【一等奖教案】 数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例1
数学归纳法及其应用举例【本章学习目标】人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。
以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。
这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。
不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。
随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。
一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。
这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。
本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。
（2）研究性课题：杨辉三角。
（3）数列的极限。
（4）函数的极限。
（5）极限的四则运算。
（6）函数的连续性。
本章难点内容是：（1）数学归纳法的原理及其应用。
（2）极限的概念。
【基础知识导引】1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。
2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。
3．掌握数学归纳法的一些简单应用。
【教材内容全解】 1．归纳法前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。
再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。
像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。
对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。
（1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。
（2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。
显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。
数学归纳法及其应用举例(教案)
数学归纳法及其应用举例(教案)章节一：数学归纳法的概念与步骤教学目标：1. 了解数学归纳法的定义与基本步骤。
2. 掌握数学归纳法的一般形式。
教学内容：1. 引入数学归纳法的概念。
2. 讲解数学归纳法的基本步骤。
3. 示例说明数学归纳法的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的定义。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法的步骤。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决简单问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的概念与步骤。
2. 选取一些简单的数学问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节二：数学归纳法的证明步骤教学目标：1. 掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的证明步骤。
2. 示例说明数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
教学活动：1. 引导学生理解数学归纳法的证明步骤。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法证明简单的不等式或定理。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的证明步骤。
2. 选取一些简单的不等式或定理，尝试使用数学归纳法进行证明。
章节三：数学归纳法的扩展与应用教学目标：1. 了解数学归纳法的扩展形式。
2. 掌握数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的扩展形式。
2. 示例说明数学归纳法在解决实际问题中的应用。
教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的扩展形式。
2. 通过具体例子讲解数学归纳法在解决实际问题中的应用。
3. 让学生尝试使用数学归纳法解决实际问题。
作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的扩展形式。
2. 选取一些实际问题，尝试使用数学归纳法解决。
章节四：数学归纳法的局限性与改进教学目标：1. 了解数学归纳法的局限性。
2. 学会改进数学归纳法的证明过程。
教学内容：1. 讲解数学归纳法的局限性。
2. 示例说明如何改进数学归纳法的证明过程。
高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思
课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】知识与技能：1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法:1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想;2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法;3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.情感、态度、价值观:1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神；2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，启动思维情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等；教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：华罗庚的“摸球实验”1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？启发回答:方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？情境三: 回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程：11213143123(1)n a a a a da a da a da a n d ==+=+=+=+-设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.二、师生互动，探究问题承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？学生回答以上问题，得出结论：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般；2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法．4. 引导学生举例：⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式:2V E F -+=(V 为顶点数,E 为棱数,F 为面数)⑵ 完全归纳法实例： 如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论．设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.