常数变易法

常数变易法

常数变易法是微积分的一种基本方法，它可以用来求解一类形如

$y^{(n)}=f(x)$ 的高阶常微分方程。常数变易法的核心思想是假设解为

$y=y(x,c_1,c_2,\\cdots,c_n)$，其中 $c_1,c_2,\\cdots,c_n$ 是常数，然后将常数 $c_1,c_2,\\cdots,c_n$ 视为未知函数 $c_1(x),c_2(x),\\cdots,c_n(x)$ 的值，通过求解这些函数，得到实际的解。

下面以二阶常微分方程为例，介绍常数变易法的具体步骤：

首先设二阶常微分方程为 $y''=f(x)$，假设解为 $y=y(x,c_1,c_2)$，其中$c_1,c_2$ 是常数。将解代入方程，得到：

$$

\\begin{aligned}

y''(x,c_1,c_2)&=f(x)\\\\

\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x^2}&=f(x)\\\\

\\end{aligned}

$$

接下来将常数 $c_1,c_2$ 视为未知函数 $c_1(x),c_2(x)$ 的值，因此有$y=y(x,c_1(x),c_2(x))$。将 $y$ 对 $x$ 求一阶和二阶导数，得到：

\\begin{aligned}

y' &= \\frac{\\partial y}{\\partial x}+\\frac{\\partial y}{\\partial c_1}

\\frac{\\partial c_1}{\\partial x}+\\frac{\\partial y}{\\partial c_2}

\\frac{\\partial c_2}{\\partial x}\\\\

y'' &= \\frac{\\partial^2 y}{\\partial x^2}+2\\frac{\\partial^2

y}{\\partial x \\partial c_1} \\frac{\\partial c_1}{\\partial

x}+2\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x \\partial c_2} \\frac{\\partial

c_2}{\\partial x}+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_1^2} (\\frac{\\partial

c_1}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_2^2} (\\frac{\\partial c_2}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_1 \\partial c_2}

\\frac{\\partial c_1}{\\partial x}\\frac{\\partial c_2}{\\partial x}\\\\ \\end{aligned}

$$

然后将上述导数代入原方程中，得到：

$$

\\begin{aligned}

&\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x^2}+2\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x \\partial c_1} \\frac{\\partial c_1}{\\partial x}+2\\frac{\\partial^2 y}{\\partial x \\partial c_2} \\frac{\\partial c_2}{\\partial x}+\\frac{\\partial^2

y}{\\partial c_1^2} (\\frac{\\partial c_1}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_2^2} (\\frac{\\partial c_2}{\\partial x})^2+\\frac{\\partial^2 y}{\\partial c_1 \\partial c_2} \\frac{\\partial c_1}{\\partial x}\\frac{\\partial c_2}{\\partial x} = f(x)\\\\

\\end{aligned}

$$

接下来，需要求解未知函数 $c_1(x),c_2(x)$，使得上述方程成立。由于方程中的各项都是关于 $x$ 的函数，因此可以将其拆分成关于 $x$ 的一次方程组。根据一次方程组的解法，可以得到 $c_1(x),c_2(x)$ 的表达式，进而得到实际

的解函数 $y(x)$。

总之，常数变易法是一种非常重要的求解高阶常微分方程的方法，虽然计

算量比较大，但是思路清晰，适用范围广，因此在微积分的应用中得到了广泛

的应用。