人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 阅读与思考 斐波那契数列》优质课教案_0
新人教A版高中数学必修5第二章数列数列的概念与简单表示法同步课件
答案：C
3．数列 0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式是
an＝( )
1 A.9
(10n－1)
1 B.3
1－110n
2 C.9
(10n－1)
3 D.10
(10n－1)
解析：1－1101＝0.9，1－1102＝0.99，…，故原数列的
通项公式为 an＝131－110n. 答案：B
(3)此数列的整数部分 1，2，3，4，…恰好是序号 n， 分数部分与序号 n 的关系为n＋n 1，故所求的数列的一个 通项公式为 an＝n＋n＋n 1＝nn2＋＋21n(n∈N*)．
(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列 9，99，999，9 999，…的一个通项公 式为 an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为 an＝19(10n －1)(n∈N*)．
解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数 列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.
答案：②④ ①③ ② ④ ① ③
类型 2 由数列的前几项写出数列的通项公式 [典例 2] 写出以下数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数． (1)0，3，8，15，…； (2)1，－3，5，－7，…； (3)1 12，2 23，3 34，4 45，…； (4)1，11，111，1 111，….
A．Sn＋1＝a2n＋1＋an＋1·an B．a1＋a2＋a3＋…＋an＝an＋2－1 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n－1 D．4(cn－cn－1)＝πan－2·an＋1 解析：对于 A 项，因为斐波那契数列总满足 an＝an－1＋ an－2(n≥3，n∈N*)，所以 a21＝a2a1， a22＝a2a2＝a2(a3－a1)＝a2a3－a2a1， a23＝a3a3＝a3(a4－a2)＝a3a4－a3a2， 类似的有，a2n＝anan＝an(an＋1－an－1)＝anan＋1－anan－1， 累加得 a21＋a22＋a23＋…a2n＝an·an＋1，
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_25
《数列的概念与简单表示法》教学设计一、教学要求：1、理解数列及其有关概念；2、了解数列和函数之间的关系；3、了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式； 二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：（一）、引入：1. 大自然是懂数学的，树木的分岔，花瓣的数量，植物种子的排列等等都遵循某种数学规律，本节课我们就来研究这些数的规律及特征。
下面我们看四组数：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数.提问：这些数有什么共同特点：1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序（二）、讲授新课：1.数列及其有关概念：（1）1，12，14，18，··· （2）三角形数：1，3，6，10，···（2）正方形数：1，4，9，16，···（4）无穷多个3排列成的一列数：3，3，3，3，···（5）15,5,16,16,28,32,51有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序（1）数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.（2）数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？ ----------数列的可重复性（3）数列与集合有什么区别？ 集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法教案(1)
2.1.1 数列的概念与简单表示法一、教学目标（1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。
同时了解数列的几种分类。
（2）了解数列是一种特殊的函数了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。
二、教学重点与难点（1）教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。
（2）教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。
三、教学过程<1>创设情境，实例引入1、引导学生观察P26章节前的知识背景图片，构建自然现象中体现出的数的规律。
留下问题思考：你能发现下面这一列数的规律吗1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...（我们先一起来观察一下课本P26的这幅大图，大家来数数这些花各有几片花瓣。
我们发现，第一朵花有3片花瓣，第二朵花有5片花瓣，第三朵花有8片花瓣，第四朵花有13片花瓣。
那大家来观察一下书上的那一组数：1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...，你能发现它们有什么规律吗？带着这个问题，我们要来探讨一个有关数的新问题。
）2、引导学生观察课本P28的两幅图-三角形数与正方形数，进而引出数列的概念。
（大家都知道古希腊拥有着灿烂的文明，它的数学文化同样值得我们去探究。
古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，书本上的这两幅图正是他们所研究的一小部分，即三角形数与正方形数。
大家一起来观察一下，在三角形数这幅图中每个图形分别对应着数1，3，6，10....，而在正方形数这幅图中每个图形分别对应着数1，4，9，16...，大家能发现它们的共同特点吗？每个图形代表的数与在图中的序列号有没有什么联系呢？这样的一组数我们在数学上称之为数列。
现在我们一起来认识这个全新的概念：数列。
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的通项公式(二)——利用Sn与an关系求通项公
1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 2n2 n 1，求 an 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 1 3n ，求 an
答案 第1题
4 n 1 an 4n 1 n 2
第2题
an 2 3n1, n N
隐藏 Sn ，求 an
【例 2】已知数列{an}中， a1 2a2 2n1an n2 n ，求 an
（2）由（1）
1 Sn
2n ，
Sn
1 2n
,nN
（又回到了类型一）
①当
n
1 时，
a1
S1
1 2
②当 n 2 时， an Sn Sn1
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的 通项公 式（二 ）—— 利用Sn 与an关 系求通 项公式 课件【精品】
1 1 2n 2n 2
1 2n2 2n
n2 n (n 1)2 (n 1) 2n 对于 bn 2n ，当 n 1 时， b1 2
所以： bn 2n, n N
又 bn 2n1 an , 则2n1 an 2n
所以： an
n 2n2
,n N
处理方法
换元转换为类型一
3. 已知数列{an}中， a1 3a2 (2n 1)an n(n 1)(n 2) ，求 an
（1）求 an ：与类型一的处理方法一样，消去 Sn ，
得到 an 与 an1 的递推关系，再求 an
（2）求 Sn ：消去 an ，得到 Sn 与 Sn1 的递推关系，
进而求出 Sn
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的 通项公 式（二 ）—— 利用Sn 与an关 系求通 项公式 课件【精品】
1 1 2 0即 1 1 2
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_24
本节课题： 数列的概念与简单表示教学目的：1.了解数列的概念2.了解数列是一种特殊函数3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式教学重点、难点重点：了解数列的概念和简单表示法，了解数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。
难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系教学基本流程：创设问题情境，引入数列，给出数列概念，数列的分类，了解数列是一种特殊函数，体会数列与函数的关系，根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。
教学过程：一．引入观察并在括号里填上适当的数。
（1）() ，，，，，5131211 （2）1, 4， （ ）， 16，…（3）1，-1, 1，-1，（ ），-1，…（4）1, 1, 1，（ ），1，…（5）1, 3, 6, 10，（ ），…（6）1, 1, 2, 3, 5，（ ），13，…探究：在你填数的过程中,你认为它们有什么共同特征?二．新课讲授1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数探究1：数列1，2，3，…，54改为54，53，…，3，2，1，它们还是同一数列吗？ 探究2：数列1，2，3，…，54改为{}54,,3,2,1 ，两者相同吗?思考：数列跟集合有什么不同？2. 数列的项：数列中的每一个数。
各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项，…数列的一般形式可以写为：n a a a a ,,,,321 ，…简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。
3. 数列的分类：(1) 按项数分：有穷数列和无穷数列(2) 按项的大小分：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列4. 数列的通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做此数列的通项公式。
探究：如何求前面题中数列的通项公式？例1. 求下列数列的通项公式。
（1）,41,31,21,1… （2）1，4，9，16，…（3）1，2，3，…，54（4）-1，1，-1，1，…（5）1，1，1，1，…（6）1，3，6，10，…探究：1. 任何一个数列都可以写出它的一个通项公式吗？2. 数列的通项公式存在时，它是唯一的吗？3. 若将（1）中的数列改为,41,31,21…，则它的通项公式还相同吗？通过前面的学习，你发现数列和函数有什么关系？数列的图像又是什么呢？例2.下图中的三角形图案称为谢宾斯基（Sierpinski ）三角形．在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像。
人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(2)(含答案)
