天天基金专题研究：风险价值(VaR)与期望损失(ES)简析

衡量极端损失的风险度量指标
报告摘要：
风险价值(VaR)与期望损失(ES)--- 衡量极端损失的风险度量指标。

比起收益率波动幅度，投资者往往更为关心投资组合的极端损失风险，VaR与ES即为衡量投资组合极端损失风险的常用指标。

VaR的含义为在一定的概率水平下，某一投资组合在未来特定时期内的最大可能损失；而ES的含义为当投资组合的损失超过VaR阀值时所遭受的平均损失程度。

由于ES在VaR的基础上进一步考虑了出现极端情况时的平均损失程度，因此可以更为完整地衡量一个投资组合的极端损失风险。

从过去五年Var和ES与业绩表现的相关性来看，无论是VaR还是ES均与基金的累计收益率呈显著负相关，即VaR或ES越小，基金的累计收益率往往会越高。

而ES与累计收益率的Spearman秩相关系数、t值和p值均明显小于VaR与累计收益率的Spearman秩相关系数、t值和p值。

这表明ES与累计收益率的负相关性比VaR更强，并且也更为显著。

从过去五年的累计收益率来看，VaR最小的10只股基组合和ES最小的10只股基组合分别取得了81.47%和90.35%的累计收益率，而同期中证股票基金指数和沪深300指数则分别上涨49.60%和28.18%。

可以看到无论是VaR组合还是ES组合均能够对中证股票基金指数获得可观的累计超额收益。

而ES组合的累计收益率持续跑赢VaR组合的累计收益率，表现略胜一筹。

这与VaR和ES与业绩表现相关性的检验结果相一致。

建议投资者在考察股票型基金的极端损失风险水平时优先考虑ES指标。

VaR与ES均与基金的业绩表现呈显著负相关，通过VaR和ES筛选出的两组基金组合也均能够实现明显超越市场平均水平的收益。

而ES由于进一步考虑了投资组合的损失超过风险阀值(即VaR)时的平均损失程度，因此能够更为完整地反映出投资组合的极端损失风险。

ES与基金业绩表现的负相关性更强且更为显著，通过ES指标筛选出的基金组合在累计收益率上也较VaR组合略胜一筹。

故建议投资者在考察股票型基金的极端损失风险时优先考虑ES指标。

一、风险价值(VaR)与期望损失(ES)---衡量极端损失的风险度量指标
在传统的投资组合理论模型中，一个投资组合(单个资产亦可以看成是投资组合的一种特殊类型)的风险常常以方差(或标准差)来进行度量。

然而方差反映的是一个投资组合收益率的整体波动幅度，并没有对下行波动和上行波动进行区分，也没有体现出投资组合的极端损失风险。

而比起收益率波动幅度，投资者往往更为关心投资组合的极端损失风险，即投资组合在很大的概率下所能出现的最大损失。

如果这一指标较低，即使投资组合收益率的波动很大，对亏损承受力较低的投资者来说也一样会有吸引力。

在这一背景下，风险价值(Value at Risk， VaR)的概念于1993年被提出.VaR的含义为在一定的概率水平下，某一投资组合在未来特定时期内的最大可能损失。

我们假设一个投资组合在未来特定时期内的损失是一个随机变量X，则其在a这个置信水平下的VaR的数学定义为：
例如，取a=95%，则上述定义的含义为：我们有95%的把握使投资组合在未来特定时期内的损失低于VaRa(X)。

因此即为在95%的概率水平下投资组合可能出现的最大损失。

可以看到VaR对于亏损承受能力较低的投资者来说是一个相当重要的指标，选择VaR
较小的投资组合往往会将投资者在正常情况下(比如95%的概率水平下)的最大损失控制在
一个较低的水平，有效遏制了投资组合的下行波动风险。

然而VaR也存在明显的缺陷。

首先VaR没有考虑一旦非正常情况出现(即投资组合的损失超过VaR)其极端损失的严重程度。

我们仍以上面的例子来说明，刚刚我们只确定了投资组合的损失有95%的概率不会超过
VaRa(X)，然而毕竟存在5%的概率使投资组合的损失超过VaRa(X)，一旦这种情况出现，投资组合将会面临怎样的极端损失？这个信息我们无法通过VaR获得。

