高等几何对初等几何相关指导作用分析

高等几何对初等几何相关指导作用分析

摘要

高等几何是利用克莱因的变换群的观点定义的几何学，其能从更高的角度探索初等几何，对初等几何的相关证明、理论依据和命题的构造方面具有很好的指导作用。本文分析了高等几何对初等几何相关指导作用，阐明了其之间的相互关系，并利用高等几何的思想方法对初等几何命题进行变换，通过实例从高等几何在点线结合、交比、反射变换和射影变换方面对初等几何的指导作用进行了探究，并阐述了高等几何对初等几何的作用在现代中学数学教学中的意义。

【关键词】高等几何；初等几何；变换

Abstract

Higher geometry is the use of the transformation of the view of klein, the definition of geometry Angle from higher primary geometry, to explore the relevant proof, elementary geometry theory and structure of proposition has very good guidance. Based on the analysis of higher geometry elementary geometric related guidance, illustrates the relationship between higher geometry, and using the method of elementary geometry proposition to transform from higher geometry, through examples in point, line, combined with reflection and projective transform, to transform the guiding role of elementary geometry.

【Keyword】higher geometry；elementary geometry；transform

前言

初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解. 但高等几何是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源.高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法.学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，可以认识到几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。特别是在对初等几何的教学方面，有着很好的促进作用。

“高等几何”告诉我们在中学几何之外，还有广阔的几何学新天地。这不仅开拓了读者的眼界，而且有助于读者站在新的高度上，深入理解中学几何教材，提高处理中学教材的能力。

一、相关知识简介

1、几何学：

学过数学的人，都知道它有一门分科叫作“几何学”，然而却不一定知道“几何”这个名称是怎么来的。在我国古代，这门数学分科并不叫“几何”，而是叫作“形学”。“几何”二字，在中文里原先也不是一个数学专有名词，而是个虚词，意思是“多少”。比如三国时曹操那首著名的《短歌行》诗，有这么两句：“对酒当歌，人生几何？”这里的“几何”就是多少的意思。明末时期，杰出的科学家徐光启首先把“几何”一词作为数学的专业名词来使用。

几何学的现代化则归功于克莱因、希尔伯特等人。克莱因在普吕克的影响下，应用群论的观点将几何变换视为特定不变量约束下的变换群。而希尔比特为几何奠定了真正的科学的公理化基础。应该指出几何学的公理化，影响是极其深远的，它对整个数学的严密化具有极其重要的先导作用。它对数理逻辑学家的启发也是相当深刻的。

2、高等几何

《高等几何》是高师院校数学专业的专业课程之一，主要包括射影几何与几何基础两部分内容。这是大学数学专业必修的一门课程，这门课程对学生毕业后从事中学几何教学有着非常重要的指导意义。

高等几何着力于培养学生的思维能力和对其知识的衔接和运用。并通过学习，使学生了解运用近代公理法建立几何逻辑体系的基本思想，理解中学几何教材的逻辑结构；掌握射影几何的基本内容和研究方法，并了解一些几何基础

内容。在中学教师的教学方面，能很好的加深学生对中学初等几何和解析几何的理论与方法的理解，能用较高的观点处理初等几何教材；扩大学生的知识领域，为进一步学习其它后续课程打好基础，从而提高学生的逻辑推理能力与空间想象能力。

3、初等几何

初等几何指可用坐标、向量、方程描述的几何问题，即初等代数描述的几何问题。

初等几何在中学阶段的教学中处于一个很重要的位置，他是学生从代数到几何过度的第一次跳跃，更是学生从一般思维到抽象思维、逻辑思维的过度。成功掌握一门初等几何将对数学的学习过程起到很大的促进作用。但对于中学数学来说，初等几何这一块既是一个重点，更是一个难点，因为学生对初等几何的学习认识和理解运用程度将直接关系的学生的成绩、思维拓展、高中阶段乃至本科阶段的学习。

二、高等几何对初等几何的指导作用探究

1、更加全面的认识初等几何

我们知道初等几何是以欧氏几何为其学习内容的.用变换群的观点看，欧氏几何学就是研究正交变换下的图形不变性质和不变量的几何学.由于正交变换群是相似变换群的子群，相似变换群是仿射变换群的子群，而仿射变换群又是射影变换群的子群.因而所对应的几何学从研究的范围讲是:射影几何、仿射几何、相似度量几何、欧氏几何。而从研究的内容来看，欧氏几何研究的对象不仅包括度量性质和度量不变量，而且包括相似性质和相似不变量，仿射性质和仿射不变量，射影性质和射影不变量。即射影几何，仿射几何，相似度量几何，欧氏几何。我们了解了这些关系才能全面地正确地掌握欧氏几何的内容，同时在研究欧氏几何许多具体问题时，我们才可以居高临下的看待这些问题.

2、为初等几何的部分内容提供了理论依据

如立体几何直观图的画法、截面图的作法分别是以透视仿射对应性质及笛沙格定理的理论为依据的，著名的“九树十行”问题是以巴卜斯定理为基础的.还有些在中学难以讲透的问题在高等几何中得到彻底讲清楚，如:非退化二次曲线需每三点不共线的五点才能唯一确定，为什么圆只要不共线的三点就能确

定，就是这样一个问题.

九树十行问题：把九裸树栽成十行, 使得每行恰好有三裸树。

巴布斯定理：（如图1）即中线定理，设三角形ABC的边BC的中点为P，