2.1数列的概念与简单表示法(二)自主学习知识梳理1．数列可以看作是一个定义域为________________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．2．一般地，一个数列{a n}，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n}的各项________，那么这个数列叫做常数列．3．数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项a n，n的值可通过解不等式组________________来确定；若求最小项a n，n的值可通过解不等式组________________来确定．自主探究已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{a n}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 011项是多少？对点讲练知识点一利用函数的性质判断数列的单调性例1已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2n2＋1.求证：数列{a n}为递增数列．总结数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性．变式训练1在数列{a n}中，a n＝n3－an，若数列{a n}为递增数列，试确定实数a的取值范围．知识点二 求数列的最大最小项例2 已知a n ＝9n (n ＋1)10n (n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．总结 先考虑{a n }的单调性，再利用单调性求其最值．变式训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4 (n ∈N *)，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．知识点三 由递推公式求通项公式例3 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．总结 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及累加：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1；累乘：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1等方法． 变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立.课时作业一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.583．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，给出的数列{a n }的第34项是( ) A.34103 B ．100 C.1100 D.11044．已知a n ＝32n －11(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．135．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( ) A.67 B.57C.37D.17题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N *)，则使a n >100的n 的最小值是________．7．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第m 项的和最大，则m 的值是________．8．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n ，则a 2 009＝________.三、解答题9．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2 a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列．10．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.§2.1 数列的概念与简单表示法(二)知识梳理1．正整数集N * 函数值2．第二项 a n ＋1>a n 第二项 a n ＋1<a n 都相同 3.⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1自主探究解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6， 证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6.∴a 2 011＝a 335×6＋1＝a 1＝1.对点讲练例1 证明 ∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1a n ＋1－a n ＝1n 2＋1－1(n ＋1)2＋1＝[(n ＋1)2＋1]－(n 2＋1)(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]＝2n ＋1(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]. 由n ∈N *，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .∴数列{a n }为递增数列．变式训练1 解 若{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n ≥0.即(n ＋1)3－a (n ＋1)－n 3＋an ≥0恒成立． 即a ≤(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1恒成立， 即a ≤(3n 2＋3n ＋1)min ，∵n ∈N *，∴3n 2＋3n ＋1的最小值为7.∴a 的取值范围为a ≤7.例2 解 因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤(n ＋2)－109(n ＋1) ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9，则当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108. 变式训练2 解 (1)a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 当n ＝2,3时，a n <0.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5. 又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为－2.例3 解 由递推公式得a 1＝1，a 2＝1＋12×1＝32，a 3＝32＋13×2＝53， a 4＝53＋14×3＝74，a 5＝74＋15×4＝95. 故数列的前五项分别为1，32，53，74，95. ∴通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n(n ∈N *)． 变式训练3 解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ， ∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1(n －1)个1 ＝n ＋1. ∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *)． 课时作业1．A2．B [∵a 1＝1，∴a 2＝12＋12＝1，a 3＝12＋14＝34，a 4＝12×34＋18＝12.] 3．C [a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110， 猜想a n ＝13(n －1)＋1， ∴a 34＝13×(34－1)＋1＝1100.] 4．B [∵－a 1＝a 10，－a 2＝a 9，－a 3＝a 8，－a 4＝a 7，－a 5＝a 6， ∴S 11>0，则当n ≥11时，S n >0，故n 最小为11.]5．C [计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.] 6．127．10或11解析 令a n ＝－n 2＋10n ＋11≥0，则n ≤11. ∴a 1>0，a 2>0，…，a 10>0，a 11＝0.∴S 10＝S 11且为S n 的最大值．8．2 017 036解析 由a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n 得a n ＝a n －1＋n －1，a n －1＝a n －2＋n －2，⋮a 2＝a 1＋1，a 1＝0，累加可得a n ＝0＋1＋2＋…＋n －1＝n (n －1)2， ∴a 2 009＝2 009×2 0082＝2 017 036. 9．(1)解 因为f (x )＝2x －2－x ，f (log 2 a n )＝－2n ，所以2log 2 a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ， 所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n (n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. 又因为a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．10．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2. ∴a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2.。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_15
