运筹学 动态规划 27-32
运筹学动态规划
运筹学动态规划第7章动态规划动态规划是Bellman 在1957年提出的解多阶决策问题的方法，在那个时期，线性规划很流行，它是研究静态问题的，而Bellman 提出的解多阶决策问题的方法适用于动态问题，相对于线性规划研究静态问题，取名动态规划。
动态规划方法应用范围非常广泛，方法也比较简单。
动态规划是将一个多阶决策问题分解为一系列的互相嵌套的一步决策问题，序贯求解使问题得到简化。
动态规划问题按照问题的性质可以分为确定性的和随机性的，按决策变量的和状态变量的取值可以分为离散型的和连续型的。
此外还有依据时间变量连续取值还是离散取值又分为连续时间动态规划问题和离散时间动态规划问题。
本章重点讨论离散时间确定性动态规划问题，包括状态变量和决策变量连续取值和离散取值两种情况。
7.1解多阶决策问题的动态规划法1.多阶决策问题的例(1)最优路径问题—多阶决策问题的例为了直观，先从最优路径问题谈起，它可以看作一个多阶决策过程。
通过最优路径问题的解可以看到用动态规划法解多阶决策问题的基本思想。
考虑图7-1所示的最优路径问题。
一汽车由S 点出发到终点F ，P 和Q 是一些可以通过的点。
图中两点间标出的数字是汽车走这一段路所需的时间(单位为小时)。
最优路径问题是确定一个路径，使汽车沿这条路径由S 点出发达到F 点所用时间最短。
最优路径问题可以看作一个多阶决策问题，由S 到城市甲是第1个阶段，第1个结点P 1或第2个结点Q 1做为第1阶段可以通过的两个站点，由城市甲到城市乙是第2阶段，这个阶段是从P 1或Q 1到P 2或Q 2，由城市乙到城市丙是第3阶段，这个阶段是从P 2或Q 2到P 3或Q 3，由城市丙的P 3或Q 3到F 做为第四阶段。
（2）最优路径问题的解对最优路径问题，存在一个非常明显的原理，即最优路径的一部分还是最优路径。
换句话说，如果SQ P Q F 123是所求的最优路径，那么，汽车从这一路径上的任何一点，例如P 2，出发到F 的最优路径必为P Q F 23。
运筹学之动态规划
运筹学之动态规划摘要：动态规划是运筹学的一个分支, 是一种解决多阶段决策过程最优化的数学方法, 它把复杂的多阶段决策问题分解成一系列相互联系的较容易解决的单阶段决策问题,通过解决一系列单阶段决策问题来解决多阶段决策问题。
以寻求最优决策序列的方法。
动态规划研究多阶段决策过程的总体优化, 即从系统总体出发, 要求各阶段决策所构成的决策序列使目标函数值达到最优。
在经济管理方面, 动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等, 所以它是现代经济管理中的一种重要的决策方法。
关键字：运筹学、动态规划、最优化原理运筹学作为一门新兴科学, 其应用范围是十分广泛的。
对于不同类型问题, 运筹学都有着不同的解决方法,因而形成了许分支学科。
它们虽然各有特性, 但在运用系统观念分析问题,并对问题建立模型求解这两点上都是共同的。
以下主要介绍运筹学在经济管理和物流方面的应用。
一、运筹学在经济管理中的应用在经济管理中, 常用的运筹学方法有线性规划和动态规划。
1.动态规划：动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法，也是现代企业管理中的一种重要决策方法，可用于最优路径问题、资源分配问题、资源分配的问题、生产计划和库存问题、投资问题、装载问题、排序问题及生产过程的最优控制等，用动态规划方法比用其他方法求解更为方便。
应用动态规划方法可以很好的简化一些较复杂的最优化问题的求解，特别是在解决无法用解析数学表达的离散性问题时具有明显的优点。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
二、动态规划的基本原理1．动态规划的最优化原理及其应用20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究一类多阶段决策过程（multistep decision process）的优化问题时，提出了解决动态规划问题的核心，著名的最优化原理（principle of optimality），把多阶段过程化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法，从而建立了数学规划的另一分支——动态规划（Dynamic Programming）。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、教学目标1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。
2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。
3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。
二、教学内容1. 动态规划的基本概念动态规划的定义动态规划与分治法的区别2. 动态规划的基本原理最优解的性质状态转移方程边界条件3. 动态规划的方法递推法迭代法表格法4. 动态规划的应用背包问题最长公共子序列最短路径问题三、教学方法1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。
3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。
四、教学准备1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。
2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。
3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。
