角形，∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C=90°，∠BA′C=∠ACB，A′B=3×tan∠ACB=，AD=；②点A在线段AB的延长线上（）2+（5﹣x）2=（x）2，解得x1=4（不合题意舍去），x2=．故AD长为或．故答案为：或．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的．三、解答题：本大题共7题，共46分．19．（5分）计算：．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式===7+4．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6．（1）求AC的长；（2）求cotB的值．【考点】解直角三角形．【分析】（1）根据sinA的值求出AB，根据勾股定理求出AC即可；（2）把BC和AC的值代入cotB=求出即可．【解答】解：（1）∵在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB=8，由勾股定理得：AC===2；（2）cotB===．【点评】本题考查了勾股定理和解直角三角形的应用，能根据锐角三角函数的定义正确解直角三角形是解此题的关键，难度适中．21．（5分）如图，已知向量、，求作向量，使满足﹣2（﹣）=3﹣（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）【考点】*平面向量．【分析】根据平面向量的运算法则：先去括号，再移项，系数化为1，即可求得答案．【解答】解：∵﹣2（﹣）=3﹣，∴﹣2﹣2=3﹣，∴﹣2=﹣2，解得：=﹣+．【点评】此题考查了向量的运算以及画法．此题难度不大，注意掌握平面向量的运算法则是解此题的关键．22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点F在边AD上，BA的延长线交CF的延长线于点E，EC交BD于点M，且CM2=EM•FM．求证：AD∥BC．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先利用AB∥CD，得出△BEM∽△CDM，进而利用相似三角形的性质得出比例式之间关系，求出即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴△BEM∽△CDM，∴=，∵CM2=EM•FM．∴=，∴=，∴AD∥BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用平行得出△BEM∽△CDM是解题关键．23．（7分）如图，在矩形ABCD中，点P在边DC上，联结AP，过点A作AE⊥AP交CB的延长线于点E，联结EP交边AB于点F．（1）求证：△ADP∽△ABE；（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．（2）延长AD、EP交于点M．设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，想办法求出AM、EB，由AM∥EB，得=，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠ABE=90°，∵∠EAP=∠BAD=90°，∴∠EAB=∠PAD，∵∠ABE=∠ADP，∴△ADP∽△ABE．（2）解：如图，延长AD、EP交于点M．∵AD：AB=2：3，且CP=2DP，∴可以假设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，∵△ADP∽△ABE，∴=，∴=，∴EB=3a，∵DM∥EC，∴=，∴=，∴DM=a，AM=a，∵AM∥EB，∴===．【点评】本题考查矩形的性质．相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，过点A作直线CD的垂线交CD的延长线于点H，交CB的延长线于点M．（1）求证：AH•AB=AC•BC；（2）求证：HM•AB=CH•AM．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）欲证明AH•AB=AC•BC，只要证明△CAH∽△ABC即可．=•AM•CH=•AC•CM，推出AM•CH=AC•CM，再证明△MCH∽△ABC，得到（2）由S△ACM=，推出MC•AC=AB•MH，由此即可证明．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠CAD=∠ACD，∵CH⊥AM，∴∠AHC=∠ACB=90°，∴△CAH∽△ABC，∴=，∴AH•AB=AC•BC．=•AM•CH=•AC•CM，（2）∵S△ACM∴AM•CH=AC•CM，∵CD=BD，∴∠HCM=∠ABC，∵∠CHM=∠ACB=90°，∴△MCH∽△ABC，∴=，∴MC•AC=AB•MH，∴HM•AB=CH•AM．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形面积的两种求法等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（12分）如图，已知AB=5，tanB=，点P是射线BC上的一个动点（不与点B重合），作∠APD=∠B交射线AB于点D．（1）若PD⊥AB，求BP的长；（2）当点D在边AB上，且不与点B重合时，设BP=x，BD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）若△BDP是等腰三角形，求BP的长．【考点】三角形综合题．【分析】（1）设AP=4k，根据正切的定义用k表示出BP，根据勾股定理求出AB，根据题意计算即可；（2）作AE⊥BC于E，根据相似三角形的性质列出比例式，得到y关于x的函数关系式；（3）分点D在线段AB上和点D在线段AB的延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵PD⊥AB，∠APD=∠B，∴∠APB=90°，设AP=4k，∵tanB=，∴BP=3k，由勾股定理得，AB=5k，∵AB=5，∴k=1，则BP=3k=3；（2）作AE⊥BC于E，∵AB=5，tanB=，∴AE=4，BE=3，则PE=x﹣3，由勾股定理得，AP==，∵∠APD=∠B，∠PAB=∠PAB，∴△APD∽△ABP，∴=，即（x﹣3）2+16=（5﹣y）×5，整理得，y=﹣x2+x（0＜x＜6）；（3）当点D在线段AB上，BP=BD时，x=y，即x=﹣x2+x，解得，x=1；DP=BD时，作DG⊥BP于G，则BG=BP=x，∴=，则y=x，由题意得，x=﹣x2+x，解得，x1=0（舍去），x2=；当DP=BP时，=，解得，y=x，则x=﹣x2+x，解得，x=0；如图3，当点D在线段AB的延长线上时，作PQ⊥AB交BA的延长线于Q，设PQ=4k，则QB=3k，由勾股定理得，PB=5k，则BD=5k，AQ=3k﹣5，∵∴△APD∽△ABP，∴=，即AP2=AD•AB，∴（4k）2+（3k﹣5）2=5×（5+5k），解得，k=，则PB=5k=11，综上所述，当BP=1、、时，△BDP是等腰三角形．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。
上海市杨浦区九年级(上)期中数学试卷
上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共 6 小题，每题 3 分，共18 分．1．（3 分）将等式2ax=bc 化成以x 为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（）A．B．C．D．2．（3 分）在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC 的是（）A．B．C．D．3．（3 分）如图，△ABC 中，DE∥BC 交AB 于点D，交AC 于点E，如果S△ADE=S 四，那么下列等式成立的是（）边形BCEDA．DE：BC=1：2 B．DE：BC=1：3 C．DE：BC=1：4 D．4．（3 分）已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．5．（3 分）已知△ABC 中，tanA=，下列说法正确的是（）A．tanB=2 B．tanB= C．sinA= D．sinA=6．（3 分）在△ABC 和△DEF 中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F 中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的共有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题：本大共12 小题，每题 3 分，共36 分．7．（3 分）已知，则的值为．8．（3 分）在比例尺为1：1000000 的地图上，如果点A 与点B 两点间的距离为2 厘米，那么点A、B 分别表示的两地间相距米．9．（3 分）已知线段AB 的长为4，点P 为线段AB 上的一点，如果线段AP 是线段BP 与线段AB 的比例中项，那么线段AP 的长为．10．（3 分）如图，在梯形ABCD 中，点E、F 分别在边AB、DC 上，且AD∥BC∥EF，AE：EB=2：1，DF=8，则FC= ．11．（3 分）如图，点G 为△ABC 的重心，联结CG，则S△CDG：S△ABD=．12．（3 分）已知两个相似三角形的周边长比为2：3，且其中较大三角形的面积是36，那么其中较小三角形的面积是．13．（3 分）如图，如果∠EAC=∠DAB，∠C=∠D，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB=．14．（3 分）如图，在△ABC 中，点D、E 在边AB 上，点F 在边AC 上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设=，= ，则用表示= ．15．（3 分）在△ABC 中，∠A 与∠B 是锐角，sinA= ，cotB= ，那么∠C=度．16．（3 分）若0°＜α＜90°，且sinα=，则cotα=．17．（3 分）已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A=∠E，如果AB=16，AC=12，DF=6，EF=4，那么BC= ．18．（3 分）如图，已知△ABC 中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D 是边AB 上一点，DE∥BC 交AC 于点E，将△ADE 沿DE 翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD 长为．