2.1.1数列的概念与简单表示本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备课件三维目标一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，….师 图212中正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，….师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…; 无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….推进新课［合作探究］折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,….生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数. 生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列. 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.［知识拓展］师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？生256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为a n=2n.［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),….师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项： (1)a n =1n n;(2)a n =(-1)n ·n .师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5. 师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…；(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间) 生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n；(3)a n ＝2)1(1n -+；(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+；(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…， ∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式 y=f(x) a n =f(n )图象点的集合一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象.生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的反比例函数xy 1 的图象有关.师 这两数列的图象有什么特点？ 生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点.本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式. 布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题.板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义 1.数列 例12.项3.一般形式 例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----;(3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-.分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号： 1 2 3 4所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓↓项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+∙+n nn ；(3)序号: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓211⨯-321⨯- 431⨯- 541⨯-↓ ↓ ↓ ↓)11(11+⨯-)12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯-所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n .2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕(2)-32,83 ,154-,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕(3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项 C.66是数列{a n }的一项D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决答案：C 点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？2n，答案：这个数列的通项公式为a n=200裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm＞56 294 995 km，大于地球到月球距离的146倍二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 阅读与思考 斐波那契数列》示范课课件_7
出通项公式：
an
1 5
1 2
5
n
12
5
n
,
nN
斐波那契数列有许多奇妙的性质
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13，21， 34， 55, 89， 144， 233,…
相邻项互素（互质） 第3项，第6项，第9项，第12项，…
都能被2整除
斐波那契数列有许多奇妙的性质
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13，21， 34， 55, 89， 144， 233,…
相邻项互素（互质） 第3项，第6项，第9项，第12项，…
都能被2整除 第4项，第8项，第12项，…都能被3整除 第5项，第10项，…都能被5整除
大自然中的斐波那契数列
解答
解答
可以将结果以列表形式列出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 13 21 34 55 89 144
因此，斐波那契兔子问题的答案是 144 对。
兔子问题中，从第一个月开始，以后每个月的兔 子总对数可以用怎样的数学模型来刻画它呢？
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21， 34,55…
斐波那契数列的递推关系式
1 n 1,2
an an1 an2 n 3, n N
若一个数列，前两项是1，从第三项开始
每一项等于其前两项的和，则称该数列
为斐波那契数列。
根据斐波那契数列的递推公式
斐波那契数列还有很多有趣的性质未曾 介紹。在外国，仍然有很多人对这一数 列发生兴趣，并办杂志来分享研究的心 得。
人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(含答案)
第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法材拓展1．从函数的观点看数列一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法．即：数列{a n }单调递增⇔a n ＋1>a n 对任意n (n ∈N *)都成立；数列{a n }单调递减⇔a n ＋1<a n 对任意n (n ∈N *)都成立．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线．例如：已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A ．a 1，a 30 B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解析 ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1 ∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上． 在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象．由图象易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1，当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减．∴a 10>a 11>…>a 30>1.所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.答案 C2．了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列{a n }，若存在一个大于1的自然数T (T 为常数)，使a n ＋T ＝a n ，对一切n ∈N *恒成立，则称数列{a n }为周期数列，T 就是它的一个周期．易知，若T 是{a n }的一个周期，则kT (k ∈N *)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期．例如：已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析 a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1， a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ， a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a＋1＝a ， a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，……. ∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ，∴{a n }为周期数列，周期为3.∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .答案 B3．数列的前n 项和S n 与a n 的关系对所有数列都有：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1 (n ≥2)．因此，当n ≥2时，有：a n ＝S n －S n －1.当n ＝1时，有：a 1＝S 1.所以a n 与S n 的关系为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2.注意这一关系适用于所有数列． 例如：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)·2n ＋1，则a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[(n －1)·2n ＋1]－[(n －2)·2n －1＋1]＝(n －1)·2n －(n －2)·2n －1＝n ·2n －1.所以通项公式可以统一为a n ＝n ·2n －1.答案 n ·2n －14．由简单的递推公式求通项公式(1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求和，采用累加法求a n .即：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1) ＝a 1＋∑n －1i ＝1f (i ) (2)形如a n ＋1＝f (n )·a n ，且f (1)·f (2)…f (n )可化简，采用累乘法求a n .即a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)＝a 1·Πn －1i ＝1f (i ) (注：∑为连加求和符号，Π为连乘求积符号)(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (AB ≠0且A ≠1)．设a n ＋1－x ＝A (a n －x )，则：a n ＋1＝Aa n ＋(1－A )x由(1－A )x ＝B ，∴x ＝B 1－A∴a n ＋1－B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －B 1－A ∴a n －B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －1－B 1－A ＝A 2⎝⎛⎭⎫a n －2－B 1－A ＝…＝A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ∴a n ＝B 1－A＋A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ＝(1－A n －1)·B 1－A＋A n －1a 1.