黄东坡培优竞赛 第22讲 相似三角形
北师大版八年级下册数学《相似三角形》相似图形说课教学课件复习
【解析】∵∠B=∠CDE,所以 AB∥DE.因为 BD=CD,则 DE 为△ABC 的中位线,则 AB=2DE=4.
【答案】A
7.(2010·河南)如图,△ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 的中点,则下列结论:①BC
=2DE;②△ADE∽△ABC;③AADE =AABC.其中正确的有(
(第 5 题)
5.已知△ABC,延长 BC 到 D,使 CD=BC,取 AB 的中点 F,连结 FD 交 AC 于点 E. (1)求AAEC的值;(2)若 AB=a,FB=EC,求 AC 的长. 答案:(1)AAEC=23 (2)AC=32a
(第 6 题) 6.如图,△ABC 内接于⊙O,AD 是△ABC 的边 BC 上的高,AE 是⊙O 的直径,连结 BE,△ABE 与△ADC 相似吗?请证明你的结论.
A.AB2=BC·BD
B.AB2=AC·BD C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=
AD·CD
(3)(2010·临沂)如图,∠1=∠2,添加一个条件:________,使得△ADE∽△ACB.
【点拨】本组题重点考查相似三角形的性质和判定.
【解答】 (2)∵△ABC∽△DBA,∴AB=BC,即 AB2=BC·BD,故选 A.
【解析】∵∠ACD=∠ABC,∠BAC=∠CAD,∴△ADC∽△ACB,∴AACB=AADC,∴AB·AD =AC2,则 AB=4,所以 BD=AB-AD=3.
【答案】3
14.(2010·陕西)如图,在△ABC 中,D 是 AB 边上一点,连结 CD.要使 △ADC 与△ABC 相似,应添加的条件是________.
AB AC
线段AB的延长线上时 同(1),有AE 3 CE AC AE 9 3 12
中考数学一轮复习课件第22讲相似三角形
如图,位似中心是
,
位似比是
.
自学检测2:(3+3分钟)
1.已知线段AB的长度为2,C是线段AB的黄金分
割点,则AC=
或
.
2.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交
于点P,点P是BD的黄金分割点(BP>PD),
已知AD=1,则BC的长为
.
3.已知,△ABC在坐标平面内,三个顶点的坐标分别 为A(0,3),B(3,4),C(2,2). (1)以点B为位似中心,在网格中画出△A2BC2,使 △A2BC2与△ABC位似,且位似比为2:1,并直接写出 △A2BC2的面积.
e f
… m (k b+d+f…+n≠0)
n
则
K
自学检测1:(7分钟)
1.已知3x=4y(x≠0),则下列式子成立的是( )
A. x y 34
B. x y 43
C. x 3 y4
D. x 4 3y
2.已知线段AB=15 mm,CD=3 cm,则线段AB
与CD的比为
;
3.已知a,b,c,d是成比例线段,其中 a=4cm,b=2cm,c=8cm,则线段d的长为 .
边上的中线之比是
,周长之比是
.
2.有一个三角形的边长为3,4,5,另一个和它
类似的三角形的最小边长为7,则另一个三角形的
周长为
.
3.如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、
BD,且AE、BD交于点F,S△DEF:S△ABF=4:25,
则DE:EC=
.
44..如如图图,,△△AABBCC被中线,D段F∥DEG、∥FBGC分且成A面D积=D相E等=B的E, 三则则 为部D△E分A:FB,即GC:S.被B1C=分S=成2=的S三3,且部.D分E的∥面FG积∥比BSC1,:S2:S3
中考数学一轮复习:第22课时相似三角形课件
No
第22课时 类似三角形
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3. (202X三明5月质检5题4分)如图,已知DE为△ABC的中位线,△ADE的面 积为3,则四边形DECB的面积为C( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12
第3题图
No
第22课时 类似三角形
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命题点 3 类似三角形的实际应用
4. (202X厦门5月质检10题4分)据资料,我国古代数学家刘徽发展了测量不可到达的 物体的高度的“重差术”,如:通过下列步骤可测量山的高度PQ(如图) : (1)测量者在水平线上的A处竖立一根竹竿,沿射线QA方向走到M处,测得山顶P、 竹竿顶点B及M在一条直线上; (2)将该竹竿竖立在射线QA上的C处,沿原方向继续走到N处,测得山顶P,竹竿顶 点D及N在一条直线上;
No
第22课时 类似三角形
典例“串”考点
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例 已知,△ABC和△DEF是大小不同,形状相同的两个三角形.
(1)如图①,△DEF绕点A旋转到如图位置,EF∥BC,若AE=1,BE=2,则= EF
1
BC
____3____;
例题图①
No
第22课时 类似三角形
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【提分要点】A字型: 有一个公共角(∠A),此时需要找另一对角相等.若 题中未明确类似三角形对应顶点,则需要分类讨论.