三 、借助史料, 引申思辨问题1： 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ），(1) 分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2) 由⑴你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？问题2： 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n ∈N 时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．教师总结: 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！问题3 ：41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数．承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 , 寻求数学证明.教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此．那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？ 结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.四、实例再现，激发兴趣1、演示多米诺骨牌游戏视频.师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：⑴ 第一块要倒下;⑵ 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.再举例：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好．应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标：1. 了解数学归纳法的基本概念和步骤。
2. 学会使用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
3. 理解数学归纳法在数学研究中的应用和意义。
二、教学内容：1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点：1. 数学归纳法的步骤和条件。
2. 运用数学归纳法证明数学命题。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解数学归纳法的定义、步骤和条件。
2. 案例分析法：分析数学归纳法的应用举例。
3. 练习法：让学生通过练习巩固所学知识。
五、教学准备：1. PPT课件：展示数学归纳法的定义、步骤、条件及应用举例。
2. 教案：详细记录教学过程和内容。
3. 练习题：供学生课后巩固练习。
【课堂导入】（在这里引入数学归纳法的话题，激发学生的兴趣，为学生学习新知识做好铺垫。
）【新课讲解】1. 数学归纳法的定义和步骤。
（1）定义：数学归纳法是一种证明命题的方法，它包括两个步骤：归纳基础和归纳步骤。
（2）步骤：①归纳基础：证明当n取最小值时，命题成立。
②归纳步骤：假设当n=k时，命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立。
2. 数学归纳法的应用举例。
（1）举例1：证明n^2 + n + 41是一个质数。
（2）举例2：证明对于任意正整数n，都有n^3 n = n(n-1)(n+1)。
【课堂练习】（请学生上台展示PPT上的练习题，讲解解题思路，巩固所学知识。
）【课堂小结】（总结本节课的主要内容，强调数学归纳法的步骤和应用。
）【课后作业】（布置课后练习题，让学生巩固所学知识。
）六、教学拓展：1. 讨论数学归纳法的一些变体，如双向数学归纳法。
2. 探究数学归纳法在解决其他数学问题中的应用，如数论、组合数学等领域。
七、课堂互动：1. 分组讨论：让学生分组探讨数学归纳法在不同数学问题中的应用。
2. 问答环节：鼓励学生提问，解答学生在学习过程中遇到的问题。
八、教学反思：1. 反思本节课的教学内容、教学方法、教学效果。
数学归纳法及应用举例
数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可。
（2）归纳思想充分体现了辩证唯物主义的特殊与一般的思想，是数学的基本思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。
（3）归纳——猜想——证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的。
（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较法，放缩法，配凑法，分析法和综合法等。
典型例题：例1．用数学归纳证明：=-n(n+1)(4n+3)。
证明：①当n=1时，左边，右边=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。
②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。
那么n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2)=-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式也成立。
由①②知，当n∈N′时等式成立，∴原命题成立。
例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。
证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。
数学教案数学归纳法及应用举例
《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案一、说教材（一）教材分析《数学归纳法及应用举例》是人教版高中数学选修2-2第二章第一节的内容,在整个高中数学知识体系中起到承上启下的作用.承上;前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。
不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。
但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。
因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。
启下;数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。
并且，本节内容有利于培养学生严密的推理能力和抽象思维能力、为后续的学习奠定了基础.（二）教学目标根据教学大纲的要求以及本教材的地位和作用，结合高三学生的认知特点确定教学目标如下：1.知识目标（1）初步了解数学归纳法的原理与实质。
（2）理解和掌握用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（3）会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
2.能力目标（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力，体会类比的数学思想。
3.情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。
（三）教学重难点根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点：1.重点；对归纳法意义的认知和数学归纳法的产生过程2.难点；对数学归纳法中递推思想的理解二、说教学法对认知主体—学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，本课将采用启发探究式教学方法四、说教学过程教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。
《数学归纳法及其应用举例》教案说明
《数学归纳法及其应用举例》教案说明第一篇：《数学归纳法及其应用举例》教案说明《数学归纳法及其应用举例》教案说明云南省曲靖市第一中学李德安一、数学归纳法的地位与作用1．数学归纳法在教材中的地位与作用数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法，它起源于正整数的归纳公理或最小数原理，而演变成各种形式。
