圆锥曲线中的探究(存在)性问题-(通用版)(解析版)

圆锥曲线中的探究（存在）性问题

圆锥曲线中探究（存在）性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索（存在）性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神.

圆锥曲线中探索问题的求解策略

1).此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．

2)．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 题型1 探究点线关系问题

1．（2020·上海市七宝中学高三期末）已知直线过椭圆：的右焦点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；（3）连接，试探究当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

【答案】（1）；

（2）是定值，；（3）是，定点，证明见解析 【分析】（1）根据直线过定点，可求出椭圆的右焦点坐标，从而可求出椭圆中的值，再结合椭圆中，可求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，联立

，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，并结合及，可得到:1l x my =+C 22

213

x y a +=F l

C ,A B ,,A F B :4l x '=,,

D K

E C l y M 12,MA A

F MB BF λλ==m 12λλ+12λλ+,AE BD m AE BD 22

143

x y +=1283λλ+=-5(,0)2l ()1,0c 23b =a l ()()1122,,,A x y B x y 2

2

14

31

x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩y 1MA AF λ=2MB BF λ=

的表达式，进而可证明；（3）令，可知直线与相交于，进而

讨论时，直线与也相交于即可. 【详解】（1）直线过定点，所以椭圆的右焦点为，即，

又椭圆中，所以，∴椭圆：.

（2）易知，且直线与轴的交点为，直线交椭圆于， 联立，得，所以，

所以，， 又，可得，所以，

又，同理可得，所以， 因为， 所以，故的值是定值，且. （3）若，则直线为，此时四边形为矩形，根据对称性可知直线与相交于的中点，易知； 若，由（2）知，可知， 所以直线的方程为，

12λλ+1283λλ+=-0m =AE BD 5,02N ⎛⎫

⎪⎝⎭

0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫

⎪⎝⎭

:1l x my =+()1,0C ()1,0F 1c =C 23b =222314a b c =+=+=C 22

143

x y

+=0m ≠l y 10,M m ⎛

⎫

-

⎪⎝⎭

l ()()1122,,,A x y B x y 2214

31x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=()()222

36363414410m m m ∆=++=+>122634m y y m +=-

+12

29

34

y y m =-+1MA AF λ=111111(,)(1,)x y x y m

λ+=--1111my λ=--2MB BF λ=221

1my λ=--

12

12

1112()m y y λλ+=--+212212121163423493

y y m m m

y y y y m ⎛⎫+++==-⋅-=

⎪+⎝⎭1212111128

2()233m m y y m λλ+=--

+=--⋅=-12λλ+1283

λλ+=-0m =l 1x =ABED AE BD ,F K N 5,02N ⎛⎫

⎪⎝⎭

0m ≠()()1122,,,A x y B x y ()()124,,4,D y E y AE 21

21

(4)4y y y y x x --=

--

当时，， 所以点在直线上，同理可知，点也在直线上. 所以时，直线与也相交于定点. 综上所述，变化时，直线与相交于定点. 【点睛】求定值问题，常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

2．（2021·江苏高三）如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左､右顶点，

.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.

（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）直线与直线的交点落在定直线上.

【分析】（1）根据题中条件，求出，即可得出椭圆方程；

（2）设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得

52x =

2112211221211

12(4)3()2(41)3()3()422(4)2(4)y y x y y y my y y y y y x x x --------=+-==---211213()22(4)

y y my y x +-=-2221169

321818343402(4)2(4)(34)

m m m m m m x x m --⨯-⨯-+++===--+5,02N ⎛⎫

⎪⎝⎭AE 5,02N ⎛⎫

⎪⎝⎭

BD 0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫

⎪⎝⎭

m AE BD 5,02N ⎛⎫

⎪⎝⎭

xOy A B 22

221(0)x y a b a b

+=>>AB =2

e =

F F l M N AM BN P 2212x y +=AM BN P 2x =,a b MN 1x my =+()11,M x y ()22,N x y