其次，VaR不满足次可加性(即投资组合的VaR不超过组合中各个单个资产的VaR的和的性质)，这样就意味着以VaR作为风险度量指标可能出现投资组合的总体风险大于组合中各资产的个体风险的总和
的情况，违背了以分散化投资来降低投资组合风险的初衷。

为了克服VaR的不足，Rockafeller和Uryasev提出了期望损失(Expected Shortfall，ES)的概念。

ES的含义为当投资组合的损失超过VaR阀值时所遭受的平均损失程度。

我们将一个投资组合在未来特定时期内的损失用随机变量X来表示，则其在a这个置信水平下的ES的数学定义为：
注意到投资组合的ES在数学上是以损失在超过VaR时的条件期望来定义的。

如果所有投资组合的损失都服从正态分布，那么在数学上容易看到VaR和ES所提供的信息是相同的：即VaR较小的投资组合其ES也较小，VaR较大的投资组合其ES也较大(具体数学原理可以参考相关文献，本文不做赘述)。

因此我们只需通过一个指标就可以完整了解投资组合的极端损失风险水平。

此时，我们计算VaR和ES的方法为通过一段时期的历史收益率数据算出投资组合损失的平均值和标准差，然后在损失服从相应的正态分布的假设下计算其VaR和ES.
但是从历史数据来看，投资组合的损失往往并不服从严格的正态分布。

这时VaR和ES 作为风险度量的指标不再提供相同的信息：VaR(即正常情况下未来特定时期内的最大可能损失)较小的投资组合可能会有比较大的ES(即非正常情况出现时的极端损失)。

因此用VaR和ES进行投资组合的风险评判会得出不同的结果。

通过以上分析我们可以看到，由于ES在VaR 的基础上进一步考虑了出现极端情况时的平均损失程度，因此可以更为完整地衡量一个投资组合的极端损失风险。

同时，我们可以证明ES满足次可加性(即投资组合的ES不超过组合内各资产ES的总和)，以其作为风险度量的指标符合以分散化投资来降低整体风险的投资目的。

二、VaR与ES的计算方法介绍
计算VaR和ES的常用方法包括正态分布法，历史数据模拟法等。

其中的正态分布法我们在上一节中已经提到过，就是在假设投资组合的损失服从正态分布的条件下进行VaR和ES的计算，然而从历史数据来看投资组合的损失并不服从严格的正态分布，因此该方法计算出的VaR与ES可能会与市场实际情况发生偏差。

历史数据模拟法则是根据投资组合在过往历史中的收益率表现以其损失分布的频率来模拟其损失的概率分布，进而进行VaR与ES 的计算。

在选取的计算区间较长的情况下，历史数据模拟法能够比较真实的反映出投资组合的实际损失分布情况，因此本文在计算VaR与ES时均采用历史数据模拟法.
下面我们以嘉实研究精选在过去五年(2009年-2013年)的月度收益率数据为例简单介绍一下用历史数据模拟进行VaR和ES计算的方法。

首先我们将过去五年嘉实研究精选的月度收益率数据按照升序排列在表格1中展示出来：
表格1 嘉实研究精选在2009-2013年的月度收益率(按照月度收益率升序排列)
数据来源：Choice资讯，天天基金研究中心，时间区间：2009/1/1-2013/12/31
容易看到，嘉实研究精选在纳入统计的60个月中有57个月的月度收益率超过了2011年1月的收益率-7.01%，占比95%。

如果我们以这60个月的收益率分布来模拟嘉实研究精选月度收益率的概率分布，那么我们就有95%的把握使嘉实研究精选的月度损失低于7.01%。

因此在95%的置信水平下，以过去五年的月度收益率计算的嘉实研究精选的VaR即为7.01%。

而一旦嘉实研究精选的月度损失达到或超过了7.01%(即在2009年8月、2011年9月和2011年1月)，其平均损失的程度即为2009年8月、2011年9月和2011年1月这三个月的月度损失的平均值：1/3*(14.20%+10.17%+7.01%)=10.46%。

因此根据定义我们得到嘉实研究精选在95%的置信水平下的ES即为10.46%。

三、VaR和ES与基金业绩相关性比较
本节中我们将对成立于2009年以前的139只普通股票型基金的VaR和ES与业绩表现的相关性进行分析，然后分别通过VaR和ES这两个指标进行基金筛选，通过分析和筛选的结果比较两种风险度量指标的优劣。

