线性代数习题及答案

习题一 （A ）

1．计算下列二阶行列式： （1）

3125

--； （2）

log 1

1log a b b a )1b ,a 0,≠>且（b a ；

（3）

x x y

x y

x

+-； （4）

2

11

1

1

t t t +-+.

解：1）= (-3)×5-(-1)×2=-13 2）=log log 10b a a b ⋅-= 3）=22()()x x y x y y -+-= 4）=(t +1)(t 2-t +1)-1=t 3

2．计算下列三阶行列式：

（1）1

111

01112---； （2）1

211

1516312---； （3）0

230

b a

c b c

a

-； （4）111

c b c

a b

a

---.

解：1) =1×0×(-2)+1×1×(-1)+(-1)×1×1-(-1)×0×(-1)-1×1×1-(-2)×1×1=-1 2) =1×15×(-2)+2×16×3+(-1)×(-1)×1-(-1)×15×3-16×1×1-(-2)×2×(-1)=92 3) =2()30000b c ac a b c abc ⨯⨯+-⨯⨯+---= 4) =22222211abc abc b a c a b c +-+++=+++

3．求下列各排列的逆序数，并说明它们的奇偶性： （1）264315； （2）542163.

解：1）6Γ= 偶排列 2）9Γ= 奇排列

4．确定i 和j 的值，使得9级排列 （1）1 2 7 4 i 5 6 j 9成偶排列； （2）3 9 7 2 i 1 5 j 4成奇排列.

解：1）当8,3i j ==时成偶排列 2）当8,6i j ==时成奇排列

5．利用行列式定义计算下列行列式

（1）0100101001010

1

D =

； （2）1234

0000000000

a a D a a =

.

解：1）(2143)21124334(1)1D a a a a Γ=-= 2）(2143)142332411234(1)D a a a a a a a a Γ=-=

6．利用行列式性质计算下列行列式：

（1）3

13023

42972

2

203

-； （2）

3211040220110

102；

（3）

1234234134124

1

2

3

； （4）

2

131310712421

1

5

-----.

（5）

x

y x y y x y x x y

x

y

+++;

（6）

222a b c a b c b c a b c a c a b

++++++.

解：1) =3

12010

3

4304552

23121

--=-=--- 2) =

1

0100002602100

302=--

3) =1

00010001113110010

10

160122212441

1111104-==--------

4) =

100010011381

00085521005725401

1

51

1

4

3

==------

5) =00x

x x y x

x y y

x y x x y x x x y y x y

+++++ =0000x y x

y y x x y x y y x y x y x y x

-++--- 332()x y x

y

x

y x y x

y x x y

y

=+=-+-+- 6) =222a b c a b

c b c a b c a c a b ++++++ =

22a b c a b c a b c

c b c a b c a c a b ++------++++ 1

11()22a b c c

b c a

b c a

c a b

--=++++++ =1

11()0

220

22a b c b c a b c a c c a b --++++++++ 1

11

()0

()0

22a b c a b c a b a c

c a b

--=++++-++++ =32()a b c ++

7．计算下列行列式：

（1）1

1231

32

3

n n n

D --=

--K K M M M M

；

（2）11122212

12

12

n n n n a a a n a a a n

D a a a n

++++++=

+++K K M M M

M

K

（n ≥2）；