法突破一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律．根据此规律便可写出一个相应的通项公式．注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应项上，这样便于突出第n 项a n 与项数n 的关系，即a n 如何用n 表示．(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作．如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试．(3)当一个数列出现“＋”、“－”相间时，应先把符号分离出来，即用(－1)n 或(－1)n －1表示，然后再考虑各项绝对值的规律．(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式．例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，…；(5)0,3,8,15,24，…； (6)1，13，17，113，121，…. 解 (1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母相差3，因而有a n ＝43n ＋2. (2)把分母统一为2，则有：12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22. (3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2. (4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，….因而有a n ＝79(10n －1)． (5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，…，则有a n ＝n 2－1.(6)显然各项的分子均为1，其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,21，…，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4，…，其规律也就明显了．故a n ＝1n 2－n ＋1. 二、数列的单调性及最值方法链接：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性．例2 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)． 试问数列{a n }的最大项是第几项？解 方法一 ∵a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·(9－n )11.当n ≤8时，a n <a n ＋1，{a n }递增，即a 1<a 2<…<a 8<a 9.当n ＝9时，a 9＝a 10.当n ≥10时，a n >a n ＋1，{a n }递减，即a 10>a 11>a 12>….又a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }的最大项是第9项和第10项．方法二 令a n a n －1≥1 (n ≥2)， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n n ⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1. 整理得n ＋1n ≥1110.解得n ≤10. 令a n a n ＋1≥1， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1. 整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9. 所以从第1项到第9项递增，从第10项起递减．因此数列{a n }先递增，后递减．∴a 1<a 2<…<a 9，a 10>a 11>a 12>…，且a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }中的最大项是第9项和第10项．三、数列的周期性及运用方法链接：通俗地讲，数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．例3 已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)，那么a 2 010与S 2 009依次是( )A ．1,3B ．3,1C ．－2,2D ．2，－2解析 ∵a n ＝a n －1－a n －2，∴a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2.由a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴{a n }为周期数列，且周期T ＝6.∴a 2 010＝a 6＝－a 3＝a 1－a 2＝－2.∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0＋0＋0＝0，且2 010是6的倍数，∴S 2 010＝0.∴S 2 009＝S 2 010－a 2 010＝0－a 2 010＝0－(－2)＝2.答案 C四、已知前n 项和S n ，求通项a n方法链接：已知数列{a n }的前n 项和S n ，求a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1，求出a 1，再由a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)求出a n ，最后验证a 1与a n 能否统一，若能统一要统一成一个代数式，否则分段表示．例4 已知下列各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝(－1)n ＋1 n ；(2)S n ＝3n －2.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ·(－n )－(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ·(－2n ＋1)．由于a 1也适合此等式，因此a n ＝(－1)n ·(－2n ＋1) (n ∈N *)．(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2·3n －1 (n ≥2). 五、由递推公式求通项a n方法链接：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法．需要理解一点，对a n －a n －1＝n (n ≥2)不仅仅是一个式子而是对任意的n ≥2恒成立的无数个式子，正是因为这一点，在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为a n ，就是解题的关键所在．另外递推公式具有递推性，故由a 1再加上递推公式可以递推到a n .例5 由下列数列{a n }的递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)． 解 (1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2.将上述各式累加得，a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2， 由于a 1也适合此等式．故a n ＝n (n ＋1)2. (2)由题意得，当n ≥2时，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12， 将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，即a n ＝1n. 由于a 1也适合此等式，故a n ＝1n. 六、数列在日常生活中的初步应用方法链接：数列知识在日常生活中有着广泛的应用．构建递推关系是其中重要的方法之一，利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：(1)求初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系分析解决问题．其中构建递推关系是关键．例6 某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，如图(1)、(2)、(3)、(4)分别有1个、5个、13个、25个．如果按照同样的方式接着摆下去，记第n 个图需用f (n )个“福娃迎迎”，那么f (n ＋1)－f (n )＝________；f (6)＝________.解析 ∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，…，∴f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…∴f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (6)＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋[f (4)－f (3)]＋[f (5)－f (4)]＋[f (6)－f (5)]＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.答案 4n 61区突破1．对数列的概念理解不准而致错例1 已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．[错解] 因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2. [点拨] 数列是以正整数N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点．[正解1] 因为a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为n ＝－λ2，由数列{a n }是单调递增数列有－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝⎛⎭⎫－λ2>－λ2－1，即λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的． 故λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|λ>－3}＝{λ|λ>－3}．即λ>－3为所求的范围．[正解2] 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的范围．2．对公式使用条件考虑不周而致错例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[错解] a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨] 公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义．在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证n ＝1时的值是否适合n ≥2时的表达式．[正解] a 1＝S 1＝6；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 (n ＝1)2·3n －1＋2 (n ≥2).题多解 例 设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0 (n ∈N *)，求a n . 