三、解答题：本大题共7 题，共46 分．19．（5 分）计算：．20．（5 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，BC=6．（1）求AC 的长；（2）求cotB 的值．21．（5 分）如图，已知向量、，求作向量，使满足﹣2（﹣）=3﹣（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）22．（5 分）如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，点F 在边AD 上，BA 的延长线交CF 的延长线于点E，EC 交BD 于点M，且CM2=EM•FM．求证：AD∥BC．23．（7 分）如图，在矩形ABCD 中，点P 在边DC 上，联结AP，过点A 作AE⊥AP 交CB 的延长线于点E，联结EP 交边AB 于点F．（1）求证：△ADP∽△ABE；（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB 的值．24．（7 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D 为边AB 的中点，过点A 作直线CD 的垂线交CD 的延长线于点H，交CB 的延长线于点M．（1）求证：AH•AB=AC•BC；（2）求证：HM•AB=CH•AM．25．（12 分）如图，已知AB=5，tanB=，点P 是射线BC 上的一个动点（不与点B 重合），作∠APD=∠B 交射线AB 于点D．（1）若PD⊥AB，求BP 的长；（2）当点D 在边AB 上，且不与点B 重合时，设BP=x，BD=y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）若△BDP 是等腰三角形，求BP 的长．另免送下载上海市黄埔、闸北、浦东、杨浦区九年级6套最新数学题及详解https:///s/1dB3lXpHj7CH0hl13aiwBdA提取码：ak83上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 6 小题，每题 3 分，共18 分．1．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）将等式2ax=bc 化成以x 为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据等式的性质把每个选项去分母，看看结果和2ax=bc 是否相等即可．【解答】解：A、∵=，∴去分母得：2bc=ax，和2ax=bc 不同，故本选项错误；B、∵=，∴去分母得：2ax=bc，和2ax=bc 相同，故本选项正确；C、∵=，∴去分母得：2bc=ax，和2ax=bc 不同，故本选项错误；D、∵= ，∴去分母得：2ax=bc，和2ax=bc 不同，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了等式的基本性质的应用，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．2．（3 分）（2016 秋•浦东新区期中）在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC 的是（）A．B．C．D．【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．【解答】解：如图，可假设DE∥BC，则可得= = ，= = ，但若只有==，并不能得出线段DE ∥BC ． 故选 D ．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．3．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）如图，△ABC 中，DE ∥BC 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，如果 S △ADE =S 四边形BCED ，那么下列等式成立的是（）A ．DE ：BC=1：2B ．DE ：BC=1：3C ．DE ：BC=1：4D ．【分析】由 DE ∥BC 得△ADE ∽△ABC ，由已知得 S △ADE =S △ABC ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求对应边的比．【解答】解：∵S △ADE =S 四边形BCED ，∴S △ADE = S △ABC ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴（）2= =，∴DE ：BC=1：． 故选 D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例．关键是利用平行线得出相似三角形，利用相似三角形的性质解题．4．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）已知点 C 是线段 AB 的中点，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．【解答】解：A、= ，故本选项错误；B、= ，故本选项正确；C、+=，故本选项错误；D、+=，故本选项错误．故选B．【点评】本题主要考查线段的中点定义，难度不大，注意向量的方向及运算法则．5．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）已知△ABC 中，tanA=，下列说法正确的是（）A．tanB=2 B．tanB= C．sinA= D．sinA=【分析】根据同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1 解答即可．【解答】解：∵直角顶点不确定，∴tanB 不确定，∵tanA=，∴=，解得，sinA=，故选：D．【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，掌握勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）在△ABC 和△DEF 中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①= ；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F 中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的共有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】根据三角形相似的判定方法：①两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B 的正误；②两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D 的正误，即可选出答案．【解答】解：①由∠A=∠D、=可以判定△ABC 与△DEF 相似，故正确；②由∠A=∠D、=可以判定△ABC 与△DEF 相似，故正确；③由∠A=∠D、∠B=∠F 可以判定△ABC 与△DEF 相似，故正确；④∠E 和∠F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故错误；故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．二、填空题：本大共12 小题，每题 3 分，共36 分．7．（3 分）（2013•黄浦区一模）已知，则的值为．【分析】设x=7a，则y=4a，代入所求的式子，然后进行化简即可求解．【解答】解：∵，∴设x=7a，则y=4a，则== =．故答案是：．【点评】本题考查了分式的求值，正确理解未知数的设法是关键．8．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）在比例尺为1：1000000 的地图上，如果点A 与点B 两点间的距离为2 厘米，那么点A、B 分别表示的两地间相距20000 米．【分析】设两地间的实际距离是x 厘米，根据比例尺的性质列出方程，求出x 的值，再进行换算即可得出答案．【解答】解：设两地间的实际距离是x 厘米，∵比例尺为1：1000000，量得两地间的距离为 2 厘米，∴，解得：x=2000000，∵2000000 厘米=20 千米，∴两地间的实际距离是20000米．故答案为：20000【点评】此题考查了比例尺的性质．解题的关键是根据题意列出方程，还要注意统一单位．9．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）已知线段AB 的长为4，点P 为线段AB 上的一点，如果线段AP 是线段BP 与线段AB 的比例中项，那么线段AP 的长为．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据题意知，点P 是线段AB 的黄金分割点，则①，又∵AB=4，②BP=AB﹣AP，③由①②③，解得AP=；故答案是：；【点评】本题考查了比例线段．解答此题须理解黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．10．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）如图，在梯形ABCD 中，点E、F 分别在边AB、DC 上，且AD∥BC∥EF，AE：EB=2：1，DF=8，则FC= 4 ．【分析】由AD∥EF∥BC，得==，由此即可解决问题．【解答】解：∵AD∥EF∥BC，∴==∵DF=8，∴CF=4，故答案为4．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度适中，解题的关键是注意比例变形与数形结合思想的应用．11．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）如图，点G 为△ABC 的重心，联结CG，则S△CDG ：S△ABD= ．【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，由此可得△ABD 的面积与△ACD的面积相等；根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1，可得△CDG 的面积等于△ACD 面积的三分之一．