《数学归纳法及其应用举例》是人教版高中数学新教材第三册第二章“极限”中第一部分的知识。
通过对数学归纳法的学习，可对中学数学中的许多重要结论，如等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、二项式定理以及中小学很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明，使很多数学结论更加严密，也为后继学习打下了良好的基础。
2．数学归纳法对思维发展的地位与作用人类对问题的研究，结论的发现认同，思维流程通常是观察→归纳→猜想→证明。
猜想的结论对不对，证明是尤为关键的。
运用数学归纳法解题时，有助于学生对等式的恒等变形，不等式的放缩，数、式、形的构造与转化等知识加强训练与掌握。
对数学归纳法原理的理解，蕴含着递归与递推，归纳与推理，特殊到一般，有限到无限等数学思想和方法，对思维的发展起到了完善与推动的作用。
二、数学归纳法的本质与教学目标定位数学归纳法体现了递推的思想，数学归纳法的本质就是利用递推思想去证题的一种方法。
一堂精彩的课不仅仅是传授给学生知识，更重要的是对学生能力的培养和情感的熏陶。
根据本节课的特点及布鲁纳的教学目标，特设置一条明线：如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假。
将本节课的教学目标定为三重目标：①认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法与技巧；②能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力；③情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
三、学法、教法特点及预期效果1．学法指导高中学生具有一定的逻辑思维和推理演算能力，并且对事物的认识逐步的由感性上升到理性，个体的发展由外显转化为内隐，这些都是我们学好本节的有利因素。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念和步骤。
2. 培养学生运用数学归纳法解决问题的能力。
3. 通过数学归纳法的学习，提高学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和步骤。
2. 数学归纳法的基本性质。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
2. 教学难点：数学归纳法的证明过程和逻辑推理。
四、教学方法1. 采用讲解法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生理解数学归纳法的本质。
2. 通过具体的例子，让学生掌握数学归纳法的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和表达能力。
五、教学过程1. 导入：引导学生回顾数学归纳法的定义和步骤。
2. 新课讲解：讲解数学归纳法的基本性质和应用举例。
3. 案例分析：分析具体例子，让学生理解数学归纳法的证明过程。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生进一步探索数学归纳法的应用。
六、教学评价1. 评价目标：通过本节课的学习，学生能理解数学归纳法的概念和步骤，掌握数学归纳法的证明过程，并能运用数学归纳法解决简单的问题。
2. 评价方法：课堂练习、课后作业、小组讨论、个人报告等。
3. 评价内容：学生的理解能力、应用能力、逻辑思维能力等。
七、教学资源1. 教材：《数学归纳法及其应用》2. 课件：数学归纳法的定义、步骤、例子等。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题。
4. 教学辅助工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。
八、教学进度安排1. 课时：2课时（90分钟）2. 教学安排：第一课时讲解数学归纳法的定义、步骤和基本性质，分析具体例子；第二课时进行课堂练习，总结本节课的主要内容，布置课后作业。
九、课后作业1. 复习本节课的内容，整理数学归纳法的定义、步骤和应用。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 选择一个自己感兴趣的问题，尝试运用数学归纳法进行解决，并将解题过程写成报告。
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。
2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。
2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。
3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。
五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。
2. 练习题和答案。
3. 教学工具和设备。
教案内容：一、教学目标1. 理解数学归纳法的概念和原理。
2. 学会使用数学归纳法证明与n有关的数学命题。
3. 掌握数学归纳法的应用，能够解决一些实际问题。
二、教学内容1. 数学归纳法的定义和原理。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项。
3. 数学归纳法的应用举例。
三、教学重点与难点1. 数学归纳法的概念和原理的理解。
2. 数学归纳法的步骤和注意事项的掌握。
3. 数学归纳法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示和练习相结合的方法，让学生理解和掌握数学归纳法。
2. 通过例题和练习题，培养学生的动手能力和思维能力。
3. 鼓励学生提问和讨论，提高学生的参与度和学习兴趣。
五、教学准备1. 教案、PPT和教学素材。
2. 练习题和答案。
3. 教学工具和设备。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数学归纳法的话题，让学生猜测数学归纳法的含义。
2. 引导学生思考数学归纳法在数学证明中的应用。
二、数学归纳法的定义和原理（15分钟）1. 讲解数学归纳法的定义和原理。
2. 通过PPT和示例，解释数学归纳法的步骤和注意事项。
三、数学归纳法的应用举例（20分钟）1. 通过具体的例题，演示数学归纳法的应用过程。
数学归纳法及其应用举例
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么
12 22 32 k 2 (k 1) 2 k (k 1)(2k 1) (k 1)2
6 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 2
1 4 2 7 310 k(3k 1)
＋(k 1)3(k 1) 1
(k 1)[(k 1) 1]2
4）此时，左边增加的项是
(k 1)3(k 1) 1
5)从左到右如何变形？
证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
1 4 2 7 310 k (3k 1)
k (k 1)2 , 那么 1 4 2 7 310 k (3k 1)
＋(k 1)3(k 1) 1 k (k 1)2 (k 1)3(k 1) 1
(k 1)[k (k 1) 3(k 1) 1]
(k 1)(k 2 4k 4)
(k 1)[(k 1) 1]2
对于任何n N，an (n2 - 5n 5)2 =1
不完全归纳法与完全归纳法
不完全归纳法是根据事物的部分（而不 是全部）特例得出一般结论的推理方法。
完全归纳法是一种在研究了事物的所有 （有限种）特殊情况后得出一般结论的 推理方法，又叫做枚举法。
例题2 用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
那么，2 4 6 2k 2(k 1)
=k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案云南省曲靖市第一中学 李德安教学目标：1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。
2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。