分析 先求出相邻两项a n ＋1与a n 的关系，再选择适当的方法求a n .解 方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0.得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)＝0.由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0.∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n. 方法二 (换元法)由已知得(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，设b n ＝na n ，则b n ＋1－b n ＝0.∴{b n }是常数列．∴b n ＝b 1＝1×a 1＝1，即na n ＝1.∴a n ＝1n.题赏析1．(2009·北京)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝______，a 2 014＝______.解析 a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 1 007＝a 252×4－1＝0.答案 1 0赏析 题目小而灵活，考查了充分利用所给条件灵活处理问题的能力．2．(2009·湖北八市调研)由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65解析 ∵b n ＝ab n －1，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3，b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9，b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33.答案 C 赏析 题目新颖别致，考查了对新情境题目的审题能力．。
人教A版高中数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法.doc
2.1 数列的概念与简单表示法一、选择题1．（3分）下列说法正确的是（）A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，﹣1，﹣2与数列﹣2，﹣1，0，1是相同的数列C．数列{}的第k项为1+D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}2．（3分）已知数列{n2+n}，那么（）A．0是数列中的一项B．21是数列中的一项C．702是数列中的一项D．以上答案都不对3．（3分）数列11，13，15，…，2n+1的项数是（）A．n B．n﹣3 C．n﹣4 D．n﹣5 4．（3分）若，则a n与a n+1的大小关系是（）A．a n＞a n+1B．a n＜a n+1C．a n=a n+1D．不能确定5．（3分）数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3，且a1=0，则此数列的第5项是（）A．15 B．255 C．16 D．36 6．（3分）已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（）A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项7．（3分）数列1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．8．（3分）在数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，且，则a5=（）A．0B．1C．﹣1 D．29．（3分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A．11 B．12 C．13 D．14 10．（3分）在数列{a n}中，，则a5=（）A．B．C．D．11．（3分）600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第（）项．A．20 B．24 C．25 D．30 12．（3分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式是（）A．3(1)()21nnn nan-+=+B．(1)(3)21nnn nan-+=+C．2(1)[(1)1]21nnnan-+-=-D．(1)(2)21nnn nan-+=+13．（3分）一个数列{a n}，其中a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，那么这个数列的第五项是（）A．6B．﹣3 C．﹣12 D．﹣614．（3分）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣n+1 B．a n=C．a n=D．a n=15．（3分）已知数列，则是这个数列的（）A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项16．（3分）下面对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*上的函数；②数列的项数是无限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．①②③④二、填空题17．（3分）数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为_________．18．（3分）数列{a n}中，，那么150是其第_________项．19．（3分）已知，则a5=_________．20．（3分）在数列{a n}中，a1=a，以后各项由递推公式给出，写出这个数列的前4项：_________、_________、_________、_________，并由此写出一个通项公式a n=_________．21．（3分）已知数列{a n}的通项公式，它的前8项依次为_________、_________、_________、_________、_________、_________、_________、_________．22．（3分）已知f（1）=2，f（n+1）=（n∈N*），则f（4）=_________．三、解答题23．数列{a n}中，已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），且a1+a4=3a2，求a100．24．已知数列{a n}的通项公式a n=5+3n，求：（1）a7等于多少；（2）81是否为数列{a n}中的项，若是，是第几项；若不是，说明理由．2.1 数列的概念与简单表示法一、选择题1．（3分）下列说法正确的是（）A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B．数列1，0，﹣1，﹣2与数列﹣2，﹣1，0，1是相同的数列C．数列{}的第k项为1+D．数列0，2，4，6，…可记为{2n}考点：数列的概念及简单表示法．分析：本题考查的知识点是数列的概念胶简单表示法，根据数列的定义及表示方法对四个答案逐一进行分析即可得到答案．解答：解：由数列的定义可知A中{1，3，5，7}表示的是一个集合，而非数列，故A错误；B中，数列中各项之间是有序的，故数列1，0，﹣1，﹣2与数列﹣2，﹣1，0，1是不同的数列，故B错误；C中，数列{}的第k项为=1+，故C正确；数列0，2，4，6，的通项公式为a n=2n﹣2，故D错．故选C．点评：在理解和掌握数列的概念及表示法的时候，要用类比的思想，注意区分数列与集合的关系，及数列的函数的关系．2．（3分）已知数列{n2+n}，那么（）A．0是数列中的一项B．21是数列中的一项C．702是数列中的一项D．以上答案都不对考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+n，可以把a n=0，21，702代入进行求解，注意n是正整数．对四个选项进行一一判断．解答：解：因为数列{a n}的通项公式为a n=n2+n，（n∈N*）∴当a n=0时，n2+n=0⇒n∈∅；当a n=21时，n2+n=21⇒n∈∅；当a n=702时，n2+n=702⇒n∈∅；以上答案都不对．故选D．点评：此题主要考查数列简单表示法，数列的概念及其应用，是一道基础题．3．（3分）数列11，13，15，…，2n+1的项数是（）A．n B．n﹣3 C．n﹣4 D．n﹣5考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列11，13，15，…，2n+1可知：该数列是一个首项为11，公差为2的等差数列，即可得到通项公式a n=11+（n﹣1）×2=2n+9．令2k+9=2n+1，解出即可．解答：解：由数列11，13，15，…，2n+1可知：该数列是一个首项为11，公差为2的等差数列，∴通项公式a n=11+（n﹣1）×2=2n+9．令2k+9=2n+1，解得k=n﹣4，（n≥5）．故选C．点评：数列等差数列的通项公式是解题的关键．4．（3分）若，则a n与a n+1的大小关系是（）A．a n＞a n+1B．a n＜a n+1C．a n=a n+1D．不能确定考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：化简数列{a n}的通项公式为a n=1﹣，显然当n增大时，a n的值增大，故数列{a n}是递增数列，由此得到结论．解答：解：∵数列{a n}的通项公式是a n===1﹣，（n∈N*），显然当n增大时，a n的值增大，故数列{a n}是递增数列，故有a n＜a n+1，故选B．点评：本题主要考查数列的函数特性，化简数列{a n}的通项公式为a n=1﹣，是解题的关键，属于基础题．5．（3分）数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3，且a1=0，则此数列的第5项是（）A．15 B．255 C．16 D．36考点：数列递推式．专题：计算题．分析：分别令n=2，3，4，5代入递推公式计算即可．解答：解：a2=4a1+3=3a3=4a2+3=4×3+3=15a4=4a3+3=4×15+3=63a5=4a4+3=4×63+3=255故选B．点评：本题考查数列递推公式简单直接应用，属于简单题．6．（3分）已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（）A．第22项B．第23项C．第24项D．第28项考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：先化简3=，进而利用通项即可求出答案．解答：解：∵3=，令45=2n﹣1，解得n=23．∴3是此数列的第23项．故选B．点评：理解数列的通项公式得意义是解题的关键．7．（3分）数列1，0，1，0，1，…的一个通项公式是（）A．B．C．D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：探究型．分析：由数列的项的变化规律可以看出，1，0交错出现，由此规律去对四个选项进行验证即可得出正确答案解答：解：A选项不正确，数列首项不是1；B选项正确，验证知恰好能表示这个数列；C选项不正确，其对应的首项是﹣1；D选项不正确，其对应的首项为0，不合题意．故选B点评：本题考查数列的概念及数列表示法，求解的关键是从数列的前几项中发现数列各项变化的规律，利用此规律去验证四个选项．8．（3分）在数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，且，则a5=（）A．0B．1C．﹣1 D．2考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，令n=6得，把a7代入即可解得a6，依此类推解得a5．