【解答】解：∵点 G 为△ABC 的重心，∴△ABD 的面积与△ACD 的面积相等，且 DG=AD ，∴△CDG 的面积等于△ACD 面积的，∴△CDG 的面积等于△ABD 面积的，即 S △CDG ：S △ABD =，故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形重心性质的运用，解题时注意：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2： 1．12．（3 分）（2013•黄浦区一模）已知两个相似三角形的周边长比为 2：3，且其中较大三角形的面积是 36，那么其中较小三角形的面积是 16 ．【分析】根据相似三角形的性质对应边成比例，面积比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：两个相似三角形周长的比为 2：3，则相似比是 2：3，因而面积的比是 4：9，设小三角形的面积是 4a ，则大三角形的面积是 9a ，则 9a=36，解得 a=4，因而较小的三角形的面积是16． 故答案为：16．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．13．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）如图，如果∠EAC=∠DAB ，∠C=∠D ，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB= 12．【分析】先根据∠EAC=∠DAB 可得出∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，再由∠C=∠D 即可得出△ADE∽△ACB，故可得出= ，再由AD=4，AE=6，AC=8 即可得出AB 的长．【解答】解：∵∠EAC=∠DAB，∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∵∠C=∠D，∴△ADE∽△ACB，∴=，∵AD=4，AE=6，AC=8，∴=，解得AB=12．故答案为：12．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ADE∽△ACB，再由相似三角形对应边的比相等求解是解答此题的关键．14．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）如图，在△ABC 中，点D、E 在边AB 上，点F 在边AC 上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设=，=，则用表示=．【分析】由AD=DE=EB，=，可求得与，然后由三角形法则，求得，继而求得，又由△ADF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：∵AD=DE=EB，∴=3=3，=2=2，∴=+=2+，∴=﹣=﹣，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴DF：BC=AD：AB=1：3，∴= = ﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．15．（3 分）（2016 秋•浦东新区期中）在△ABC 中，∠A 与∠B 是锐角，sinA=，cotB= ，那么∠C= 75 度．【分析】先根据，∠A 与∠B 是锐角，sinA=，cotB=求出∠A 及∠B 的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可．【解答】解：∵∠A 与∠B 是锐角，sinA=，cotB= ，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣60°=75°．故答案为：75°．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．16．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）若0°＜α＜90°，且sinα= ，则cotα=．= ． 【分析】根据正弦与余弦之间的关系求出 cos α，根据 cot α=计算即可． 【解答】解：∵sinα=，∴cosα==， ∴cotα=，故答案为： 【点评】本题考查的是同角三角函数的关系，掌握 cot α=是解题的关键．17．（3 分）（2016 秋•杨浦区期中）已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A=∠E ，如果 AB=16，AC=12，DF=6，EF=4，那么 BC= 24 或 18 ．【分析】根据△ABC 与△DEF 相似，且∠A=∠E ，分两种情况讨论：△ABC ∽△EFD ， △ABC ∽△EDF ，分别根据对应边成比例，求得 BC 的长．【解答】解：∵△ABC 与△DEF 相似，且∠A=∠E ，∴当△ABC ∽△EFD 时，=，即=， 解得 BC=24；当△ABC ∽△EDF 时，=，即=， 解得 BC=18．故答案为：24 或 18．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．18．（3 分）（2015•滨湖区一模）如图，已知△ABC 中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D 是边 AB 上一点，DE ∥BC 交 AC 于点 E ，将△ADE 沿 DE 翻折得到△A′DE ，若△ A′EC 是直角三角形，则 AD 长为 ．【分析】先根据勾股定理得到AC=5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE=AB：AC=4：5，设AD=x，则AE=A′E=x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC 是直角三角形，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解．【解答】解：在△ABC 中，∠B=90°，BC=3，AB=4，∴AC=5，∵DE∥BC，∴AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC=4：5，设AD=x，则AE=A′E=x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，在Rt△A′BC中，A′C=，∵△A′EC 是直角三角形，∴①当A'落在边AB 上时，∠EA′C=90°，∠BA′C=∠ACB，A′B=3×tan∠ACB=，AD= ；②点A 在线段AB 的延长线上（）2+（5﹣x）2=（x）2，解得x1=4（不合题意舍去），x2=．故AD 长为或．故答案为：或．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的．三、解答题：本大题共7 题，共46 分．19．（5 分）（2016 秋•杨浦区期中）计算：．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式===7+4 ．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．（5 分）（2016 秋•杨浦区期中）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，BC=6．（1）求AC 的长；（2）求cotB 的值．【分析】（1）根据sinA 的值求出AB，根据勾股定理求出AC 即可；（2）把BC 和AC 的值代入cotB=求出即可．【解答】解：（1）∵在Rt△ACB 中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB=8，由勾股定理得：AC===2；（2）cotB= ==．【点评】本题考查了勾股定理和解直角三角形的应用，能根据锐角三角函数的定义正确解直角三角形是解此题的关键，难度适中．21．（5 分）（2016 秋•杨浦区期中）如图，已知向量、，求作向量，使满足﹣2（﹣）=3﹣（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）【分析】根据平面向量的运算法则：先去括号，再移项，系数化为1，即可求得答案．【解答】解：∵﹣2（﹣）=3﹣，∴﹣2﹣2=3﹣，∴﹣2 = ﹣2 ，解得：=﹣+．【点评】此题考查了向量的运算以及画法．此题难度不大，注意掌握平面向量的运算法则是解此题的关键．22．（5 分）（2016 秋•杨浦区期中）如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，点F 在边AD 上，BA 的延长线交CF 的延长线于点E，EC 交BD 于点M，且CM2=EM•F M．求证：A D∥B C．【分析】首先利用AB∥CD，得出△BEM∽△CDM，进而利用相似三角形的性质得出比例式之间关系，求出即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴△BEM∽△CDM，∴ = ，∵CM2=EM•FM．∴=，∴=，∴AD∥BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用平行得出△BEM∽△CDM 是解题关键．23．（7 分）（2016 秋•杨浦区期中）如图，在矩形ABCD 中，点P 在边DC 上，联结AP，过点A 作AE⊥AP 交CB 的延长线于点E，联结EP 交边AB 于点F．（1）求证：△ADP∽△ABE；（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB 的值．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．（2）延长AD、EP 交于点M．设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，想办法求出AM、EB，由AM∥EB，得=，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠ABE=90°，∵∠EAP=∠BAD=90°，∴∠EAB=∠PAD，∵∠ABE=∠ADP，∴△ADP∽△ABE．（2）解：如图，延长AD、EP 交于点M．∵AD：AB=2：3，且CP=2DP，∴可以假设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，∵△ADP∽△ABE，∴=，∴=，∴EB=3a，∵DM∥EC，∴=，∴=，∴DM=a，AM= a，∵AM∥EB，∴ = = = ．【点评】本题考查矩形的性质．相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．24．