第22课时 类似三角形
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第22课时 类似三角形
No
思维导图
1.比例的性质
2.黄金分割 3.平行线分 线段成比例
比例线段
1.性质 2.判定 3.判定思路
类似三角形
类似 三角形
类似多边形 及其性质
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1.定义 2.性质
22.第22课时 相似三角形(PPT课件)
相似三 角形的 判定
两边对应成比例,且⑥夹角相等,两 一般三角形 三角形相似
三边对应成比例,且比例相同,两三 角形相似
直角三角形 判定思路
一组锐角对应相等
两条对应 两直角边对应成比例 边成比例 斜边和一直角边对应成比例
有平行截线—用平行线的性质,找等角 有一对等角,找另一对等角或该角的两边对应 成比例
即 30 x x , 30 40
解 得 x 120 , 7
∴正方形的面积为 (120)2 14400cm2,
故正方形的边长为 1
2 7
7 49
0 cm,面积为
14400 49
cm 2.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。202江2年苏3月近4日4星年期五中20考22/试3/42题02精2/3/编420(22/32/4013~2016)
当
l
∥
3
l时4∥,l5 有
B AC BD E等F E,
ABDE AC DF
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(两边
的延长线),所得的对应线段成比例
如图2 ,当DE∥BC时,有
ADAE, ADAE DB EC AB AC
等
如图5 ,当DE∥BC时,有
AB AC BC AE AD ED
相似三角形的性质
有两边对应成比例,找夹角相等或第三边也⑦ 判定思路 _对_应__成_比例 _ 或有一对直角
直角三角形,找一对锐角相等或两条边对应成比例 等腰三角形,找顶角相等或一对⑧ 底角 相等或 底和腰对应成比例
相似三角 形的基本 类型
相似多边形的对应角相等,对应边成比例
相似多边形
相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相 似比的平方
中考数学总复习第四单元三角形第22课时相似三角形课件
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 比例的基本性
如果 a∶b=c∶d,那么 ad=bc.反过来,如果 ad=bc(b≠0,d≠0),那么 a∶b=c∶d.
课前双基巩固
考点二 成比例线段
比例
四条线段 a,b,c,d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即①
������������=������������
������-������ ������
≈④ 0.618
平行线 分线段
������������ 如图,AB∥CD∥EF⇔������������������������=⑤ ������������
成比例定理
课前双基巩固
考点三 相似图形的有关概念
图形的相似 形状① 相同 的图形称为相似形
相似 定义 如果两个多边形满足对应角② 相等 ,对应边③ 成比例 ,那么这两个多边形相似
在△AFC 和△AFG 中, ������������ = ������������, ∠������������������ = ∠������������ ,
∴△AFC≌△AFG(ASA),∴CF=GF.
∵AD∥BC,∴△AGF∽△BGC,
∴GF∶GC=AF∶BC=1∶2,
∴BC=2AF=2×4=8.
课前双基巩固
考点五 相似三角形及相似多边形的性质
(1)相似三角形周长的比等于① 相似比
相似三角形 (2)相似三角形面积的比等于相似比的② 平方
(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于③ 相似比
(1)相似多边形周长的比等于④ 相似比
相似多边形 (2)相似多边形面积的比等于相似比的⑤
平方
第22课相似三角形的性质及其应用(学生版)-九年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破(浙教版
第22课相似三角形的性质及其应用目标导航学习目标1.掌握相似三角形的对应角相等,对应边成比例的性质.2.掌握相似三角形的性质:相似三角形的周长之比等于相似比;相似三角形的面积之比等于相似比的平方.3.会用上述性质解决有关几何论证和计算问题.4.了解三角形的重心的概念和重心分每一条中线成1:2的两条线段的性质.5.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题,进一步体验数学的应用价值.知识精讲知识点01 相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例.2.相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比都等于相似比.3.相似三角形的周长之比等于相似比.4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.知识点02 三角形的重心1.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.2.三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段能力拓展考点01 相似三角形的性质【典例1】如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,AE2=AD•AB,∠ABE=∠ACB.(1)求证:DE∥BC;(2)如果S△ADE:S四边形DBCE=1:8,求S△ADE:S△BDE的值.【即学即练1】如图,AD∥BC,AB、CD交于点E,点F在AC边上,.(1)求证:EF∥BC;(2)若四边形AFED的面积为16,求△ACD的面积.考点02 三角形的重心的应用【典例2】如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,∠ADE=∠C,AF平分∠BAC交DE于点G,交BC于点F.(1)求证:.(2)若点G是△ABC的重心,AE=6,求AB的长.【即学即练2】如图,在△ABC中,点G为ABC的重心,过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E,过点D作DF∥BC交AC于点F,如果DF=4,那么BE 的长为8.考点03 相似三角形的应用【典例3】如图,是位于西安市长安区香积寺内的善导塔,善导塔为楼阁式砖塔,塔身全用青砖砌成,平面呈正方形,原为十三层,现存十一层,建筑形式独具一格.数学兴趣小组测量善导塔的高度AB,有以下两种方案:方案一:如图1,在距离塔底B点45m远的Dm的标杆CD,小明在F处蹲下,他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上.已知小明的眼睛到地面的距离EFm,DF=1m,AB⊥BM,CD⊥BM,EF⊥BM,点B、D、F、M在同一直线上.方案二:如图2,小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在离善导塔45m的地方(即点E到AB的距离为45m).他把手臂向前伸,尺子竖直,CD∥AB,尺子两端恰好遮住善导塔(即A、C、E在一条直线上,B、D、E在一条直线上),已知点E到直尺CD的距离为30cm.请你结合上述两个方案,选择其中的一个方案求善导塔的高度AB.我选择方案.【即学即练3】某数学兴趣小组要完成一个项目学习,测量凌霄塔的高度AB.