基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答案)
高中数学 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课后习题 新人教A版选修2-2
1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值为()A. B. C. D.解析:∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4.∴a=.答案:B2.函数y=(e x+e-x)的导数是()A.(e x-e-x)B.(e x+e-x)C.e x-e-xD.e x+e-x解析:设u=e-x,v=-x,则u'x=(e v)'(-x)'=e v·(-1)=-e-x,即y'=(e x-e-x).答案:A3.函数f(x)=x cos x-sin x的导函数是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数解析:∵f'(x)=x'cos x+x(cos x)'-cos x=-x sin x,∴f'(-x)=x sin(-x)=-x sin x=f'(x).∴f'(x)为偶函数.答案:B4.已知函数y=f(x)满足f(1)=2,f'(1)=-1,则曲线g(x)=e x f(x)在x=1处的切线斜率是()A.-eB.eC.2eD.3e解析:g'(x)=e x f(x)+e x f'(x),g'(1)=e f(1)+e f'(1)=e.答案:B5.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.4e2B.2e2C.e2D.e2解析:由导数的几何意义,切线的斜率k=y'|x=4=|x=4=e2,所以切线方程为y-e2=e2(x-4),令x=0,得y=-e2;令y=0,得x=2.所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S=×2e2=e2.答案:C6.已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),则f'(1)=.解析:方法一:∵f(x)=(x2-3x+2)(x-3)=x3-6x2+11x-6,∴f'(x)=3x2-12x+11,故f'(1)=3-12+11=2.方法二:∵f'(x)=(x-1)'·(x-2)(x-3)+(x-1)·[(x-2)(x-3)]',∴f'(1)=(1-2)×(1-3)=2.答案:27.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为.解析:设切点为(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),即x0+1=ln(x0+a).∵y'=,∴=1,即x0+a=1.∴x0+1=ln 1=0,∴x0=-1,∴a=2.答案:28.已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0,若f'(1)=0,求a的值.解:f'(x)=[ln(ax+1)]'+'=,∴f'(1)==0.∴a=1.因此a的值为1.9.若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.解:∵f(x)=,∴f(c)=.又∵f'(x)=,∴f'(c)=.依题意知f(c)+f'(c)=0,∴=0.∴2c-1=0,得c=.B组1.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A. B.C. D.解析:y'=-=-,设t=e x∈(0,+∞),则y'=-=-,∵t+≥2,∴y'∈[-1,0),α∈.答案:D2.已知f(x)=x3+3xf'(0),则f'(1)=.解析:f'(x)=x2+3f'(0),∴f'(0)=3f'(0),∴f'(0)=0,∴f'(1)=1.答案:13.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f'(1)=.解析:令t=e x,则x=ln t,所以函数为f(t)=ln t+t,即f(x)=ln x+x,所以f'(x)=+1, 即f'(1)=+1=2.答案:24.等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)…(x-a8),则f'(0)等于. 解析:f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x[(x-a1)·(x-a2)…(x-a8)]',∴f'(0)=a1a2…a8=(a1a8)4=84=212.答案:2125.已知曲线f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线f(x)的切线,求曲线的切线方程.解:设切点为(x0,y0),则由导数定义得切线的斜率k=f'(x0)=3-3,∴切线方程为y=(3-3)x+16,又切点(x0,y0)在切线上,∴y0=3(-1)x0+16,即-3x0=3(-1)x0+16,解得x0=-2,∴切线方程为9x-y+16=0.6.已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f'(x)=2x-8.(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)=e x sin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.解:(1)∵f(x)=ax2+bx+3(a≠0),∴f'(x)=2ax+b,又知f'(x)=2x-8,∴a=1,b=-8.(2)由(1)可知g(x)=e x sin x+x2-8x+3,∴g'(x)=e x sin x+e x cos x+2x-8,∴g'(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7,又知g(0)=3,∴g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0).即7x+y-3=0.7.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.(1)解:由7x-4y-12=0得y=x-3.当x=2时,y=,∴f(2)=,①又f'(x)=a+,f'(2)=,②由①②得解之,得故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y'=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x-x0).令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.。