（7 分）（2016 秋•杨浦区期中）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点D 为边AB 的中点，过点A 作直线CD 的垂线交CD 的延长线于点H，交CB 的延长线于点M．（1）求证：AH•AB=AC•BC；（2）求证：HM•AB=CH•AM．【分析】（1）欲证明AH•AB=AC•BC，只要证明△CAH∽△ABC 即可．（2）由S=•AM•CH=•AC•CM，推出AM•CH=AC•CM，再证明△MCH∽△△ACMABC，得到=，推出MC•AC=AB•MH，由此即可证明．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠CAD=∠ACD，∵CH⊥AM，∴∠AHC=∠ACB=90°，∴△CAH∽△ABC，∴=，∴AH•AB=AC•BC．= •AM•CH=•AC•CM，（2）∵S△ACM∴AM•CH=AC•CM，∵CD=BD，∴∠HCM=∠ABC，∵∠CHM=∠ACB=90°，∴△MCH∽△ABC，∴=，∴MC•AC=AB•MH，∴HM•AB=CH•AM．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形面积的两种求法等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（12 分）（2016 秋•杨浦区期中）如图，已知AB=5，tanB= ，点P 是射线BC上的一个动点（不与点B 重合），作∠APD=∠B 交射线AB 于点D．（1）若PD⊥AB，求BP 的长；（2）当点D 在边AB 上，且不与点B 重合时，设BP=x，BD=y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）若△BDP 是等腰三角形，求BP 的长．【分析】（1）设AP=4k，根据正切的定义用k 表示出BP，根据勾股定理求出AB，根据题意计算即可；（2）作AE⊥BC 于E，根据相似三角形的性质列出比例式，得到y 关于x 的函数关系式；（3）分点D 在线段AB 上和点D 在线段AB 的延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵PD⊥AB，∠APD=∠B，∴∠APB=90°，设AP=4k，∵tanB=，∴BP=3k，由勾股定理得，AB=5k，∵AB=5，∴k=1，则BP=3k=3；（2）作AE⊥BC 于E，∵AB=5，tanB= ，∴AE=4，BE=3，则PE=x﹣3，由勾股定理得，AP==，∵∠APD=∠B，∠PAB=∠PAB，∴△APD∽△ABP，∴=，即（x﹣3）2+16=（5﹣y）×5，整理得，y=﹣x2+x（0＜x＜6）；（3）当点D 在线段AB 上，BP=BD 时，x=y，即x=﹣x2+ x，解得，x=1；DP=BD 时，作DG⊥BP 于G，则BG=BP= x，∴= ，则y= x，由题意得，x=﹣x2+ x，解得，x1=0（舍去），x2=；当DP=BP 时，= ，解得，y=x，则x=﹣x2+ x，解得，x=0；如图3，当点D 在线段AB 的延长线上时，作PQ⊥AB 交BA 的延长线于Q，设PQ=4k，则QB=3k，由勾股定理得，PB=5k，则BD=5k，AQ=3k﹣5，∵∴△APD∽△ABP，∴=，即AP2=AD•AB，∴（4k）2+（3k﹣5）2=5×（5+5k），解得，k=，则PB=5k=11，综上所述，当BP=1、、时，△BDP 是等腰三角形．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。
上海杨浦区 初三 期中数学试卷(手写答案)
要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿ห้องสมุดไป่ตู้上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
2020-2021学年上海市杨浦区九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷1.下列各组线段中，成比例线段的组是()A. 3cm，4cm，5cm，8cmB. 1cm，3cm，4cm，8cmC. 0.2cm，0.3cm，4cm，6cmD. 1.5cm，2cm，4cm，6cm2.下列命题一定正确的是()A. 两个等腰三角形一定相似B. 两个等边三角形一定相似C. 两个直角三角形一定相似D. 两个含有30°角的三角形一定相似3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α，AB=m，那么边AC的长为()A. m⋅sinαB. m⋅cosαC. m⋅tanαD. m⋅cotα4.下列命题中，错误的是()A. 如果k=0或a⃗=0⃗，那么k a⃗=0⃗B. 如果m、n为实数，那么m(n a⃗ )=(mn)a⃗C. 如果a⃗=k b⃗ (k为实数)，那么a⃗//b⃗D. 如果|a⃗|=3|b⃗ |，那么a⃗=3b⃗ 或a⃗=−3b⃗5.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，如果S△ADE=S四边形BCED，那么下列结论中，正确的是()A. DE：BC=1：2B. DE：BC=1：√2C. DE：BC=1：3D. DE：BC=1：46.如图，在正方形ABCD中，点E为边AD上的一个动点(与点A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交边CD于点M，那么下列结论中，错误的是()A. △AEF∽△CBFB. △CMG∽△BFGC. △ABG∽△CFBD. △ABF∽△CBG7.已知x：y=1：3，那么(x+y)：y=______．8.如果地图上A、B两处的图距是4cm，表示这两地的实际距离是200km，那么实际距离是500km的两地在地图上的图距是______ cm．9.已知点P是线段AB上的一点，且AP2=AB⋅PB，如果AB=2，那么AP=______ ．10.在△ABC中，若中线AD和中线CE相交于G，则AG：AD=______．11.如果e⃗为单位向量，a⃗与e⃗方向相反，且长度是5，那么a⃗=______ (用e⃗表示)．12.计算：cos60°tan30°+cot60°=______ ．13.如图，已知小明同学的身高(CD)是1.8米，他与树(AB)在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB为______ 米.14.如图，已知直线l1//l2//l3，AB=10cm，BG=6cm，CD=8cm，那么CH=______ cm．15.如图，已知在梯形ABCD中，AD//MN//BC，MN分别交边AB、DC于点M、N，如果AM：MB=2：3，AD=2，BC=7，那么MN的长______ ．16.在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是______ ．17.如图，在△ABC中，AB=2，AC=3，点D为边AC上一点，点P是边BD的中点，如果∠ABD=∠ACP，那么CD的长是______ ．18. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，点E 在边CD 上，把△ADE沿直线AE 翻折，使点D 落在对角线AC 上的点F 处，联结BF.如果点E 、F 、B 在同一条直线上，那么DE 的长是______ ．19. 如图，已知在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，点D 是边AC 上的一点，AD DC =12．(1)试用a ⃗ 和b ⃗ 表示AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ； (2)在图中分别作出向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在a ⃗ 、b ⃗ 方向上的分向量，并分别用a ⃗ 、b ⃗ 表示(写出结论，不要求写作法)．20. 如图，已知AD//BC ，DB 与AC 交于点O ，过点O 作OM//AD 交AB 于点M ，AD =2，BC =5，求OM 的长．21.如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，DE//AC，EF//AB，如果AFFC =12，△EFC的面积是20，求△BDE的面积．22.如图，已知在△ABC中，AB=AC=2√5，tanB=2，点D为边BC延长线上一点，CD=BC，联结AD.求∠D的正切值．23.如图，已知在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠BAE=∠DAF．(1)求证：BE=DF；(2)联结BD与AE交于点G，联结GF，如果BE2=EC⋅BC，求证：GF//BC．24.如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足ABAD =ACAE=BCDE．(1)求证：△ABD∽△ACE；(2)联结CD，如果∠ADB=90°，∠BAD=∠ACD=30°，BC=2√3，AC=4，求CD的长．25.如图，已知在△ABC中，∠A=120°，AB=2，AC=4，点D是边AC上的动点(点D与点A、C不重合)，∠BDE=∠A，DE交边BC于点E．(1)如果BD平分∠ABC，求证：CD2=CE⋅CB；(2)如果△BDE与△ABC相似，求S△BDE的值；=y，求y关于x的函数解析式并写出它的定义域．(3)设AD=x，CEBE答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、3×8≠4×5，不成比例线段；B、1×8≠3×4，不成比例线段；C、0.2×6=0.3×4，成比例线段；D、1.5×6≠2×4，不成比例线段．故选：C．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．2.【答案】B【解析】解：A、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故A不正确；B、两个等边三角形的各角度都为60°，所以两个三角形相似，故B正确；C、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故C不正确；C、两个含30°角的三角形只有一对30°角可以确定相等，其他两个角度未知故D不正确；故选：B．根据三角形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可．本题考查了三角形形相似的判定方法，常见的判断方法有如下几个：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；③三边对应成比例，两个三角形相似．