函数的概念及图像

函数的概念及图象

一、知识要点概述

(一)函数有关概念

1、常量：在某一变化过程中保持不变的量．

2、变量：在某一变化过程中可取不同数值的量．

3、函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．

4、函数的表示方法

5、画函数图象的步骤：①列表；②描点；③连线，通常称为描点法．

6、函数自变量的取值范围

(二)平面直角坐标中点的坐标特征

3、平行于坐标轴的直线上的点

(1)平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；

(2)平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同．

4、对称点的坐标：

(1)点P(a，b)关于x轴的对称点坐标是P

(a，－b)即横坐标相同，纵坐标互为相反

1

数．

(－a，b)即横坐标互为相反数，纵坐标相

(2)点P(a，b)关于y轴的对称点坐标是P

2

同．

(－a，－b)即横、纵坐标都互为相反数．

(3)点P(a，b)关于原点的对称点坐标是P

3

5、各象限角平分线上的点

(1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等．

(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．

6、点与原点、坐标轴的距离

(1)点P(a，b)与原点的距离是．

(2)点P(a，b)与x轴的距离是|b|(即其纵坐标的绝对值)．

(3)点P(a，b)与y轴的距离是|a|(即其横坐标的绝对值)

二、典型例题剖析

例1、现有点M(1＋a，2b－1)在第二象限，则点N(a－1，1－2b)在第________象限．

分析：

本题主要考查各象限内点的坐标符号特征．由于点M在第二象限，

，所以N点在第三象限．

解：三

例2、若m为整数，点P(3m－9，3－3m)是第三象限的点，则P点的坐标是（）

A．(－3，－3)B．(－3，－2)

C．(－2，－2)D．(－2，－3)

分析：

根据第三象限点的符号特征，建立不等式组求出字母m的取值范围，再确定m的值，从而可得P点坐标．

解：选A．

例3、点A(1，m)在函数y=2x图象上，则点A关于y轴的对称点的坐标是(________，________)

分析：

把A(1，m)代入函数式y=2x中，求m=2，则A(1，2)，再根据对称点的符号规律求A点的对称点坐标．

解：(－1，2)

例4、已知P点关于x轴的对称点P

1的坐标是(2，3)，那么点P关于原点的对称点P

2

的

坐标是（）

A．(－3，－2)B．(2，－3)

C．(－2，－3)D．(－2，3)

分析：

(2，3）关于x轴对称，故求P(2，－3)，∴点P(2，－3)关于原点对称由点P与P

1

的点坐标易求．

解：选D．

例5、已知两圆的圆心都在x轴上，A、B为两圆的交点，若点A的坐标为(1，－1)，则点B的坐标为（）

A．(1，1)B．(－1，－1)

C．(－1，1)D．无法求出

分析：由于圆是轴对称图形，故两圆的两个交点A，B关于x轴对称．

解：选A．

例6、下列各组的两个函数是同一函数吗？为什么？

(1)y=x和

(2)y=πx2和S=πr2(其中x≥0，r≥0)

(3)y=x＋2和

分析：

判断两个函数是否为同一函数：①要判断两个函数的自变量取值范围是否相同；②要判断自变量与函数的对应规律是否完全相同．

解：

(1)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≠0的实数；

(2)是同一函数，因为它们的自变量的取值范围相同，而且自变量与函数的对应规律完全相同；

(3)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≥－2．

例7、在函数中自变量x的取值范围是________．

分析：

求函数式中自变量的取值范围的一般思路是：

①函数解析式中的分母不能为0；

②偶次根式的被开方数应为非负数；

③零指幂和负整指数幂的底数不能为0．

此题中，自变量x应满足

解：x≥－1且x≠2．

例8、等腰△ABC周长为10cm，底边BC长为y cm，腰长AB为x cm．

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)求x的取值范围；

(3)求y的取值范围；

(4)画出此函数的图象．

分析：

要求y与x的函数关系，关键是找出y与x之间的等量关系，确定x的取值范围应从边长为正数和三角形三边关系方面入手．

画函数的图象应按列表、描点、连线的步骤进行，同时应注意自变量的取值范围对图象的影响．

解：

(1)∵△ABC的周长为10，∴2x＋y=10，∴y=10－2x．

．

(3)由解之得0＜y＜5．

(4)函数的图象如图所示．

点评：

求实际问题中的函数关系式应标明自变量的取值范围，画有自变量取值范围的函数图象时应注意端点处是实心点还是空心圆圈．