大一上学期高数期末考试试题(五套)详解答案

2010级高等数学(上)A 解答

一、填空题：(每题3分，共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分)

1．已知极限01lim 2=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--+∞→b ax x x x ，则常数b a ,的值分别是(空1)。 解：0x b a 1x x lim b ax 1x x x 1lim x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ ⇒1-a=0⇒a=1

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→x 1x x lim ax 1x x lim b 2x 2x 1x

111

lim 1x x lim 1x x x x lim x x 22x -=+

-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞→∞→∞→ 或：

01x b x )b a (x )a 1(lim b ax 1x x lim 2x 2x =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ 所以1-a=0,a+b=0⇒a=1,b=-1。

或：

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→1x 1b ax 1x 1x lim b ax 1x x lim 2x 2x 01x 1)b 1(x )a 1(lim 1x 1b ax 1x lim x x =⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++---=∞→∞→ 所以1-a=0,1+b=0⇒a=1,b=-1。 2．函数x

x x x x f 323

)(23---=

的第一类间断点是(空2)。

解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点。

12

1

)3x )(1x (x 3x lim x 3x 2x 3x lim

)x (f lim 3x 233x 3

x =-+-=---=→→→，

x=3是第一类间断点。

∞=---=-→-→x

3x 2x 3

x lim

)x (f lim 231x 1

x

x=-1是第二类间断点。

∞=---=→→x

3x 2x 3

x lim

)x (f lim 230x 0

x

x=0是第二类间断点。

3．设函数)(x f 可导，)(1)(2x f x g +=

，则)('x g ＝(空3)。

解：)

x (f 1)

x (f )x (f )x (f )x (f 2)x (f 121)x (g 2

2+'=

'⋅+=' 4．设函数322

3++=ax x y 在1=x 处取得极值，则=a (空4)。

解：ax 2x 6y 2

+=' 在x=1处取极值，则0y 1

x ='

=，即6+2a=0，解得3a -=

5．设2

x

e 是函数)(x

f 的一个原函数，则不定积分

='⎰dx x f )((空5)。

解：C e

dx )x (f 2

x +=⎰

求导得2

x xe 2)x (f =

则C xe 2C )x (f dx )x (f 2

x

+=+='⎰

6．定积分()=-+

⎰

-11

2

2

1dx x

x (空6)。

解：

()⎰

--+11

2

2

dx x 1x ()

⎰--+-+=1

1

22

2dx x 1x

1x 2x ⎰-=1

1

dx =2

二、选择题：(每题3分,共15分)(请将正确选项填入下表，否则不给分)

1．设函数⎪⎩

⎪⎨⎧=≠=0

,00,

1sin )(2

x x x

x x f ，则)(x f 在0=x 处( D )。

A.不连续也不可导

B.连续，但不可导

C.不连续，但可导

D.连续且可导 解：)0(f 0x

1

sin

x lim )x (f lim 2

x 0

x ===→→ )x (f 在x=0处连续。

0x

1sin x lim 0x 0

x 1sin x lim 0x )0(f )x (f lim )0(f 0x 20x 0x ==--=--='→→→ f(x)在x=0处可导。

2．设()f x 可导，函数)(sin 2

x f y =，则微分dy ＝( )。 A.dx x f x )(sin sin 22

' B.)(sin 2sin 2

x f x ' C.dx x f x )(sin 2sin 2

' D.dx x f )(sin 2

' 解：x sin d )x (sin f )x (sin d f d y 2

2

2

'==

)x sin xd sin 2)(x (sin f 2'=)coxd x )(x (sin f x sin 22'=

dx )x (sin f x 2sin 2'=

3．若函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)('=x f 的实根个数是( )。

A ．3 B.2 C.1 D.0 解：函数在(-∞,+∞)上连续，且可导，又因为f(1)=f(2)=f(3)，由罗尔定理知在(1,2),(2,3)各区间之间至少各有一个根，即)x (f '=0至少有2个根。 但)x (f '是2次多项式，至多有2个根。 所以)x (f '=0有2个根。

4．设函数x

e

x f -=)(，则不定积分

='⎰dx x x f )

(ln ( )。

A.c x +-1

B.c x +-ln

C.c x +1

D.c x +ln

解：⎰⎰'='x ln d )x (ln f dx x )x (ln f C )x (ln f +=C x

1

C e x ln +=+=- 5．在下列反常积分中收敛的是( )。 A.⎰

∞+0

ln dx x x

B.⎰∞+e dx x x 2)

(ln 1 C.

⎰

∞+e

dx x x ln 1

D.⎰∞+e dx x x 2/1)

(ln 1