如图,塔前有一棵高4米的小树CD,发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上,测得BD=57米,D、E之间有一个花圃距离无法测量;然后,在E处放置一平面镜,沿BE后退,退到G处恰好在平面镜中看到树顶C 的像,EG=2.4米,测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米;已知AB⊥BG,CD⊥BG,FG⊥BG,点B、D、E、G在同一水平线上.请你求出凌霄塔的高度AB.(平面镜的大小厚度忽略不计)分层提分题组A 基础过关练1. 儿童乐园中,有两块相似三角形的场地,且相似比为2:3,面积的差为30m2.则这两个三角形地块的①周长比为2:3;②面积比为2:3;③面积之和为78m2;④对应高的比为2:3,其中结论正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个2. 如图,已知厚度为xcm的零件外径为10cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)测量出零件的内孔直径AB,如果,且量得CD=3cm,则零件厚度x为()A.B.2cm C.1cm D.3. 如图,某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度,他们采取了如下办法:①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜,并测得BE=12米;②沿着直线BE后退到点D处,眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A,并测得ED=3米,眼睛到地面的距离CD=1.6米(此时∠AEB=∠CED),那么凉亭AB的高为()4. 如图,已知△ABC是一块锐角三角形材料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形零件的边长是()mm.A.48 B.80 C.20 D.465. 如图,某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺,站在距电线杆30m的地方,手臂向前伸直,将刻度尺竖直,看到刻度尺上7cm的长度恰好遮住电线杆.已知臂长为70cm,则电线杆的高是()A.3m B.4m C.5m D.6m6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,如果=,AD=9,那么BC的长是()A.4 B.6 C.2D.37. 如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为()A.2a B.C.3a D.8. 小明在测量教学楼的高度时,先测出教学楼落在地面上的影长为20米,然后竖直放置一根高为2米的标杆,测得标杆的影长为3米,则楼高为米.9. 已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为12,则△DEF的面积为3.10. 如果两个相似三角形的面积之比为4:9,这两个三角形的周长的和是100cm,那么较小的三角形的周长为40cm.11.点G是△ABC的重心,GD∥AB,交边BC于点D,如果GD=2,那么AB的长是6.12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点G是△ABC的重心,CG=2,则AB长为6.13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=7cm,点I为三角形的重心,HI⊥BC于点H,则HI=cm.14.如图,AD∥BC,CD∥AE,DE交BC于点F,且∠EDB=∠C.(1)求证:△ADE∽△DBE.(2)若DE=6,AE=9,求AB的长.15.如图,点B、D、E在一条直线上,BE与AC相交于点F,.(1)求证:∠BAD=∠CAE;(2)若EF=CF,△AEF的面积等于2,求△CBF的面积.16.如图一块三角形土地的底边BC=100m,高线AH=80m,现要沿着底边BC修建一座底面是矩形DEFG 的大楼,设矩形DEFG的一边长DE=x(m).(1)矩形DEFG的另一边长DG是多少(用关于x的代数式表示);(2)试用关于x代数式表示大楼底面矩形DEFG的面积S;(3)当DE为多少时,大楼底面的面积最大?最大值是多少?题组B 能力提升练17. 如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE:S△COA=1:25,则S△BDE与S△CDE的比是()A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:2518. 凸透镜成像的原理如图所示,AD∥l∥BC,若物体到焦点的距离HF1与焦点到凸透镜中心线DB的距离OF之比为3:2,则该物体缩小为原来的()A.B.C.D.19. 如图,在正方形ABCD中,点E在AB边上,AF⊥DE于点G,交BC于点F.若AE=15,BE=5,则△AEG的面积与四边形BFGE的面积之比是()A.B.C.D.20. 如图,在△ABC中,∠BAC=45°,BD、CE分别是AC、AB边上的高,连接DE,若BC=2,则DE的长为()A.B.C.D.21. 如图,⊙O上的四个点A,B,C,D,AC平分∠BAD,AC交BD于点E,CE=2,AE=3,则CD的长为()A.B.C.6 D.322. 已知点G是△ABC的重心,连结BG,过点G作GD∥AB交BC于点D,若△BDG的面积为1,则△ABC的面积为()A.6 B.8 C.9 D.1223.如图,在▱ABCD中,E为AD边上的点,AE=2DE,连接BE交AC于点F,△AEF的面积为4cm2,则△ABC的面积为cm2.24. 如图,点P是△ABC的重心,过点P作DE∥AC,交BC,AB于D,E,EF∥BC交AC于点F,若AC=8,BC=11,则四边形CDEF的周长为.25. 如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点F在圆上,且,BE=2,CD=8,CF交AB于点G,则弦CF的长为,AG的长为.26. 如图1,AB为半圆O的直径,点C为半圆上的一动点,点D为弧CB的中点,连接AC并延长交BD的延长线于点E.(1)求证:CD=ED;(2)连接AD,分别与OC、BC交于点F、H.①如图2,当CO⊥AB时,求的值;②当△CFH是等腰三角形时,求∠CAB的度数.题组C 培优拔尖练27. 如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论:①AQ⊥DP;②OA2=OE•OP;③S△AOD=S四边形OECF;④当BP=1时,OE=.其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个28.如图,已知△ABC≌△DCE≌△GEF,三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上,连接BG,分别交AC、DC、DE于点P、Q、K,其中S△PQC=3,则图中三个阴影部分的面积和为.29.如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上(不与点C,D重合),连接AE,BD交于点F.(1)若点E为CD中点,AB=2,求AF的长.(2)若=2,求的值;(3)若点G在线段BF上,且GF=2BG,连接AG,CG,=x,四边形AGCE的面积为S1,△ABG 的面积为S2,求的最大值.30.如图,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE,DF.(1)求证:∠ADP=∠EPB;(2)求∠CBE的度数;(3)当的值等于多少时,△PFD∽△BFP?并说明理由.31.如图,在矩形ABCD中,点E为AB的中点,点F在BC边上,以EF为边,在矩形ABCD的内部作正方形EFGH,延长EH交AD边于点P,延长GH交AD边于点Q.(1)若点H为EP的中点,①求证:BE=2BF;②若EF=,△HQP和△AEP的周长分别为m,n,求的值.(2)若S△AEP=9S△BEF,求的值.32.[知识点]三角形的三条中线交于一点,这个点叫做三角形的重心.[解决问题]如图①,在△ABC中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE交于点G,求证:;[归纳]用文字语言叙述[解决问题]反映的关于三角形重心的性质;[应用]如图②,在△ABC中,D是边BC的中点,G是△ABC的重心,过点G的直线分别交边AB、AC 于点E、F,若AB=5,AC=3,BE=2,则CF=.。