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答案)
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案）选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于()A．1B．2C. 3D. 4答案］D解析］y = (x+1)2］'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)'=2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1,y‘ =1= 4.2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=()A. x4B. x4— 2C. 4x3—5D. x4+ 2答案］B解析］丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1• • • 1 + c= — 1 ,• • • c= —2,—f(x) = x4 — 2.3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是()A.nn+1B.n+2n+1C.nn—1D.n+1n 答案］A解析］T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1,/. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x,即f(n) = n2+n=n(n+ 1),二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为：Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1)=1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1=1 —1n+ 1= nn+ 1,故选 A.4.二次函数y = f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f‘的)图象是过第一、二、三象限的一条直线，贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案］C解析］由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C.5 .函数y = (2 + x3)2的导数为()A. 6x5+ 12x2B. 4+ 2x3C. 2(2+ x3)2D. 2(2+ x3)?3x答案］A解析］t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6,/. y = 6x5 + 12x2.6. (2010?江西文，4)若函数f(x) = ax4 + bx2 + c满足f‘ 侍)2,贝卩 f -(1)=()A.- 1B.- 2C. 2D. 0答案］B解析］本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f‘(x)4ax3+ 2bx,f，41)=-4a-2b=- (4a + 2b), f '件)4a + 2b, A「—()= — f‘(4— 2要善于观察,故选 B.7.设函数f(x)= (1 —2x3)10，贝S f ' 4X)A. 0B.- 1C.- 60D. 60答案］D解析］f ' (4)10(1 —2x3)9(1 —2x3) 4 10(1 —2x3)9?(—6x2)= —60x2(1 —2X3)9,A f ' (1)60.8.函数y = sin2x—cos2x的导数是()A. 22cos2x— n 4B cos2x— sin2xC. sin2x+ cos2xD. 22cos2x+ n4答案］A解析］y = (si n2x—cos2x) = (sin 2x) —(cos2x)=2cos2x+ 2sin2x= 22cos2x— n 4.9.(2010?高二潍坊检测)已知曲线y= x24—3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A. 3B. 2C. 1D.12答案］A解析］由「(対x2 —3x= 12得x= 3.10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y= f(x)在x=5 处的切线的斜率为()A.—15B. 0C.15D. 5答案］B解析］由题设可知f(x + 5) = f(x)二f‘ (+5)= f‘ ,)二f‘(®f‘ (0)又f( —x)= f(x),「. fTx)(—1)= f‘ (x)即x)= —f‘ ,)••• f‘ (0)0故f '(另f ' (&)0.故应选B.二、填空题11.________________________________________ 若f(x) = x, © (x 弄 1 + sin2x,则 f © (x并______________________ , © f(x)扫 _______答案］2si nx+ n4 1 + sin2x解析］f © (x)f 1 + sin2x= (sinx+ cosx)2 =|sinx + cosx| = 2sinx+ n 4.© f(x)” 1 + sin2x.12.设函数f(x) = cos(3x+ © )(0C ©< n,若f(x)+ f '是)奇函数，贝S ©=答案］n6解析］f (x)- 3sin(3x+ ©)f(x) + f ' (x)cos(3x+ © ) 3sin(3x+ ©)=2sin3x + ©+ 5 n 6.若f(x) + f‘ 为奇函数，则f(0) + f‘ (=)0,即0= 2sin + 5 n 6 二©+ 5 n 6= k n (l€ Z).又T ©€ (0, n ,二©= n 6.13.函数y= (1+ 2x2)8的导数为_________ .答案］32x(1 + 2x2)7解析］令u= 1 + 2x2,则y= u8,••• y' = y' u?u= 8u7?4x= 8(1 + 2x2)7?4x= 32x(1 + 2x2)7.14.函数y= x1 + x2 的导数为_______ .答案］(1 + 2x2)1 + x21 + x2解析］y = (x1 + x2) = x' + x2+ x(1 + x2) = 1 + x2 + x21 + x2= (1 + 2x2)1 + x21 + x2.三、解答题15.求下列函数的导数：(1)y= xsin2x; (2)y= In(x + 1+ x2);(3)y= ex+ lex—1; (4)y= x+ cosxx+ sinx.