数字信号处理方勇第一章习题答案

习 题1-1 有一个连续信号)2cos()(ψπ+=ft t x a ，式中Hz f 20=，2πψ=，（１） 求出)(t x a 的周期；（２） 用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样，写出采样信号)(ˆt xa 的表达式； （３） 画出对应)(ˆt xa 的时域离散信号（序列）)(n x 的波形，并求出)(n x 的周期。

解：（1）)(t x a 的周期是s fT a 05.01==（2）∑∞-∞=-+=n a nT t fnT t x)()2cos()(ˆδψπ∑∞-∞=-+=n nT t nT )()40cos(δψπ（3）)(n x 的数字频率为πω8.0=，252=ωπ周期5=N 。

)28.0cos()(ππ+=n n x ，画出其波形如题1-1图所示。

题1-1图 1-2 设)sin()(t t x a π=，()()sin()a s s x n x nT nT π==，其中s T 为采样周期。

（1）)(t x a 信号的模拟频率Ω为多少？ （2）Ω和ω的关系是什么？（3）当s T s 5.0=时，)(n x 的数字频率ω为多少？ 解：（1）)(t x a 的模拟频率s rad /π=Ω。

（2）Ω和ω的关系是：s T ⋅Ω=ω。

（3）当s T s 5.0=时，rad πω5.0=。

1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。

（1）)873cos()(ππ-=n A n x ，A 为常数；（2）)81()(π-=n j e n x 。

解： （1）πω73=，3142=ωπ，这是有理数，因此是周期序列，周期是14=T ； （2）81=ω，πωπ162=，这是无理数，因此是非周期序列。

1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列)()(n u a n h n =，10<<a 。

对于矩阵输入序列，1,01()0N n N R n ≤≤-⎧=⎨⎩,其他 求出输出序列，并用MA TLAB 计算，比较其结果。

分析：输入)()(n R n x N =，线性时不变系统的输出等于输入序列与单位脉冲响应的卷积，用公式表示为∑∞-∞=-⋅=*=k k n h k x n h n x n y )()()()()(为了计算输出序列的第n 个值，必须计算出乘积)()(k n h k x -⋅，并将所得到的序列值相加。

解：输出序列∑∞-∞=-⋅=*=k k n h k x n h n x n y )()()()()(可以分成三种情况来求解：（１） 当0<n 时，由于)(k n h -和)(k x 的非零取样互不重叠，因此0)(=n y 。

（２） 当10-≤≤N n 时，从0=k 到n k =，)(k n h -和)(k x 的非零取样值有重叠，因此 ∑∑=-∞-∞==-⋅=nk k n k a k n h k x n y 0)()()(aa a a an n n--=--=+---1111111（３） 当1-≥N n 时，)(k n h -和)(k x 重叠的非零取样值从0=k 到1-=N k ，因此∑∑-=--==-⋅=11)()()(N k kn N k a k n h k x n y11)11(11+-----=--=N n n N na aa a a a所以 110,01(),0111(),11n nn N n ay n n N a a aN n a +-+⎧⎪<⎪-⎪=≤≤-⎨-⎪⎪--<⎪-⎩利用MATLAB 求其响应,程序如下： a=1/2;N=20; n=0:N-1; c=[1]; d=[1 -a]; x=ones(1,N); y=filter(c,d,x); stem(n,y); ylabel('y(n)');题1-4图 输出相应序列()y n1-5 设)()(n u a n x n =，)1()()(1--=-n u ab n u b n h n n ，求)()()(n h n x n y *=。

解： az zz X -=)(，a z >bz a z b z a b z z z H --=---=)(，b z > 所以， bz zz H z X z Y -==)()()(，b z >其Z 反变换为)()]([)()()(1n u b z Y n h n x n y n =Z =*=-显然，在a z =处，)(z X 的极点被)(z H 的零点所抵消，如果a b <，则)(z Y 的收敛域比)(z X 与)(z H 收敛域的重叠部分要大。