相似三角形题型讲解
相似三角形题型讲解相似三角形是初中几何的重要容,包括相似三角形的性质、判定定理及其应用,是中考必考容,以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型,所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要,本讲就如何判定三角形相似,以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。
一、如何证明三角形相似例1、如图:点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则△AGD∽∽。
分析:关键在找“角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2,所以△AGD∽△EGC。
再∠1=∠2(对顶角),由AB∥DG可得∠4=∠G,所以△EGC∽△EAB。
评注:(1)证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。
(2)找到两个三角形中有两对角对应相等,便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。
例2、已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线,求证:△ABC∽△BCD分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C是公共角,而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明:∵∠A=36°,△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC,则∠DBC=36°在△ABC和△BCD中,∠C为公共角,∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3:已知,如图,D为△ABC一点连结ED、AD,以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD求证:△DBE∽△ABC分析:由已知条件∠ABD=∠CBE,∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC,要证的△DBE和△ABC,有一对角相等,要证两个三角形相似,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例。
从已知条件中可看到△CBE∽△ABD,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决。
九级数学上册2331相似三角形课件华东师大版
•最新中小学课件
•7
A
30°
A′
等腰三角形
B
C
5 60° 5
60° 60° 5
30° B′
60° 10
60° 10
10 60°
C′
等边三角形
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•8
20°
30°
直角三角形
45°
52 5
45° 1
2
45°
45°
1
5
等腰直角三角形
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•9
小结
1.两个全等三角形 一定 相似
2.两个等腰直角三角形 一定 相似 3.两个等边三角形 一定 相似
9 95 o E 6
F
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•4
定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形, 我们称为相似三角形.
两个相似三角形用“∽”表示,读做“相似 于如”△。A1B1C1与△ABC相似, 注意:对应顶点写 记作“△A1B1C1∽△ABC” 在对应位置上
用数学语言表示:(符号)
} ∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1 AB AC BC
DE//BC,DE=5.求BC的长。
解 ∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC (平行于三角形一边的直线,和其他两边 A
(相交所构成的三角形与原三角形相似)
DE AD 1 , BC AB 3
D
E
BC 3DE 15
B
C
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•12
2.判断
√ 1.如果两个三角形全等,则它们必相似。 √ 2.若两个三角形相似,且相似比为1,则它们必全等。
5㎝
设其他两边的实际长度都是x cm, 3.5cm
第22讲 相似三角形
重难点 相似三角形的性质与判定 如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB 平分∠ADC,过点 B
作 BM∥CD 交 AD 于点 M,连接 CM 交 DB 于点 N. (1)求证:BD2=AD·CD. (2)若 CD=6,AD=8,求 MN 的长.
【思路点拨】 (1)根据要证的乘积式分析出要判定相似的两个三 角形,利用相似三角形的判定方法结合已知条件选择合适的方法证明; (2)利用相似三角形的性质,建立已知线段和要求线段之间的等量关系, 求出线段长.
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数学 第一轮 中考考点系统复习(讲解册)
第四单元 图形的初步认识与三角形 第22讲 相似三角形
比例线段 1.比例线段: (1)定义:对于四条线段 a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它 们长度的比)与另两条线段的比① 相等 ,如ab=dc(即 ad=② bc ),我 们就说这四条线段成比例.
续表
直角三角形
找一对锐角相等或两组边对应成比例.
等腰三角形 找顶角相等或一对底角相等或底边与腰对应成比例.
5.已知△ABC∽△DEF,且△ABC 与△DEF 的相似比为 4∶1, 则:
(1)△ABC 与△DEF 对应边上的高的比为 4∶1 ; (2)△ABC 与△DEF 对应边上的中线的比为 4∶1 ; (3)△ABC 与△DEF 对应角的平分线的比为 4∶1 ; (4)△ABC 与△DEF 的周长的比为 4∶1 ; (5)△ABC 与△DEF 的面积的比为 16∶1 .
3.相似三角形的判定:
类型
判定方法
示例
一般三角 形
平行于三角形一边的
∵DE∥BC, 直线和其他两边相交,
∴△ADE∽△ 所构成的三角形与原三ຫໍສະໝຸດ 角形相似.ABC.