其中VaR和ES的计算方法采用上一节中介绍过的历史数据模拟法，所选取的数据区间为2009年至2013年这五年中60个月的月度收益率数据，置信水平取为95%。

VaR和ES与基金业绩表现的相关性我们通过过去五年基金的VaR和ES与累计收益率的Spearman秩相关系数进行分析。

Spearman秩相关系数的含义解释如下：在5%的显著性水平下，如果p值大于0.05则表示ES或VaR与累计收益率相关性不显著，如果p 值小于0.05且相关系数为正，则判定ES或VaR与累计收益率呈显著正相关，否则即判定为
显著负相关。

在已经判定为显著负相关的基础上，如果Spearman秩相关系数越小，则表明负相关性越强；而t值和p值越小则表明负相关性越显著。

经过计算，过去五年中139只普通股票型基金的VaR和ES与累计收益率的Spearman 秩相关系数检验结果如下：
表格2 过去五年VaR与累计收益率的相关性检验结果
数据来源：Choice资讯，天天基金研究中心，时间区间：2009/1/1-2013/12/31
表格3 过去五年ES与累计收益率的相关性检验结果
数据来源：Choice资讯，天天基金研究中心，时间区间：2009/1/1-2013/12/31
可以看到过去五年中无论是VaR还是ES均与基金的累计收益率呈显著负相关，即VaR 或ES越小，基金的累计收益率往往会越高。

而ES与累计收益率的Spearman秩相关系数、t 值和p值均明显小于VaR与累计收益率的Spearman秩相关系数、t值和p值。

这表明ES与累计收益率的负相关性比VaR更强，并且也更为显著。

下面我们分别筛选出过去五年中VaR最小的10只普通股票型基金和ES最小的10只普通股票型基金(见表格2和表格3)，通过其收益率表现进一步验证之前的相关性分析结果。

表格4 过去五年中VaR最小的10只普通股票型基金
数据来源：Choice资讯，天天基金研究中心，时间区间：2009/1/1-2013/12/31
表格5 过去五年中ES最小的10只普通股票型基金
数据来源：Choice资讯，天天基金研究中心，时间区间：2009/1/1-2013/12/31
为了对两种风险度量指标筛选出的基金的收益率表现进行比较，我们对两组基金组合构建如下投资策略：自2009年1月开始，等权重配置组合中的10只基金，持仓直至2013年12月31日为止。

过去五年中在该投资策略下VaR最小的10只普通股票型基金组合(以下简称VaR组合)和ES最小的10只普通股票型基金组合(以下简称ES组合)分别取得了81.47%和90.35%的累计收益率，而同期中证股票基金指数和沪深300指数则分别上涨49.60%和28.18%。

可以看到无论是VaR组合还是ES组合均能够对中证股票基金指数获得可观的累计超额收益。

而ES组合的累计收益率持续跑赢VaR组合的累计收益率，表现略胜一筹。

这与通过Spearman秩相关系数检验得到的ES与基金业绩负相关性更强且更为显著的结论相一致。

(数据来源：Choice资讯)
四、总结
通过以上分析可以看到，VaR和ES虽然只是衡量投资组合极端损失风险的指标，并没有考虑风险阀值内的收益水平，但两项指标均与基金的业绩表现呈现显著的负相关性，而由
这两项指标筛选出的基金组合也均能够实现明显超越市场平均水平的收益。

这说明能够较好控制极端损失风险的基金管理者亦有能力取得超越市场平均水平的长期累计收益。

而在VaR 与ES之间，ES由于进一步考虑了投资组合的损失超过风险阀值(即VaR)时的平均损失程度，因此能够更为完整地反映出投资组合的极端损失风险。

分析结果表明ES与基金业绩表现的负相关性更强且更为显著，并且通过ES指标筛选出的基金组合在累计收益率上也较VaR组合略胜一筹。

故建议投资者在考察股票型基金的极端损失风险水平时优先考虑ES指标。

免责声明：
本报告是天天基金网基于公开信息研究发布，不构成投资建议。

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市场有风险，投资需谨慎。