解答：解：∵数列{a n}中，对所有的正整数n都成立，∴令n=6得，∵，∴，解得a6=．令n=5，得，∴，解得a5=1．故选B．点评：正确理解数列的递推公式和递推关系是解题的关键．9．（3分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于（）A．11 B．12 C．13 D．14考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：从已知数列观察出特点：从第三项开始每一项是前两项的和即可求解解答：解：∵数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55 设数列为{a n}∴a n=a n﹣1+a n﹣2（n＞3）∴x=a7=a5+a6=5+8=13故选C点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，是斐波那契数列，属于基础题．10．（3分）在数列{a n}中，，则a5=（）A．B．C．D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：利用递推关系式依次直接求出数列的第五项即可．解答：解：在数列{a n}中，，所以a2=，a3=，，．故选A．点评：本题是基础题，考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．11．（3分）600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第（）项．A．20 B．24 C．25 D．30考点：数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…通过观察可得通项公式a n=n（n+1），令n（n+1）=600，解出即可．解答：解：由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…可得通项公式a n=n（n+1），令n（n+1）=600，∵24×25=600，∴n=24．故选B．点评：由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…通过观察可得通项公式a n=n（n+1）是解题的关键．12．（3分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式是（）A．3(1)()21nnn nan-+=+B．(1)(3)21nnn nan-+=+C．2(1)[(1)1]21nnnan-+-=-D．(1)(2)21nnn nan-+=+考点：数列递推式．专题：计算题．分析：采用特殊值法来求解．取n=1代入即可．解答：解：因为这是一道选择题，可以采用特殊值法来求解．取n=1代入，发现只有答案D成立，故选D．点评：由于选择题自身的特点是只要答案，不要过程，所以在做能用数代入的题目时，可以直接代入求解，把过程简单化．13．（3分）一个数列{a n}，其中a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，那么这个数列的第五项是（）A．6B．﹣3 C．﹣12 D．﹣6考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：利用递推关系式，分别计算a3=3，a4=﹣3，a5=﹣6即可．解答：解：由题意，a3=6﹣3=3，a4=3﹣6=﹣3，a5=﹣3﹣3=﹣6，故选D．点评：本题主要考查递推关系式的运用，属于基础题．14．（3分）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣n+1 B．a n=C．a n=D．a n=考点：数列递推式．专题：规律型．分析：由图中所给的星星个数：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n；得出数列第n项，即通项公式．解答：解析：从图中可观察星星的构成规律，n=1时，有1个；n=2时，有3个；n=3时，有6个；n=4时，有10个；∴a n=1+2+3+4+…+n=．答案：C点评：这是一个简单的自然数求和公式，由观察得出猜想，一般不需要证明．考查学生的观察猜想能力．15．（3分）已知数列，则是这个数列的（）A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项考点：等差数列与等比数列的综合；数列的概念及简单表示法．专题：规律型．分析：本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7解答：解：数列，各项的平方为：2，5，8，11，…∵5﹣2=11﹣8=3，即a n2﹣a n﹣12=3，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．点评：本题通过观察并利用构造法，构造了新数列{a n2}为等差数列，从而得解，构造法在数列中经常出现，我们要熟练掌握．16．（3分）下面对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N*上的函数；②数列的项数是无限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．①②③④考点：数列的概念及简单表示法．分析：①因为a n=f（n）（n∈N*），所以数列可以看成一个定义在N*上的函数；②数列的项数可以是有限的，例如1，2，3这3个数组成一个数列；③由①可知：数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式不是唯一的，例如数列1，0，1，0，…，可用或，（n∈N*），两种形式表示．解答：解：①∵a n=f（n）（n∈N*），∴数列可以看成一个定义在N*上的函数，故正确；②数列的项数可以是有限的，如1，2，3这3个数组成一个数列，故不正确；③∵a n=f（n）（n∈N*）或（n∈A⊆N*），∴数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点，正确；④数列的通项公式不是唯一的，如数列1，0，1，0，…，可用或，（n∈N*），故不正确．综上可知：只有①③正确．故选C．点评：正确理解数列的定义、数列与函数的关系是解题的关键．二、填空题17．（3分）数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为．考点：归纳推理；数列的概念及简单表示法．专题：探究型．分析：观察发现7=，77=，777=，…从而归纳出通式得到答案解答：解：由于7=，77=，777=，7777=，77777=…故数列7，77，777，7777，77777，…的通项公式为故答案为点评：本题考查归纳推理，解答的关键是对所给的项进行变形，从而归纳出通式，归纳推理是发现规律的一种常用的推理方式，要好好掌握18．（3分）数列{a n}中，，那么150是其第16项．考点：函数的概念及其构成要素．专题：函数的性质及应用．分析：由数列的通项公式，令其等于150，可解n的值，即为第几项．解答：解：由数列的特点可知：通项公式，令n2﹣7n+6=150，可解得n=16或n=﹣9（舍去），故150是第16项，故答案为：16．点评：本题考查等差数列的通项公式，正确求解数列的通项公式是解决问题的关键，属基础题．19．（3分）已知，则a5=．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据数列的递推依次求得a2，a3，a4，则答案可求．解答：解：依题意可知a2=1+=2，a3=1+=，a4=1+=，a5=1+=故答案为点评：本题主要考查了数列的递推式．属基础题．20．（3分）在数列{a n}中，a1=a，以后各项由递推公式给出，写出这个数列的前4项：a、、、，并由此写出一个通项公式a n=．考点：函数的概念及其构成要素．专题：规律型；函数的性质及应用．分析：可根据递推公式写出数列的前4项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出a n与n 之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式．解答：解：∵a1=a，a n+1=，∴a2=，a3===，a4===．观察规律：a n=．故答案为：a，，，；．点评：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视．21．（3分）已知数列{a n}的通项公式，它的前8项依次为1、3、、7、、11、、15．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：由题意，根据数列的通项公式依次对n赋值即可解出它的前八项解答：解：因为数列{a n}的通项公式，所以它的前8项依次为1、3、、7、、11、、15故答案为1、3、、7、、11、、15点评：本题考查数列的简单表示，对n赋值，代入相应的解析式进行求值是解答的关键22．（3分）已知f（1）=2，f（n+1）=（n∈N*），则f（4）=．考点：函数恒成立问题；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题设可看出，直接根据所给的恒成立的等式依次求出n=2，3，4时的函数值，即可得到正确答案解答：解：因为f（1）=2，f（n+1）=（n∈N*）恒成立，所以f（2）=，f（3）=，f（4）==故答案为点评：本题考查函数恒成立问题，列举法依次求出出n=2，3，4时的函数值是解答此类题的主要方式三、解答题23．数列{a n}中，已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），且a1+a4=3a2，求a100．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），可得a1，a2，a3，a4用a表示，再利用a1+a4=3a2，即可解得a，从而得出a100．解答：解：由已知a n=（﹣1）n n+a（a为常数），可得a1=a﹣1，a2=a+2，a3=a﹣3，a4=a+4．∵a1+a4=3a2，∴a﹣1+a+4=3（a+2），解得a=﹣3．∴．∴．点评：利用已知关系式分别取n=1，2，3，4求出a是解题的关键．24．已知数列{a n}的通项公式a n=5+3n，求：（1）a7等于多少；（2）81是否为数列{a n}中的项，若是，是第几项；若不是，说明理由．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）直接将n=7代入即可；（2）利用通项公式解出n是否是正整数即可得到答案．解答：解：（1）∵数列{a n}的通项公式a n=5+3n∴a7=5+3×7=26（2）假设81是数列{a n}中的项，则81=5+3n∴n=∵n∈N*所以81不是数列{a n}中的项．点评：此题考查了等差数列的性质，属于基础性的题目．。
人教A版高中数学必修五课件2.1数列的概念与简单表示法2
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的
②不是每一个数列都能写出它的通项公式 ③
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
是些孤立点
5 4
数2
1
0 -1 1 2 3 4 5
我们好孤单！ 我们好孤单！
例2：图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（ Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中，着 色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请 写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标 系中画出它的图象。