3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。
教学重点：了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。
教学难点：数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。
教学过程：一．创设情境，回顾引入师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。
首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。
过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。
结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？生：因为有姓“万”的。
师：对！有姓“万”的。
员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。
通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。
）师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。
那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？生：有。
例如等差数列通项公式的推导。
师：很好。
我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。
其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。
那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。
特点：特殊→一般。
数学归纳法及其应用举例
2n
不完全 归纳法
an 2 1中，n 5时， a5 4294967297 6700417 641 费马您错了！
欧拉(1707～1783)，瑞 士数学家及自然科学家。
2n
归纳法:
归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法. 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法 （1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法
,{ . 10a 3b 2 b 4 3a b 1 a 1
以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 4n 2
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
(2)假设当n=k时结论正确,即:
归纳法产生过程的分析
难点：数学归纳法中递推思想的
理解
教学内容
演绎推理 三段论
(一般到特殊)
推理方法
完全归纳 归纳推理
(特殊到一般)
不完全归纳
教学内容
例题引入
(1) 不完全归纳法引例
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写 字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……” 的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然 是错误的．
(2) 完全归纳法对比引例
有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每 人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁 先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣 了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三 仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比 大徒弟聪明．
12 22 k2 k2 k . 1 3 3 5 (2k 1)(2k 1) 4k 2
数学归纳法及应用列举
1
1 2
1 3
...
..
1 2n
1
n(n
*且n
1)
时，第一步应验证不等式（B）
（A）1
1 2
2
2
（C）1 1 1 3 （D）1 1 1 1 3
23
234
(2)
利用数学归纳法证明
(n 1)(n 2).....(n n) 2n 13...... (2n 1)
新授课
递推基础
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n 取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
（2）假设时 n k(k N且k n0 ) 结论正确，证明
n k 1 时结论也正确．
递推依据
(3)由（1）（2）得最后下结论
练习：
用数学归纳法证明“不等式
说是我们男神老板买下你那栋房子,目前正在重新装修.”周子叶一脸是非,“陆陆,你不打算搬回去吗？你跟他交情辣么好,一定优先租给你.”事关安身之所,婷玉也很关心,“是呀,陆陆,你这么找不是办法,不如考虑一下？”“我跟少华不一样,他hold得住那些人,我不行.”陆羽摇摇 头,“再说,以后有旅行团进村不一定吵成什么样呢.不了,我打算回城郊买栋房子算了.”金梧国际附近有二手小别墅出售,售价两百万左右の也有.她向樊大姐打听过,以自己の经济条件可以挑好一些の,要么月供,要么借钱付全款.这是最后一步.那里好歹离城区近一些,监控集中在金梧国际, 治安还行.以后她想吃什么可以叫外卖,也可以回城里吃,以后学车考个牌,二手车贼便宜.快递还给她送到家门口,特方便.至于办居住,这就要找林师兄帮忙了.等她安定下来,再慢慢考虑别の事情.云非雪见状不再多提,微笑道：“我有同学在宁海,今天中午想来一个直播,大家一起吧？我知道
3.1.2 数学归纳法应用举例 教学案 3
3.1.2 数学归纳法应用举例教学案3教学内容探索某些数列问题的结论，并用数学归纳法给出证明．教学目标1．使学生初步掌握运用归纳、猜想等合情推理方法，并结合数学归纳法，探索、发现某些数列问题的结论；2．通过问题结论的探求，培养学生的探索发现能力、逻辑思维能力和抽象概括能力；3．通过既教猜想又教证明，培养学生思维的灵活性、批判性和科学性．设计思想本节课内容是数学归纳法的重要应用之一．由于欲证明的是猜想的结果，而归纳、猜想的基础是个别试验．据此，本节课可按试验───归纳───猜想───证明的程序对具体问题展开探索研究．教学过程一、课题引入由一类新问题的探索引入课题．老师指出：关于数学归纳法，前几节课我们用它来证明了一类与自然数有关的等式、不等式以及整除性问题和几何问题，并且欲证的结论在命题中都已明确给出．然而，另有一类问题，欲证明的结论是未知的（如本章教学指导库三中的例6），这给我们证明问题带来了困难．那么用怎样的方法才能有效地探索解决这类问题呢？这是我们今天要研究的课题───归纳、猜想、证明（师边说边板书课题）．二、知识讲解本节课的教学目的之一是引导学生学习运用归纳、猜想等合情推理方法，探索某些数列问题的结论，并利用数学归纳法给出科学的证明．牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现，”布鲁纳说：“探索是数学的生命线”，这些大科学家和心理学家的哲理名言，无疑启示我们应当既教证明又教猜想，在大力推进素质教育的今天尤其如此．个别试验是归纳、猜想的基础，由于猜想所得的结论未必可靠，因而借助于数学归纳法的证明来鉴别结论的正确与否是必由之路．据此，解决本节课所提出的问题（如本章教学指导库三中的例6）的基本模式是：试验───归纳───猜想───证明．三、例题分析为既教猜想，又教证明，教学生探索问题，发现真理，可选配如下例题：例1．设数列()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12121n n 的前n 项和为Sn ，试求S1，S2，S3，S4的值，由此猜想出Sn 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．分析：本例的求解思路题目中已经给出了明示：即（1）分别求出S1，S2，S3，S4；（2）由（1）中的结果猜出Sn 的表达式；（3）对猜想用数学归纳法加以证明．