解析](1)y =(x) sir+xc(sin2x)'=sin2x+ x?2s in x?(s in x)= §in2x+ xsin 2x.(2)y = 1x+ 1 + x2?(x + 1 + x2)'=1x+ 1 + x2(1 + x1 + x2)= 11 + x2.(3)y = (ex +1) ' (—x1)—(ex + 1)(ex—1) ' (—1)2= —2ex(ex—1)2.(4)y = (x+ cosx) '+(sinx)—(x+ cosx)(x+ sinx)(x+ sinx)2= (1 —sinx)(x+ sinx)—(x+ cosx)(1+ cosx)(x+ sinx)2=—xcosx—xsinx+ sinx—cosx—1(x+ sinx)2.16．求下列函数的导数：(1)y= cos2(x2—x); (2)y= cosx?sin3x;(3)y= xIoga(x2+ x—1); (4)y= Iog2x—1x+ 1.解析](1)y = cos2(x2- x)]=2cos(x2— x)cos(x2— x)]=2cos(x2— x) —sin(x2—x)](x2 —x)'= 2cos(x2—x)—sin(x2—x)](2x—1)= (1 —2x)sin2(x2—x)．(2)y = (cosx?sin3x)= (cosx) ' s+3x)sx(sin3x) '=—sinxsin3x+ 3cosxcos3x= 3cosxcos3x—sinxsin3x.(3)y = Ioga(x2+ x—1)+ x?1x2+ x—1Iogae(x2+ x—1) = Ioga(x2+ x—1)+2x2＋xx2＋x－1logae.(4)y 厶x+ 1x—1x—1x+ 1' Iog2ex + 1x—1log2ex + 1 —x+ 1(x + 1)2=2log2ex2— 1.17.设f(x) = 2sinx1 + x2,如果 f '閑2(1 + x2)2?g(x),求g(x).解析］•/ f'閑2cosx(1+ x2)—2sinx?2x(1 + x2)2=2(1 + x2)2(1 + x2)cosx— 2x?s inx］,又f‘ 閑2(1 + x2)2?g(x).g(x)= (1 + x2)cosx- 2xs in x.18.求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)y= f1x；(2)y=f(x2 + 1).解析］(1)解法1：设y= f(u), u= 1x,则y‘亲y‘ u?u=f' (u—1x2= —1x2f ' 1x.解法2：y = f1x = f‘ 1x?似-1x2f‘ 1x.(2)解法1:设y= f(u), u = v, v=x2+ 1,。
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时练 新人教A版选修22
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）课时练 新人教A 版选修22【金版新学案】2014-2015学年高中数学 1.2.2(2) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时练 新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝sin x ′－x 2′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x解析： A 项中(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确．答案： A2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2 解析： 因为f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)．解得f ′(1)＝－2，所以f ′(x )＝2x －4，所以f ′(0)＝－4.故选B.答案： B3．曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝0 解析： y ′＝－12x －12，∵点(1,1)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12x －12|x ＝1＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x＋y －2＝0.答案： B4．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(3，f (3))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 解析： f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f ′(3)＝2e 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫3＋π4＜0，则此函数图象在点(3，f (3))处的切线的倾斜角为钝角． 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝x 2x ＋3的导数是________．解析： y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′ ＝x 2′x ＋3－x 2·x ＋3′x ＋32＝2x x ＋3－x 2x ＋32＝x 2＋6x x ＋32. 答案： x 2＋6x x ＋326．(全国大纲卷改编)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.解析： y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案： －6三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的导数：(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y ＝x －1x ＋1；(4)y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4. 解析： (1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′＝5x 4－9x 2－10x .(2)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9.