3.【答案】A【解析】解：∠C=90°，∠B=α，AB=m，则sinα=ACAB，∴AC=AB⋅sinα=m⋅sinα．故选：A．根据三角函数值的求值可以求得sinα=ACAB，故根据AB=m即可求得AC的值，即可解题．本题考查了直角三角形三角函数值的计算，本题中明确三角函数值得定义求得sinα= ACAB是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：A、如果k=0或a⃗=0⃗，那么k a⃗=0⃗，正确，本选项不符合题意．B、如果m、n为实数，那么m(n a⃗ )=(mn)a⃗，正确，本选项不符合题意．C、如果a⃗=k b⃗ (k为实数)，那么a⃗//b⃗ ，错误，k=0时，不成立，本选项符合题意．D、如果|a⃗|=3|b⃗ |，那么a⃗=3b⃗ 或a⃗=−3b⃗ ，正确，本选项不符合题意．故选：C．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质，属于中考常考题型．5.【答案】B【解析】解：∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(DEBC)2，又∵S△ADE=S四边形BCED，∴S△ADES△ABC =(DEBC)2=12，则DE：BC=1：√2，故选：B．由两直线平行得到两三角形相似，即△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求出答案．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及比例的性质，相似三角形的面积之比为相似比的平方；周长之比及对应边之比等于相似比．6.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，AD//BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；∵∠EBM=∠DCA，∠MGC=∠BGF，∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；∴∠CMG=∠CFB，∵CD//AB，∴∠CMG=∠ABG，∴∠CFB=∠ABG，又∵∠CAB=∠BCF=45°，∴△BCF∽△GAB，故选项C不合题意；∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，∴∠ABF+∠CBG=45°，∴∠ABF≠∠CBG，∴△ABF与△CBG不相似，故选项D符合题意；故选：D．由正方形的性质可得AB//CD，AD//BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM= 45°，可以证明△AEF∽△CBF，△CMG∽△BFG，△BCF∽△GAB，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练运用相似三角形的判定方法是本题的关键．7.【答案】43【解析】解：∵x：y=1：3，∴3x=y，∴(x+y)：y=(x+3x)：3x=4；3．故答案为：43根据分式的基本性质即可求出答案．本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．8.【答案】10【解析】解：设这个图距是xcm，则4：20000000=x：50000000，解得x=10．故答案是10．先设这个图距是xcm，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于x的方程，解即可．本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例尺不变得出等式．9.【答案】√5−1【解析】解：设AP=x，则PB=2−x，由题意，x2=2(2−x)，解得x=√5−1或−√5−1(舍弃)故答案为：√5−1．设AP=x，则PB=2−x，根据AP2=AB⋅PB列出方程求解即可，另外，注意舍去负数解．此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念．学会利用参数构建方程解决问题．10.【答案】2：3【解析】解：∵AD、AE分别是三角形的中线，∴G是△ABC的重心，∴AG=2GD，AD=3GD，∴AG：AD=2：3．故答案为2：3．由三角形重心的概念可知，再根据重心的性质即可求得AG=2GD，AD=3GD，即可求得AG：AD．此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．11.【答案】−5e⃗【解析】解：∵a⃗的长度为5，向量e⃗是单位向量，∴|a⃗|=5|e⃗|，∵a⃗与单位向量e⃗的方向相反，∴a⃗=−5e⃗．故答案为：−5e⃗．根据向量的表示方法可直接进行解答．本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．12.【答案】√32【解析】解：原式=12×√33+√33=√36+2√36=√32．故答案为：√32．直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．13.【答案】4.5【解析】解：由题意知CD⊥BE、AB⊥BE，∴CD//AB，∴△CDE∽△ABE，∴CDAB =DEBE，即1.8AB=25，解得：AB=4.5，故答案为：4.5．由CD⊥BE、AB⊥BE知CD//AB，从而得△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质有CDAB =DEBE，将相关数据代入计算可得．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．14.【答案】3.2【解析】解：∵l1//l2//l3，∴BGAB =DHCD，即610=DH8，解得，DH=4.8，∴CH=CD−DH=3.2，故答案为：3.2．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15.【答案】4【解析】解：过点A作AF//DC交MN于点E，交BC于点F，∵AD//BC，AF//DC，∴四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，∴AD=EN=2.AD=FC=2．∵BC=7，∴BF=5．∵ME//BF，∴△AME∽△ABF∴MEBF =AMAB，∵AM：MB=2：3，∴AM：AB=2：5，∴ME5=25，∴ME=2∴MN=4．故答案为：4．过点A作AF//DC交MN于点E，交BC于点F，可以得出四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，得出EN、FC的值，求出BF的值，再利用三角形相似就可以求出ME的值，从而求出MN．本题考查了梯形中辅助线的作法和运用，平行四边形的判定即将性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用．解答中正确的作出辅助线是解答的关键．16.【答案】4【解析】解：图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的△A′B′C′如图所示：S△A′B′C′=12×4×2=4，故答案为4．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于2√10，画出这个相似三角形即可解决问题．本题考查相似三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】√5【解析】解：如图，取AD 中点E ，连接PE ，∵点P 是BD 的中点，点E 是AD 的中点，∴PE =12AB =1，PE//AB ，AE =DE =12AD ，∴∠A =∠PEC ，又∵∠ABD =∠ACP ，∴△ABD∽△ECP ，∴PE AD =EC AB ，∴1AD =3−AE 2 ∴2=2AE(3−AE)，∴AE =3−√52或AE =3+√52(舍去)，∴CD =AC −2AE =3−(3−√5)=√5，故答案为√5．通过证明△ABD∽△ECP ，可得PE AD =EC AB ，可求AE 的长，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 18.【答案】3−√5【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB//CD ，AB =CD =2，∠D =90°，∴∠DEA =∠EAB ，设DE =a ，则CE =2−a ，∵把△ADE 沿直线AE 翻折，使点D 落在对角线AC 上的点F 处，∴DE =EF =a ，∠DEA =∠FEA ，∵∠EAB =∠FEA ，∴AB =BE =2，∴BF =BE =2−a ，∵AB//CD ，∴△CEF∽△ABF ， ∴CE AB =EF BF ， ∴2−a2=a2−a ，∴a =3+√5(舍去)，a =3−√5，∴DE =3−√5，故答案为：3−√5．由矩形的性质可得AB//CD ，AB =CD =2，∠D =90°，由折叠的性质可得DE =EF =a ，∠DEA =∠FEA =∠EAB ，可得AB =BE =2，由相似三角形的性质可得CE AB =EFBF ，即可求解．本题考查了翻折变换，矩形的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，证明AB =BE =2是本题的关键．19.【答案】a ⃗ +b⃗【解析】解：(1)∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ．故答案为：a ⃗ +b ⃗ ．(2)如图，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．∵DE//BC ，∴AE BE =AD DC =12，∴BE =23AB ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23a ⃗ ，同法可得，BF ⃗⃗⃗⃗⃗=13b ⃗ ． (1)根据三角形法则求解即可．(2)利用平行四边形法则求解，再利用平行线分线段成比例定理求出向量BE ，向量BF ． 本题考查作图−复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20.【答案】解：∵AD//BC ，∴△ADO∽△CBO ，∴AD BC =OA OC =25，∵OM//AD ，∴OM//BC ，∴△AOM∽△ACB ，∴OM BC =OA AC =22+5=27， ∵BC =5，∴OM =107．【解析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定，通常转化为比例式形式，属于中考常考题型．