全称量词与存在量词
全称量词和存在量词知识点总结
一、什么是量词？在汉语中，名词前面常常须要使用一种词语来限定其数量，这种词语就称之为“量词”。
量词在中文中扮演着非常重要的角色，它用来表示物品的单位、数量、或者一定范围内的事物的数量。
每个名词都必须和一个量词搭配，否则就会显得不够规范。
二、全称量词与存在量词的区别1. 全称量词：全称量词是用来表示事物一个整体的数量，通常情况下只能用于可数名词。
常见的全称量词有“个”、“只”、“头”、“条”等。
比如：“一栋楼”、“两条鱼”、“三个人”。
2. 存在量词：存在量词则表示事物的存在和出现的次数。
存在量词常常用于不可数名词和抽象名词。
比如：“一些水”、“许多快乐”、“少数人”。
三、数量词的使用方法1. 对于可数名词，一般情况下都需搭配量词使用。
2. 不可数名词一般只搭配存在量词使用。
3. 在某些情况下，数量词和量词可以合并使用，构成一个词组。
四、全称量词和存在量词的例子1. 全称量词的例子：（1）一只老虎（2）两个女孩（3）三条小鱼（4）四间教室（5）五根铅笔2. 存在量词的例子：（1）一些水（2）许多快乐（3）少数人（4）大量资金（5）大批货物五、注意事项1. 在使用量词时，需要注意名词的可数性，可数名词搭配全称量词，不可数名词搭配存在量词。
2. 有些名词是特指一个单位的，不需要使用量词，比如：“一年”、“一天”、“一次”。
3. 一些名词可以作为量词使用，比如“头”可以表示动物的数量，如：“三头牛”。
六、总结量词是汉语中名词的重要辅助词，用于限定名词的数量。
全称量词和存在量词分别表示事物的整体数量和存在的次数。
在使用量词时，需根据名词的可数性选择合适的量词，并注意一些特殊情况的使用方法。
对于学习和掌握量词知识，可以通过大量阅读和实际运用来加深理解。
量词知识的掌握不仅可以帮助我们说一口地道的中文，也是中文语言学习中的重要一环。
七、量词的语法用法1. 可数名词的量词使用在汉语中，可数名词的量词使用是非常常见的。
1.4 全称量词与存在量词
1.4 全称量词与存在量词1. 全称量词、全称命题定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示。
（常见的全称量词还有“一切” “每一个” “任给” “所有的”等。
）含有全称量词的命题，叫做全称命题。
如：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：简记为读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
2. 存在量词、特称命题定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。
(常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。
)含有存在量词的命题，叫做特称命题。
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
3. 同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：4. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于1．全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．∀(),x M p x∀∈，00(),x M p x∃∈，(2)含有______________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有______________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为 ____________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是( )A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是( )A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是( )A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是( )A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>25．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则( )A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1B．綈p：∀x∈R，sin x≥1C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1D．綈p：∀x∈R，sin x>16．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是( )A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________________．8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________.9．下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2x＋3>0；②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)∃x0∈R，使x20＋1<0.11．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)∃x0∈Q，x20＝5；(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．能力提升12．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．13．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．同步提升1、下列全称命题中真命题的个数是（）①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等A 1B 2C 3D 42、 下列特称命题中假命题的个数是（ ）① 有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形 A 0 B 1 C 2 D 33、 下列特称命题中真命题的个数是（ ）①0x R,x ≤∈∃②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③是无理数是无理数｝，│｛2x x x x ∈∃A 0B 1C 2D 34、 下列全称命题中假命题的个数是（ ）① 2x+1是整数（x ∈R ）②对所有的x ∈R ，x>3③对任意一个x ∈z ，2x 2+1为奇数 A 0 B 1 C 2 D 35、 下列命题为特称命题的是（ ）A 偶函数的图象关于y 轴对称B 正四棱柱都是平行六面体C 不相交的两条直线是平行直线D 存在实数大于等于36、命题“原函数与反函数的图象关于y=x 对称”的否定是（ ） A 原函数与反函数的图象关于y=-x 对称 B 原函数不与反函数的图象关于y=x 对称C 存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x 对称D 存在原函数与反函数的图象关于y=x 对称7、命题“03x -x R,x 2>+∈∀”的否定是______________ 8、命题“01x R,x 2<+∈∃”的否定是______________ 9、命题“23x x N,x >∈∀”的否定是______________10、命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ 11、把下列命题改成含有量词的命题： （1）余弦定理 （2）正弦定理12、用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题 （1）实数的平方大于等于0（2）存在一对实数，使2x ＋3y ＋3>0成立 （3）勾股定理13、写出下列命题的否定： （1）所有自然数的平方是正数（2）任何实数x 都是方程5x-12＝0的根（3）对于任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y>0（4）有些质数是奇数14、写出下列命题的否定 （1）若2x>4，则x>2（2）若m 0,则x 2＋x －m ＝0有实数根（3）可以被5整除的整数，末位是0（4）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等15、已知f(x)=ax 2+bx+c 的图象过原点（－1，0），是否存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f(x)≤2x 12＋对一切实数x 均成立？16、写出下列命题的否定，并判断其真假 （1）3＝2（2）5>4（3）对任意实数x ，x>0（4）每个正方形是平行四边形1.4 全称量词与存在量词参考答案当堂训练知识梳理1．(1)对所有的 对任意一个 ∀ (2)全称量词 (3)∀x ∈M ，p (x ) 2．(1)存在一个 至少有一个 ∃ (2)存在量词 (3)∃x 0∈M ，p (x 0) 3．(1)∃x 0∈M ，綈p (x 0) (2)∀x ∈M ，綈p (x ) 4．结论 结论 条件 作业设计1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D [“存在”是存在量词．]3．B [A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．] 4．B5．C [全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．] 6．C [特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．] 7．∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>08．存在实数m ，关于x 的方程x 2＋x ＋m ＝0没有实根 9．①②③10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0 (a >0，a ≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题．(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0， ∴命题(4)是假命题．11．解 (1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．(3)“∃x 0∈Q ，x 20＝5”是特称命题，其否定为“∀x ∈Q ，x 2≠5”，真命题．(4)“不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m ，使得方程x 2＋2x －m ＝0没有实数根”，真命题．12．存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．13．解 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a >13或a <－1.乙命题为真时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a 的取值范围是{a |a <－12或a >13}．(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13<a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值范围为{a|13<a≤1或－1≤a<－12}．同步提升答案： C A D C D C 7、03x -x R,x 2≤+∈∃ 8、01x R,x 2≥+∈∀ 9、23x x N,x ≤∈∃10、任意一个三角形都有外接圆11、任意一个三角形的三边和三角，2abc b a cosC 222-+=12、（1）0x R,x 2≥∈∀13、（1）有些自然数的平方不是正数 14、（1）存在实数x 0，虽然满足2 x 0>4，但x 0≤2。
