2022年高考浙江数学高考真题变式题13-15题-(解析版)

变式题2基础
27．某学校高一年级计划成立一个统计方向的社团，为了了解高一学生对统计方面的兴趣，在高一年级的全体同学中抽取了8名同学做了一个调查，结果显示其中3人对统计方向有兴趣，另外5人没兴趣．若从这8人中随机抽取3人，恰有2人是对统计方向有兴趣的同学的概率为__________；若以这8人的样本数据估计该学校高一年级的总体数据，且以频率作为概率，从该学校高一年级的所有学生中随机抽取3人，记对统计方向有兴趣的人数为随机变量 ，则 的均值为__________．
则 .设 则
由 平方可得：
所以
故答案为：(1). (2).
【点睛】本题考查正弦函数的二倍角公式和 与 的关系，属于中档题.
7．
【分析】根据所给等式，结合同角三角函数关系式可求得 ；由 及 求得 ，即可解方程组求得 ；根据余弦二倍角公式及正弦差角公式，化简 ，结合 的值即可求解.
【详解】由 ，可知 ，
参考答案：
1．
【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出 ，接下来再求 ．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ ，即 ，
所以
故答案为： ；
10．
【分析】先求出 ，利用两角和公式求出所以 ，利用二倍角公式求出 .
【详解】因为 ， ，
又因为 ，所以
所以 ，
所以 .
故答案为： ，
【点睛】利用三角函数值求角的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）根据条件进行合理的拆角，如 等；
（3）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.
变式题8巩固
33．盆子中有大小相同的球共6个，其中标号为1的球有3个，标号为2的球有2个，标号为3的球有1个，第1次从盒子中任取1个球，放回后第2次再任取1个球，记第1次与第2次取到的球的标号之和为 ，则 _________． _________．
变式题9提升
34．某高中数学社团招募成员，依次进行笔试，面试两轮选拔，每轮结果都分“合格”和“不合格”.当参选同学在第一轮笔试中获得“合格”时，才能进入下一轮面试选拔，两轮选拔都合格的同学入选到数学社团.现有甲同学参加数学社团选拔，已知甲同学在笔试，面试选拔中获得“合格”和“不合格”的概率分别为 ， ，且在笔试，面试两轮选拔中取得的成绩均相互独立，互不影响且概率相同，则甲同学能进入到数学社团的概率是___________，设甲同学在本次数学社团选拔中恰好通过X轮选拔，则数学期望 ___________．
【详解】（1）当 时， ，
所以函数的减区间是 .
（2）因为 ，其中函数 的值域为 ，
对于函数 ， ，当 时，函数在 上单调递减，在 上单调递增，此时 ，要使函数 的值域为 ，则有 ；
当 时，函数 在 上单调递增，此时 ，
要使函数 的值域为 ，则有 ，解之得 .
【详解】①由已知得 ，易知： 上 递增且值域为 ； 上 递减且值域为 ，
∴ 的最大值为 .
② 上 递增且值域为 ； 上 递减且值域为 ，
当 时，显然 ，故存在最大值 .
当 时，显然 ，即 无最大值.
综上， .
故答案为：0， .
16．
【分析】（1）根据分段函数，分段分析判断即可；
（2）因为函数 的值域为 ，所以 的值域分 、 两种情况讨论并根据 的值域为 分别列出不等式或不等式组解之即可.
变式题1基础
14．设 .
（1）当 时， 的最小值是___________；
（2）若 是 的最小值，则 的取值范围是___________.
变式题2基础
15．设函数 .①若 ，则 的最大值为___________.②若 无最大值，则实数 的取值范围是___________.
变式题3基础
16．设函数 ，
变式题5巩固
30．袋中有6个大小相同的球，其中1个红球，m个白球，n个黑球，现依次取球，每次取出一个，取出不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束，已知取到1个红球1个白球的概率为 ，则 __________，用 表示终止时取球的次数，则随机变量 的数学期望 __________.
变式题6巩固
又 ，将 代入得 ，解得 ，
则 .
故答案为： ； .