方法二∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)方法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12 ＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(4)∵y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x4＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x .8．求下列函数的导数：(1)y ＝11－3x 4；(2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(3)y ＝ln(2x 2＋x )；(4)y ＝x ·2x －1.解析： (1)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝121－3x 5.(2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(2x 2＋x )′＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.先求t ＝2x －1的导数．设u ＝2x －1，则t ＝u 12， t x ′＝t u ′·u x ′＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 尖子生题库☆☆☆ (10分)已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l的方程．解析： ∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. ∴适合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。
考点35 求导公式及运算(原卷版)
考点35 求导公式及运算一．基本初等函数的导数公式二．导数的运算法则 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 三．求导原则1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法四．复合函数求导知识理解复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．考向一 基本函数的求导【例1】（2021·全国课时练习）下列各式中正确的是（ ） A ．(log a x )′=1x= B ．(log a x )′=ln10xC ．(3x )′=3xD ．(3x )′=3x ln3【举一反三】1．（2021·陕西宝鸡市）以下求导正确的是（ ） A ．(cos )sin x x '=B ．21(log )x x=' C ．211()x x'=-D ．1(1ln )1x x'+=+2．（2021·全国单元测试）下列结论正确的个数为（ ） ∈若y ＝ln2，则y ′＝12；∈若f (x )＝21x ，则f ′（3）＝－227；∈若y ＝2x ，则y ′＝2x ln2；∈若y ＝log 5x ，则y ′＝1ln 5x ． A ．4 B ．1 C ．2 D ．33．（2021·赣州市赣县第三中学）下列求导运算不正确的是（ ） A ．()22x x '=B ．()1ln 33xxe e '+=+ C ．()33ln 3x x '=D ．()sin cos x x '=4．（2021·全国课时练习）已知函数2()2xf x x x xe =+-，则(0)f '=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2考向二 导函数的运算法则【例2】（2021·陕西咸阳市）下列求导运算正确的是（ ）A ．()1e ln e ln xx x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭B ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭考向分析C ．()2sin 2cos x x x x '=D ．()33x x '=【举一反三】1．（2021·横峰中学）下列求导运算正确的是（ ）A ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()1x x x e e '⋅=+C ．2111x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ D ．()2cos 2sin x x x x '=-2．（2020·扬州市第一中学高三月考）下列求导运算正确的是（ ） A ．'211()1x xx+=+B ．'21(log )ln 2x x =C ．x '3(3)3log xe =D ．2'(x cos )2sin x x x =-3．（2020·陕西省子洲中学）函数cos sin y x x x =-的导数为（ ） A ．2cos sin x x x + B ．2cos sin x x x - C ．sin x x - D ．sin x x4．（2020·西藏山南二中高三月考）下列导数计算正确的是（ ）A ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()31log ln 3x x '=C ．()x x xe e '=D ．()cos 1sin x x x '+=+ 考向三 复合函数的求导【例3】（2021·天津河西区·高二期末）函数()212cos x y e x x -+=-+的导数为（ ）A ．()()21222sin (21)cos x y ex x x x x -+⎡=-+--'⎣B ．()()21222cos (21)sin x y e x x x x x -+⎡⎤'=--+--⎣⎦ C ．()()21222sin (21)cos x y e x x x x x -+⎡⎤'=--+--⎣⎦D ．()()21222cos (21)sin x y ex x x x x -+⎡⎤'=-+--⎣⎦【举一反三】1．（2021·全国课时练习）函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（ ） A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x2．（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中）函数xy e -=的导函数为（ ）A ．x y e =-B ．x y e -=-C ．x y e =D ．x y e -=3．（2021·江西南昌市·高二期末（理））函数()22423y x x =-+的导数是（ ）A ．()2823x x -+ B ．()2216x -+ C ．()()282361x xx -+-D ．()()242361x xx -+-4．