第3节 全称量词与存在量词
第3节全称量词与存在量词知识梳理1.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.2.全称命题和特称命题1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.2.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.3.命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题.()(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题.()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词.()(4)“长方形的对角线相等”是特称命题.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1<0”的否定为________.答案∀x∈R，x2－ax＋1≥03.命题“对于函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题(填“真”或“假”).答案真解析当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数.4.(多选题)(2021·济南调研)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有()A.∃x0∈R，x20－x0＋14＜0B.所有的正方形都是矩形C.∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0D.至少有一个实数x，使x3＋1＝0答案AC解析由条件可知：原命题应为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.5.(2020·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.6.若命题“∃t0∈R，t20－2t0－a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，－1]解析命题“∃t0∈R，t20－2t0－a＜0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.∴实数a的取值范围是(－∞，－1].考点一含有一个量词的命题的否定1.已知命题p：“∃x0∈R，e x0－x0－1≤0”，则綈p为()A.∃x0∈R，e x0－x0－1≥0B.∃x0∈R，e x0－x0－1＞0C.∀x∈R，e x－x－1＞0D.∀x∈R，e x－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，e x－x－1＞0”，故选C.2.(2021·青岛模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形答案C解析“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形.3.(2021·山东重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则綈p为()A.∀f(x)∈A，|f(x)|∉BB.∀f(x)∉A，|f(x)|∉BC.∃f(x)∈A，|f(x)|∉BD.∃f(x)∉A，|f(x)|∉B答案C解析全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论.∴綈p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.4.若命题p的否定是“对所有正数x，x＞x＋1”，则命题p是________________.答案∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1感悟升华 否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.考点二 全称命题、特称命题的真假判断【例1】 (1)(多选题)(2021·德州模拟)下列四个命题中为真命题的是( ) A.∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 0B.∃x 0∈(0，1)，log 12x 0＞log 13x 0C.∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞log 12xD.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜log 13x(2)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x ，使x 2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x ，使1x ＞2 答案 (1)BD (2)B解析 (1)对于A ，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立，故A 是假命题；对于B ，当x ＝12时，有1＝log 1212＝log 1313＞log 1312成立，故B 是真命题；对于C ，当0＜x ＜12时，log 12x ＞1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，故C 是假命题；对于D ，∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＜1＜log 13x ，故D 是真命题.(2)A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x ＜0，不满足1x ＞2，所以D 是假命题.感悟升华 判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.【训练1】 (1)(多选题)下列命题中是真命题的有( ) A.∀x ∈R ，2x －1＞0 B.∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C.∃x 0∈R ，lg x 0＜1 D.∃x 0∈R ，tan x 0＝2(2)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( ) A.∀x ∈R ，f (－x )≠f (x ) B.∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x ) C.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0) D.∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 (1)ACD (2)C解析 (1)当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 为假命题，其余都是真命题，故选ACD. (2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例2】 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为________.(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)(－∞，－2] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞解析 (1)由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2. (2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ， 得0≥14－m ，所以m ≥14.感悟升华 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围.(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.【训练2】 (1)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________.(2)(2020·潍坊调研)若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈ [－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)1 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，得1≤tan x ＋2≤2＋ 3.∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则m ≤1.∴实数m 的最大值为1.(2)由于函数g (x )在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集.函数f (x )的值域是[－1，3]，因为a ＞0，所以函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.A 级 基础巩固一、选择题1.命题p ：“∀x >1，x 2－1>0”，则綈p 为( ) A.∀x >1，x 2－1≤0 B.∀x ≤1，x 2－1≤0 C.∃x 0>1，x 20－1≤0D.∃x 0≤1，x 20－1≤0答案C解析命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为：∃x0>1，x20－1≤0.2.(多选题)(2020·重庆质检)下列命题中是真命题的有()A.∃x0∈R，log2x0＝0B.∃x0∈R，cos x0＝1C.∀x∈R，x2＞0D.∀x∈R，2x＞0答案ABD解析因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题；02＝0，选项C为假命题；2x＞0，选项D为真命题.3.