显然，如何根据S1，S2，S3，S4的值的规律，合理地猜想出Sn 的表达式是解决问题的关键．解：S1=()()311121121=+⨯-⨯，S2= S1＋()()1221221+⨯-⨯15131+=52= S3= S2＋()()1321321+⨯-⨯35152+=73=S4= S3＋()()1421421+⨯-⨯63173+=94=由此猜想，Sn=12+n n（n N ∈）．用数学归纳法证明如下：当n=1时，12+n n =1121+⨯31=，又S131=，故猜想正确．假设n=k （k ≥1，k N ∈）时猜想正确，即Sk =12+k k，正确，则当n=k ＋1时，Sk ＋1= Sk ＋()[]()[]1121121++-+k k()()3212112++++=k k k k=()()()3212132++++k k k k()()()()3212112++++=k k k k()1121+++=k k即当n=k ＋1时猜想也正确．综上①，②，对一切自然数n ，Sn=12+n n都正确．通过本例讲解，使学生初步熟悉这类问题的探索思路．例2．已知数列｛an ｝满足Sn=2an ＋2 n （n=1，2，3，…），求这个数列的通项an ，并证明你的结论．分析：与例1相比，本题中通项an 的探求思路在本题中未作明示而需要我们自己设计．注意到通项an 与前n 项和Sn 的关系，我们可先求出关于通项的一个递推关系式，然后进行个别试验，进而归纳、猜想出an 的表达式，再用数学归纳法证明即可．解：∵ a1= S1=2a1＋2，∴ a1=－2．由an=Sn －Sn －1=（2an ＋2 n ）－（2 an －1＋2 n －1）（n ≥2），得an=2an －1－2 n －1 （n ≥2）于是，a2=2a1－21= －22 －21=－3 · 21，a3=2a2－22 = －3 · 22－22 =－4 · 22，a4=2a3－23 = －4· 23－23=－5 · 23．由此猜想：an= －（n ＋1）·2 n －1（n N ∈）．用数学归纳法证明如下：当n=1时，－（n ＋1）·2n －1= －（1＋1）·21－1=－2，又a1=－2，故猜想正确．假设n= k （k ≥1，k N ∈）时猜想正确，即ak= －（k ＋1）·2k －1成立，则当n= k ＋1时，ak ＋1=2ak －2k=2·[()121-⋅+-k k ]－2k=－（k ＋2）·2 k ．即当n= k ＋1时猜想也成立．综上①，②，对一切n N ∈，an=－（n ＋1）·2 n －1都正确．通过本例的讲授，旨在使学生初步学会这类问题探求思路的设计．这里，an 与Sn 的关系的获得，为顺利地进行试验、归纳和猜想奠定了基础．例3．是否存在常数a ，b ，c 使得等式1·22＋2·32＋…＋n ()21+n =()121+n n （an2＋bn ＋c ）对一切自然数n 都成立，并证明你的结论．分析：假设符合条件的常数a ，b ，c 存在，于是这样的a ，b ，c 既然能使等式对一切自然数n 都成立，那么对具体的自然数1，2，3当然也能使等式成立．因此，可将n=1，2，3分别代入等式，求出相应的a，b，c，再用数学归纳法证明求出的a，b，c能使等式对一切自然数成立即可．解：假设存在常数a，b，c，使题设等式成立，则分别取n=1，2，3，等式也应成立．于是得.7039442424⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++cbacbacba，，解得a=3，b=11，c=10 ．即对n=1，2，3，等式1·22＋2·32＋…＋n ()21+n=()121+nn（3n2＋11n＋10）（*）成立．现在，如果我们能证明对一切自然数n，（*）式均成立，这表明a，b，c的确存在，且a=3，b=11 c=10 ．否则，a，b，c不存在．下面用数学归纳法证明．当n=1，2，3时，由上面的求解知，（*）式成立．记Sn=1·22＋2·32＋…＋n（n＋1）2．假设n=k时（*）式成立，即：Sk=()()101131212+++kkkk成立，那么，Sk＋1= Sk()()221+++kk=()()()()222110113121++++++kkkkkk=()()()()()221532121++++++kkkkkk=()()()24125312212+++++kkkkk=()()()()[]101111312212++++++kkkk．综上所述，存在常数a=3，b=11，c=10，使得题设的等式对一切自然数n都成立．在本题的求解中，我们通过取定三个特殊的自然数1，2，3，利用特定系数法探求出了常数a，b，c的值．这里，我们虽然未用“猜想”这个词，然而，当n=1，2，3时（*）式的正确性仍只是为我们奠定了猜想的基础．因此，紧接其后的利用数学归纳法证明（*）式的正确性依然是必要的步骤之一．从本质上讲，本题的求解策略仍然是“试验───归纳───猜想───证明”．四、小结本节课主要运用试验、归纳、猜想、证明等合情推理与逻辑推理方式，探求了某些数列问题的一些结论．归纳、猜想、证明是一种科学的思维模式，在试验的基础上，结合归纳、猜想、证明，就是一个完整的思维过程，它是探索、发现真理的有效途径之一．我们应当善于学习和运用这种思维和推理方式，真正做到有所发现，有所创新．。
高中数学教案——数学归纳法及其应用举例 第三课时
课题：2.1数学归纳法及其应用举例（三）教学目的：1. 牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程.2. 对数学归纳法的认识不断深化教学重点：证明整除性问题，证明与自然数n有关的几何问题．教学难点：在P(k)⇒P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：数学归纳法的应用是教学的重点，本节课着重是运用数学归纳法证明整除性问题，证明与自然数n有关的几何问题，在解析几何中主要是探索递推关系，教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的.因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答或解答问题的整个过程上.理清思路是教学的重点.即递推关系的探索发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过程的揭示为教学重点.用数学归纳法证明整除问题，P(k)⇒P(k+1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，从决定n=k时，P(k)做何种变形，一般地只有将n=k+1时P(k+1)的整式进行分拆配凑成P(k)的形式，再利用归纳假设和基本事实.这个变形是难点.用数学归纳法证明几何中的问题时，难点就是在P(k)⇒P(k+1)递推时，找出n=k与n=k+1时的递推公式，这是关键所在.要分析增加一条曲线或直线后，点、线段、曲线段、平面块在P(k)基础上净增多少，于是就找出了相应的递推关系教学过程：一、复习引入：1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般2. 不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k∈N*，k≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n =n 0时，命题成立，再假设当n =k (k ≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n =k +1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n =k +1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.二、讲解范例： 例1用数学归纳法证明：x 2n －y 2n (*n N )能被x +y 整除 证明: (1)当n =1时，x 2n －y 2n =x 2－y 2=(x －y )(x +y )所以(x －y )(x +y )能被x +y 整除.故n =1时命题成立.(2) 假设n =k 时x 2k －y 2k 能被x +y 整除，(利用添项去项将x 2k +2－y 2k +2配成x 2k －y 2k 的形式，再用归纳假设)因为x 2k +2－y 2k +2=x 2·x 2k －y 2·y2k =x 2(x 2k －y 2k )+x 2·y 2k －y 2·y2k =x 2(x 2k －y 2k )+y 2k (x 2－y 2)由假设x 2k －y 2k 能被x +y 整除，而x 2－y 2也能被x +y 整除.