人教版数学九年级上册第22讲 相似三角形的判定与性质-课件
B 解析:相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积比等于相似比的平方,故选B.
B
B
D
解析:要判断两个多边形是否相似,需要看对应角是否相等,对应边的比是否相 等.矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形,即对应角、对应边的 比不一定相等,故不一定相似,A、B、C错误;而两个正方形,对应角都是90°, 对应边的比也都相等,故一定相似,D正确.故选D. 【思路点拨】利用相似多边形的对应边的比相等,对应角相等分析.
•11、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •12、首先是教师品格的陶冶,行为的教育,然后才是专门知识和技能的训练。 •13、风声雨声读书声,声声入耳;家事国事天下事,事事关心。2021/10/292021/10/29October 29, 2021 •14、孩子在快乐的时候,他学习任何东西都比较容易。 •15、生活即教育,社会即学校,教学做合一。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力,这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性,感知会使儿童心灵升华,为其为了探究事物藏下本源。2021年10月2021/10/292021/10/292021/10/2910/29/2021 •18、人自身有一种力量,用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量,一旦他这样做,就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/292021/10/29
A
(4,6)或(-4,-6)
解析:如图,由题意,位似中心是O,位似比为2,∴OC=AC.∵C(2,3),∴A(4,6)或 (-4,-6),故答案为(4,6)或(-4,-6).
C
解析:A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误; B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误;C、两 三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确;D、两三角形对应边成比例 且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误.故选C.
黄陂区六中九年级数学上册 第22章 相似形 22.3 相似三角形的性质 第2课时 相似三角形的性质定
即 , △ABC平移的距离为 2 2 .
例3 如图,在 △ABC 和 △DEF 中,AB = 2 DE ,AC = 2 DF,∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6,面 积为 1 2 5 ,求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
解 : 在 △ABC 和 △DEF 中 ,
∵ AB=2DE , AC=2DF ,
7.如图,已知一次函数 y=kx-4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A,B
两点,与反比例函数 y=8x 在第一象限内的图象交于点 C,且 A 为 BC 的中
点,则 k=_4___.
8.如图所示,直线 y=k1x+b(k1≠0)与双曲线 y=kx2 (k2≠0)相交于 A(1, 2),B(m,-1)两点.
考试加油!奥利给~
第1章 反比例函数
专题练习二 反比例函数与一次函数的综合
1.正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数 y=6x 的图象的交点位于( D )
A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第一、三象限
2.如图,正比例函数 y=x 与反比例函数 y=4x 的图象交于 A(2,2),B(-
(2)当 0<x<1 或 x>3 时,kx+b-6x <0;
(3)设一次函数 y=kx+b 与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于点 D.当 x=0 时, y=-2x+8=8,则 C 点坐标为(0,8).当 y=0 时,则有-2x+8=0,解得 x =4,∴D 点坐标为(4,0),∴S△AOB=S△COD-S△COA-S△BOD=12 ×4×8-12 ×
同学们,下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛,
看看远处,要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2 , ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为100-36 = 64 (cm2).
【推荐精选】2018年秋九年级数学上册 第22章 相似形 22.2 相似三角形的判定 第2课时 相似三角形的判定定理1
22.2 第2课时相似三角形判定定理1知|识|目|标通过观察、测量、试验、推理等方法,归纳出相似三角形判定定理1,并能应用其解决相关问题.目标会用相似三角形判定定理1判定三角形相似例1 [教材补充例题]如图22-2-7,在△ABC中,∠C=90°,DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,交AB于点E.根据题意,回答下列问题:图22-2-7(1)在△DEM和△BEN中,∵∠DME与∠BNE都是________角,∴__________________.∵∠DEM与∠BEN是________角,∴__________________,∴________∽________.(2)在△ABC和△EBN中,∵∠ACB与∠ENB都是________角,∴____________________.∵∠ABC与∠EBN是公共角,∴____________,∴________∽________.(3)由(1)(2)可知△ABC与△DEM之间的关系为________.【归纳总结】运用定理1判定三角形相似时“四注意”:(1)注意是不是有公共角;(2)注意是不是有对顶角;(3)注意是否有特殊角,例如直角;(4)注意运用“三角形的内角和为180°”计算三角形的内角度数.例2 [教材补充例题][2017·益阳模拟] 如图22-2-8,在△ABC中,∠ABC=80°,∠BAC=40°,AB的垂直平分线分别与AC,AB交于点D,E,连接BD.求证:△ABC∽△BDC.图22-2-8例3 [教材补充例题]如图22-2-9,在△ABC中,∠BAC=90°,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,交CA的延长线于点F.