下列命题是真命题的为()A.所有的素数都是奇数B.∀x∈R，x2＋1≥0C.对于每一个无理数x，x2是有理数D.∀x∈Z，1x∉Z答案B解析对于A，2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0恒成立，B真；对于C，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C假；对于D，1∈Z，但11＝1∈Z，D假，故选B.4.已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是()A.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C.∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D.∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0答案C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0，故选C.5.(多选题)(2021·烟台调研)下列四个命题中是真命题的有()A.任意x∈R，3x>0B.存在x∈R，x2＋x＋1≤0C.任意x ∈R ，sin x <2xD.存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1 答案 AD解析 ∀x ∈R ，3x >0恒成立，A 是真命题. 又x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴B 是假命题.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π＝1>2－32π，知C 是假命题.取x ＝－12时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32，但x 2＋x ＋1＝34<32，则D 为真.6.已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，0) B.[0，4] C.[4，＋∞) D.(0，4)答案 D解析 因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题.则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4.7.已知函数f (x )＝x 12，则( ) A.∃x 0∈R ，f (x 0)＜0 B.∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0 C.∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0D.∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)＞f (x 2) 答案 B解析 幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C 错误；D 选项中当x 1＝0，结论不成立.8.(2020·江南十校联考)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)<0，则( )A.p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B.p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C.p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D.p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0答案 C解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，sin x <1，tan x >1.此时sin x －tan x <0，故命题p 为真命题.由于命题p 为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题， 则綈p 为：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0. 二、填空题9.命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0”的否定是________. 答案 ∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤010.下列命题中的假命题是________(填序号).①∃x 0∈R ，lg x 0＝1；②∃x 0∈R ，sin x 0＝0；③∀x ∈R ，x 3＞0；④∀x 1＞x 2，2x 1＞2x 2. 答案 ③解析 当x ＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x ＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x ＜0时，x 3＜0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x 1＞x 2，2x 1＞2x 2，则④为真命题.11.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.12.能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.答案 f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一，再如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2)解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).B 级 能力提升13.命题“∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *，且f (n 0)≤n 0”的否定形式是( ) A.∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B.∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D.∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 B解析 因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *且f (n 0)≤n 0”的否定形式是“∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n ”. 14.(多选题)(2021·青岛质检)下列说法正确的是( ) A.“x ＝π4”是“tan x ＝1”的充分不必要条件B.定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最大值为30C.命题“∃x 0∈R ，x 0＋1x 0≥2”的否定是“∀x ∈R ，x ＋1x ＞2”D.“所有的分数都是有理数”的否定是“有的分数不是有理数” 答案 ABD解析 由x ＝π4，得tan x ＝1，但由tan x ＝1不一定推出x ＝π4，可知“x ＝π4”是 “tan x ＝1”的充分不必要条件，所以A 正确；若定义在[a ，b ]上的函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 是偶函数，则⎩⎨⎧a ＋5＝0，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝5，则f (x )＝x 2＋5，其在[－5，5]上的最大值为30，所以B 正确；显然C 错误，D 正确.15.若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________.答案 (－∞，22]解析 若“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立”是假命题， 即“∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ＞2x 0＋1x 0成立”是假命题， 则“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ≤2x ＋1x 成立”是真命题， x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，当x 0＝22时，2x 0＋1x 0取最小值22， 故实数λ的取值范围为(－∞，22].16.已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.。
全称量词与存在量词
(2009·宁夏、海南)有四个关于三角函数的命题： p1：∃x∈R， p3：∀x∈[0，π], 其中的假命题是( A．p1，p4 ) B．p2，p4 C．p1，p3 D．p2，p3 ；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y； ＝sin x；p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝ .
题．
(3)此命题是“綈p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该 不等式的一个解，所以命题p为真命题，即綈p为假命题．所以原命题为假命题.
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)
成立；但要判断全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0， 使得p(x0)不成立即可． 2．要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个 x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
(1)
属于集合Q，也属于集合R；
(2)矩形的对角线互相垂直或相等； (3)不等式|x＋2|≤0没有实数解．
思路点拨：先确定组成复合命题的每个简单命题的真假，再根据真值表判断复合 命题的真假． 解答：(1)此命题为“p∧q”的形式，其中p： ∈Q，q： ∈R，因命题p为假命题， 命题q为真命题，所以命题“p∧q”为假命题．故原命题为假命题． (2)此命题为“p∨q”的形式，其中p：矩形的对角线互相垂直，q：矩形的对角线 相等，因命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题，故原命题为真命
＝sin x表示全称命题，
成立，所以命题p3是真命题；(4)由命题p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝ 当sin x＝cos y时，x＋y＝kπ＋ 答案：A
表示全称命题，
(k∈Z)，所以命题p4是假命题．故选A.