2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。
3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。
4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。
2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。
3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。
4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。
2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。
3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。
2. 考虑学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
3. 探讨如何将动态规划与其他运筹学方法相结合，提高解决问题的综合能力。
动态规划 运筹学 例题
动态规划运筹学例题动态规划是运筹学中常用的一种优化技术，它利用规划、三角函数和其他数学技术来解决日常生活中的各种问题，比如最优路线问题、最优资源分配问题、最优出行路线问题等。
本文将通过一个例题，来介绍动态规划的基本思想，以及如何利用动态规划来解决问题。
例题一：已知一条路线，由A点到B点，有N个途经的节点，每个节点之间的距离已知。
求从A到B的最短路线。
按照动态规划的思想，首先将该问题分解为若干个子问题，并根据子问题的解来解决原问题，这种分解和解决问题的方式称为动态规划。
对于上面的问题，可以将其分解为N个子问题，分别是从A到第1个节点、从第1个节点到第2个节点、从第2个节点到第3个节点，以此类推，最后一个子问题是从第N-1个节点到B点的最短路程。
将上面的N个子问题中，从第i个节点到B点的最短路程记为d[i]，由于从第i个节点到B点可能经过i+1、i+2、……、N-1节点，因此要找到d[i]，只需要找到经过i+1、i+2、……、N-1节点的最短路程即可，即求d[i]=Min{d[i+1]+length[i][i+1],d[i+2]+length[i][i+2],…,d[N-1]+length[i][N-1]}，其中length[i][j]是第i个节点到第j个节点的距离。
以上就是动态规划的解题步骤，它能将原问题分解成若干个子问题，并找到最优解。
对于本例来说，通过上述步骤，就可以得到从A 到B的最短路程。
这种分解和求解问题的方法是动态规划，可以用来解决许多类似的问题，如：1）最优路线问题；2）旅行推销员问题；3）硬币找零问题。
动态规划的一大特点是，他能很好地将问题分解为多个子问题，并能从子问题的解中求解出最优解。
总之，动态规划是一种很有用的优化技术，它可以有效解决各种运筹学问题。
它不仅可以帮助我们解决许多具体问题，而且还能使我们更好地理解问题及其解法。
管理运筹学第5章动态规划
根据阶段划分、状态转移方程和最优解的性质，建立递推关系。
递推关系的求解
通过递推关系求解各阶段的最优解，最终得到整个问题的最优解。
03
动态规划的求解方法
逆推法
总结词
逆推法是从目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的最优决策，逐步推算出初始状态的最优决策。
详细描述
逆推法的基本思想是将问题分解为若干个相互联系的阶段，从最后阶段开始，依次向前推算出每个阶 段的最优决策，直到达到初始状态。这种方法适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，可以避免 重复计算，提高求解效率。
详细描述
资源分配问题通常需要考虑资源的约束条件、 各部门或个体的需求和优先级，以及如何平 衡各方利益。动态规划通过将问题分解为一 系列子问题，逐一求解最优解，最终得到整 体最优解。
生产与存储问题
总结词
生产与存储问题主要研究在生产过程 中如何平衡生产与库存的关系，以最 小化生产成本和库存成本。
详细描述
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，通过将原问题分解 为子问题，逐个求解并存储子问题的解，避免了重复计算，提高了求解效率。
动态规划的重要性
解决复杂问题
动态规划能够解决一些复杂的问题，如资源分配、生产计 划、物流调度等，这些问题通常难以通过传统方法求解。
提高计算效率
通过避免重复计算，动态规划能够显著提高计算效率，尤 其在处理大规模问题时，能够大大减少计算时间和资源消 耗。
05
动态规划的优化策略
多阶段决策优化
01
02
03
阶段划分
将问题划分为若干个相互 关联的阶段，每个阶段都 有自己的决策变量和状态 转移方程。
状态转移
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
运筹学教材课件(第四章动态规划)
最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
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运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
运筹学-动态规划
运筹学-动态规划
●逆序法求解最短路问题
第一步,从K=4开始
状态变量S4可取两种状态D1, D2,它们到E点的距离 分别为4和3,这也就是由D1和D2到终点E 的最短距离， 即
f4(D1)=4, f4(D2)=3.