（2020·陕西省子洲中学）函数2cos(1)4y x =++的导数是（ ）A ．22sin(1)x x +B ．2sin(1)x -+C ．22cos(1)x +D ．22sin(1)x x -+考向四 求导数【例4-1】（2021·江西鹰潭市·）已知()sin f x x x =⋅，则导数()f π'=（ ） A ．0B ．1-C ．πD ．π-【例4-2】（2019·四川成都市树德协进中学高二期中（理））已知函数()f x 的导函数是()'f x ，且满足()sin cos 4f x x x π'⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______.【举一反三】1．（2021·河南平顶山市）已知函数()sin f x x x =，()'f x 为()f x 的导数，则2f π⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ） A ．-1 B ．1 C ．2π D ．12π+2．（2021·安徽蚌埠市）已知()sin cos 3f x f x x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭__________． 3（2021·通化县综合高级中学）已知()31f x x x=-+的导函数为()f x '，则()1f '-=________一、单选题1．（2021·全国单元测试）已知函数f (x )＝ln x ，则(3)f '＝（ ） A ．13 B ．－13C ．ln3D ．－ln3 2．（2021·全国课时练习）设函数f (x )=cos x ，则2f π'⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．以上均不正确3．（2021·南昌市新建一中）下列求导运算中错误的是（ ） A ．(3)3ln 3xx'=B ．2ln 1ln x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭D ．(sin cos )cos 2x x x ='⋅4．（2021·河南驻马店市）下列求导结果正确的是（ ）A ．cos sin 66ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()133x x x -'=C ．()22log log ex x'=D ．()sin 2cos 2x x '=5．（2020·江苏泰州市·泰州中学）设函数()sin 3xg x e x =++，则()()00g g '+=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．（2021·全国课时练习）已知函数()331xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020212021f f f f ''+-+--的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2020·全国课时练习（文））已知()2xf x x e =+，则()0f '=（ ） A ．0B ．4-C ．2-D ．18．（2020·安徽六安市·六安二中高二月考（文））已知()ln f x x x =，若()00f x '=，则0x =（ ）强化练习A ．1eB ．1C ．eD ．2e9．（2021·山西）若函数21()f x x x=+，则()1f '-=（ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．310．（2021·江苏启东市）已知函数()ln xf x e x =，()f x '为x 的导函数，则()1f '的值为（ ） A ．1eB ．eC ．1D ．011．（2021·浙江金华市）若函数2()cos f x ax b x c =++满足(2)2f '=，则(2)f '-=（ ）A ．1-B ．2-C ．0D ．112．（2021·湖南常德市）下列各式正确的是（ ） A ．()ln x x a a a '=B ．()cos sin x x '=C ．sin cos 88ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()5615xx --'=-二、多选题13．（2021·全国课时练习）下列求导运算错误．．的是（ ） A ．233()1x x x '=++ B ．21(log )ln 2x x '=C ．(3)3x x '=D ．2()n os si c 2x x x x '=-14．（2021·全国课时练习）（多选题）下列求导运算错误．．的是（ ） A ．()cos sin x x '= B ．()333log xx e '=C ．()1lg ln10x x '=D ．()212x x --'=-15．（2021·河北邯郸市）下列导数运算正确的有（ ）A ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)x x xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=16．（2020·江苏高二期中）设()f x '是函数()y f x =的导函数，则以下求导运算中，正确的有（ ） A ．若()sin 2f x x =，则()cos2f x x '=B ．若()ln 2xf x xe =-，则()()1x f x x e '=+C ．若()21f x x '=-，则()2f x x x =-D ．若()tan f x x =，则()21cos f x x'=三、填空题17．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三月考）设函数()f x 的导函数是()'f x ，若2()sin 2f x f x x π'⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2f π'⎛⎫= ⎪⎝⎭____________． 18．（2020·安徽高三月考（文））已知()()32'0f x x xf =+，则()'1f =_______.19．（2020·利辛县阚疃金石中学高三月考）已知2()x f x e x =+，则(1)(1)f f '+=________．20．（2021·吉林长春市）已知函数21()2(2021)2021ln 2f x x xf x '=-++，则()2021f '=___________. 21．（2020·海口市第四中学高三期中）已知函数2()2(1)3f x x f x '=+-，则()1f '=________.22．（2021·全国高二单元测试）设f (x )＝ae x ＋bx ，且(1)f ＝1e，(1)f '＝e ，则a ＋b ＝________． 23．