全称量词与存在量词
x M,p(x) x M,p(x)
结论
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论
全称命题 p :
它的否定p :
x M,p(x)
全称命题பைடு நூலகம்否 定是特称命题
x0
M,p(x
)
0
探究2
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数；x M,p(x)
(x)
x2
bx
x
b 2
2
b2 4
,
最小值为
b2 4
,
令t
x2
bx, 则f
(f
(x))
f
(t) t 2
bt
t
b 2
2
b2 4
,t
b2 4
,当
b 0时, f ( f (x))的最小值为 b2 ,所以"b 0"能推出" f ( f (x))的最 4
2 特称命题p： x∈M，p(x) 它的否定 p ： x∈M， p(x)
全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题.
例1写出下列全称命题的否定： 1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；
2）p:每一个四边形的四个顶点共圆 3）p:对任意x Z，x2的个位数字不等于3。 解：1）p : 存在一个能被3整除的整数不是奇数.
它的否定 p : x0 M,p(x0 )
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下
面的结论：
特称命题 p : x0 M,p(x0)
全称量词和存在量词
解：(1)全称命题，因为x＝0时，x2＋x＋1 ＝1≠0，故是假命题．
(2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整 除，又能被5整除．
(3)全称命题，是真命题．
(4)全称命题，是假命题，因为只有x＝2或x ＝1时满足．
例题讲解
类型二、全称命题与特称命题的表述 [例2] (1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角 和 为 360°. 试 用 不 同 的 表 述 写 出 全 称 命 题 “∀x∈S，p(x)”． (2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写 出特称命题“∃x∈R，q(x)”．
(2)令y＝0，则f(x＋y)－f(y)＝f(x)－f(0)＝f(x)＋2＝(x ＋2×0＋1)x＝x2＋x，∴f(x)＋6＝x2＋x＋4.
∴要使在(0,4)上存在 )存在 x0 使 a＝x0＋x40＋1.而 x＋4x＋1≥4＋1＝5， 等号当且仅当 x＝2 时成立．
解析：当x＝0时，0∈N，但0<1. 故“∀x∈N，x≥1”是假命题． 答案：B
4．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到 这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等； ④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形； ⑥存在三角形其内角和大于180°.
既是全称命题又是真命题的是________，既是特称 命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序 号)．
解：(1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,5×3＋1＝16 均为偶数，∴是真命题． (2)∵x20－6x0－5＝0 中，Δ＝36＋20＝56>0， ∴方程有两个不相等的实根，∴是真命题． (3)∵x20－x0＋1＝0 中，Δ＝1－4＝－3<0， ∴x02－x0＋1＝0 无解，∴是假命题． (4)∵x＝－1 时，|－1＋1|＝0，∴是假命题．
全称量词和存在量词简称
全称量词和存在量词简称量词是汉语中的一个重要语言元素，它用来表示事物的数量或程度。
汉语中的量词分为两类：全称量词和存在量词。
本文将从语言学的角度，分别探讨这两种量词的特点和用法。
一、全称量词全称量词指的是表示整体数量的量词，即可以用来计算一批事物总量的单位。
常见的全称量词有：“个”、“只”、“条”、“件”等。
这些量词可以单独使用，也可以和数词一起使用。
例如，“三个苹果”、“五只猫”。
全称量词的特点是具有数量确定的特性。
因为全称量词表示的是整体数量，它的数量不会发生变化。
比如，“三个苹果”中，“三个”是确定的数量单位。
如果苹果的数量增加或减少，这个数量单位也不会变化，仍然是“三个”。
此外，全称量词还具有一定的语法特点。
在使用全称量词时，需要注意以下几点：1.全称量词后一般不加量词，但有些情况下可以加上表示数量或程度的修饰语，如“三个红苹果”、“很多只猫”。
2.在使用全称量词时，应该注意量词与名词的搭配，如“条烟”、“支笔”、“件衣服”。
3.在充当主语或宾语时，全称量词要放在名词之前，如“三只猫”、“五个小孩”。
4.在修饰名词时，全称量词一般放在名词之后，如“衣服五件”、“蓝色的鞋子两双”。
二、存在量词存在量词是表示存在数量的量词，它用来表示某个范围内存在多少个事物。
常见的存在量词有：“有”、“没有”、“几个”、“多少”等。
这些量词必须和数词或数量状语一起使用。
例如，“有三个苹果”、“几只猫”。
存在量词的特点是具有数量不确定的特性。
因为存在量词表示的是存在的数量，它的数量是不确定的。
即使是同一个场景，存在的数量也会发生变化。
比如，有时候会有“三个苹果”，有时候会有“四个苹果”，甚至会有“五个苹果”。
使用存在量词时需要注意以下几点：1.存在量词必须和数词或数量状语一起使用，如“两个苹果”、“很多猫”。
2.存在量词的数量是不确定的，常用的有“有几个”、“有多少”等。
3.存在量词有时需要加上修饰语，如“这里有两个很大的苹果”、“那里有好几只小猫”。
知识讲解_全称量词与存在量词
全称量词与存在量词【要点梳理】要点一：全称量词与全称命题 全称量词全称量词的概念：在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词． 常见的全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”、“任何”、“一切”等． 全称量词的表示：通常用符号“∀”表示，读作“对任意”． 全称命题全称命题的概念：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的形式：对M 中任意一个x ，有()p x 成立．记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题．要点二：存在量词与特称命题 存在量词存在量词的概念：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词．常见的存在量词：“有些”、“至少有一个”、 “有一个”、“存在”等． 存在量词的表示：通常用符号“∃”表示，读作“存在”． 特称命题特称命题的概念：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题的形式：存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立．记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：（1）全称命题表示整体或全部的含义，而特称命题反映对个体或整体一部分的判断.（2）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,αβ∈∈R R 使sin()sin sin αβαβ+=+． （2）有些特称命题也可能省略了存在量词．例如：“正方形是矩形”，“球面是曲面等等”. （3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述.要点三： 全称命题与特称命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上要说明这个全称命题的否定是正确的．不难发现，全称命题的否定是特称命题．全称命题p ：x M ∀∈，()p x ；p 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝．对含有一个量词的特称命题的否定要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．