共线向量定理及其应用
空间向量与立体几何：第2讲共线定理、共面定理的应用
共线定理、共面定理的应用【基础知识】(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a=λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在唯一实数对x 、y ，使p xa yb =+ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使p xa yb zc =++ .把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP xOA yOB zOC =++ .其中x ＋y ＋z ＝1.【规律技巧】1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．2.中点向量公式1()2OM OA OB =+ ，在解题时可以直接使用．3．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线.(1)PA PB λ= ；[来源:学科网](2)对空间任一点O ，OP OA t AB =+ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOA yOB x y =++= ．4．证明空间四点共面的方法对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)MP xMA yMB =+ ；(2)对空间任一点O ，OP OM xMA yMB =++ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOM yOA zOB x y z =++++= ；(4)PM ∥AB (或PA ∥MB 或PB ∥AM )．【典例讲解】【例1】已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【变式探究】如图空间两个平行四边形共边AD ，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .【针对训练】1、已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【答案】(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .2、有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA→＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立，③正确，④中若M ，A ，B共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋y MB →不正确．故选B.3、】若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有，则P ，A ，B ，C 四点（）A ．不共面B ．共面C ．共线D．不共线4、若平面、的法向量分别为，则()A.B.C.、相交但不垂直 D.以上均不正确【答案】A 【练习巩固】1．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．解析∵a ，b ，c 共面，且显然a ，b 不共线，∴c ＝x a ＋y b ，＝2x －y ，①＝－x ＋4y ，②＝3x －2y ，③＝337，＝177，代入③得λ＝657.答案6572．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．3．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．4.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，(1)试证：A 1，G ，C 三点共线；(2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .5、如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.6、若(2,1,3),(1,2,9)a x b y ==- ，如果a 与b 为共线向量，则()A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32。
O0010,向量共线定理的几个推论及其应用
证：① 当 O 点与 A、B、C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；
② 当 O 点与 A、B、C 三点均不重合，则三点 A、B、C 共线 Û 存在 s，t∈R，且 s·t≠0，使得
s A B + t A C = O ，此时，s≠-t，否则 A B = A C ，从而 B 点与 C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：
一、定理的推论
推论一：向量b 与向量 a 共线 Û 存在不全为 0 的实数 l1 , l2 ，使 l1 a + l2 b = 0 ，这实质是定理的另
外一种表述形式。
推论二：三个不同点 A、B、C 共线 Û 存在一组全不为 0 的实数l1, l2 ，使 l1 A B + l2 A C = 0 。
注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中 A B , A C 均不为零向量，而推论（一）中，向量