故x 2k +2－y 2k +2能被x +y 整除，即n =k +1时也成立.由(1)、(2)知命题对一切正整数都成立.例2 用数学归纳法证明：对于任意自然数n ，数11n +2+122n +1是133的倍数.证明：(1) 当n =0时，11n +2+122n +1=112+121=121+12=133.故n =0时命题成立.(2)假设当n =k 时命题成立，即11k +2+122k +1能被133整除.∴n =k +1时，11(k +1)+2+122(k +1)+1=11·11k +2+122·122k +1 =11·(11k +2+122k +1)+122·122k +1－11×122k +1 =11·(11k +2+122k +1)+122k +1(144－11)=11·(11k +2+122k +1)+122k +1·133由归纳假设知11k +2+122k +1及133都能被133整除.∴11(k +1)+2+122(k +1)+1能被133整除，即n =k +1时命题也成立.根据(1)(2)可知.命题对一切自然数都成立.说明：第一步的初始值，可能会：当n =1时，11n +2+122n +1=113+123=(11+12)(112－11×12+122)=23×(121+144－132)=23×133. ∴23×133能被133整除.即n =1时命题成立．.因为自然数中包括0，所以第一步应验证n =0，而不是n =1.本题第一步若证明n =1时命题成立，一者计算量较大，二者也不符合自然数集的新定义. 证n =0，既方便减少计算量又科学更严密.一般情况，有时为了简化计算常将证明n =1改证n =0或n =－1，这种技巧称之“提前起点”，提前起点的前提是n 为整数，否则递推无法进行.另外，利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P (k )能被p 整除，证P (k +1)能被p 整除，也可运用结论：“P (k +1)－P (k )能被p 整除⇒P (k +1)能被p 整除.”例3平面内有n (n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数为f (n )= 2)1(-n n . 证明：(1)当n =2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)=21×2×(2－1)=1， 因此，当n =2时，命题成立.(2)假设当n =k (k ≥2)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k 条直线的交点的个数f (k )等于21k (k －1).现在来考虑平面内有k +1条直线的情况.任取其中的一条直线，记为l .(如例3图所示).由上述归纳法的假设，除l 以外的其他k 条直线的交点个数为f (k )=21k (k －1). 另外，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的21k ·(k －1)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是21k (k －1)+k =21k ［(k －1)+2］=21(k +1)［(k +1)－1］. 这就是说，当n =k +1时，k +1条直线的交点个数为f (k +1)=21(k +1)［(k +1)－1］. 根据(1)、(2)可知命题对任何大于1的正整数都成立．三、课堂练习：1．n为奇数时x n+y n能被x+y整除.证明：(1)当n=1时，x n+y n=x+y，它能被x+y整除，所以n=1时命题成立.(2) 假设当n=k(k为正奇数)时，命题成立，即x k+y k能被x+y整除.当n=k+2时，x k+2+y k+2=x2·x k+y2·y k=x2(x k+y k)+y2·y k－x2·y k=x2(x k+y k)+y k(y2－x2)=x2(x k+y k)+y k·(y+x)(y－x).由归纳假设知.x k+y k能被x+y整除.(y+x)(y－x)也能被x+y整除.∴x2(x k+y k)+y k(y+x)(y－x)能被x+y整除.即x k+2+y k+2也能被x+y整除.故对n=k+2时也成立.即第k+1个奇数也成立.由(1)、(2)知命题对一切正奇数都成立2. 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.证明：(1)当n=1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)=1－1+2=2.因此，n=1时命题成立.(2)假设n=k时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k2－k+2个部分.则n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分，因此：f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2.∴n=k+1时命题也成立.由(1)、(2)知对一切n∈N*，命题都成立.四、小结：本节课我们主要是学习了运用数学归纳法证明整除问题和几何中的问题.运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式进行求解.在证明整除时，为了得到相等的式子，同时添加一些项，再去掉一项，用数学归纳法证明几何问题，证题的关键是弄清增加一条直线能够增加多少不同的交点，解此类问题常运用几何图形的性质，可注意加以运用五、课后作业：用数学归纳法证明下列各题.1.两个连续正整数的积能被2整除.提示：设n∈N*，则要证明n(n+1)能被2整除.(1)n=1时，1×(1+1)=2.能被2整除，即命题成立.(2)假设n=k时，命题成立，即k·(k+1)能被2整除.那么当n=k+1时，(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1).由归纳假设k(k+1)及2(k+1)都能被2整除.∴(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1时命题也成立由(1)、(2)可知，命题对一切n∈N*都成立.2.x n－y n(n∈N*)能被x－y整除.提示：(1)n=1时，x1－y1能被x－y整除.(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立，即x k－y k能被x－y整除.那么n=k+1时，x k+1－y k+1=x·x k－y·y k=x(x k－y k)+x·y k－y·y k=x(x k－y k)+y k(x－y).由归纳假设x k－y k及x－y能被x－y整除，所以x k+1－y k+1能被x－y整除.3.凸n边形的内角和f(n)=(n－2)·180°(n≥3).提示：(1)n=3时,图形是三角形，内角和为180°.又f(3)=(3－2)·180°=180°.∴n=3时命题成立.(2)假设当n=k时，命题成立，即凸k边形的内角和为f(k)=(k－2)·180°, 那么n=k+1时，凸k+1边形的内角和是在原来的凸k边形的基础上增加一个三角形，内角和f(k)+180°=(k－2)·180°+180°=［(k+1)－2］·180°.而f(k+1)=(k+1－2)·180°∴n=k+1时，命题也成立.由归纳假设凸n边形的内角和为f(n)=(n－2)·180°(n≥3).六、板书设计（略）七、课后记：。
《数学归纳法及其应用举例》
《数学归纳法及其应用举例》教案重庆第八中学校 邓礼咸【教学目标】知识与技能：1. 了解由归纳法得出的结论具有不可靠性, 理解数学归纳法的原理与本质;2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤及其简单应用；3. 培养学生观察、探究、分析、论证的能力, 体会类比的数学思想． 过程与方法:1.创设情境，激发学生学习兴趣，让学生体验知识的发生与发展过程;2.通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法;3.通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感与价值观:1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；2.通过对数学归纳法原理和本质的讨论，培养学生团结协作的精神；3.通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；【教学重点】数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.【教学难点】数学归纳法中两个条件的归纳，提炼和理解,及数学归纳法证明命题的两个步骤.【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一、创设情境，引入课题情境一、“摸球实验”这盒子中装的不是糖，而是乒乓球，下面抽几个同学从盒中分别摸出一个球，并判断乒乓球的颜色，由此猜想这盒子中所有乒乓球的颜色。