不难发现，特称命题的否定是全称命题．特称命题p ：0x M ∃∈，0()p x ；p 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝．要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的； (3) 一些常见量词的否定如下表所示：要点四：全称命题和特称命题的真假判断① 要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立； 要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需找出一个反例即可，即在集合M 中找到一个元素0x ，使得0()p x 不成立．② 要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素0x ，使得0()p x 成立即可； 要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，使 ()p x 成立得元素不存在．【典型例题】类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析例1．指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示．（1）对任意正实数2,20a a a -->；（2）对某个大于10的正整数n ，1024n =． 【思路点拨】根据全称量词和存在量词的概念进行判断． 【解析】（1）该命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合．该命题可写成“20,20a a a ∀>-->”．（2）该命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合．该命题可写成“*10,1024n n n N ∃>∈=．【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”、“任意”、“任何”、“存在”、“有的”、“至少”、“有”等词语，或隐含有这些词语的意思． 举一反三：【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）任何一个实数除以1仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数0x ，使2030x ->； （4）有一个实数，不能作除数； （5）棱柱是多面体；（6）有些四边形的四个边都相等．【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题；（4）特称命题；（5）全称命题；（6）特称命题.【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题．（1）∀x ∈R ，211x +≥； （2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数． 【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题； （2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题； （4）有存在量词“有些”；是特称命题．类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例2．判断下列命题的真假：（1）4,12x x ∀∈+≥N ；（2）300,1x x ∃∈<Z ． 【思路点拨】（1）对412x +≥进行等价变形，可化为41x ≥，x 取自然数0，1，2，…代入验证；（2）中0x 取整数0，123±±±，，，…代入31x <，验证不等式是否成立. 【答案】（1）假命题；（2）真命题. 【解析】（1）由于0∈Ν，当0x =时，412x +≥不成立，故(1)为假命题； （2）由于1-∈Z ，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题． 【总结升华】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题．举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假： （1）2,10x x ∀∈+>R ； （2）2,1x x ∀∈≥N ； （3）3,3x x ∃∈=Z ； （4）2,320x x x ∀∈-+=R ； （5）2,10x x ∃∈+=R .【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题. 【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ） ①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形；A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假．（1）三角形的内角和为180°； （2）每个二次函数的图象都开口向下； （3）存在一个四边形不是平行四边形； （4）2,20x R x ∀∈+>；（5）200,10x R x ∃∈+=． 【解析】（1）是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题． （2）是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题． （3）是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题． （4）是全称命题且为真命题．由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；p ⌝：200,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题 （5）是特称命题且为假命题．因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题；p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题．【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题． 举一反三：【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假． （1）2,440x R x x ∀∈-+≥； （2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,10x R x x ∃∈++≤； （4）至少有一个实数x 0，使得220x +=．【答案】（1）p ⌝：2000,440x R x x ∃∈-+<（假命题）；（2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）； （3）p ⌝：2,10x R x x ∀∈++>（真命题）； （4）p ⌝：2,20x R x ∀∈+≠（真命题）．【变式2】“a 和b 都不是偶数””的否定形式是（ ）A ．a 和b 至少有一个是偶数B ．a 和b 至多有一个是偶数C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数 ．【答案】A类型四：含有量词的命题的应用 例4．已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【思路点拨】本题是不等式与逻辑关系的综合性题目，应逐个突破，再完美衔接： 第一步：解p 与q 中的不等式；第二步：理解“p ⌝是q ⌝的必要不充分条件”的具体含义：“q ⌝∣p ⌝”≡“p ∣q ”； 第三步：问题转化为“对任意p 的x ，q 恒成立”. 【答案】[)9,+∞ 【解析】111:|1|221213210333x x x p x ----≤⇒-≤-≤⇒-≤≤⇒-≤≤ ()()22:210110q x x m ?x m x m -+-≤---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 又∵m >0∴不等式的解为1-m ≤x ≤1+m ．