∴
CM = CN + CB Þ CM =
CN +
C B ；∵B、M、N 三点共线.由推论（三）知，
1- l
2l
2
2l
2
1 - l + 3(1 - l ) = 1 Þ l =
3 即为所求
2l
2
3
3
例 3 （06 年江西高考题）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若O B = a1 O A + a200 O C ，且 A、B、C
0<x+y<1，且 x<0，y>0。从而应选 C。
M P
Q B
O
O0010,向量共线定理的几个推论及其应用
向量共线定理的几个推论及其应用人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且仅有一个实数λ，使b =λa 。
谓之“向量共线定理”。
以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。
以下通过例题来加以说明。
一、定理的推论推论一：向量b 与向量a 共线⇔存在不全为0的实数12,λλ，使120a b λλ+=，这实质是定理的另外一种表述形式。
推论二：三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数12,λλ，使120AB AC λλ+=。
注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中,AB AC 均不为零向量，而推论（一）中，向量,a b 可能含O 。
推论三: 设O 、A 、B 三点不共线，且OP xOA yOB =+，（x ，y∈R），则P 、A 、B 三点共线⇔x+y=1。
这实质是直线方程的向量形式。
推论四: 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数123,,λλλ使123OA OB OC O λλλ++=且123λλλ++=0证：① 当O 点与A 、B 、C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；② 当O 点与A 、B 、C 三点均不重合，则三点A 、B 、C 共线⇔存在s ，t∈R，且s·t≠0，使得sAB t AC O +=，此时，s≠-t ，否则AB AC =，从而B 点与C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：()()s OB OA t OC OA O -+-=，即：()s OB tOC s t OA O ⋅+-+=。
显然s+t+[-(s+t)]=0令123()0,0,0s t s t λλλ-+=≠=≠=≠,故1230λλλ++=得证。
推论五： 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 不共线⇔若存在实数123,,λλλ，使123OA OB OC O λλλ++=且1230λλλ++=则123λλλ===0。
共线向量定理的推论的推广及其应用
共线向量定理的推论的推广及应用贵州织金一中 龙瑞华最近几年的高考试题中，很多题目都是以向量知识为背景，向量知识成高考的热点。
在高二下册B 版本的课本第九章第五节中讲到共线向量定理的推论。
下面就该推论的推广在解题中的应用加以探究。
一、推论的叙述及变式。
如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式：(1)OP OA ta=+在l 上取AB a =，则（1）式可化为OP OA t AB =+因为AB OB OA =- ∴(1)(2)OP t OA tOB=-+由（2）式可看出等号的左边向量OP 的系数1刚好等于右边的向量OA 与OB 的系数之和1-t +t ，由推论易知此时A 、B 、P 三点同在一条直线上。
O 为直线外一点，即P 为△OAB 边AB 上的点，线段OB 、OP 、OA 是有共同端点的三条线段，另外的三个端点都在同一条线上。
线段OP 刚好是三条线段中的中间一条，它所表示的向量(1)OP t OA tOB =-+，在等式中，左边系数之和=右边系数之和。
图（一）a二、推论的推广由共线向量定理的推论，我们可以得到如下结论： 结论一：在△ABC 中，D 为BC 边上的点，如果BD x =DCy，则以A 点为起点的三个向量的中间一个向量AD =AC AB x y x y x y+++。
证明：BD BC,BD=AD AB,BC=AC-AB xx y=-+即可证明。
结论二：共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上，那么用其中二个向量表示另一个向量时，左边系数之和等于右边系数之和。
结论三：在结论一中如果点D 不在边BC ，是在三角形ABC 的内部或外部，在图（三）中，AD=xAC+yAB ，则 1x y +<，在图（四）中AD AC AB x y =+，则 1x y +>，证明先找到AD 与BC 的交点，转化为第一种情形，即三点在同一条直线上，再应用向量共线定理a b λ=进行转化。
根据向量共线定理的几个推论及其应用,给出10个例子。
根据向量共线定理的几个推论及其应用，给出10个例子。
根据向量共线定理的几个推论及其应用本文将讨论根据向量共线定理得出的几个推论，并给出10个例子进行应用。
推论1：向量共线的充要条件向量共线的充要条件是它们可以表示为等比例的关系。
即，两个向量v和w是共线的，当且仅当存在一个非零常数k，使得v = kw。
实例1：设向量v = ⟨2, 4⟩，向量w = ⟨6, 12⟩，则v和w共线，因为可以表示为v = 3w。
