高三数学数列综合应用试题答案及解析

高三数学数列综合应用试题答案及解析

1.已知数列{a

n }中，a

1

＝2，a

n

－a

n

－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．

(1)写出a

2，a

3

的值(只写结果)，并求出数列{a

n

}的通项公式；

(2)设b

n

＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt

＋>b

n

恒成立，求实数t的取值范围．

【答案】（1）a

2＝6，a

3

＝12. a

n

＝n(n＋1)．

（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)

【解析】解：(1)∵a

1＝2，a

n

－a

n

－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，

∴a

2＝6，a

3

＝12.

当n≥3时，a

n －a

n

－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，

又a

3－a

2

＝2×3，a

2

－a

1

＝2×2，

∴a

n －a

1

＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，

∴a

n

＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．

当n＝1时，a

1＝2；当n＝2时，a

2

＝6，也满足上式，

∴数列{a

n }的通项公式为a

n

＝n(n＋1)．

(2)b

n

＝＋＋…＋

＝＋＋…＋

＝－＋－＋…＋－＝－

＝

＝.

令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，

∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

故当x＝1时，f(x)

min

＝f(1)＝3，

即当n＝1时，(b

n )

max

＝.

要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>b

n

恒成立，则需t2－2mt＋

>(b

n )

max

＝，

即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，

∴，解得t>2或t<－2，

∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

2.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意a

n ∈(0,1)，由关系式a

n

＋1＝f(a n)得到

的数列{a

n }满足a

n

＋1>a n(n∈N*)，则该函数的图象是()

【答案】A

【解析】由a

n

＋1>a n可知数列{a n}为递增数列，又由a n＋1＝f(a n)>a n可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.

3.设函数）定义为如下数表，且对任意自然数n均有x

n+1

=的值为( ) A．1B．2C．4D．5

【答案】D

【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知：,

,故选D.

【考点】数列的周期性

4.是点集A到点集B的一个映射，且对任意，有.现对点集A中的点，，均有，点为（0,2），则线段的长度 .

【答案】

【解析】∵，

∴，，，，，，…，根据变化规律可知，

∴，，

∴.

【考点】1.数列的性质；2.两点间距离公式.

5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示

的三角形数:

将三角形数1,3,6,10,…记为数列{a

n

},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列

{b

n

},可以推测:

(1)b

2012是数列{a

n

}中的第项;

(2)b

2k-1

=.(用k表示)

【答案】(1)5030(2)

【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为a

n

=,写出其若干项

有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…

故b

1=a

4

,b

2

=a

5

,b

3

=a

9

,b

4

=a

10

,b

5

=a

14

,b

6

=a

15

,….

从而由上述规律可猜想:b

2k =a

5k

= (k为正整数),

b

2k-1=a

5k-1

==,

故b

2012=b

2×1006

=a

5×1006

=a

5030

,

即b

2012是数列{a

n

}中的第5030项.

6.已知数列满足，则该数列的通项公式_________．

【答案】

【解析】∵，∴，∴，

∴，，…，，∴，∴，

∴.

【考点】1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.

7.数列满足，则 .

【答案】

【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换

得（），两式相减得，，又，即，故.

【考点】数列的通项公式.

8.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值

范围是______________.

【答案】

【解析】是递减数列，从开始是用式子计算，这时只要，即即可，关键是是通过二次式计算，根据二次函数的性质，应该有且，即且，解得，综上取值范围是．

【考点】数列的单调性．

9.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最

大值为．

【答案】4

【解析】当时，，得，

当时，，所以，所以，

又因为适合上式，所以，所以，

所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，

所以，

所以，即，易知的最大值为4.