2．1 1
【分析】由余弦的二倍角公式和两角和的余弦公式整理已知关系式，从而可得 或 ，再由 可得 ，最后由特殊三角函数值求得答案.
【详解】因为 ，则 ，
所以 ，故 或 .
结合 可得 .
故 .
故答案为：(1). 1(2). 1
【点睛】本题主要考查由三角恒等变换解决给值求值问题，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的核心素养是数学运算，属于简单题.
变式题4基础
5．已知 ，且 ，则 ___________， ____________.
变式题5巩固
6．已知 ，且 ，则 ________； ________.
变式题6巩固
7．已知 ，且 ，则 ________； ________.
变式题7巩固
8．设 、 ， ， ，则 ____， ___．
变式题8巩固
【分析】答题空1：由平方差公式及同角三角函数的平方关系可得 ，求出 ；
答题空2：利用两角和的余弦公式展开 并求值.
【详解】 ，
又 ， ，
.
故答案为： ；
6．
【分析】由 ，得 ，平方得 ，即可求出 ，设 平方可得 ，讨论正负号开方可得答案.
【详解】由 ，得 .
由 平方得： ，即
所以 .
由 ，则 ，又 ，则 .
31．用数字1，2，3，4，5给3名男生和2名女生随机地编学号，则男生和女生的学号都不相邻的编法有_________种（用数字作答）；记随机变量 ，其中X，Y分别为男生、女生的学号之和，则随机变量 的数学期望 _________．
变式题7巩固
32．已知甲盒中仅有2个黑球，乙盒中有3个黑球和3个白球，先从乙盒中任取2个球放入甲盒中，再从甲盒中任取2个球出来，记 为甲盒中取到的黑球的个数，则 ______， _______．
等式两边同时平方，结合 ，可得 ，
即 ，
又 ，则 ，
，
则 ，解得 ，
由余弦二倍角公式及正弦差角公式展开化简可得
.
故答案为： ； .
【点睛】本题考查同角三角函数关系式的应用，余弦二倍角公式及正弦差角公式的应用，属于中档题.
8．
【分析】利用二倍角的余弦公式可求得 的值，求出 、 的值，利用两角和的正切公式可求得 的值.
原题15
25．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 __________， _________．
变式题1基础
26．在一次投篮训练中，甲同学每次投篮投中的概率为 ，乙和丙同学每次投篮投中的概率均为 ，每人各投1次，记 为三人投中的总次数，则 _________； ________．
变式题3基础
28．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分给4个人，每人两张，记获奖人数为 ，则 _______， ______．
变式题4基础
29．某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为 ，乙､丙科目合格的概率均为 ，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X，则 ___________； ___________.
（1）若 ，则 的单调减区间为___________；
（2）若函数 的值域为 ，则 的取值范围是___________.
变式题4巩固
17．已知函数 ，则 ________；若 在 既有最大值又有最小值，则实数 的取值范围为________．
变式题5巩固
18．已知函数 ，若 ，则 的值域是___________；若 的值域为 ，则实数 的取值范围是_________.
变式题6巩固
19．设函数 ．若a＝－1，则 的最小值为________；若 是函数 的最小值，则实数a的取值范围是________．
变式题7巩固
20．已知函数 ，若 ，则 的值域是______；若 的值域为 ，则实数 的取值范围是_________.
变式题8提升
21．已知 ，若 ，则 的取值范围为__________，若 ，则 的取值范围为____________.
2022年高考浙江数学高考真题变式题13-15题
原题13
1．若 ，则 __________， _________．
变式题1基础
2．若 ，则 ___________， __________.
变式题2基础
3．已知 ，且 ，则 ___________， ___________.
变式题3基础
4．已知 ，则 ______， ______.
【详解】由二倍角的余弦公式可得 ，
、 ， ， ，
， ，
因此， .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.
9．1 1
【解析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以
3．
【解析】对 两边平方可得 ；由已知和 可得 ，再利用二倍角公式可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ；
由 ，且 ，又 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：① ；② .
4．
【分析】第一空，利用二倍角公式直接得出结论；第二空，利用诱导公式和二倍角公式得出结论.