21.【答案】解：∵DE//AC ，∴∠DEB =∠C ，∵EF//AB ，∴∠CEF =∠B ，∴△CEF∽△EBD ，∵DE//AC ，EF//AB ，∴四边形AFED 是平行四边形，∴AF =DE ，∴CF DE =CF AF =2，∴S △BDES △EFC =(DE CF )2=14，∴S△BDE=5．【解析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．22.【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，∵tanB=AH BH=2∴在Rt△ABH中AB2=AH2+BH2(2√5)2=(2BH)2+BH2解得BH=2，则AH=4，∵AB=AC，AH⊥BC∴HC=BH=2∴CD=BC=2BH=4∴HD=HC+CD=6tanD=AHHD=46=23【解析】首先构造直角三角形，过点A作AH⊥BC，然后利用三角函数的知识求出AH 和BH，进而根据等腰三角形的性质(三线合一)求出CH，再根据题意求出HD，最后由正切的定义求出答案．本题考查解直角三角形，运用了三角函数概念，勾股定理的计算和等腰三角形的性质--三线合一．难点在于是否能建立合适的直角三角形．相关概念的记忆是否准确和性质的运用是否熟练是本题的关键．23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中，{∠BAE=∠DAF AB=AD∠B=∠D，∴△ABE≌△ADF(ASA)，∴BE=DF；(2)如图，∵BC=CD，BE=DF，∴EC=CF，∵AD//BC，∴△AGD∽△EGB，∴BEAD =BGGD，∵BE2=EC⋅BC，∴BEBC =ECBE，∴BEAD =CFDF，∴BGDG =CFDF，∴GF//BC．【解析】(1)根据菱形的性质可得∠B=∠D，AB=AD，再证明△ABE≌△ADF，可得结论；(2)通过证明△AGD∽△EGB，可得BEAD =BGGD，可得BGDG=CFDF，可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．24.【答案】证明：(1)∵ABAD =ACAE=BCDE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵ABAD =ACAE，∴△ABD∽△ACE；(2)如图，∵△ABD∽△ACE，∴∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE=30°，∴CE=12AC=2，AE=√3CE=2√3，∠ACE=60°，∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=90°，∵ACAE =BCDE，∴2√3=2√3DE，∴DE=3，∴CD=√DE2−CE2=√9−4=√5．【解析】(1)通过证明△ABC∽△ADE，可得∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，由相似三角形的判定可得结论；(2)由相似三角形的性质可得∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE=30°，可得CE=12AC=2，AE=√3CE=2√3，∠ACE=60°，由相似三角形的性质可求DE=3，由勾股定理可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．25.【答案】解：(1)如图1，∵∠BDC=∠BDE+∠EDC=∠A+∠ABD，∠A=∠BDE，∴∠ABD=∠EDC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠EDC，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBD，∴CDCB =CECD，∴CD2=CE⋅CB；(2)如图2，过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于G，∵∠BAG=60°，AB=2，∴AG=12AB=1，BG=AB⋅sin60°=2×√32=√3，∴CG=AC+AG=5，∴BC=√BG2+CG2=2√7，∵△BDE与△ABC相似，∠BAC=∠BDE，∵∠DBE<∠ABC，∴只能∠DBE=∠C，∴DB=DC，作DH⊥BC于点H，∴CH=12BC=√7，∵∠DHC=∠BGC=90°，∠DCH=∠BCG，∴△CDH∽△CBG，∴CHCG =CDCB，∴√75=CD2√7，∴CD=BD=145，∴S△ABC=12AC⋅BG=2√3，∵△DEB∽△ABC，∴S△DEBS△ABC =(BDAC)2，即S△DEB2√3=(1454)2，解得，S△DEB=49√350；(3)如图3，作CM//BD交DE的延长线于点M，则∠M=∠BDE=∠BAD，∵∠ABD=∠CDE，∴△MDC∽△ABD，∴CMAD =CDBD①，在Rt△BGD中，BD=√BG2+DG2=√3+(x+1)2=√x2+2x+4，DC=4−x，代入①得，CMx =√x2+2x+4，解得，CM=2√x2+2x+4，∵CM//BD，∴y=CEBE =CMBD=4x−x2√x2+2x+4√x2+2x+4=4x−x2x2+2x+4(0<x<4)．【解析】(1)证明△CDE∽△CBD，得出CDCB =CECD，则可得出结论；(2)过点B作BG⊥CA，交CA的延长线于G，求出AG和BC的长，证明△CDH∽△CBG，得出CHCG =CDCB，求出BD=CD=145，根据相似三角形的性质可求出答案；(3)作CM//BD交DE的延长线于点M，则∠M=∠BDE=∠BAD，证明△MDC∽△ABD，可表示出CM的长，由相似三角形的性质可求出答案．本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，三角形的面积，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
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2016-2017学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共6小题，每题3分，共18分．1．将等式2ax=bc化成以x为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（）A．B．C．D．2．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．3．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果S△ADE=S四边形BCED，那么下列等式成立的是（）A．B．DE：BC=1：3 C．DE：BC=1：4 D．DE：BC=1：24．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．5．已知△ABC中，tanA=，下列说法正确的是（）A．tanB=2 B．tanB=C．sinA=D．sinA=6．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大共12小题，每题3分，共36分．7．已知，则的值为．8．在比例尺为1：1000000的地图上，如果点A与点B两点间的距离为2厘米，那么点A、B分别表示的两地间相距米．9．已知线段AB的长为4，点P为线段AB上的一点，如果线段AP是线段BP与线段AB的比例中项，那么线段AP的长为．10．如图，在梯形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，且AD∥BC∥EF，AE：EB=2：1，DF=8，则FC=．11．如图，点G为△ABC的重心，联结CG，则S△CDG：S△ABD=．12．已知两个相似三角形的周边长比为2：3，且其中较大三角形的面积是36，那么其中较小三角形的面积是．13．如图，如果∠EAC=∠DAB，∠C=∠D，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB=．14．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F在边AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设=，=，则用表示=．15．在△ABC中，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，那么∠C=度．16．若0°＜α＜90°，且sinα=，则cotα=．17．已知△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，如果AB=16，AC=12，DF=6，EF=4，那么BC=．18．如图，已知△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为．三、解答题：本大题共7题，共46分．19．（5分）计算：．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6．（1）求AC的长；（2）求cotB的值．21．（5分）如图，已知向量、，求作向量，使满足﹣2（﹣）=3﹣（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点F在边AD上，BA的延长线交CF的延长线于点E，EC交BD于点M，且CM2=EM?FM．求证：AD∥BC．23．（7分）如图，在矩形ABCD中，点P在边DC上，联结AP，过点A作AE⊥AP交CB的延长线于点E，联结EP交边AB于点F．（1）求证：△ADP∽△ABE；（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，过点A作直线CD的垂线交CD的延长线于点H，交CB的延长线于点M．（1）求证：AH?AB=AC?BC；（2）求证：HM?AB=CH?AM．25．（12分）如图，已知AB=5，tanB=，点P是射线BC上的一个动点（不与点B重合），作∠APD=∠B交射线AB于点D．（1）若PD⊥AB，求BP的长；（2）当点D在边AB上，且不与点B重合时，设BP=x，BD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）若△BDP是等腰三角形，求BP的长．2016-2017学年上海市杨浦区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每题3分，共18分．1．将等式2ax=bc化成以x为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（）A．