推论2：向量共线的性质向量共线具有以下性质：1. 共线向量的数量不唯一。
对于任意一个向量v，与之共线的向量有无穷多个。
2. 共线向量的方向相同或相反。
共线向量的方向可以是相同的，也可以是相反的。
3. 共线向量的模长比例相同。
共线向量的模长之间存在一个恒定的比例关系。
实例2：考虑两个共线向量v = ⟨1, 2⟩和w = ⟨-2, -4⟩，它们的方向相反，模长的比例为2。
推论3：向量共线与线性相关两个向量共线等价于它们线性相关。
即，向量v和w共线，当且仅当它们的行列式为0。
实例3：设向量v = ⟨3, 6⟩，向量w = ⟨-2, -4⟩，则v和w共线，因为它们的行列式为0。
推论4：向量共线的应用向量共线的理论在实际中有很多应用，其中包括但不限于以下几个方面：1. 几何学：根据向量共线定理，可以判断线段是否共线，计算线段的长度比例等。
2. 物理学：在力学、电磁学等物理学领域中，向量共线定理被广泛应用于描述物体的运动、力的合成等问题。
3. 工程学：在建筑、航空、航天等领域中，向量共线定理可以用于分析和计算结构的稳定性和强度等。
实例4-10：1. 在平面上，三个点A(2, 4)、B(-1, -2)、C(3, 6)共线。
2. 直线L:x/3 = y/2 = z/4，过点P(3, 6, 12)。
3. 三维空间中，平面P1：2x + 4y + 6z = 0 和平面P2：4x + 8y + 12z = 0 共线。
共线向量定理及其应用
共线向量定理及其应用知识点：一、共线向量基本定理a （a ≠0 ）与b 共线⇔存在唯一一个实数λ，使b a λ= 。
推论：a 与b共线⇔存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=成立。
二．三点共线1.点A,B,P 共线⇔存在非零实数λ，使AP AB λ=成立。
（1）若点P 在线段AB 上（与A.B 不重合）时，则0<λ<1; (2)若点P 与A 重合时，则λ=0； （3）若点P 与B 重合时，则λ=1；（4）若点P 在线段AB 的延长线上时，则λ>1； (5)若点P 为线段AB 的中点时，则λ=12； （6）点P 在线段BA 的延长线上时，λ<0. 2.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔x (1)()OP OA x OB x R =+-∈3.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔(,)OP xOA yOB x y R =+∈且x+y=1.三．重要结论1.若向量a,b不共线，则12120==0a b λλλλ+= 当且仅当时成立，反之亦然。
2.若向量a,b不共线，则1212a ==0b λλλλ= 当且仅当时成立，反之亦然。
3.若向量a,b不共线，则11221212a ==b a b λμλμλλμμ+=+ 当且仅当且时成立，反之亦然练习部分：1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．2.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D，若，则m+n的取值范围是A.（0，1）B（1，+∞）C（-∞，-1）D（-1，0）.3.如图，经过∆OAB的重心G的直线与OA.OB分别交于P.Q，设,,,,OP mOA OQ nOB m n R==∈，则11n m+的值为----------- 。
4.如图，一条直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E,F 两点，且交其对角线AC于K ，其中，则λ的值是（）A.15B.14C.13D.125.在△ＡＢＯ中，11,,42OC OA OD OB == ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｍ，设,OA a OB b ==，试用a 和b 表示向量OM６.设两个非零向量a 与b 不共线，试确定实数ｋ，使得ka b + 和a kb +共线答案：1.设(01)CO CD λλ=<< ,x (1)AO AB X AC xAB AC xAC =+-=+- , ()AO AC x AB AC ∴-=- ,x ()3CO CB x BC xCD ⇒==-=-,3,x λ∴=-所以，0<-3x<1,103x ∴-<<.2.解：：由C,O.D 三点共线知，(0),1OCOC kOD k k OD=<=<又,所以-1<k<0. 又B.A.D三点共线，(1)OD OA OBλλ∴=+- .(1)OC kOD k OA k OB λλ∴==+- .所以m+n=k λ+(1)k λ-=k (1,0)∈-3.解221111()()3323OG OD OA OB OP OQ m n ==⨯+=+ =1133OP OQ m n+.,,P G Q 三点共线，11111,333m n m n∴+=∴+= 4.解()AK AC AB AD λλ==+=32AE AF λλ+ ,因为K,E,F 三点共线，所以3λ+2λ=1.∴λ=15. ５.解∵D ，M ，A三点共线，∴存在实数m使得m (1)(1);2m O M O D m O A m a b =+-=-+ 又B ，M ，C 三点共线，同理可得，1(1)4n OM nOB n OC a nb -=+-=+62{,1714mn m n m =∴=--=得，1377OM a b ∴=+６.ｋ＝１。
共线向量定理及应用
3.已知向量 a，b 不共线，若向量 m＝4a＋5b 与 n＝2a＋λb 共线，则实数λ的
值为(
C
)
A．5
解析
B．3
5
C.