求证:DA2=DE·DF.图22-2-9【归纳总结】证明等积式或比例式的一般方法:把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边,然后通过证明这两个三角形相似,从而得到所要证明的等积式或比例式.特别地,当等积式中的线段的对应关系不容易看出时,也可以把等积式转化为比例式.知识点相似三角形判定定理1如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(可简单说成:__________________的两个三角形相似).[点拨] 通过判定两个角分别相等来证明两个三角形相似是判定两个三角形相似的常用办法.如图22-2-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点P是斜边AB上一点,且AP=2.过点P作一直线,与Rt△ABC另一边的交点为D,并且截得的三角形与Rt△ABC相似,求PD的长.图22-2-10小林给出如下的解法:在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB=AC2+BC2=42+32=5.分两种情况考虑:如图22-2-11①,过点P作PD⊥AC于点D,则∠ADP=∠C.又∵∠DAP=∠CAB,∴△APD ∽△ABC ,∴PD BC =AP AB ,即PD 3=25, ∴PD =65.图22-2-11如图②,过点P 作PD ⊥BC 于点D ,则∠PDB =∠C . 又∵∠PBD =∠ABC , ∴△PBD ∽△ABC ,∴PD AC =PB AB ,即PD 4=5-25, ∴PD =125.故PD 的长为65或125.你认为以上解答过程正确吗?若不正确,请指出错误的原因,并说明理由,且给出正确的解答过程.教师详解详析【目标突破】例1 (1)直 ∠DME=BNE 对顶 ∠DEM=∠BEN △DEM △BEN (2)直 ∠ACB=∠ENB ∠ABC=∠EBN △ABC △EBN (3)相似例2 证明:∵DE 是AB 的垂直平分线, ∴AD =BD.∵∠BAC =40°, ∴∠ABD =40°. ∵∠ABC =80°, ∴∠DBC =40°, ∴∠DBC =∠BAC. 又∵∠C=∠C, ∴△ABC ∽△BDC.例3 证明:在△ABC 中,∵∠BAC =90°,DF 为BC 的垂直平分线,∴D 为BC 的中点, ∴AD =12BC =DB ,∴∠B =∠DAB.∵DF ⊥BC 于点D ,∴∠C +∠F=90°. 又∵∠B+∠C=90°,∴∠B =∠F, ∴∠DAB =∠F.又∵∠ADE=∠FDA, ∴△ADE ∽△FDA , ∴DE DA =DA DF , ∴DA 2=DE·DF.[反思] 不正确,分类不全面,丢了一种情况.第1,2种情况,跟小林解法相同,第3种情况如下: 如图,过点P 作PD⊥AB 交AC 于点D ,则∠APD=∠ACB.又∵∠DAP=∠BAC, ∴△ADP ∽△ABC , ∴PD BC =AP AC ,即PD 3=24,∴PD =32.故PD 的长为65或125或32.。
【2020】最新九年级数学上册第22章相似形22-2相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理1同步练习沪科版
图22-2-8
例3[教材补充例题]如图22-2-9,在△ABC中,∠BAC=90°,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,交CA的延长线于点F.
求证:DA2=DE·DF.
图22-2-9
【归纳总结】证明等积式或比例式的一般方法:
把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边,然后通过证明这两个三角形相似,从而得到所要证明的等积式或比例式.特别地,当等积式中的线段的对应关系不容易看出时,也可以把等积式转化为比例式.
图22-2-10
小林给出如下的解法:
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB= = =5.
分两种情况考虑:如图22-2-11①,过点P作PD⊥AC于点D,则∠ADP=∠C.
又∵∠DAP=∠CAB,
∴△APD∽△ABC,
∴ = ,即 = ,
∴PD= .
图22-2-11
如图②,过点P作PD⊥BC于点D,则∠PDB=∠C.
∵∠DEM与∠BEN是________角,
∴__________________,
∴________∽________.
(2)在△ABC和△EBN中,∵∠ACB与∠ENB都是________角,∴____________________.
∵∠ABC与∠EBN是公共角,
∴____________,
∴________∽________.
∴PD= .故PD的长为 或 或 .
【2020】最新九年级数学上册第22章相似形22-2相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理1同步练习沪科版
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22.2第2课时 相似三角形判定定理1
初中数学沪科版九年级上册第22章 相似形“黄冈杯”一等奖
利用边角关系判定两三角形相似课后作业:方案(B)一. 完成教材P80 T1-T21.(1)在△ABC中,∠A=48°,AB=,AC=2cm;在△DEF中,∠E=48°,DE=,问这两个三角形相似吗?为什么?(2)在△ABC中,∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm;在△DEF中,∠D=120°,DE==6cm,问这两个三角形相似吗?为什么?2.在Rt△ABC中,两直角边分别为3cm,4cm. 在Rt△AˊBˊCˊ中,斜边为25cm,一条直角边15cm.问这两个直角三角形相似吗?为什么?二.补充: 部分题目来源于《点拨》8.如图,在平面直角坐标系中,A点坐标为(8,0),B点坐标为(0,6),C是线段AB的中点.请问在x轴上是否存在一点P,使得以P,A,C为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,D为△ABC内一点,连接BD,AD,以BC为一边在△ABC外作△BCE,使△BCE∽△BAD.求证:△DBE∽△ABC.10.〈江苏宿迁〉如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点.若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个数是( )A.1B.2C.3 D.4答案一、教材1.证明:(1)因为AB=AC,A′B′=A′C′,所以∠B=∠C,∠B′=∠C′.又因为∠A=∠A′,由三角形内角和定理可证得∠B=∠B′,所以△ABC∽△A′B′C′.(2)因为AB=AC,所以∠B=∠C.又因为A′B′=A′C′,所以∠B′=∠C′.