问：这个猜想对吗？ 答：不对问：怎样判断这个猜想是对的？ 答：把它全部倒出来看或一个一个摸出来看。
问：为什么可以一个一个摸出来看？答：因为是有限的。
问：如果是无限的呢？ 答：不能采用一个一个摸出来看。
再看一个数学问题：情境二：已知n a ＝22)55(+-n n （*n N ∈），(1) 分别求1a ；2a ；3a ．（由学生齐答1a ；2a ；3a 的值，老师播放幻灯片）(2) 由此猜想出n a 的值？这个猜想正确吗？检验：451,251a a ==≠ 所以这个猜想是错的。
《数学归纳法应用举例》 讲义
《数学归纳法应用举例》讲义一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的重要方法。
它基于两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤：证明当 n 取第一个值（通常是 1）时，命题成立。
归纳步骤：假设当 n ＝ k（k 是一个满足条件的自然数）时命题成立，然后证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
通过这两个步骤，就可以得出对于所有的自然数 n，命题都成立的结论。
二、简单的应用举例例 1：证明 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n ＝ n(n ＋ 1) ／ 2基础步骤：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1，右边＝ 1×（1 ＋ 1) ／ 2 ＝ 1，等式成立。
归纳步骤：假设当 n ＝ k 时等式成立，即 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ k ＝k(k ＋ 1) ／ 2 。
那么当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ k ＋（k ＋ 1) ，而右边＝（k ＋ 1)（k ＋ 2) ／ 2 。
左边＝ k(k ＋ 1) ／ 2 ＋（k ＋ 1) ＝（k ＋ 1)（k ＋ 2) ／ 2 ＝右边，所以当 n ＝ k ＋ 1 时等式也成立。
例 2：证明 1^2 ＋ 2^2 ＋ 3^2 ＋… ＋ n^2 ＝ n(n ＋ 1)（2n ＋ 1) ／6基础步骤：当 n ＝ 1 时，左边＝ 1^2 ＝ 1，右边＝ 1×（1 ＋ 1)×（2×1 ＋ 1) ／ 6 ＝ 1，等式成立。
归纳步骤：假设当 n ＝ k 时等式成立，即 1^2 ＋ 2^2 ＋ 3^2 ＋…＋ k^2 ＝ k(k ＋ 1)（2k ＋ 1) ／ 6 。
当 n ＝ k ＋ 1 时，左边＝ 1^2 ＋ 2^2 ＋ 3^2 ＋… ＋ k^2 ＋（k ＋1)＾2 ，右边＝（k ＋ 1)（k ＋ 2)（2k ＋ 3) ／ 6 。
左边＝ k(k ＋ 1)（2k ＋ 1) ／ 6 ＋（k ＋ 1)＾2 ，经过化简可得（k ＋ 1)（k ＋ 2)（2k ＋ 3) ／ 6 ＝右边，所以当 n ＝ k ＋ 1 时等式也成立。
数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例目的要求：1．了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法；2．理解数学归纳原理的科学性；3．初步掌握数学归纳法的适用场合及证明步骤．内容分析：1．本课是数学归纳法及其应用举例的第一课时．教师应从已学过的知识中，选择含有归纳思想方法的内容入手，引导学生体验知识形成、发现的过程．例如等差数列通项公式是通过前有限项归纳出一般结论的；凸n边形内角和公式是根据三角形、四边形、五边形、六边形内角和而发现的，……，由此提炼出不同于演绎法的数学推理方法：归纳法（由特殊到一般）．2．通过学生易于理解的一些问题，说明归纳法的两难境地：完全归纳法结论可靠，但要“完全”归纳，要么不可能做到，要么很难做到；不完全归纳法虽然简单，但结论的可靠性无法保证．通过介绍近现代数学中有名的“哥德巴赫猜想”或“费尔马猜想”，激发学生的数学兴趣，让学生接触近代的数学，感受归纳法在数学发现中的重要应用．3．通过对不完全归纳法的分析，引导学生寻求保证结论可靠的办法：关键是“传递性”是否具备，若“传递性”具备，正确的结论就会由一而二，由二而三，以至无穷．这方面例子很多，也很有趣，教师应据具体情况，借助“道具”或多媒体技术展现一、二例，详加分析；在分析过程中向“两个步骤，一个结论”靠拢，向数学归纳法原理靠拢．以下例子，可供选用：①古代用烽火台传递军情．结合“烽火戏诸侯”故事，说明数学归纳法两个步骤缺一不可．②多米诺（D o m i n o）骨牌游戏．学生大多有过体验，借助道具很好演示．③小孩数数发展过程．引导学生回忆，生动有趣。
4．本节课重点在于讲清数学归纳法的原理、适用范围及证明步骤．指出它对某些与正整数n有关的数学命题往往有用．教师可抓住机会用通俗的例子讲清原理并完整地展示证明步骤。
①证明命题对第一个值n0成立（即n＝n0时命题成立）；②利用n=k（k≥n0）成立，推出n＝k＋1时命题成立；根据①、②可知，命题对一切n∈N+，n≥n0均成立．5．对于例1，教师应规范板书，供学生解题时模仿．严防出现“依此类推”式的不完全归纳法；强调n=k成立必须应用在证明n=k ＋1成立的过程中，不可应用等差数列求和公式证明n＝k+1成立．6．三个课堂练习最好让学生板演．通过板演，发现学生证明过程中的错误．教师及时纠正、剖析，对书写规范要强调；对学生板演中好的方面予以鼓励．本课中由k到k＋1的推证，不要增加难度，注意它的可接受性．教学过程1．介绍归纳法，引出课题①观察：6＝3＋3，8=5＋3，10=3＋7，12=5＋7，14=3＋11，16＝5＋11，……78=67＋11，……，我们能得出什么结论（教师启发、引导，注意捕捉学生的议论）？这就是由1742年德国数学家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想”．②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”．这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确？①是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．②是完全归纳法，结论可靠，但一一核对困难．数学中有一种数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确（出示课题）．2．讲清原理，得出方法步骤在等差数列{a n}中，已知首项为a1，公差为d，那么a1＝a1＋0×d，a2＝a1＋1×d，a3=a1＋2×d，a4=a1＋3×d，……，a =？n由以上可知，a n＝a1＋(n－1)d，结论的猜测运用的是归纳法，是完全归纳法还是不完全归纳法？结论正确吗？如何证明呢？①先看a n＝a1＋(n－1)d，对于n=1成立吗？（成立）②假设a n＝a1＋(n－1)d，对于n=k成立，那么当n=k＋1时，成立吗？即若a k＝a1＋(k－1)d成立，当n＝k＋1时，a k+1＝a k＋[(k＋1)－1]d成立吗？（启发学生从等差数列定义入手，a k+1＝a k＋d，……·，进行推导证明）③这就是数学归纳法．它一定能保证结论正确．’举多米诺骨牌的例子，形象地说明数学归纳法成立的道理．让学生回忆自己小时候学数数的经历。