2
D．2
因为向量 m＝4a＋5b 与 n＝2a＋λb 共线，所以存在实数 t，使得
t＝2，
2t＝4，
m＝tn，即 4a＋5b＝t(2a＋λb)，又向量 a，b 不共线，所以
解得 λ＝5.
a b
1.设 a，b 都是非零向量，下列四个条件，使 ＝ 成立的充要条件是(
|a| |b|
A．a＝b
B．a＝2b
C．a∥b 且|a|＝|b|
D．a，b 方向相同
解析
D
)
a
b
a b
表示 a 方向上的单位向量， 表示 b 方向上的单位向量，因此 ＝
|a|
|b|
|a| |b|
的充要条件是 a 与 b 同向．
2
3
所以 = −
因为 =
2
3
−
2
9
+
，
=
1
−
3
=
1
3(−
3
2
+
9
+
.
2
9
)，
所以 = 3 ，即 与 共线，
因为 与 有公共点
，所以
， ， 三点共线.
k－2λ＝0
→
→
→
5.若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C 三点共线.
→
→
证明：∵AB＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b
证明三点共线的向量定理
证明三点共线的向量定理证明三点共线的向量定理1. 引言在几何学中，共线是指多个点在同一条直线上。
证明三点共线的向量定理是一种常用的方法，它利用向量的性质来判断三个点是否在同一条直线上。
本文将深入探讨这个定理，通过提供详细的解释和举例，帮助您全面了解这一概念。
2. 向量的基本概念在开始证明之前，我们先了解一些基本的向量概念。
向量是有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
向量可以表示为有序数对 (a, b)，其中a 和 b 分别表示向量在水平和垂直方向上的分量。
在这里，我们使用巴斯克定理，这是一个三角学中的基本定理，通过它我们可以找到一个向量的模长和方向。
3. 证明三点共线的向量定理现在我们来证明三个点是否共线的向量定理。
假设有三个点A(x1, y1)、B(x2, y2) 和 C(x3, y3)。
根据向量的定义，我们可以将向量 AB 表示为向量 a = (x2 - x1, y2 - y1)，向量 BC 表示为向量 b = (x3 - x2, y3 -y2)。
如果这两个向量是平行的，那么向量 a 和向量 b 的比例关系为 a= k * b，其中 k 是一个常数。
这意味着点 A、B 和 C 共线。
为了证明这一点，我们可以计算向量 a 和向量 b 的比值，如果比值等于常数 k，那么三个点就共线。
具体计算如下：a = (x2 - x1, y2 - y1)b = (x3 - x2, y3 - y2)k = a / b = (x2 - x1) / (x3 - x2) = (y2 - y1) / (y3 - y2)如果比值 k 等于常数，那么三个点 A、B 和 C 就共线。
4. 举例说明为了更好地理解上述证明过程，我们举个例子来计算三个点是否共线。
假设有三个点 A(1, 2)、B(3, 4) 和 C(5, 6)。
我们可以计算向量 a 和向量 b 的比值：a = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)b = (5 - 3, 6 - 4) = (2, 2)k = a / b = (2 - 1) / (2 - 1) = 1由于比值 k 等于常数 1，所以点 A、B 和 C 是共线的。
向量的三点共线定理
向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。
它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。
二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。
在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。
定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。
三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。
特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。
性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。
四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。
特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。
特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。
五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。
规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。
特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。
《两向量共线的充要条件及应用》平面向量及其应用
推论三：向量的三角形法则
总结词
三角形法则是指两个向量共线时，可以通过第三个向 量形成一个三角形。
详细描述
如果向量$overset{longrightarrow}{a}$、向量 $overset{longrightarrow}{b}$和向量 $overset{longrightarrow}{c}$共线，那么这三个向量 可以形成一个三角形。具体来说，从起点出发，沿着 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$的方向分别作相同长度 的线段，连接三个终点，形成一个三角形。这个三角形 满足三角形的法则，即任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边。