数列的定义：
按一定顺序排列着的一列数称为 (数列具有有序性) 通项公式 的第 如果数列 n项与项数之间的关系可以用一个公 式来表示，那么这个公式就叫做这个数列 的 通项公式
例1：写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：
根据数列的前若干项写 出的通项公式的形式唯 一吗？请举例说明。
情景设置
递推公式也是数列的一种表示方法。
1、观察下面数列特点，用适当的数填空， 并写出每个数列的一个通项公式：
2、数列{an}通项公式是：an=n2-7n+6 (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这 个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项起各项都是正数？
P382,4,6
3、根据下列各个数列{an}的首项及 递推公式，写出它的前5项，并猜想 归纳通项公式(1)a1=0,an+1=an+(2n1)n∈N*
(2)a1=1,an+1=n∈N*
本节学习的主要内容有： 1、数列的有关概念 2、数列的通项公式； 3、数列的实质； 4、本节课的能力要求是： (1)会由通项公式求数列的任一项； (2)会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_27
2.1.1 数列的概念与简单表示法1.教学任务分析（1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念；理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。
（2）了解数列的几种分类。
（3）了解数列是一种特殊函数。
了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数间的关系。
（4）理解数列的通项公式的定义。
2.教学重点，难点重点：了解数列的概念和简单表示法；了解数列是一种特殊的函数；理解数列的通项公式的定义。
难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数间的关系。
3.教学基本流程4.数学情境地设计创设问题情境，引入数列↓归纳出数列的概念↓数列的分类↓数列与函数的关系↓数列的通项公式一．问题1:观察PPT中一组图片,同学们感受到了什么?又发现了什么?问题2:不妨观察一下图中各种花花瓣的个数,并将花瓣个数一一罗列,找出这些数有什么规律。
问题3: 如果将以上花瓣的个数顺序调换,是否具有这样的规律?设计意图: (1)体会用数列刻画图形特征的性质.(2)体会这些数的排列的顺序性.(3)体会数列中的项与其序号的对应关系.(4)概括出数列的定义.师生活动教师: 通过引入向日葵籽数的排列规律，给出著名的斐波那楔数列，激发学生学习的积极性，启发学生观察图形特征,以及表示数之间的关系,重点让学生体会这些表示数的顺序关系,体会数列中的各项与它序号之间的关系.学生: 观察并回答老师的问题教师：引导归纳出数列的定义.二．问题4：找出数列概念中的关键词设计意图：加深对数列概念的理解师生活动：学生回答问题,加深理解.三．问题5：观察PPT中6个不同的数列，分别找出(1)(2)，(3)(4)，(2)(3)，(2)(3)(5)(6)的区别设计意图: 通过(1)(2)的区别加深对数列概念的理解通过(3)(4)，(2)(3)的比较给出数列的分类师生活动:教师：(1)(2)是否为相同数列?(3)(4)是否为相同数列?(2)(3)中项随项数的增减情况是怎样的?四．问题6:由数列按项随项数的变化情况，可以把数列分为递增数列,递减数列,摆动数列,常数列.你们联想到了什么?问题7: 函数中涉及的两变量y随x的变化而变化,数列中是哪个变量随另外一个变量的变化而变化?问题8: 这里aｎ随n的变化而变化,对于任意的一个n是否有唯一一个aｎ与之对应?设计意图: 体会数列与函数概念的联系师生活动: 教师引导学生回答问题。
人教A版高中数学必修5《二章数列2.1数列的概念与简单表示法》优质课教案_7
2.1 数列的概念与简单表示法数列的通项公式与递推公式教学设计一．内容与内容解析本节知识是人教A 版高中数学必修五第二章第一节的内容，数列的递推公式是数列的一种重要的表示方法，拓展学生对同一事物的不同认识观。
根据数列的递推公式写出数列的前几项，并由这前几项猜想数列的通项公式，符合学生认识事物的规律；另外通过递推公式去求通项公式，加深学生对数列的两种不同认识，认识到事物与事物之间的联系性。
递推公式的学习为引入下文的等差数列提供了铺垫，因为等差数列是最简单的递推数列之一，充分体现了培养学生的观察问题、分析问题、解决问题的能力。
本节课教材通过情境实例的形式，给出一个数列的递推公式，通过一个简单的例子介绍了什么是数列的递推法，指出通过递推法得到数列的表达式是递推公式，并在此基础上探究和发现递推关系中前项和后项或前几项之间的关系。
二．学生情况分析本班学生是高一年级（理科班）。
在第一节课学习了数列的概念及性质的基础上。
接触了一些已知数列的前几项求通项的方法，里面就有个别这种递推关系的数列例子。
而本节课的设计，是通过情境实例的引导，开阔学生的眼界，同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展。
三．目标与目标解析2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项3.掌握一些简单的由递推公式求数列通项公式的方法过程与方法：通过情境引入,引导学生发现规律,善于归纳总结，并在此基础上理解其含义，通过实例加以对递推公式的运用：根据数列的递推公式写出数列的前几项，并猜想其通项公式；利用几种常见的方法根据递推公会求简单的数列的通项公，同时加深学生的练习，使知识点得以巩固。
情感态度与价值观：使学生积极参与，培养学生严谨的科学态度，培养学生思维品质和逻辑、推理、运算能力. 培养学生善比较、细分析，发现规律，不要马马虎虎、似是而非.四．教学重难点教学重点：数列递推公式的概念及应用教学难点：由递推公式猜想或求数列的通项公式教具：多媒体教法分析：问题教学法，讲练结合法•创设情境、激发求知、启发引导、观察分析、归纳猜想、学生参与、强化训练、注意纠错、学会应用、在整个过程中，充分发挥老师的主导作用。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_11
数列的概念与简单表示法1 教学内容的地位、作用分析数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。
教学中从日常生活中大量实际问题入手，探究并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用。
2 教学目标和重点、难点分析知识与技能：（1）了解数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型，了解数列的几种简单表示方法（列表、图像、通项公式）。
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系，能根据数列的前几项写出一个通项公式。
过程与方法：通过三角形数与正方形数和生活中的例子引入数列的概念；通过类比的思想了解数列的几种简单的表示方法。
情感与价值：通过本课的学习，提高严谨的学习作风，形成锲而不舍的专研精神和科学态度，借助数列的函数背景，可以进一步渗透函数思想和类比思想，培养学生用已知问题来研究未知问题的能力。
教学重点：了解数列的概念，理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型，了解数列的几种简单表示方法（列表、图像、通项公式）。
教学难点：了解数列是自变量为正整数的一类函数，发现数列与函数的关系。
3 教学方法：启发式、探究式、合作式4 课堂结构设计（1）构建定义 1 创设情境，感知概念2观察归纳，形成概念3辨析讨论，深化概念（2）数列的函数背景类比推理，得出概念(3)数列的初步应用尝试练习，巩固概念(4)总结反思(5)布置作业5 教学过程教学过程一 构建定义1 三角形数：2《庄子·天下》 ： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”,321,161,81,41,21… 3中国体育代表团参加九届奥运会获得的金牌数 15,5,16,16,28,32,51,38，264哈雷彗星出现的年份：1682,1759,1835,1910,1986问题：以上四个问题中蕴涵着四列数，它们分别是什么？熟悉的体育知识等角度切入课题二 构建新知。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_12
递推数列求通项公式教学设计教学目标 （一） 知识与技能目标 数列通项公式的求法。
会观察数列形式选择运用正确的方法解决数列求通项的问题。
（二） 过程与能力目标熟练掌握本章的知识网络结构及相互关系，注意方法之间的关系，并能使用化归的思想。
掌握数列通项公式的求法。
（三） 情感态度与价值观通过本节课的学习，体会数列与函数的关系，提高数学学习的兴趣。
培养学生科学的思维能力和发现问题、解决 。
学情分析：数列是高中知识的难点之一，每年高考的必考内容。
一轮复习已经结束，但是学生对数列方法的掌握还不够透彻，数列求通项是数列解答题中的第一问，也是解决后续问题的关键，所以以专题的形式对求通项公式加以训练非常有必要，相信通过模块专题的训练，学生对方法的理解一定会更加透彻，同时也有利于提高学生的学习兴趣！教学重点：掌握数列通项公式的求法。
教学难点：构造法求数列通项公式。
教学方法：学案导学法引入自新课改之后，数列问题难度有所降低。
天津卷里数列，一般出现在19大题的位置，主要考察数列的通项以及前n 项和相关问题，难度中等偏上。
数列通项作为数列里的核心内容之一，是解决后续问题的关键。
本课件讲述递推数列求通项常见方法，基本可以解决90%的数列通项问题。
希望同学们能认真掌握下来。
方法回顾 ①公式法②累加法、累积法 ④利用n a 和n s 的关系⑤构造法 复习课讲授类型一：公式法（等差、等比数列）如果一个数列是等差数列或是等比数列，那么直接用公式求其通项公式即可。
我们一起来回顾一下等差、等比的通项公式： 1、 等差数列通项公式2、 等比数列通项公式类型二：利用a n与S n的关系（三步法）有递推公式求通项公式是数列考察的重点内容，最简单的考察方式就是给出前n 项和与项之间的关系，求通项公式。
我们会用到下列公式：例1.｛a n ｝的前n 项和S n=2n 2－1，求通项a n就是检查学生学案，发现学生完成比较好，找一名同学来阐述解题思路和注意事项。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法(通用)》优质课教案_5
数列的概念及通项公式——教学设计[教学目的]：理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法，提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。
[教学重点]：理解数列概念及通项公式。
[教学难点]：由若干项求出数列的一个通项公式。
[ 关键 ]：掌握基本数列的通项公式及项的分解的基本思想。
[教学过程]：一、引入实例：（此处插入幻灯片）堆放钢管（见书本41页），自上而下各层的钢管数依次排成一列数：4，5，6，7，8，9，10．11自下而上则为：11，10，9，8，7，6，5，4，另举几例1）2，4，6，8，10···2）1，1，1，1，1，····3）1，-1，1，-1，1，-1···二、新课（多媒体）1．定义：像上面例子中，按一定次序排列的一列数叫做数列。
2．元素：数列中的每一数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项（首项），第二项…3．函数关系：项与这一项的序号是一对一对应着的。