1 S1
2
3
4
Байду номын сангаас
S2
S3
S4
运筹学-动态规划
1
2
3
4
2）、状态 ( state) 各阶段开始时的出发点称作状态。
描述各阶段状态的变量，称作状态变量，用sk 表示。
在例７.1 中，第一阶段的状态为 A ，第二阶段的状态为城市 B1，B2 和 B3。所以状态变量 S1 的集合 S1={A},S2 的集合是 S2={B1,B2,B3}, 依次有 S3={C1,C2,C3}, S4={D1,D2} 。
C3 ，如果我们选择，从C2走，则此时的决策变量可表示x2(B1)=C2。
1
2
3
4
4）、策略（ Policy）
在各阶段决策确定以后，整个问题的决策序列就构成了一个策略,
用P1n(s1)表示。
如对于例７.1总共可有18个策略，但最优策略只有一个。
1
2
3
4
运筹学-动态规划
5）、目标函数
用于衡量所选定策略优劣的数量指标称作目标函数。
第七章 动态规划
７.1 动态规划问题和基本概念 ７.2 动态规划的基本原理 ７.3 动态规划的应用
引言
动态规划与多阶段决策：
多阶段决策是指这样一类特殊的活动过程, 它们可以按时间顺序分 解成若干相互联系的阶段, 每个阶段都要作出决策, 全部过程的决策是 一个决策序列, 所以多阶段决策问题又称为序贯决策问题。
运筹学动态规划
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。
运筹学动态规划
运筹学动态规划运筹学是一门综合运筹学、优化学、决策学和统计学等多学科知识的学科，它的核心内容是对决策问题进行建模和分析，并通过数学方法进行求解和优化。
动态规划是运筹学中的一种重要方法，它通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。
下面将详细介绍运筹学中的动态规划方法。
动态规划方法的核心思想是将原问题分解为若干个相互重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。
为了可以使用动态规划方法，必须满足以下两个条件：子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分；子问题之间必须具有重叠性，即一个子问题可以被多次使用。
动态规划方法的具体步骤如下：首先，将原问题分解为若干个子问题，并定义出每个子问题的状态和状态转移方程；其次，通过迭代求解每个子问题的最优解，直到求解出原问题的最优解；最后，根据子问题的最优解和状态转移方程，得到原问题的最优解。
动态规划方法的应用非常广泛，可以用于求解各种各样的优化问题。
例如，在物流配送中，可以使用动态规划方法求解最短路径问题；在生产计划中，可以使用动态规划方法求解最优生产计划；在股票投资中，可以使用动态规划方法求解最优投资策略等。
动态规划方法的优点是可以通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解，避免了穷举法的复杂性。
此外，动态规划方法还可以通过引入一定的约束条件，来对问题进行更精确的建模和求解。
然而，动态规划方法也存在一些局限性。
首先，动态规划方法要求问题能够满足子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分，这限制了动态规划方法的应用范围。
其次，动态规划方法通常需要建立较为复杂的状态转移方程，并进行复杂的计算，使得算法的实现和求解过程比较困难。
综上所述，动态规划是运筹学中的一种重要方法，通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。
动态规划方法的优点是可以高效地求解优化问题，但同时也存在一些局限性。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划教案章节一：引言1.1 课程目标：让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。
让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。
1.2 教学内容：动态规划的定义和特点动态规划的应用领域动态规划的基本思想和步骤1.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本概念和特点。
案例分析法：分析动态规划在实际问题中的应用。
教案章节二：动态规划的基本思想2.1 课程目标：让学生理解动态规划的基本思想。
让学生学会将问题转化为动态规划问题。
2.2 教学内容：动态规划的基本思想状态和决策的概念状态转移方程和边界条件2.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本思想。
练习法：通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。
教案章节三：动态规划的求解方法3.1 课程目标：让学生掌握动态规划的求解方法。