又因为∠B=∠B′,所以∠C=∠C′,所以△ABC∽△A′B′C′.点拨:本题运用了相似三角形的判定定理,两角对应相等的两个三角形相似.2.解:△ABC ∽△A 2B 2C 2.因为△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,所以∠A=∠A 1,∠B =∠B 1,∠A 1=∠A 2,∠B 1=∠B 2,所以可得∠A =∠A 2,∠B =∠B 2,所以△ABC ∽△A 2B 2C 2.点拨:本题先根据相似三角形的对应角相等得出相等的角,然后根据两角分别相等的两个三角形相似得出△ABC ∽△A 2B 2C 2.二、 点拨8.解:存在这样的P 点.由题意可知∠AOB =90°,OA =8,OB =6, ∴AB =10.∵C 是线段AB 的中点,∴AC =5.如果P 与B 对应,那么△PAC ∽△BAO.∴PA ∶BA =AC ∶AO.∴PA =254.∴OP =OA -PA =74.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫74,0.如果P 与O 对应,那么△PAC ∽△OAB.∴PA ∶OA =AC ∶AB.∴PA =4.∴OP =OA -AP =4.∴P(4,0).综上,P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫74,0或(4,0).点拨:在以P ,A ,C 为顶点的三角形与△AOB 中,∠A 是公共角.如果两个三角形相似,有两种情况,即P 与B ,P 与O 分别对应,因此要分类讨论.9.证明:∵△BCE ∽△BAD ,∴∠CBE =∠ABD ,且BC BA =BE BD ,即BD BA =BEBC.在△DBE 和△ABC 中,∵∠CBE =∠ABD, ∴∠CBE +∠DBC =∠ABD +∠DBC ,即∠DBE=∠ABC.又BD BA =BEBC,∴△DBE ∽△ABC.点拨:由已知条件可证得∠ABD =∠CBE ,进而得到∠DBE =∠ABC.要证△DBE ∽△ABC ,已知有一对角相等,应再证夹这对角的两边对应成比例.从已知条件△BCE ∽△BAD 中,可得到成比例的线段,问题就可以得到解决.10.C。
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第二十二讲 相似三角形的性质两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应边之比称为它们的相似比,可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系.1.相似三角形对应高的比、对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比;2.相似三角形周长之比等于相似比;3.相似三角形面积之比等于相似比的平方.以上诸多相似三角形的性质,丰富了与角、面积等相关的知识方法,开阔了研究角、面积等问题的视野.例题求解【例1】如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC(AD<BC),AC 、BD 交于点O ,若S △OAB =256S 梯形ABCD ,则△AOD 与△BOC 的周长之比是 .(浙江省绍兴市中考题)思路点拨 只需求BCAD 的值,而题设条件与面积相关,应求出BOC AOD S S ∆∆的值,注意图形中隐含的丰富的面积关系.注 相似三角形的性质及比例线段的性质,在生产、生活中有广泛的应用.人类第一次运用相似原理进行测量,是2000多年前泰勒斯测金字塔的高度,泰勒斯是古希腊著名学者,有“科学之父”的美称.他把逻辑论证引进了数学,确保了数学命题的正确 性.使教学具有不可动摇的说明力.【例2】如图,在平行四边形ABCD 中.E 为CD 上一点,DE :CE=2:3,连结AE 、BE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,则S △DEF :S △EBF :S △ABF =( )A .4:10:25B .4:9:25C .2:3:5D .2:5:25(黑龙江省中考题)思路点拨 运用与面积相关知识,把面积比转化为线段比.【例3】如图,有一批形状大小相同的不锈钢片,呈直角三角形,已知∠C=90°,AB=5cm ,BC=3㎝,试设计一种方案,用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片,并求出这种正方形不锈钢片的边长.思路点拨 要在三角形内裁出面积最大的正方形,那么这正方形所有顶点应落在△ABC 的边上,先画出不同方案,把每种方案中的正方形边长求出.注 本例是一道有实际应用背景的开放性题型,通过分析、推理、构思可能的方案,再通过比较、鉴别、筛选出最佳的设计方案,问题虽简单,但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路.【例4】 如图.在△ABC 的内部选取一点P ,过P 点作3条分别与△ABC 的三边平行的直线,这样所得的3个三角形1t 、2t 、3t 的面积分别为4、9和49,求△ABC 的面积.(美国数学邀请赛试题)思路点拔 图中有相似三角形、平行四边形,通过相似三角形性质建立面积关系式,关键是恰当选择相似比,注意等线段的代换.追求形式上的统一.【例5】 如图,△ABC 中.D 、E 分别是边BC 、AB 上的点,且∠l =∠2=∠3,如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长依次是m 、m 1、m 2,证明:4521≤+m m m . 思路点拨 把周长的比用相应线段比表示,力求统一,得到同—线段比的代数式,通过代数变形证明. 注 例4还隐舍着下列重要结论:(1)△FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ; (2)1=++BCHG AC IE AB DF ; (3)2=++AC FG AB HI BC DE .学力训练1.如图,已知DE ∥BC ,CD 和BE 相交于O ,若S △DOE :S △COB =9:16,则AD :DB= .2.如图,把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置,它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD 面积的一半,若AC=2,则正方形移动的距离AA'是 . (江西省中考题)3.若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上,直角三角形的两直角边的长分别为3cm 和4cm ,则此正方形的边长为 . (武汉市中考题)4.阅读下面的短文,并解答下列问题:我们把相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同.就把它们叫做相似体.