《两向量共线的充要条件及 应用》平面向量及其应用
汇报人： 2023-12-29
目录
• 平面向量的基本概念 • 两向量共线的充要条件 • 两向量共线的应用 • 两向量共线定理的证明 • 两向量共线定理的推论
01
平面向量的基本概念
向量的定义
总结词ห้องสมุดไป่ตู้
向量是一个既有大小又有方向的量， 通常用有向线段表示。
定理的证明方法三
总结词
利用向量的模的性质证明
详细描述
第三种证明两向量共线的方法是利用向量的 模的性质。如果两向量共线，则它们的模之 比是一个常数。通过比较两个向量的模，我 们可以找到这个常数。如果两个向量的模之 比等于这个常数，则它们共线。
05
两向量共线定理的推论
推论一：向量的倍数关系
总结词
向量的倍数关系是指两个向量共线时，一个 向量是另一个向量的倍数。
03
高二数学共线向量与共面向量
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ， 则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。 友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。 友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。 友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一 句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。 礼物
第9讲 平面向量共线定理、平面向量基本定理的应用问题
第9讲 平面向量共线定理、平面向量基本定理的应用问题一、共线向量定理1．对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，a 与b 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa .2．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.例1 如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →. 例2如图，在△ABC 中，3BAC π∠=，2AD DB =,P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若△ABC 的面积为AP 的最小值为（ ）A. C. 3D.43【针对练习 】如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．例3 在△ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =，AN nAC =(m ＞0，n ＞0)，则m +2n 的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．83D ．103例4 已知数列{a n }为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+，若()AB AC R λλ=∈，点O 为直线BC 外一点，则12017a a += ( ) A. 0 B. 1C. 2D. 4例5 已知圆O 的半径为2，A ，B 是圆上两点且∠AOB 23π=，MN 是一条直径，点C 在圆内且满足(1)(01)OC OA OB λλλ=+-<<，则CM CN ⋅的最小值为（ ）A ．－3B ．C ．0D ．2例6 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λAB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【针对练习】 1．已知点G 为ABC △的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于,M N两点，且,AM xAB = ,AN y AC = ,x y R ∈，则2．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM xAB AN y AC ==,则x y +的最小值为（ ）A ．2BC D3．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知点C (c ，0)，D (d ，0)(c ，d ∈R )调和分割点A (0，0)，B (1，0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、平面向量基本定理如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ11e +λ22e ,平面内选定两个不共线向量为基底,可以表示平面内的任何一个向量．例7 如图,平面内有三个向量,,OA OB OC ,其中OA 与OB 的夹角为120︒,OA 与OC 的夹角为30︒,3||2,||,||23OA OB OC ===若(,)OC OA OB λμλμ=+∈R ,则（ ）A. 4,2λμ==ABCO例8 两个非零向量OA →，OB →不共线，且OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →(m ，n >0)，直线PQ 过△OAB 的重心，则m ，n 满足( )A ．m ＋n ＝32B ．