让学生学会使用动态规划算法解决问题。
3.2 教学内容：动态规划的求解方法：自顶向下和自底向上的方法动态规划算法的实现：表格化和递归化的方法3.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的求解方法。
练习法：通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。
教案章节四：动态规划的应用实例4.1 课程目标：让学生了解动态规划在实际问题中的应用。
让学生学会使用动态规划解决实际问题。
4.2 教学内容：动态规划在优化问题中的应用：如最短路径问题、背包问题等动态规划在控制问题中的应用：如控制库存、制定计划等4.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划在实际问题中的应用。
案例分析法：分析实际问题，让学生学会使用动态规划解决实际问题。
教案章节五：总结与展望5.1 课程目标：让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。
让学生展望动态规划在未来的发展。
5.2 教学内容：动态规划的基本概念、思想和应用的总结。
动态规划在未来的发展趋势和挑战。
5.3 教学方法：讲授法：总结动态规划的基本概念、思想和应用。
讨论法：让学生讨论动态规划在未来的发展趋势和挑战。
教案章节六：动态规划的优化6.1 课程目标：让学生了解动态规划的优化方法。
运筹学课程动态规划课件
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3 4 运筹学课程动态规划
5
6
7
示例5（生产与存储问题）：
某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求 预测及每月生产j个单位产品的费用如下：
上一个阶段的决策直接影响下一个阶段的决策
运筹学课程动态规划
8
示例6（航天飞机飞行控制问题）：
由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因 此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况， 不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态）， 使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。
运筹学课程动态规划
9
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为若 干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。这 个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的 初
1 6
C3
D1
10
E
D2
6
运筹学课程动态规划
12
以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完
全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、 Ci 、Bi、
A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点 D 1 和 D 2 ，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10 6
cj30j
j0 j1,2,6
月1 2 3
4
需求 2 3 2
运筹学教案动态规划ppt课件
(uk ,u2un )
注: 指标函数的含义是多样的,如:距离、 利润、成本、产品产量、资源消耗等。
最优化原理与动态规划问题基本方程
最优化原理
“作为全过程的最优策略具有这样的性质： 无论过去的状态和决策如何，对于前面决策所形 成的状态（即该最优策略上某一状态）而言，余 下的诸决策必须构成以此状态为初始状态的最优 策略。
3 A5
4
1 阶段
B
9
1
5
4
B
3
2
5
1 B
3
7
2
阶段
C1
1
5
D
1
4
8
C
4
2 D6
E 1
1
2
6
29
F
2 E
4 C
4
3
2
3
阶段
7
D
3
5
4 阶段
2
5 阶段
状态与状态变量
状态： 表示每个阶段开始时所处的自然状 况或客观条件，又称为不可控因素，是阶段的特 征，通常一个阶段有若干个状态。
如：前例，第一阶段状态为点A，第二阶段 的状态有B1，B2，B3三个状态。
但是要受到维数限制。
求解动态规划问题的过程： （1）将问题过程划分恰当阶段，选择阶段
变量k.。 正确（描2过）程正的确演选变择，状又态要变满量足x无k. 后应效注性意。：既能够
（3）正确选择决策变量uk，确定允许集合 。 （4）正确写出状态转移方程 xk+1= Tk(xk, uk)。 （5） 列出按阶段可分的准则函数V1,n ，要 满足几个性质。
概述
▪ 动态规划为运筹学的一个分支，是用于求解 多个阶段决策过程的最优化数学方法。