因此，数列可以看作是它的项的序号的函数，其中序号是自变量，项值是函数值,第n项记作an ，则，这数列记作{ an}4．通项公式：如果数列{an }的第n项与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，则这个公式叫做通项公式。
5．表示法：列举法，解析法，图象法6．前n项的和数列a1 ，a2 ，a3 ，a4.····的各项之和 a1+a2 +a3 +a4…一般用 Sn来表示。
7．数列的分类（1） A、以首项与后项的关系：若从第二项起每一项都比前面一项大，则{an}叫做递增数列B、若从第二项起每一项都比前面一项小，则{an }叫做递减数列C、各项均相等，则{ an}叫做常数列D、如（3）中这样数列称摆动数列（2）以数列项数分类：{有限数列和无限数列}（3）最大值（或最小值）都小于（或大于）某一确定的常数，则称这个数列为有界数列，否则称为无界数列。
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随风潜人夜,润物细无声《神奇的斐波那契数列》教学设计《普通高中数学课程标准(实验)》在前言中指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。
数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。
数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。
数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。
数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。
数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。
在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。
数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。
《普通高中数学课程标准(实验)》将“体现数学的文化价值”作为课程的基本理念之一并在教学建议中明确指出:“数学是人类文化的重要组成部分,是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.教学中应引导学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值、开阔视野。
长期以来，在高考这根指挥棒下，学习逐渐服从于知识，服从于做题，服从于高考。
在数学教学上，老师教的许多内容既枯燥又抽象．大多数教师以做题为主要教学方法，以解题为主要目的，不关注数学问题的文化性; 学生在单一的数字、定义、定理、公理、公式的围攻下，对单纯的数学问题感到枯燥，厌倦，对数学的兴趣逐渐淡薄，认为数学毫无用处，数学问题被当成了获取分数的工具．因此如何将数学文化的内容有机地结合到日常的教学中,使学生在潜移默化中体会到数学的文化价值?这需要我们每位教师认真思考这个问题一、教材分析：本节课选自人教版《数学５》（必修）第二章《数列》第2.1节后的《阅读与思考》部分。
阅读材料，作为知识性拓展栏目，该内容虽不是考点，但就其知识本身来说，其价值是不可估量的。
一个看似普通的数列背后却蕴含着神奇的魔力。
匈菲尔德认为，有真正数学“味道”的问题，其选择标准之一是在解答过程中可以产生新的数学问题，由此得出一连串的数学问题。
在学习了解该数列后，会滋生出更多的知识，激发学生的好奇心与探究欲。
它所涉及的领域跨越学科，跨越物种，涉及世间万物的方方面面。
通过本节课的学习可以拓展学生的视野，激发学生数学学习的兴趣，培养数学思维和创新意识、感悟数学美、练就数学精神，在一定程度上可以提高学生的数学文化素养。
二、学情分析学生已经掌握数列的概念及其简单表示法等知识，能在具体的情境问题中，发现数列中特殊的关系，能用相关知识解决相应的问题．部分学生有一定的自主学习能力、协作学习能力．但总体应用意识不强，创新能力不强，因此需要一定的指导．三、教学目标分析1．通过了解斐波那契数列的相关数学文化知识，认识斐波那契数列，发现斐波那契数列的规律以及斐波那契数列的一些特性，解决实际生活中的斐波那契数列，进一步加深对数列的认识；2. 体会利用从特殊到一般的数学思想解决问题的方法；培养学生发现、分析、解决问题的能力。
3．发现数学中的美，发现大自然中的数学，发现生活中的数学，初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值，开拓视野，激发学习数学的兴趣，提高自身的文化素养和创新意识．四、教学重点和难点.重点：兔子问题，大自然中的斐波那契数及斐波那契数列的简单应用。
难点：斐波那契数列的规律及特征。
五、教学过程（一）问题引入指着图片提问：有谁知道这是什么吗？揭示谜底：最强“烧脑”时钟，“极客”专属的斐波那契钟！【设计意图】：以斐波那契时钟引入可以激发学生的好奇心与探究欲，增强数学学习的兴趣。
（二）斐波那契数列的由来斐波那契（Leonardo Fibonacci）是中世纪数学家，他对欧洲的数学发展有着深远的影响。
他生于意大利的比萨，曾经游历过东方和阿拉伯的许多地方。
1202年，斐波那契出版了他的著作《算盘全书》。
在这部名著中，他首先引入了阿拉伯数字，将十进制计数法介绍到欧洲。
在此书中他还提出了一个有趣的兔子问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生出1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，12个月后会有多少对兔子？先让学生独立思考几分钟后，请学生回答。
学生答完后，教师点评。
并给出表格分析，为了说话方便，把初生兔子叫做小兔子，把能生育的兔子叫做大兔子。
找到其中蕴含的数学规律：每月大兔子对数=上个月兔子总对数。
每月小兔子对数=上个月大兔子对数= 上上个月兔子总数。
每月兔子总对数= 每月小兔子对数 + 每月大兔子对数 =前两个月的兔子总对数之和。
每月兔子总对数分别是：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…【设计意图】：使学生了解斐波那契数列的由来，让学生知道数学问题的背景，明白数学问题的情境，了解数学问题中蕴含的数学文化，学生就能感受到某种情趣，探索数学知识的热情就会应运而生．进一步发现斐波那契数列的规律。
（三）斐波那契数列的定义及递推关系式你能根据这个数列的特点给它下个定义吗？1、 定义：一个数列，若它前两项都是1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么我们就把这样的数列称为斐波那契数列。
其中每一个数都称为斐波那契数。
2、如果用 表示这个数列的第n 项，则它的递推关系式：【设计意图】：了解斐波那契数列的定义，进一步理解斐波那契数列的规律。
认识到数学问题的本质。
（四）大自然中的斐波那契数1 树木生长中的斐波那契数一棵树在一年后长出一个新枝，休息一年后再长出一个新枝，以后每个树枝都遵循这样的规律，于是第一年只有一个主干，第二年有两个枝，第三年三个，第四年五个，以此类推，便n F)3(,,11221≥+===--n F F F F F n n n构成了斐波那契数列.这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”.2 花瓣数中的斐波那契数大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数.3 向日葵花盘内葵花子排列的螺线数向日葵种子的排列方式,就是一种典型的数学模式。
仔细观察向日葵花盘,你就会发现两组对数螺旋线,一组顺时针方向盘旋,另一组则逆时针方向盘旋,并且彼此相嵌。
虽然不同的向日葵品种中,种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同,但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字,这每组数字就是Fibonacci数列中相邻的两个数。
前一个数字是顺时针盘旋的线数,后一个数字是逆时针盘旋的线数。
4.蜜蜂的“家谱”中的斐波那契数蜜蜂的繁殖规律十分有趣。
雄蜂只有母亲,没有父亲,因为蜂后所产的卵,受精的孵化为雌蜂(即工蜂或蜂后),未受精的孵化为雄蜂。
人们在追溯雄蜂的家谱时,发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是Fibonacci数列的第n项F n。
教师小结：如果是遗传决定了花朵的花瓣数和松果的鳞片数,那么为什么Fibonacci数列会与此如此的巧合?这也是动植物在大自然中长期适应和进化的结果。
因为动植物所显示的数学特征是生长在动态过程中必然会产生的结果,它受到数学规律的严格约束,换句话说,生物离不开Fibonacci数列。
向日葵等植物在生长过程中,只有选择这种数学模式,花盘上种子的分布才最为有效,花盘也变得最坚实壮实,产生后代的几率也最高。
总之生物的繁衍生息离不开数学。
【设计意图】：发现大自然中的数学，意识到生物的繁衍生息离不开数学，使学生学会用数学的思考方式发现并解决问题、认识世界，发现数学的魅力。
（五）、斐波那契数列的简单应用例：有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有多少种不同的走法?解：设a n为登上第n 级台阶的登法数，则a1 = 1，a2 = 2，问题中要上第n 级台阶，分两种情况:( 1) 登上第n－1 级台阶后，最后一步跨一级台阶登上第n 级台阶;( 2) 登上第n－2 级台阶后，最后一步跨两级登上第n级台阶.递推式: a n= a n－1+a n－2,故登上第n 级台阶的登法数即为斐波那契数列的第n+1 项。
那么特殊地，要登上第10 级台阶有89 种走法．【设计意图】：将实际问题转化为数列模型解决，体会利用从特殊到一般的数学思想解决问题的方法，培养学生分析解决问题的能力。
（六）斐波那契数列的数字特征教师提问：斐波那契数列除了具有从第三项起，每一项都是前两项的和这个特征之外，你还能发现它有别的数字特征吗？学生仔细思考后自己谈。
师：除了同学们讲的这些特征外，还有很多特征。
下面只介绍两个很重要的特征：1、前一项与后一项的比值越来越接近一个数0.618。
因此斐波那契数列又叫黄金分割数列。
2、斐波那契螺旋线。
如果我们把斐波那契数列的每个数平方之后再相加：12+12=212+12+22=612+12+22+32=1512+12+22+32+52=40……提问：等式右边隐藏着斐波那契数，你能发现它们吗？为什么会有这些优美和谐的式子？我们能否从形的角度对上面这些式子进行解释呢？看到一个数的平方，你能否跟哪些简单的几何图形联系起来？3.斐波那契时钟这款时钟它显示时间的方式是著名的斐波那契数列。
钟面上是5个正方形方块，大小有不同，每个方块的边长对应的分别是斐波那契序列的1、1、2、3、5，它们代表的是小时或分钟的数值。
颜色有不同，呈现红色代表的是小时，呈现绿色代表的是分钟；呈现蓝色既代表小时也代表分钟；呈现白色可忽略。
小时数 = 红色数值 + 蓝色数值分钟数 = (绿色数值 + 蓝色数值) x 5学生计算上面两副图中显示的时间是多少？这款钟最神奇的是光6:30这个时间竟然有16种显示方式。
【设计意图】：在这个过程中，学生不仅能体验到数学的乐趣，同时也能让学生把知识更好地运用到周围的问题中．而且还能加强学生的数学文化底蕴，发现数学的美，体会数学的科学价值、应用价值，开拓视野，从而提高学生的数学素养和创新精神。
（七）课堂小结1.介绍斐波那契数列在各领域的应用，有兴趣的同学课后可以通过书籍和网络了解。
2.听了这节课，你有什么体会和感受？让学生来谈。
3.教师指出：数学不仅是一门科学，也是一种文化。
“一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。
”数学是研究数与形的科学，它来源于生产，服务于生活，并不是空中楼阁。