∵“p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是q 的充分不必要条件””， ∴不等式1|1|23x --≤的解集是()222100x x m m -+-≤>的解集的子集． 123,91109m m m m m -≤-≥⎧⎧∴⇒∴≥⎨⎨+≥≥⎩⎩∴实数m 的取值范围是[)9,+∞．【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了要点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决．举一反三：【变式1】若命题“∃x ∈R ，使得2(1)10x +a x+－＜”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】∵“∃x∈R，使得2(1)10x+a x+－＜”是真命题，∴(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1．【变式2】已知c＞0，设命题p：函数y＝c x为减函数．命题q：当1,22x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数11()f x xx c=+>恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．【答案】1{|0c1}2c c<≤≥或【解析】由命题p知：0＜c＜1．由命题q知：1522xx≤+≤，要使此式恒成立，则12>c，即12c>．又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，c的取值范围为12c<≤．当p为假，q为真时，c≥1．综上，c的取值范围为1{|0c1}2c c<≤≥或．。
全称量词与存在量词公式
全称量词与存在量词
1、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”
表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题
2、将含有变量x 的语句用p(x),g(x),r(x)……表示，变量x的范围用N表示，
那么全称量词“对N中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为x∈N,p(x)，读作对任意x∈N,使p(x)成立
3、短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”
表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题
4、特称命题“存在N中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈N,p(x)，
读作存在x∈N,使p(x)成立
5、全称命题p：x∈N,p(x)，
它的否定┐p：x∈N, ┐p(x)
全称命题的否定是特称命题
6、特称命题p：x∈N, p(x)
它的否定┐p：x∈N, ┐p(x)
特称命题的否定是全称命题
7、三种重要的题型：
①恒成立，即x∈N, p(x)
②能成立，即∈N, p()
③恰成立，即p(x) q(x)。
全称量词与存在量词
（2）由于平面内垂直于通一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线．所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题．
（3）由于正方形既是平行四边形也是菱形， 所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．
考点
学习目标
重、难点
核心素养
1.全称量词和全称量词命题
判断全称量词命题
重点
数学抽象逻辑推理
2.存在全称量词和存在量词命题
判断存在量词命题
重点
3.全称量词命题和存在量词命题
判断全称量词命题和存在量词命题的真假
难点
数学运算
下列语句是命题吗？比较（1）和（3）、（2）和（4）它们之间有什么关系？ (1)x>3;(2)2x+1是整数；(3)对所有的x,x>3;(4)对任意一个x,2x+1是整数.
课堂小结
10
11
1.练习1.和2.2.思考:如何对全称量词命题和存在量词命题进行否定？
课后作业
感谢观看
追问1：怎么判断全称量词命题的真假呢？
（1）2是素数，但2不是奇数．所以，全称量词命题“所有的素数都是奇数” 是假命题．
思考2
下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4）它们之间有什么关系？ (1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除； (3)存在一个xR,使得2x+1=3; (4)至少有一个xZ,x能被2和3整除.
解：(1)全称量词命题,真命题；(2)存在量词命题，假命题；(3)全称量词命题,假命题；
解：(1)假命题；(2)假命题；(3)真命题；(4)假命题.
变2.判断下列命题的真假.(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；(2)为正实数，使；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点；(4).
全称量词和存在量词
③由于－1∈Z，当 x＝－1 时，x3<1 成立． 所以命题“∃x0∈Z，x30<1”是真命题． ④由于使 x2＝3 成立的数只有± 3， 而它们都不是有理数． 因此，没有任何一个有理数的平方等于 3. 所以命题“∃x0∈Q，x02＝3”是假命题．
[答案] ①③
跟踪练习
1. 判断下列命题的真假． (1)∀x∈{1,3,5},3x＋1 是偶数； (2)∃x0∈R，x20－6x0－5＝0； (3)∃x0∈R，x20－x0＋1＝0； (4)∀x∈R，|x＋1|>0.
有些全称命题省略了量词在这种情况下千万不要将否定写成是或不是如第小题将否定写成负数的平方不是正数就错误了因为这个命题也是全称命题是假命题
1.4 全称量 词和存在量词
一、 全称量 词和存在量词
新课讲解
1．全称量词和全称命题
(1)全称量词： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常 叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(4)至少有一个集合 A，满足 A {1,2,3}．
[解] (1)是全称命题．因为∀ x∈N,2x＋1 都是奇数， 所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在 x0∈R，使x0－1 1＝0 成 立，所以该命题是假命题．
(3)是特称命题．当 m＝4，n＝3 时，使 m－n＝1 成 立，所以该命题是真命题．
(1)实数的平方大于或等于0； (2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立； (3)勾股定理．
全称量词和存在量词举例
全称量词和存在量词举例
摘要：
1.量词的定义和分类
2.全称量词的定义和举例
3.存在量词的定义和举例
4.全称量词和存在量词的区别与联系
正文：
量词是表示事物数量的词语，它在汉语中起着非常重要的作用。
根据量词的含义和用法，我们可以将其分为全称量词和存在量词两大类。
全称量词是用来表示某类事物的全部个体的量词。
它可以用来描述一个群体、类别或集合的所有成员。
全称量词在句子中通常与名词连用，表示某个名词所指代的所有个体。
例如：“一只”、“所有的”、“全部的”等。
存在量词则是用来表示某类事物中至少有一个个体存在的量词。
它主要用来描述某个群体、类别或集合中至少有一个成员。
存在量词在句子中通常与动词连用，表示某个动作涉及到的个体数量。
例如：“有一只”、“有一个”、“有一部分”等。
全称量词和存在量词在用法上有明显的区别，但它们之间也存在一定的联系。
全称量词表示一个群体、类别或集合的所有成员，而存在量词表示这个群体、类别或集合中至少有一个成员。
因此，当我们在描述一个群体、类别或集合时，可以根据实际情况选择使用全称量词或存在量词。
总之，全称量词和存在量词是汉语中非常重要的量词类型，它们在描述事
物数量和表达语义方面起着关键作用。
1.5.1全称量词与存在量词
4 存在量词的真假判断
思
考
如何判断命题“∃x∈M, p(x)”的真假？
1.要判定存在量词命题“∃x∈M, p(x)”是真命题，
只需要在集合M中找到一个x，使得p(x)成立即可；
2.如果在集合M中使p(x)成立的x不存在，那么这个存在
量词命题就是假命题.
