2012,2013,2014年概率论与数理统计期末考试试卷答案

2012年概率论与数理统计期末考试试卷

一. 填空题(每题5分, 共30分)

1. 设随机变量X 服从正态分布(1,4)N , 已知(1)a Φ=, 其中()x Φ表示标准正态分布的分布函数, 则{13}P X -≤≤=21a -.

解: 111311{13}11(1)(1)2222(1)(1(1))2(1)12 1.X X P X P P a -----⎧⎫⎧

⎫-≤≤=≤≤=-≤≤=Φ-Φ-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭

Φ--Φ=Φ-=- 2. 设概率()0.3,()0.5,()0.6P A P B P A B ==+=, 则()P AB = 0.1 . 解: ()()()()0.2P AB P A P B P A B =+-+=,

()()()0.30.20.1P AB P A P AB =-=-=.

3. 设随机变量,X Y 的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是1, 4, 两者相关系数是—0.5, 则由契比雪夫不等式估计(|2|6)P X Y +≥≤ 13/36 . 解: 由已知条件得, (2)2220E X Y EX EY +=+=-+=,

(2)4()2(,2)4()4(,)D X Y DX D Y Cov X Y DX D Y Cov X Y +=++=++

4()41164(1/2)213DX D Y ρ=++=++⋅-⋅=, 所以, 13(|2|6)36

P X Y +≥≤

. 4. 已知,X Y 是具有相同分布的两个独立随机变量, 且

1(1)(1)2

P X P Y =-==-=, 1

(0)(0)2

P X P Y ====, 则()P X Y == 1/2 . 解:

()(0,0)(1,1)1

(0)(0)(1)(1).

2

P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ====+=-=-===+=-=-=

5. 设1216,,,X X X 是来自2

(0,)N σ的样本, S 是样本均方差, 则

16

1

4i

i X

S

=∑服从t (15).

解: 由定理3

(15)t ,

16

16

1

1(15)4i i

i X X X t S ===∑∑.

6. 设1281,,

,(,9)X X X N μ, 要检验假设0:0H μ=, 则当0H 为真时, 用于检验

的统计量3X 服从的分布是(0,1)N . 解: 由定理1

(0,1)X N , 3(0,1)X N .

二. 解答下列各题:

7. (10分)已知男人中色盲人数所占比例是5%, 女人中色盲人数所占比例是0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人, 求该人恰是色盲者的概率.

解: 设A =“该人是色盲”, 1A =“该人是男人”, 2A =“该人是女人”.

由全概率公式知, 2

1

11

()()()0.050.0025 2.625%22i i i P A P A P A A ===⨯+⨯=∑.

8. (10分) 从只含3红, 4白两种颜色的球袋中逐次取一球, 令

1,,

0,i X ⎧=⎨⎩第次取出球第次取出白球，i 红i 1,2i =. 实在不放回模式下求12,X X 的联合分布律,

4/7 3/7 j P

因为1212{0,0}{0}{0}P X X P X P X ==≠==, 所以12,X X 不独立. 9. (10分)设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为

3,01,,

(,)20,

x

x x y x f x y ⎧<<-<<⎪=⎨⎪⎩其他，

求,X Y 的边缘概率密度函数. 解: 当01x <<时, 23()(,)32

x

X x x

f x f x y dy dy x +∞-∞

-===⎰

⎰

.

所以,23,01,

()0,

.其他X x x f x ⎧<<=⎨⎩

当10y -<<时, 1233

()(1)24

Y y x f y dx y -==-⎰;

当01y ≤<时, 1

2

33()(1)24Y y x f y dx y ==-⎰; 所以,23(1),11,()4

0,.其他Y y y f y ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩

10. (10分) 设,X Y 相互独立, 且(1)(1)0P X P Y p ====>, (0)(0)10P X P Y p ====->,

令1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩当为偶数,

当为奇数,求Z 的分布律.

解:

{0}{0,1}{1,0}{0}{1}{1}{0}2(1)P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===- 22{1}{0,0}{1,1}{0}{0}{1}{1}(1).P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===+- 所以, Z

11. (10分12

,

,X 是来自具有分布的总体的随机样本,试用中心极限定理计算()5

P X >.(已知(2)0.508Φ=.)

解: 由题知1()3i E X =,2()1i E X =,故()228()9

i i i D X EX EX =-=. 由中心极限定理知,200

12001600

(

,)39

i

i X N =∑. 所以, 1

1111()4014052005n i n n i i i i i X P X P P X P X ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪>=>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎪⎝⎭∑∑∑

1

200200403311(2)(2)0.508404033n i i X P =⎛⎫-- ⎪ ⎪=-≤

≈-Φ-=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭

∑. 12. (10分)设总体X 的密度函数为36(),0,(;)0,其他,x

x x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩

求θ的矩估计ˆθ