1-6 求下列序列的Z 变换及其收敛域，并用MA TLAB 画出零极点示意图。

（１）双边指数序列nan x =)(，01a <<；（２）正弦调制序列)()cos()(0n u n Ar n x n φω+=，10<<r 。

解：（1）双边指数序列可写为,0(),0nna n x n an -⎧<=⎨≥⎩ 其Z 变换为11011()1n nn nn n n n n X z a zaza z az ∞-∞----==-∞==+=+-∑∑∑ 211111(1)11111(1)()n nn z a a z az az az az z a ∞--=-=+-=+-=-----∑ na n x =)(，10<<a 是一个双边序列，其收敛域为1a z a <<表示极点，极点为z a =，a 1，零点为0z =。

其极点、零点图如图所示，图中⨯表示极点，○表示零点。

利用MATLAB 画出其零极点，如题1-6图(a)所示： a=3;y=1-a*a; b=[0 y 0]; a=[-a y -a]; zplane(b,a);题1-6图(a ) 零极点图（2）)(2)()cos()()()(000n u e e Arn u n Ar n x n j n j nnφωφωφω+-++=+=， 10<<r 我们将其分解为标准的指数序列形式，然后根据Z 变换的求和定义式求得其对应的Z 变换、收敛域并画出零极点图。

其Z 变换为00()()100()cos()2j n j n nnnnn n e e X z Ar n zA r z ωφωφωφ+-+∞---==-∞+=+=∑∑0010111220cos cos()112(1)2(1)12cos j j j j A Arz A A e e re z re z rz r zϕϕωωϕωϕω--------=+=---+ 收敛区域为z r >，极点为0j z reω=，0ωj re-，零点为0z =，φφωcos )cos(0-r 。

其对应的零极点图如题1-6图所示。

利用MATLAB 画出其零极点,如题1-6图(b)所示： A=1;r=1;w0=4*pi; w=2*pi;x=2*r*cos(w0);y=A*r*cos(w0-w); b=[A*cos(w) -y ]; a=[1 -x r*r];zplane(b,a);题1-6图(b ) 零极点图讨论 通常将正弦序列信号展开为两个基本复指数序列和或差的形式，然后按照Z 变换定义式求起对应的Z 变换和收敛域。

对于Z 变换表达式可表示为等比级数和的形式的序列，其Z 变换的收敛域是保证等比小于1，如本例中要保证011j q z re ω-=<，可得收敛域为z r >。

ωj re题1-6图 零极点示意图1-7 已知,0(),1nna n x n bn ⎧≥=⎨-≤-⎩， 求其Z 变换及其收敛域。

并用MATLAB 求解。

解：这是一个双边序列，其Z 变换为n n n n nn n nz b z azn x z X ---∞=∞=-∞-∞=-∑∑∑-==1)()(bz za z z bz az -+-=-+-=--111111))(()2(b z a z b a z z ----=，b z a << MATLAB 求解程序如下： F=ztrans(sym('a^k+b^k'))结果为：F =- z/(a - z) - z/(b - z)1-8 求1125()16z X z z z ---=+-,23z <<的逆Z 变换，并用MATLAB 求解。

解：由部分分式展开可得 1111()1213X z z z--=--+, 因为23z <<。

所以得20()(3)nnn x n n ⎧≥=⎨-<⎩MATLAB 求解： 程序如下：syms k z ; Fz=5*z/(z^2+z-6); fk=iztrans(Fz,k)运行结果： fk =2^k - (-3)^k 1-9 判断系统（1）∑==nm m x n y 0)()(，（2）)()(n nx n y =是否为时不变系统，并利用MA TLAB 验证。

解：（1）令输入为)(0n n x -，输出为00()[()]()nm Y n T x n n x m n ==-=-∑而0()y n n -=00()()n n m x m Y n -=≠∑，所以系统是时变的。

MATLAB 验证：令 ()(1)2()(1)x n n n n δδδ=+++-，01n = 程序如下：x=[1 2 1];n0=1;n=-1:1;x0=[2 1];%x0为x 横坐标非负的值 y=cumsum(x0); Y=cumsum(x);subplot(3,2,1);stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('输入');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');title('输出');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n-n0)');title('输入');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y);xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('输出');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,4);n=1:2;stem(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('输出');axis([-1,3,0,4]);-1123n x (n )输入-1123024n y (n )输出-1123024n x (n -n 0)输入-1123024nY (n )输出-1123024ny (n -n 0)输出题1-9图(a ) 时变性验证（2）令输入)(0n n x -，输出00()[()]()Y n T x n n nx n n =-=- 而000()()()()y n n n n x n n Y n -=--≠，所以系统为时变的。