m ＝1，n ＝12 C.1m ＋1n＝3 D ．以上全不对例9 如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，60CBA ∠=，45ABD ∠=，CD xOA yBC =+，则x y +的值为（ ）A ．13-B．3- C ．23D．【针对练习】 1．在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且2BD DC =，3CE EA =，若AB a =，AC b =，则DE =（ ） A 15a b +B 113a b -C 15a b -D 113a b +2．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB→＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．3．已知平面向量,m n 的夹角为3π且1,2m n ==，在△ABC 中，22AB m n =+，26AC m n =-，D 为BC 中点，则AD =( )A. B. C.6 D.12三、利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题例10 已知向量,OA OB 满足1OA OB ==,,(,,)OA OB OC OA OB R λμλμ⊥=+∈若M 为AB 的中点,1MC =,则λμ+的最大值是（ ）A例11 在Rt ABC ∆中，AB AC ⊥，1AB =，2AC =，点P 为△ABC 内（包含边界）的点，且满足AP xAB y AC =+（其中x ，y 为正实数），则当xy 最大时，yx的值是（ ） A ．12B ．1 C.2 D ．与∠A 的大小有关例12 △ABC 中，35,5==BC AB ，3π=A ，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且)(5253R AC AB AP ∈-=λλ的最大值为____________例13 如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若动点P 从点A 出发，沿正方形及三角形的边按如下路线运动：A →B →C →D →E →A →D ，其中AP →＝λAB →＋μAE →.给出下列说法：①当P 为BC 的中点时λ＋μ＝2； ②满足λ＋μ＝1的点P 恰有3个；③λ＋μ的最大值为3；④若满足λ＋μ＝k 的点P 有且只有2个，则k ∈(1，3)． 其中，说法正确的序号是________．【针对练习】 1．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 的延长线与线段BA 交于圆外的一点D ，若OC OA OB λμ=+（R λ∈，R μ∈），则λμ+的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(),1-∞-D ．()1,0-2．如图，已知,B C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与x 轴的交点，点A 在劣 弧PQ （包含端点）上运动，其中30POx ∠=，OP OQ ⊥，作AH BC ⊥于H ．若记AH xAB y AC =+，则xy 的取值范围是( )A. 1(0,]4B. 11[,]164C. 13[,]1616 D. 31[,]164四、平面向量基本定理在解析几何中的应用例14 F ,过点F 与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ,B 两点,与双曲线的其中一个交点为P ,设坐标原点为O,若OP mOA nOB =+(,)m n R ∈,则该双曲线的渐近线为（ ）A B C D【针对练习】已知A 是双曲线（0a >,0b >）的左顶点,1F 、2F 分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,G 是12F F ∆P 的重心,若1G F λA =P ,则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．与λ的取值有关【精品练习】1．在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC =+λμ，则λμ+= .2．已知平面直角坐标系内的两个向量()3,2a m =-，()1,2b m =-，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c a b λμ=+(λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞,2)B.6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.(－∞,－2)∪(－2,+∞)D.66,,55⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD AE x AB y AC +=+，则14x y+的最小值为（ ）A ． 32B ．2C ．52D ．924．已知3AB =uu u v ，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，1233OP OA OB =+uu u v uu v uu u v,点P 的轨迹方程为( )A.2214x y +=B.2214y x +=C.2219x y +=D.2219y x += 5．如图4-25-1所示，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3DE →，BC →＝3BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________．6．如图4-25-3，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )图4-25-3A.2a －1＋22b B ．－2a ＋1＋22b C ．－2a ＋1－22b D.2a ＋1－22b7．已知A ，B ，C 是圆x 2＋y 2＝1上不同的三点，且OA →·OB →＝0(O 为坐标原点)，若存在实数λ，μ满足OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ，μ的关系满足( ) A.1λ＋1μ＝1 B ．λ2＋μ2＝1 C ．λμ＝1 D ．λ＋μ＝1。