B．C．D．【考点】等式的性质．【分析】根据等式的性质把每个选项去分母，看看结果和2ax=bc是否相等即可．【解答】解：A、∵=，∴去分母得：2bc=ax，和2ax=bc不同，故本选项错误；B、∵=，∴去分母得：2ax=bc，和2ax=bc相同，故本选项正确；C、∵=，∴去分母得：2bc=ax，和2ax=bc不同，故本选项错误；D、∵=，∴去分母得：2ax=bc，和2ax=bc不同，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了等式的基本性质的应用，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．2．（2016秋?浦东新区期中）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD：BD=1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【专题】常规题型．【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．【解答】解：如图，可假设DE∥BC，则可得==，==，但若只有==，并不能得出线段DE∥BC．故选D．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．3．如图，△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，如果S△ADE=S四边形BCED，那么下列等式成立的是（）A．B．DE：BC=1：3 C．DE：BC=1：4 D．DE：BC=1：2【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，由已知得S△ADE=S△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求对应边的比．【解答】解：∵S△ADE=S四边形BCED，∴S△ADE=S△ABC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2==，∴DE：BC=1：．故选A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例．关键是利用平行线得出相似三角形，利用相似三角形的性质解题．4．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【考点】*平面向量；比较线段的长短．【专题】数形结合．【分析】根据题意画出图形，因为点C是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答．【解答】解：A、=，故本选项错误；B、=，故本选项正确；C、+=，故本选项错误；D、+=，故本选项错误．故选B．【点评】本题主要考查线段的中点定义，难度不大，注意向量的方向及运算法则．5．已知△ABC中，tanA=，下列说法正确的是（）A．tanB=2 B．tanB=C．sinA=D．sinA=【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1解答即可．【解答】解：∵直角顶点不确定，∴tanB不确定，∵tanA=，∴=，解得，sinA=，故选：D．【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，掌握勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．6．在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，则下列四个条件：①=；②=；③∠B=∠F；④∠E=∠F中，一定能推得△ABC与△DEF相似的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】相似三角形的判定．【分析】根据三角形相似的判定方法：①两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．【解答】解：①由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；②由∠A=∠D、=可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；③由∠A=∠D、∠B=∠F可以判定△ABC与△DEF相似，故正确；④∠E和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故错误；故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．二、填空题：本大共12小题，每题3分，共36分．7．已知，则的值为．【考点】比例的性质．【分析】设x=7a，则y=4a，代入所求的式子，然后进行化简即可求解．【解答】解：∵，∴设x=7a，则y=4a，则===．故答案是：．【点评】本题考查了分式的求值，正确理解未知数的设法是关键．8．在比例尺为1：1000000的地图上，如果点A与点B两点间的距离为2厘米，那么点A、B分别表示的两地间相距20000米．【考点】比例线段．【分析】设两地间的实际距离是x厘米，根据比例尺的性质列出方程，求出x的值，再进行换算即可得出答案．【解答】解：设两地间的实际距离是x厘米，∵比例尺为1：1000000，量得两地间的距离为2厘米，∴，解得：x=2000000，∵2000000厘米=20千米，∴两地间的实际距离是20000米．故答案为：20000【点评】此题考查了比例尺的性质．解题的关键是根据题意列出方程，还要注意统一单位．9．已知线段AB的长为4，点P为线段AB上的一点，如果线段AP是线段BP与线段AB的比例中项，那么线段AP的长为．【考点】比例线段．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据题意知，点P是线段AB的黄金分割点，则①，又∵AB=4，②BP=AB﹣AP，③由①②③，解得AP=；故答案是：；【点评】本题考查了比例线段．解答此题须理解黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．10．如图，在梯形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，且AD∥BC∥EF，AE：EB=2：1，DF=8，则FC=4．【考点】平行线分线段成比例；梯形．【分析】由AD∥EF∥BC，得==，由此即可解决问题．【解答】解：∵AD∥EF∥BC，∴==∵DF=8，∴CF=4，故答案为4．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度适中，解题的关键是注意比例变形与数形结合思想的应用．11．如图，点G为△ABC的重心，联结CG，则S△CDG：S△ABD=．【考点】三角形的重心．【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，由此可得△ABD的面积与△ACD的面积相等；根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，可得△CDG的面积等于△ACD面积的三分之一．【解答】解：∵点G为△ABC的重心，∴△ABD的面积与△ACD的面积相等，且DG=AD，∴△CDG的面积等于△ACD面积的，∴△CDG的面积等于△ABD面积的，即S△CDG：S△ABD=，故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形重心性质的运用，解题时注意：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．12．（2013?黄浦区一模）已知两个相似三角形的周边长比为2：3，且其中较大三角形的面积是36，那么其中较小三角形的面积是16．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的性质对应边成比例，面积比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：两个相似三角形周长的比为2：3，则相似比是2：3，因而面积的比是4：9，设小三角形的面积是4a，则大三角形的面积是9a，则9a=36，解得a=4，因而较小的三角形的面积是16．故答案为：16．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．13．如图，如果∠EAC=∠DAB，∠C=∠D，AD=4，AE=6，AC=8，那么AB=12．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】探究型．【分析】先根据∠EAC=∠DAB可得出∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，再由∠C=∠D即可得出△ADE∽△ACB，故可得出=，再由AD=4，AE=6，AC=8即可得出AB的长．【解答】解：∵∠EAC=∠DAB，∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∵∠C=∠D，∴△ADE∽△ACB，∴=，∵AD=4，AE=6，AC=8，∴=，解得AB=12．故答案为：12．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ADE∽△ACB，再由相似三角形对应边的比相等求解是解答此题的关键．14．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F在边AC上，且AD=DE=EB，DF∥BC，设=，=，则用表示=﹣．【考点】*平面向量；平行线的性质．【分析】由AD=DE=EB，=，可求得与，然后由三角形法则，求得，继而求得，又由△ADF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：∵AD=DE=EB，∴=3=3，=2=2，∴=+=2+，∴=﹣=﹣，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴DF：BC=AD：AB=1：3，∴==﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．15．（2016秋?浦东新区期中）在△ABC中，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，那么∠C= 75度．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】探究型．