练一练
判断下列存在量词命题的真假:
（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
理
)
答
案
2n2+5n+2=(2n2+2+4n)+n, 括号内的数为偶数；
当n为偶数时，2n2+5n+2为偶数；
当n为奇数时，2n2+5n+2为奇数.
方 整除问题，先要作奇偶分析:对于部分整数n(偶数)，2n2+5n+2为偶数;
法
2
对于另一部分整数n(奇数)，2n +5n+2为奇数. 故选（3）.
1.5.1 全称量词与存在量词
4.下列结论中正确的是(
核
心
素
养
之
问
(1)“∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除”是真命题；
(2)“∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除”是真命题；
题
数
据
分
析
(3)“∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除”是真命题；
(4)“∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除”是假命题.
选（3）
+
逻
辑
推
3 存在量词
1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑用语中通
全称量词与存在量词
全称量词与存在量词简介在语言学中，量词被用来表示数量或度量。
而在数量的表达中，全称量词和存在量词是两种常见的用法。
全称量词表达的是全体的概念，而存在量词则表达的是部分的概念。
本文将详细介绍全称量词和存在量词的概念和用法，并举例说明。
全称量词全称量词是指用来表示集合中全部成员的量词。
它强调的是全体的概念，表示所有的事物都具有某个属性或满足某种条件。
常见的全称量词包括“每个”、“所有”、“任何”等。
在句子中，全称量词通常与“都”、“皆”等副词搭配使用，以强调全体的意义。
下面是一些例句：•每个人都有自己的梦想。
•所有学生都要参加体育课。
•任何人都可以报名参加比赛。
全称量词的用法具有普遍性，适用于各种不同的情况。
它是对整个集合进行描述和判断的一种方式。
存在量词存在量词是指用来表示集合中部分成员的量词。
它强调的是存在的概念，表示集合中至少有一个事物具有某个属性或满足某种条件。
常见的存在量词包括“有些”、“部分”、“某些”等。
在句子中，存在量词通常与“至少”、“不少于”等副词搭配使用，以强调存在的意义。
下面是一些例句：•至少有些人喜欢音乐。
•不少于部分学生参加了校运会。
•某些人对政治不感兴趣。
存在量词的用法侧重于对部分集合进行描述和判断。
它表示的是一个或一部分事物具有某种属性或满足某种条件。
全称量词与存在量词的异同点全称量词和存在量词虽然用法不同，但它们都可以用来描述集合中的事物，并对其进行判断。
它们的主要区别在于强调的程度和内容。
全称量词强调的是全体，表示整个集合中的事物都具有某个属性或满足某种条件。
它的范围更广，适用于所有的情况，无论是具体还是抽象的。
存在量词强调的是存在，表示集合中至少有一个事物具有某个属性或满足某种条件。
它的范围较窄，适用于一部分的情况，有时候可能只是指代一种可能性。
结论全称量词和存在量词是语言表达中常见的量词用法。
全称量词强调的是全体，表示整个集合中的事物都具有某个属性或满足某种条件；存在量词强调的是存在，表示集合中至少有一个事物具有某个属性或满足某种条件。
全称量词与存在量词
2
【名师点评】 量词的几种否定形式
至少 原语句 是 都是 > 有一 个 一个 不都 否定形式 不是 ≤ 也没 是 有 至多 对任意 有一 x∈A使p(x) 个 真 至少 存在x0∈A 有两 使p(x0)假 个
与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参 数问题
解决这类问题时，应先根据题目条件，
推出每一个命题的真假(有时不一定只有
第3课时 全称量词与存在量词
1.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“对所有的”、
“___________”逻辑中通常叫做全称量词，用 词的命题叫做_______ (2)存在量词：短语“存在一个”、 “___________”在逻辑中通常叫做存在量词， 至少有一个 用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做 特称命题． ___________
【解】
Δ＝m －4>0 p： ，解得 m>2. m>0
2 2
2
q：Δ＝16(m－2) －16＝16(m －4m＋3)<0. 解得 1<m<3. ∵p 或 q 为真，p 且 q 为假．∴p 为真，q 为假， 或 p 为假，q 为真． m>2 m≤2 即 或 . m≤1或m≥3 1<m<3 解得 m≥3 或 1<m≤2. 综上，m 的取值范围是 m≥3 或 1<m≤2.
