高等几何对初等几何相关指导作用分析

高等几何对初等几何相关指导作用分析摘要高等几何是利用克莱因的变换群的观点定义的几何学，其能从更高的角度探索初等几何，对初等几何的相关证明、理论依据和命题的构造方面具有很好的指导作用。

本文分析了高等几何对初等几何相关指导作用，阐明了其之间的相互关系，并利用高等几何的思想方法对初等几何命题进行变换，通过实例从高等几何在点线结合、交比、反射变换和射影变换方面对初等几何的指导作用进行了探究，并阐述了高等几何对初等几何的作用在现代中学数学教学中的意义。

【关键词】高等几何；初等几何；变换AbstractHigher geometry is the use of the transformation of the view of klein, the definition of geometry Angle from higher primary geometry, to explore the relevant proof, elementary geometry theory and structure of proposition has very good guidance. Based on the analysis of higher geometry elementary geometric related guidance, illustrates the relationship between higher geometry, and using the method of elementary geometry proposition to transform from higher geometry, through examples in point, line, combined with reflection and projective transform, to transform the guiding role of elementary geometry.【Keyword】higher geometry；elementary geometry；transform前言初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解. 但高等几何是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源.高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法.学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，可以认识到几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。

特别是在对初等几何的教学方面，有着很好的促进作用。

“高等几何”告诉我们在中学几何之外，还有广阔的几何学新天地。

这不仅开拓了读者的眼界，而且有助于读者站在新的高度上，深入理解中学几何教材，提高处理中学教材的能力。

一、相关知识简介1、几何学：学过数学的人，都知道它有一门分科叫作“几何学”，然而却不一定知道“几何”这个名称是怎么来的。

在我国古代，这门数学分科并不叫“几何”，而是叫作“形学”。

“几何”二字，在中文里原先也不是一个数学专有名词，而是个虚词，意思是“多少”。

比如三国时曹操那首著名的《短歌行》诗，有这么两句：“对酒当歌，人生几何？”这里的“几何”就是多少的意思。

明末时期，杰出的科学家徐光启首先把“几何”一词作为数学的专业名词来使用。

几何学的现代化则归功于克莱因、希尔伯特等人。

克莱因在普吕克的影响下，应用群论的观点将几何变换视为特定不变量约束下的变换群。

而希尔比特为几何奠定了真正的科学的公理化基础。

应该指出几何学的公理化，影响是极其深远的，它对整个数学的严密化具有极其重要的先导作用。

它对数理逻辑学家的启发也是相当深刻的。

2、高等几何《高等几何》是高师院校数学专业的专业课程之一，主要包括射影几何与几何基础两部分内容。

这是大学数学专业必修的一门课程，这门课程对学生毕业后从事中学几何教学有着非常重要的指导意义。

高等几何着力于培养学生的思维能力和对其知识的衔接和运用。

并通过学习，使学生了解运用近代公理法建立几何逻辑体系的基本思想，理解中学几何教材的逻辑结构；掌握射影几何的基本内容和研究方法，并了解一些几何基础内容。

在中学教师的教学方面，能很好的加深学生对中学初等几何和解析几何的理论与方法的理解，能用较高的观点处理初等几何教材；扩大学生的知识领域，为进一步学习其它后续课程打好基础，从而提高学生的逻辑推理能力与空间想象能力。

3、初等几何初等几何指可用坐标、向量、方程描述的几何问题，即初等代数描述的几何问题。

初等几何在中学阶段的教学中处于一个很重要的位置，他是学生从代数到几何过度的第一次跳跃，更是学生从一般思维到抽象思维、逻辑思维的过度。

成功掌握一门初等几何将对数学的学习过程起到很大的促进作用。

但对于中学数学来说，初等几何这一块既是一个重点，更是一个难点，因为学生对初等几何的学习认识和理解运用程度将直接关系的学生的成绩、思维拓展、高中阶段乃至本科阶段的学习。

二、高等几何对初等几何的指导作用探究1、更加全面的认识初等几何我们知道初等几何是以欧氏几何为其学习内容的.用变换群的观点看，欧氏几何学就是研究正交变换下的图形不变性质和不变量的几何学.由于正交变换群是相似变换群的子群，相似变换群是仿射变换群的子群，而仿射变换群又是射影变换群的子群.因而所对应的几何学从研究的范围讲是:射影几何、仿射几何、相似度量几何、欧氏几何。