【分析】先根据，∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=求出∠A及∠B的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可．【解答】解：∵∠A与∠B是锐角，sinA=，cotB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣45°﹣60°=75°．故答案为：75°．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．16．若0°＜α＜90°，且sinα=，则cotα=．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据正弦与余弦之间的关系求出cosα，根据cotα=计算即可．【解答】解：∵sinα=，∴cosα==，∴cotα==，故答案为：．【点评】本题考查的是同角三角函数的关系，掌握cotα=是解题的关键．17．已知△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，如果AB=16，AC=12，DF=6，EF=4，那么BC=24或18．【考点】相似三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】根据△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，分两种情况讨论：△ABC∽△EFD，△ABC∽△EDF，分别根据对应边成比例，求得BC的长．【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且∠A=∠E，∴当△ABC∽△EFD时，=，即=，解得BC=24；当△ABC∽△EDF时，=，即=，解得BC=18．故答案为：24或18．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．18．（2015?滨湖区一模）如图，已知△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D是边AB上一点，DE ∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为或．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据勾股定理得到AC=5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE=AB：AC=4：5，设AD=x，则AE=A′E=x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，∴AC=5，∵DE∥BC，∴AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC=4：5，设AD=x，则AE=A′E=x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，在Rt△A′BC中，A′C=，∵△A′EC是直角三角形，∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C=90°，∠BA′C=∠ACB，A′B=3×tan∠ACB=，AD=；②点A在线段AB的延长线上（）2+（5﹣x）2=（x）2，解得x1=4（不合题意舍去），x2=．故AD长为或．故答案为：或．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握翻折后哪些线段是对应相等的．三、解答题：本大题共7题，共46分．19．（5分）计算：．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式===7+4．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6．（1）求AC的长；（2）求cotB的值．【考点】解直角三角形．【分析】（1）根据sinA的值求出AB，根据勾股定理求出AC即可；（2）把BC和AC的值代入cotB=求出即可．【解答】解：（1）∵在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB=8，由勾股定理得：AC===2；（2）cotB===．【点评】本题考查了勾股定理和解直角三角形的应用，能根据锐角三角函数的定义正确解直角三角形是解此题的关键，难度适中．21．（5分）如图，已知向量、，求作向量，使满足﹣2（﹣）=3﹣（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写结论）【考点】*平面向量．【分析】根据平面向量的运算法则：先去括号，再移项，系数化为1，即可求得答案．【解答】解：∵﹣2（﹣）=3﹣，∴﹣2﹣2=3﹣，∴﹣2=﹣2，解得：=﹣+．【点评】此题考查了向量的运算以及画法．此题难度不大，注意掌握平面向量的运算法则是解此题的关键．22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点F在边AD上，BA的延长线交CF的延长线于点E，EC交BD于点M，且CM2=EM?FM．求证：AD∥BC．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先利用AB∥CD，得出△BEM∽△CDM，进而利用相似三角形的性质得出比例式之间关系，求出即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴△BEM∽△CDM，∴=，∵CM2=EM?FM．∴=，∴=，∴AD∥BC．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用平行得出△BEM∽△CDM是解题关键．23．（7分）如图，在矩形ABCD中，点P在边DC上，联结AP，过点A作AE⊥AP交CB的延长线于点E，联结EP交边AB于点F．（1）求证：△ADP∽△ABE；（2）若AD：AB=2：3，且CP=2DP，求AF：FB的值．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可证明．（2）延长AD、EP交于点M．设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，想办法求出AM、EB，由AM∥EB，得=，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠ABE=90°，∵∠EAP=∠BAD=90°，∴∠EAB=∠PAD，∵∠ABE=∠ADP，∴△ADP∽△ABE．（2）解：如图，延长AD、EP交于点M．∵AD：AB=2：3，且CP=2DP，∴可以假设AD=4a，CD=6a，则PC=4a，DP=2a，∵△ADP∽△ABE，∴=，∴=，∴EB=3a，∵DM∥EC，∴=，∴=，∴DM=a，AM=a，∵AM∥EB，∴===．【点评】本题考查矩形的性质．相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．24．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，过点A作直线CD的垂线交CD的延长线于点H，交CB的延长线于点M．（1）求证：AH?AB=AC?BC；（2）求证：HM?AB=CH?AM．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）欲证明AH?AB=AC?BC，只要证明△CAH∽△ABC即可．（2）由S△ACM=?AM?CH=?AC?CM，推出AM?CH=AC?CM，再证明△MCH∽△ABC，得到=，推出MC?AC=AB?MH，由此即可证明．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠CAD=∠ACD，∵CH⊥AM，∴∠AHC=∠ACB=90°，∴△CAH∽△ABC，∴=，∴AH?AB=AC?BC．（2）∵S△ACM=?AM?CH=?AC?CM，∴AM?CH=AC?CM，∵CD=BD，∴∠HCM=∠ABC，∵∠CHM=∠ACB=90°，∴△MCH∽△ABC，∴=，∴MC?AC=AB?MH，∴HM?AB=CH?AM．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形面积的两种求法等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（12分）如图，已知AB=5，tanB=，点P是射线BC上的一个动点（不与点B重合），作∠APD=∠B交射线AB于点D．（1）若PD⊥AB，求BP的长；（2）当点D在边AB上，且不与点B重合时，设BP=x，BD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）若△BDP是等腰三角形，求BP的长．【考点】三角形综合题．【分析】（1）设AP=4k，根据正切的定义用k表示出BP，根据勾股定理求出AB，根据题意计算即可；（2）作AE⊥BC于E，根据相似三角形的性质列出比例式，得到y关于x的函数关系式；（3）分点D在线段AB上和点D在线段AB的延长线上两种情况，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：（1）∵PD⊥AB，∠APD=∠B，∴∠APB=90°，设AP=4k，∵tanB=，∴BP=3k，由勾股定理得，AB=5k，∵AB=5，∴k=1，则BP=3k=3；（2）作AE⊥BC于E，∵AB=5，tanB=，∴AE=4，BE=3，则PE=x﹣3，由勾股定理得，AP==，∵∠APD=∠B，∠PAB=∠PAB，∴△APD∽△ABP，∴=，即（x﹣3）2+16=（5﹣y）×5，整理得，y=﹣x2+x（0＜x＜6）；（3）当点D在线段AB上，BP=BD时，x=y，即x=﹣x2+x，解得，x=1；DP=BD时，作DG⊥BP于G，则BG=BP=x，∴=，则y=x，由题意得，x=﹣x2+x，解得，x1=0（舍去），x2=；当DP=BP时，=，解得，y=x，则x=﹣x2+x，解得，x=0；如图3，当点D在线段AB的延长线上时，作PQ⊥AB交BA的延长线于Q，设PQ=4k，则QB=3k，由勾股定理得，PB=5k，则BD=5k，AQ=3k﹣5，∵∴△APD∽△ABP，∴=，即AP2=AD?AB，∴（4k）2+（3k﹣5）2=5×（5+5k），解得，k=，则PB=5k=11，综上所述，当BP=1、、时，△BDP是等腰三角形．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。