共线向量的推论
向量共线定理的几个推论及其应用推论一：向量b 与向量a 共线⇔存在不全为0的实数12,λλ，使120a b λλ+=，这实质是定理的另外一种表述形式。
推论二：三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数12,λλ，使120AB AC λλ+=。
注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中,AB AC 均不为零向量，而推论（一）中，向量,a b可能含O 。
推论三: 设O 、A 、B 三点不共线，且OP xOA yOB =+，（x ，y∈R），则P 、A 、B 三点共线⇔x+y=1。
这实质是直线方程的向量形式。
推论四: 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数123,,λλλ使123OA OB OC O λλλ++=且123λλλ++=0证：① 当O 点与A 、B 、C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；② 当O 点与A 、B 、C 三点均不重合，则三点A 、B 、C 共线⇔存在s ，t∈R，且s·t≠0，使得sAB t AC O +=，此时，s≠-t ，否则A B A C = ，从而B 点与C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：()()s OB OA t OC OA O-+-= ，即：()s OB tOC s t OA O ⋅+-+=。
显然s+t+[-(s+t)]=0令123()0,0,0s t s t λλλ-+=≠=≠=≠,故1230λλλ++=得证。
推论五： 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 不共线⇔若存在实数123,,λλλ，使123OA OB OC Oλλλ++=且1230λλλ++=则123λλλ===0。
推论五实质是推论四的逆否命题。
推论六：点P 在ΔABO 的内部（不含边界）⇔存在正实数12,λλ，使得12OP OA OB λλ=+，且121λλ+<。
证：：如图，必要性：若点P 在ΔABO 的内部（不含边界），则12OP OA OB λλ=+，延长OP 交AB 于P 1，过P 作OA 、OB 的平行线，分别交OA ，OB 于M ，N 点，过P 1作OA ，OB 的平行线，分别交OA ，OB 于M 1，N 1点，显然11||||PM PM <，11||||PN PN <，12OP OM ON OA OBλλ=+=+。
2共面向量定理
a
在空间直角
3．空间向量的坐标运算法则．
b ＝(b1，b2，b3 )， （1）若 a＝(a1，a2，a3 )，
则
a＋b ＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3 )，
a＝(a1，a2，a3 )( ∈R)，
a－b ＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3 )，
共面向量定理
共线向量: 1.共线向量的定义： 记作a // b 若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行 或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。 注：零向量与任一向量共线. 2.共线向量定理： 对于空间任意两个向量 a, b (a ¹ ,0)
a b Û
存在实数 l ,使得 b = l a
说明： ①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量。（零向量与 任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面） ③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基 向量是指基底中的某一个向量。
三.空间向量基本定理：
如果三个向量e1、 e2、 e3 不共面，那么空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p xe1 ye2 ze3 . 推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对空间 任一点P，都存在唯一的有序实数对 x、y、z使
y
x 与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i， j， k
a
，
根据空向量基本定理，存在惟一的有序实数组
（x,y,z ），使 a ＝xi＋y j＋zk.
有序实数组（x,y,z ）叫做向量
＝( x，y，z ) 坐标系O-xyz中的坐标，记作： a 对于空间任意一点A（x，y，z ）， 向量 OA坐标为 OA ＝( x，y，z )．
高一人教A版高中数学必修第二册《6.2.3向量共线定理》课件
6.2.3向量共线定理
学习目标：