例2
【思路分析】
分析命题所 明确命题是全称命题还 → 是特称命题 含量词
→ 对命题否定并判断真假
【解】 (1)¬p：存在一个实数 m0，使方程 x ＋m0x－1＝0 没有实数根．因为该方程的判别 2 式 Δ＝m0＋4>0 恒成立，故¬p 为假命题． (2)¬ p：所有的三角形的三条边不全相等． 显然¬p 为假命题． (3)¬ p：有的菱形的对角线不垂直． 显然¬p 为假命题． 2 (4)¬ p：∀x∈N，x －2x＋1>0. 2 显然当 x＝1 时，x －2x＋1>0 不成立，故¬p 是 假命题．
全称量词与存在量词
全称量词的含义和表示
含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，则不是命题。如 果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，则可以使它们成为 一个命题，我们把这样的短语称为量词。
(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题. (5)真命题;(6)真命题;(7)真命题;(8)假命题
3.将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量 词命题的形式,并判断它们的真假: (1)平行四边形的对角线互相平分; (2)三个连续整数的乘积是6的倍数; (3)三角形不都是中心对称图形; (4)一元二次方程不总有实数根.
思考2：你还能列举一些常见的全称量词吗？ “一切”，“每一个”，“全体”等
定义:含有全称量词的命题叫做全称量词命题.
思考3：如“对所有的x∈R，x＞3”，“对任意一个x∈Z， 2x＋1是整数”等，你能列举一个全称量词命题的实例吗？
思考4：将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、r(x)等表示,变量x的取值范
思考1:下列各组语句是命题吗？两者有什么关系?
（1）x＞3；
对所有的x∈R，x＞3.
（2）2x＋1是整数；
对任意一个x∈Z，2x＋1是整数.
（3）方程x2＋2x＋a＝0有实根；任给a＜0，方程x2＋2x＋a＝0有实根.
定义：短语“所有的”“任意一个”
“任给”等,在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示,
(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;真命题 (2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;真命题 (3)存在一个三角形不是中心对称图形;真命题 (4)存在一个一元二次方程没有实数根;真命题
数学复习聚焦全称量词与存在量词
聚焦全称量词与存在量词山东刘乃东该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；会正确的写出这两类命题的否定；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示。
一、要点梳理1．全称量词与存在量词(1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给"、“对每一个"等词,用符号“∀”表示。
(2)存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示。
2．全称命题与特称命题（1）全称命题：含有全称量词的命题.“对∀x∈M，有p(x）成立”简记成“∀x∈M，p(x）"。
（2)特称命题：含有存在量词的命题.“∃x∈M，有p（x）成立” 简记成“∃x∈M,p（x）”。
3．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下，供参考。
4．常见词语的否定如下表所示：二、范例点悟例1 判定下列命题的真假:(1）3,0∃∈<；x Z x（2）4,1∀∈≥。
x N x分析：要判定一个特称命题真，只要在限定集合M 中至少找到一个x =x 0值，使P （x 0）成立；否则，这一命题为假。
要判定一个全称命题真，必须对限定集合M 中的每一个x 验证P （x ）成立；但要判定全称命题假，只要能举出M 中一个x =x 0，使P (x 0）为假。
解析：(1)∵1Z -∈，当1x =-时，能使30x <，∴命题“3,0x Z x∃∈<”是真命题.（2）∵0N ∈，当0x =时，41x ≥不成立，∴命题“4,1x N x∀∈≥”是假命题.评注:应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法. 例2 写出下列命题的否定，并判断其真假:（1） 每一个素数都是奇数； （2）某些平行四边形是菱形;（3）:p 21,04x R x x ∀∈-+≥; （4)2:,220r x R xx ∃∈++≤。
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全称量词与存在量词
【学习目标】
1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；
能准确地对含有一个量词的命题进行否定；
2.通过使用量词的过程构建对所学知识新的理解；
3.通过量词的学习体会数学的准确性和简洁性。
【学习重点】
理解全称量词与存在量词的意义
【学习难点】
对全称命题与特称命题真假的判定
【课前预习案】
1.全称量词与存在量词：
（1）在指定范围内，表示整体或全部的含义的词叫做。
含有全称量词的命题叫做。
全称量词一般有“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等。
（1）在指定范围内，表示个别或一部分的含义的词叫做。
含有存在量词的命题叫做。
存在量词一般有“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词。
【课堂探究案】
1.全称命题、特称命题的判定：
2.全称命题、特称命题的真假判断：
类型一：全、特称命题的判断：
1.判断下列命题是全称命题还是特称命题；
①任意实数的平方都是正数
②0乘以任何数都等于0
类型二：全、特称命题的真假判断：
2．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断它们是真命题还是假命题。
(1)每一个关于x 的一元一次方程ax+b=0都有解。
(2)有一个实数，不能做除数
类型三：应用全、特称命题求参数范围：
3.对任意x ∈R ，都成立是真命题，求a 的取值范围。
【课后检测案】
1.判断下列命题是全称命题还是特称命题；
①⊿ABC 的内角中有小于600的角
② 至少有一个实数有相反数
2．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断它们是真命题还是假命题。
(1)末位数字是0或5的整数，能被5整除
(2)对于所有的自然数n,代数式的值都是正数 3.对任意x ∈［2,5］, 使得都成立是真命题，求a 的取值范围。
210ax ax -+>22n n
-+220x a x
-+<。