而从研究的内容来看，欧氏几何研究的对象不仅包括度量性质和度量不变量，而且包括相似性质和相似不变量，仿射性质和仿射不变量，射影性质和射影不变量。

即射影几何，仿射几何，相似度量几何，欧氏几何。

我们了解了这些关系才能全面地正确地掌握欧氏几何的内容，同时在研究欧氏几何许多具体问题时，我们才可以居高临下的看待这些问题.2、为初等几何的部分内容提供了理论依据如立体几何直观图的画法、截面图的作法分别是以透视仿射对应性质及笛沙格定理的理论为依据的，著名的“九树十行”问题是以巴卜斯定理为基础的.还有些在中学难以讲透的问题在高等几何中得到彻底讲清楚，如:非退化二次曲线需每三点不共线的五点才能唯一确定，为什么圆只要不共线的三点就能确定，就是这样一个问题.九树十行问题：把九裸树栽成十行, 使得每行恰好有三裸树。

巴布斯定理：（如图1）即中线定理，设三角形ABC的边BC的中点为P，则有2222AB +AC =2(AP +BP )图1笛沙格定理：如图2所示，111A B C ∆,222A B C ∆中，12A A ,12B B ,12C C 三线交于一点O3、 简化初等几何的证明我们知道在高等几何中，经过适当的仿射变换，任意一个三角形(平行四边形、梯形、椭圆)可变为正三角形(正方形、等腰梯形、圆)，那么对有关仿射性质的一些命题，将命题中的一般图形用仿射变换变为特殊图形，如果所给命题在特殊图形中成立，则根据仿射变换保持同素性、结合性、平行性、共线三点的单比不变、封闭图形的面积之比不变等即可推出该命题在原图形中也成立.在证明一些共点或共线问题时，可以利用“投影到无穷远”的方法，把相交直线投影成平行直线，在投影后的图形中，容易证明共点或共线问题，再利用中心投影保持结合性不变的性质，使原命题得证。

还有利用笛沙格定理及其逆定理证明共线点和共点线的问题；利用交比证明有关圆的问题；利用调和比的性质证明有关平分线段、平分角以及比例线段的问题等等。

4、 为初等几何构造新的命题许多初等几何的命题是以高等几何为背景的.掌握了高等几何相关知识并摸透它与初等几何知识之间的联系，就能构造出形式多样、内容丰富的初等几何新命题，如1978年全国中学数学竞赛第二试的第一题“四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明:另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段”（具体证明详见例1）。

此题就是以完全四点形的调和性质为背景的.三、 具体实例的应用与分析1、 完全四点形的调和性质在初等几何证明上的作用。

完全四点形：平面上无三点共线的四个点以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形。

性质1：完全四点形对应三点形的每一边上有一组调和共轭点, 其中两个点是对应点, 另外两个点是这条边与通过第三边点的一对对边的交点。

性质2：在完全四点形的每一条边上有一组调和共轭点, 其中两个点是顶点, 另外一对对偶点里, 一个点是对边上的点, 另外一个点是这个边与对应三点形的边的交点。

例1：（如图3）四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形图3 证明：设四边形ABCD 的对边交点为E 、F ，并且BD ∥EF ，AC 交BD 于H ，交EF 于G ．由于BD ∥EF ，所以DH AD DB DC DH GF AF EF CE EG==== 故GF EG =例2:求证三角形三中线共点已知: （如图4）在ABC ∆中，, , AD BE CF 分别为ABC ∆的中线,求证:, , AD BE CF 共点。

图4证明:设BE 交CF 于O , AO 交BC 于1D ,由EF ∥BC , EF 交BC 于无穷远点P ∞.在完全四点形AFOE 中,根据调和性质( BC , 1D P ∞) =-1故1D 为BC 的中点, 故D 和1D 重合。

亦即AD ,BE ,CF 共点.例3:求证三角形的三条外角平分线和对边相交,所得三点共线.已知:（如图5）ABC ∆中,∠C 外角平分线交AB 于E ,∠A 外角平分线BC 交于F ,∠B 外角平分线交AC 于G ,求证E , F , G 三点共线。

图5证明:设P 为内角平分线111AA ,BB ,CC 的交点,AB 与1AB , BC 与1BC , AC 与1AC 分别交于,,111E F G根据德萨格定理, ,,111E F G 共线。

又∠C 外角平分线交AB 于E ,∠A 外角平分线交BC 于F ,∠B 外角平分线交AC 于G .有(,),(,),(,)111BA C E 1BC A F 1AC B G 1=-=-=-.在完全四点形,11CA PB 中,根据调和性质(,)11BA C E 1=-有(,)(,)111BA C E BA C E =故E 和1E 重合.同理F 和1F 重合, G 和1G 重合.所以,,E F G 三点共线.例4：利用完全四点形的调和性质证明初等几何问题已知：（如图6）△ABC 中，AD ⊥BC ，H 是AD 上任意一点。

连接BH ，CH ，分别交对边于E ，F ，求证：AD 平分∠EDF 。

图6证明：延长AC ，FD 交于点G ，由完全四点形BFHD 的调和性质，可得：（A,C;E,Q ）=-1又因为D {A,C,E,F }∧={A,C,E,G }所以（DA,DC,DE,DF ）=-1因为 AD ⊥BC, 所以 AD 平方∠EDF 成立。