1.学习并掌握向量共线定理 2.能够灵活应用向量共线定理：能用向量的共线定理证明三点共线，
能用向量共线定理构建方程组求参数
复习回顾
向量的数乘：
实数与向量a的积是一个向量，这种运算 叫做向量的数乘，记为 a
其方向和长度规定如下：
（1） a a ;
2
2
（1 3 ）
a
2 t
b (3)
2
由于a和b是两个不共线向量，可知
t 0
2
1 3 0
2
解得t= 1 3
例题反思：
向量共线定理的应用，体现向量线性 运算和方程组的综合应用。解题的关键是 依据向量共线的充要条件，先列出向量的 关系式，再转化为解方程组求参数问题， 这是向量共线定理的一个常规解题思路。
定理应用
例2.已知 a、b 是两个不共线向量，向量b-ta , 1 a 3 b 共线，求实数t的值。 22
解：由于 a 和 b是两个不共线向量，所以 1 a 3 b 为非零向量， 22
向量b-ta , 1 a 3 b 共线，则b-ta （1 a 3 b） (1)
22
22
即（t ）a （1 3 ）b (2)
学法指导
新课程标准有以下几项变化，一是理念变化：确立核心素养导向的课 程目标；二是结构变化：明确学业要求与学业质量标准；三是内容变化： 调整教学要求和增加教学内容。最终是要结合学生认知水平和生活经验， 设计合理的生活情境、数学情境、科学情境。关注情境的真实性，适当引 入数学文化，真正让学生感受数学与生活的密切关系和对生活的影响以及 作用。培养学生的核心素养目标，从本质上提升教学质量。
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共线向量定理及其应用
知识点：
一、共线向量基本定理
a （a ≠0 ）与
b 共线⇔存在唯一一个实数λ，使b a λ= 。
推论：a 与b
共线⇔存在不全为零的实数
12,λλ，使120a b λλ+=
成立。
二．三点共线
1.点A,B,P 共线⇔存在非零实数λ，使AP AB λ=
成立。
（1）若点P 在线段AB 上（与A.B 不重合）时，则0<λ<1; (2)若点P 与A 重合时，则λ=0； （3）若点P 与B 重合时，则λ=1；
（4）若点P 在线段AB 的延长线上时，则λ>1； (5)若点P 为线段AB 的中点时，则λ=12
； （6）点P 在线段BA 的延长线上时，λ<0. 2.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔
x (1)()OP OA x OB x R =+-∈
3.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔
(,)OP xOA yOB x y R =+∈
且x+y=1.
三．重要结论
1.若向量a,b
不共线，则12120==0a b λλλλ+= 当且仅当时成立，反之亦然。
2.若向量a,b
不共线，则1212a ==0b λλλλ= 当且仅当时成立，反之亦然。
3.若向量a,b
不共线，则11221212a ==b a b λμλμλλμμ+=+ 当且仅当且时成立，反
之亦然
练习部分：
1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在
线段CD上（与点C、D不重合），若
的取值范围是（）A．B．C．D．
2.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D，若，则m+n的取值范围是
A.（0，1）B（1，+∞）C（-∞，-1）D（-1，0）
.
3.如图，经过∆OAB的重心G的直线与OA.OB分别交于P.Q，
设
,,,,
OP mOA OQ nOB m n R
==∈
，则
11
n m
+的值
为----------- 。
4.如图，一条直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E,F 两点，且交其对角线
AC
于
K ，其中，
则λ的值是（）
A.15
B.14
C.13
D.1
2
5.在△ＡＢＯ中，11
,,42OC OA OD OB == ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｍ，设
,OA a OB b ==
，试用a 和b 表示向量OM
６.设两个非零向量a 与b 不共线，试确定实数ｋ，使得ka b + 和a kb +
共
线
答案：
1.设(01)CO CD λλ=<< ,x (1)AO AB X AC xAB AC xAC =+-=+- , ()AO AC x AB AC ∴-=- ,x ()3CO CB x BC xCD ⇒==-=-
,3,x λ∴=-
所以，0<-3x<1,103
x ∴-<<.
2.解：：由C,O.D 三点共线知，(0),1OC
OC kOD k k OD
=<=<
又,所以
-1<k<0. 又
B.A.D
三
点
共
线
，
(1)OD OA OB
λλ∴=+- .
(1)OC kOD k OA k OB λλ∴==+- .
所以m+n=k λ+(1)k λ-=k (1,0)∈-
3.解221111()()3323OG OD OA OB OP OQ m n ==⨯+=+ =1133OP OQ m n
+
.
,,P G Q 三点共线，11111,333m n m n
∴
+=∴+= 4.解()AK AC AB AD λλ==+
=32AE AF λλ+ ,因为K,E,F 三点共线，所以
3λ+2λ=1.∴λ=15
. ５.解
∵D ，M ，A
三点共线，∴存在实数
m
使得
m (1)
(1);2
m O M O D m O A m a b =+-=-+ 又
B ，M ，
C 三点共线，同理可得，1(1)4
n OM nOB n OC a nb -=+-=+
62
{,17
14
m
n m n m =∴=--=
得，1377OM a b ∴=+
６.ｋ＝１。