大学运筹学经典课件第五章动态规划
生产计划问题的动态规划解法
根据生产阶段和生产量的不同组合，构建动 态规划模型进行求解。
经典案例
多阶段生产问题、批量生产计划问题等。
图像处理与计算机视觉中的应用
图像处理中的动态规划应用
通过动态规划算法对图像进行分割、边缘检测、特征提取等 操作。
计算机视觉中的动态规划应用
在目标跟踪、立体视觉、光流计算等领域，利用动态规划求 解最优路径或策略。
决策的无后效性
在动态规划中，每个阶段的决策只与 当前状态有关，而与过去的状态和决 策无关。
边界条件与状态转移方程
边界条件
动态规划问题的边界条件通常指的是问题的初始状态和终止 状态。
状态转移方程
描述问题状态之间转移关系的方程，通常根据问题的具体性 质建立。通过状态转移方程，可以逐步推导出问题的最优解 。
应用领域
03
适用于具有时序性和阶段性特点的问题，如资源分配、任务调
度、路径规划等。
动态规划与人工智能的融合应用
强化学习
结合动态规划和强化学习算法， 通过智能体与环境交互学习最 优决策策略，实现自适应的动
态规划求解。
深度学习
利用深度学习模型强大的特征 提取和表达能力，对动态规划 中的状态转移和决策规则进行
经典案例
图像分割中的最短路径算法、立体匹配中的动态规划算法等 。
06
动态规划的扩展与前沿研究
随机动态规划
随机动态规划模型
描述随机环境下多阶段决策 问题的数学模型，涉及期望 总收益最大化或期望总成本
最小化。
求解方法
通过引入状态转移概率和决 策规则，将随机动态规划问 题转化为确定性动态规划问 题求解，常用方法有值迭代
自顶向下的求解方法（记忆化搜索）
运筹学第章动态规划
x2(B2)C1
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f2(B1)=20
f3(C1)=8
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
A5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f2(B3)=19
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
f2(B2)m id n d((B B22,,C C2 1)) ff3 3((C C12)) m i1n6 0 87 m i1 1n 7 414 d(B2,C3)f3(C3) 41 2 1 6
(4) 状态转移方程sk＋1 ＝T (sk,uk)：描述第k阶段与第k+1阶段 的状态变量的关系
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阶段函数
(5)指标 v(sk ,uk) ：第k阶段状态sk情况下采取决策uk得到的结 果（距离、得益、成本等）
指标函数是指各阶段指标的累计。即 V (sk,uk, …, sn,un, sn+1)=vk(sk,uk)*vk+1(sk+1,uk+1)…*vn(sn,un) 它表示从第k阶段的状态sk开始到第n阶段的终止状态的指标 累计。式中*表示某种运算符，一般为加法运算或者乘积运算。
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综上所述可见，全枚举法虽可找出最优方案，但不是 个好算法，局部最优法则完全是个错误方法，只有动态规 划方法属较科学有效的算法。它的基本思想是，把一个比 较复杂的问题分解为一系列同类型的更易求解的子问题， 便于应用计算机。
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徐州工程学院
数理学院
案例分析报告
课程名称运筹学及应用
案例分析题目救灾物资运输问题
专业
班级
姓名
学号
指导教师
成绩等级
目录
小组成员分工………………………………………………………………………一．问题描述………………………………………………………………………二．问题分析………………………………………………………………………三．模型建立………………………………………………………………………四．模型求解与程序设计………………………………………………………五．结果分析………………………………………………………………………
一．问题描述
在1998年的夏天,我国长江流域发生洪涝灾害,上海市政府紧急调运一批救灾物资运往灾区,帮助灾区人民度过困难。
但是从上海到灾区途中要经过至少三个不同城市，而且有许多不同的行驶路线，不同的行驶路线其路程长度不一。
时间紧，任务急，市政府召开紧急会议，研究一条最短的物资运输路线，以最快的速度将救灾物资运输到灾区人民的手中。
下图显示的网络就是从上海（节点A）至灾区（节点E）的公路网络，其中，节点1B、2B、3B为第一次可能经过的城市，节点1C、2C、3C为第二次可能经过的城市，节点1D、2D为第三次可能经过的城市，弧线上的数字表示两个相邻城市间公路的长度。
上海至灾区的公路网络图
二．问题分析