如图,甲、乙是两个不同的正方体,正方体都是相似体,它们的一切对应线段之比都等于相似比:a :b ,设S 甲:S 乙分别表示这两个正方体的表面积,则222)(66b a ba S S ==乙甲,又设V 甲、V 乙分别表示这两个正方体的体积,则333)(b a b a V V ==乙甲. (1)下列几何体中,一定属于相似体的是( )A .两个球体B .两个圆锥体C .两个圆柱体D .两个长方体(2)请归纳出相似体的3条主要性质:①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于 ;②相似体表面积的比等于 ;③相似体体积的比等于 . (江苏省泰州市中考题)5.如图,一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ,宽BC=b ㎝,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将这张报纸沿着直线EF 对折后,矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比,则a :b 于( )A .2:1B .1:2C .3:1D .1:3 (2004年南京市中考题)6.如图,D 为△ABC 的边AC 上的一点,∠DBC=∠A ,已知BC=2,△BCD 与△ABC 的面积的比是2:3,则CD 的长是( )A . 34B .3C .232D .334 7.如图,在正三角形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且31=AC AD ,AE=BE ,则有( ) A .△AED ∽△BED B .△AED ∽△CBDC .△AED ∽△ABD D .△BAD ∽△BCD(2001年杭州市中考题)8.如图,已知△ABC 中,DE ∥FG ∥BC ,且AD :FD :FB=1:2:3,则S △ADE :S 四边形DFGE :S 四边形FBCG 等于( )A .1:9:36B .l :4:9C .1:8:27D .1:8:369.如图,已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ACD=∠B ,求证:ADBC CD AB =22.10.如图,在平行四边形ABCD 中,过点B 作BE ⊥CD 于E ,连结AE ,F 为AE 上一点,且∠BFE=∠C .(1)求证:△ABF ∽△EAD ;(2)若AB=4,∠BAE=30°,求AE 的长;(3)在(1)、(2)的条件下,若AD=3,求BF 的长. (2003年长沙市中考题)11.如图,在△ABC 中,AB =5,BC=3,AC=4,PQ ∥AB ,P 点在AC 上(与点A 、C 不重合),Q 点在BC 上.(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时,求CP 的长;(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时,求CP 的长;(3)试问:在AB 上是否存在点M ,使得△PQM 为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由,若存在,请求出PQ 的长. (厦门市中考题)12.如图,在△ABC 中,AB =AC =5,BC=2,在BC 上有100个不同的点P l 、P 2、…P 100,过这100个点分别作△ABC 的内接矩形P 1E 1F 1G 1,P 2E 2F 2G 2…P 100E 100F 100G 100,设每个内接矩形的周长分别为L 1、L 2,…L 100,则L 1+L 2+…+L 100= . (安徽省竞赛题)13.如图,在△ABC 中,DE ∥FG ∥BC ,GI ∥EF ∥AB ,若△ADE 、△EFG 、△GIC 的面积分别为20cm 2、45cm 2、80cm 2,则△ABC 的面积为 .14.如图,一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合,另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上,那么这个正方形的面积是 厘米2.( “希望杯”邀请赛试题)15.如图,正方形ABCD 中,AE =EF=FB ,BG=2CG ,DE ,DF 分别交AG 于P 、Q ,以下说法中,不正确的是( )A .AG ⊥FDB .AQ :QG =6,7C .EP :PD=2 : 11D .S 四边形GCDQ :S 四边形BGQF =17:9 (2002年重庆市竞赛题)16.如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且CD=3AB ,EF ∥CD ,EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分,则AE :ED 等于( )A .2B .23 C .215+ D .215-17.如图,正方形OPQR 内接于△ABC ,已知△AOR 、△BOP 和△CRQ 的面积分别是S 1=1,S 2=3和S 3=1,那么正方形OPQR 的边长是( )A .2B .3C .2D .318.在一块锐角三角形的余料上,加工成正方形零件,使正方形的4个顶点都在三角形边上,若三角形的三边长分别为 a 、b 、c ,且a >b >c d ,问正方形的2个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大?19.如图,△PQR 和△P ′Q ′R ′,是两个全等的等边三角形,它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF ,设这个六边形的边长为AB= a 1,BC =b 1,CD= a 2,DE= b 2,EF= a 3,FA =b 3 .求证:a 1 +a 2 +a 3= b 1+ b 2 +b 3.20.如图,在△ABC 中,AB=4,D 在AB 边上移动(不与A 、B 重合),DE ∥BC 交AC 于E ,连结CD ,设S △ABC = S ,S △DEC =S 1.(1)当D 为AB 中点时,求S S 1的值; (2)若AD= x ,y SS =1,求y 与x 之间的关系式,并指出x 的取值范围; (3)是否存在点D ,使得S S 411>成立?若存在,求出D 点位置;若不存在,请说明理由. (福州市中考题)21.已知∠AOB=90°,OM 是∠AOB 的平分线,按以下要求解答问题:(1)将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动,两直角边分别与边OA ,OB 交于点C ,D .①在图甲中,证明:PC=PD ;②在图乙中,点G 是CD 与OP 的交点,且PG=23PD ,求△POD 与△PDG 的面积之比. (2)将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动,一直角边与边OB 交于点D ,OD=1,另一直角边与直线OA ,直线OB 分别交于点C 、E ,使以P 、D 、E 为顶点的三角形与△OCD 相似,在图丙中作出图形,试求OP 的长.(绍兴市中考题)。