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课题：数学归纳法及其应用举例【教学目标】1．使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质．2．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．3．培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．4．努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．5．通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解【教学方法】类比启发探究式教学方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学程序】第一阶段：输入阶段——创造学习情境，提供学习内容1．创设问题情境，启动学生思维(1) 不完全归纳法引例：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．(2) 完全归纳法对比引例：有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．2． 回顾数学旧知，追溯归纳意识（从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳．）(1) 不完全归纳法实例： 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式． (2) 完全归纳法实例： 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．3． 借助数学史料, 促使学生思辨（在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此．那么，有没有更好的归纳法呢？）问题1 已知n a ＝22)55(+-n n （n ∈N ）， (1)分别求1a ；2a ；3a ；4a ．(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）问题2 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n ∈N 时，122+n一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了1252+＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n ＝5这一结论便不成立．问题3 41)(2++=n n n f , 当n ∈N 时，)(n f 是否都为质数？验证： f （0）＝41，f （1）＝43，f （2）＝47，f （3）＝53，f （4）＝61，f （5）＝71，f （6）＝83，f （7）＝97，f （8）＝113，f （9）＝131，f （10）＝151，…，f （39）＝1 601．但是f （40）＝1 681＝241，是合数．第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构 4． 搜索生活实例，激发学习兴趣（在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程．孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验．）实例：播放多米诺骨牌录像关键：(1) 第一张牌被推倒； (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下． 于是, 我们可以下结论： 多米诺骨牌会全部倒下．搜索：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等． 5． 类比数学问题, 激起思维浪花类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=：(1) 当n ＝1时等式成立； (2) 假设当n ＝k 时等式成立, 即d k a a k )1(1-+=, 则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即n ＝k ＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立．（布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．）6． 引导学生概括, 形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下： (1) 证明当n 取第一个值0n 时结论正确；(2) 假设当n ＝k (k ∈*N ，k ≥0n ) 时结论正确, 证明当n ＝k ＋1时结论也正确． 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确． 这种证明方法叫做数学归纳法．第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程 7． 蕴含猜想证明, 培养研究意识（本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．）例题 在数列{n a }中, 1a ＝1, nnn a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论． 8． 基础反馈练习, 巩固方法应用（课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点．练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充．通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．）(1)（第63页例1）用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ． (2)（第64页练习3）首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a ． 9． 师生共同小结, 完成概括提升(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想． 10． 布置课后作业, 巩固延伸铺垫(1) 课本第64页练习第1, 2题； 第67页习题2.1第2题．(2) 在数学归纳法证明的第二步中，证明n ＝k ＋1时命题成立, 必须要用到n ＝k 时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：用数学归纳法证明： 1222221132-=+++++-n n (n ∈*N )时, 其中第二步采用下面的证法：设n ＝k 时等式成立, 即1222221132-=+++++-k k , 则当n ＝k ＋1时,12212122222111132-=--=++++++++-k k kk ．你认为上面的证明正确吗？为什么？ 【教学设计说明】1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n ＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。
在此之前，学生已经学习了直线的方程，同时也学习了数形结合的数学思想方法。
在这个基础上，教材安排了这一节，介绍直线方程的一个简单应用。
这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对于数学知识应用的重视。
线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它可以解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的方法――数学建模法。
通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。
⒉教材的重点、难点和关键教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域。
为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法。
教学难点：准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域。
关键：教师引导的逻辑层次要清晰，学生的探求欲望要强烈。
3．教学大纲对这部分内容的要求了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会进行简单的应用。