从A点出发有三种可以选择的方案：到B1，B2，B3，,如果只考虑一段内距离最短，可能为A-B1，A-B2，A-B3。
再从B1点出发，到C1，C2，C3，如果只考虑一段内距离最短，可能为A-B1-C1，A-B1-C2，A-B1-C3; 从B2点出发，到C1，C2，C3，如果只考虑一段内距离最短，可能为A-B2-C1，A-B2-C2，A-B2-C3; 从B3点出发，到C1，C2，C3，如果只考虑一段内距离最短，可能为A-B3-C1，A-B3-C2，A-B3-C3; 从C1点出发，到D1，D2，如果只考虑一段内最短，可能为A-B1-C1-D1，A-B1-C1-D2，A-B1-C2-D1，A-B1-C2-D2，A-B2-C1-D1 A-B2-C1-D2,
A-B2-C2-D1，A-B2-C2-D2， A-B3-C1-D1，A-B3-C1-D2，A-B3-C2-D1，A-B3-C2-D2,从D1点出发，如果只考虑一段内距离最短，可能为A-B1-C1-D1-E，A-B1-C2-D1-E, A-B2-C1-D1-E, A-B2-C2-D1-E，A-B3-C1-D1-E, A-B3-C2-D1-E。
从D2点出发，如果只考虑一段内距离最短，可能为A-B1-C1-D2-E，A-B1-C2-D2-E, A-B2-C1-D2-E, A-B2-C2-D2-E，A-B3-C1-D2-E, A-B3-C2-D2-E。
通过比较最终可以得到一条最短的路径。
采用逆序算法，可以简化上述过程。
这是一个多阶段决策问题，可以将全部过程化为四个阶段，每个阶段开始时确定一条路径，且上一阶段要对下一阶段产生影响，目标是使总路径最短。
从最后一个阶段向前反推，求解目标决策，从而得到最优的选择。
使上海市政府能够以最快的速度将救灾物资运输到灾区人民的手中。
三．模型建立
1、到达灾区E之前肯定到达D1或D2，如果上个地点是D1，则最优决策为D1->E,距离为
d(D1,E),记f(D1); 如果上个地点是D2，则最优决策为D2->E,距离为d(D2,E),记f(D2);
2、到达离灾区E还剩两站时肯定到达C1或C2或C3的某一点，如果上个地点是C1，则C1到E的路线有两条，即C1->D1->E或C1->D2->E,从中选取最短的一条，所以从C1出发到E
的最优选择为
Min{d(C1,D1)+f(D1),d(C1,D2)+f(D2)} 从而得到最短路线，记最短距离为f(C1)
同理可得C2到E的最优选择为
Min{d(C2,D1)+f(D1),d(C2,D2)+f(D2)} 从而得到最短路线，记最短距离为f(C2)
同理可得C3到E的最优选择为
Min{d(C3,D1)+f(D1),d(C3,D2)+f(D2)} 从而得到最短路线，记最短距离为f(C3)
3、到达离灾区E还剩三站时肯定到达B1或B2或B3的某一点,B1到达E的最优选择为
Min{d(B1，C1)+f(C1),d(B1,C2)+f(C2),d(B1,C3)+f(C3)} 从而得到最短路线，记最短距离为f(B1)
B2到达E的最优选择为
Min{d(B2，C1)+f(C1),d(B2,C2)+f(C2),d(B2,C3)+f(C3)} 从而得到最短路线，记最短距离为f(B2)
B3到达E的最优选择为
Min{d(B3，C1)+f(C3),d(B3,C2)+f(C2),d(B3,C3)+f(C3)} 从而得到最短路线，记最短距离为f(B3)
4、综合考虑，从A到E的最优选择为
Min{d(A，B1)+f(B1),d(A,B2)+f(B2),d(A,B3)+f(B3)} 从而得到最短路线，记最短距离为f(A)
令
a= d(D1,E) a1= f(D1) a2= d(D2,E) a3= f(D2)
b= d(C1,D1) b1= d(C1,D2) b2= f(C1)
c= d(C2,D1) c1= d(C2,D2) c2= f(C2)
d= d(C3,D1) d1= d(C3,D2) d2= f(C3)
e= d(B1，C1) e1= d(B1,C2) e2= d(B1,C3) e3= f(B1)
f= d(B2，C1) f1= d(B2,C2) f2= d(B2,C3) f3= f(B2)
g= d(B3，C1) g1= d(B3,C2) g2= d(B3,C3) g3= f(B3)
h= d(A，B1) h1= d(A,B2) h2= d(A,B3) h3= f(A)
四．模型求解与程序设计
五．结果分析
第一阶段得到D1->E距离为3，D2->E距离为4；
第二阶段得到从C1到的最短路线为C1->D1->E 最短距离为6，从C2到E的最短路线为C2->D2->E 最短距离为7，从C3到E的最短路线为C3->D1->E 最短距离为6；
第三阶段从B1到E的最短路线为B1->C2->D2->E 最短距离为11，从B2到E 的最短路线为B2->C1->D1->E或B2->C2->D2->E 最短距离为9，从B3到E的最短路线为B3->C2->D2->E 最短距离为9;
第四阶段得到最终的最优路线为A->B3->C2->D2->E,最短距离为12。
因此，上海市政府采用A->B3->C2->D2->E路线，才能够以最快的速度将救灾物资运输到灾区人民的手中。