（2021·南昌市新建一中）已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足关系式2()3(2)f x x xf '=+,则(2)f '的值等于_______.24．（2021·河南）已知函数()3f x ax =+()14f '=，则a =__________．四、解答题25．（2021·陕西省黄陵县中学）求下列函数的导数． ∈n 1l y x x=+； ∈()()22131y x x =-+；∈sin cos 22x y x x =-； ∈cos x x y e=；26．（2021·全国）求下列函数的导数．（1）()2321x y x =+；（2）sin 2xy e x -=；（3）1y =； （4）()21cos 23x y x +=-+．27．（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y ＝103x －2；（2）y ＝ln(e x ＋x 2)；（3）y ＝.28．（2021·全国课时练习）求下列函数的导数． （1）22y xx -=+；（2）32x x xy e e =-+；（3）2ln 1x y x =+；（4）2sin cos 22x x y x =-．。
高中数学专题练习《基本初等函数的导数》含详细解析
5.2 导数的运算5.2.1 基本初等函数的导数基础过关练题组一 利用导数公式求函数的导数1.(2020浙江绍兴稽山中学高二下期中)已知f(x)=cos30°,则f'(x)的值为( )A.-12B.12C.-32D.02.已知函数f(x)=1x2,则 )A.-14B.-18C.-8D.-163.函数y=1x在x=4处的导数是( )A.116B.-116C.18D.-184.下列求导运算正确的是( )A.(cos x)'=sin xB.(3x)'=3x log3eC.(lg x)'=1x ln10D.(x-2)'=-2x-15.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),……,f n+1(x)=f n'(x),n∈N,则f2 019(x)=( )A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x6.(多选)下列求导运算正确的是( )'=1x2B.(x)'=12xC.(x a)'=ax a-1D.(log a'=1x ln a 7.求下列函数的导数.(1)y=1x5;(2)y=x2x;(3)y=lg x;(4)y=5x-x.题组二 导数公式的应用8.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末)曲线y=1x在点A(-1,-1)处的切线方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y+2=0D.x-y-2=09.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为( )A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=010.(2020福建三明第一中学月考)以正弦曲线y=sin x上一点P为切点作切线l,则切线l的倾斜角的范围是( )A.0,πB.[0,π), D.0,,11.已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f'(x)的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.若曲线y=x-12在点(m,m-12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则m=( )A.64B.32C.16D.813.(多选)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是( )A.f(x)=x2B.f(x)=e-xC.f(x)=ln xD.f(x)=1x14.(2019广东东莞高二上期末)设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线,计算a1+a2+a3+…+a2019.与x轴交点的横坐标为x n,令a n=lg1x n答案全解全析基础过关练1.D ∵f(x)=cos 30°=32,∴f'(x)=0.2.D f'(x)=-2x -3=-2x 3,则故选D.3.B y'=-12x -32,∴y'x=4=-12×4-32=-116,故选B.4.C (cos x)'=-sin x,故A 不正确;(3x )'=3x ·ln 3,故B 不正确;(lg x)'=1x ·ln10,故C 正确;(x -2)'=-2x -2-1=-2x -3,故D 不正确.故选C.5.D f 0(x)=sin x,f 1(x)=f 0'(x)=(sin x)'=cos x,f 2(x)=f 1'(x)=(cos x)'=-sin x,f 3(x)=f 2'(x)=(-sin x)'=-cos x,f 4(x)=f 3'(x)=(-cos x)'=sin x,所以4为最小正周期,故f 2 019(x)=f 3(x)=-cos x.6.BCD 在A 中-1)'=-1x 2,故A 错误;在B 中,(x )'=(x 12)'=12×x -12=12x ,故B 正确;在C 中,(x a )'=ax a-1,故C 正确;在D 中,(log a '=1x ln a ,故D 正确.故选BCD.7.解析 (1)∵y=1x 5=x -5,∴y'=-5x -6.(2)∵y=x 2x =x 2x 12=x 32,∴y'=32x 12.(3)∵y=lg x,∴y'=1x ln10.(4)∵y=5x ,∴y'=5x ln 5.(5)∵-x =sin x,∴y'=cos x.8.C 由y=1x 得y'=-x -2,因此切线的斜率为k=-(-1)-2=-1,∴切线方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0,故选C.9.A ∵直线x+4y-8=0的斜率为-14,∴直线l 的斜率为4,又y'=4x 3,∴4x 3=4,得x=1,又当x=1时,y=x 4=1,∴直线l 的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.10.A ∵y=sin x,∴y'=cos x,∵cos x ∈[-1,1],∴切线斜率的范围是[-1,1],∴倾斜角的范围是0,,π,故选A.11.B 由f(x)=ln x,得f'(x)=1x ,则g(x)=f(x)-f'(x)=ln x-1x .易知函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2-12=ln 2-ln e >0,所以函数g(x)在区间(1,2)上有唯一零点.12.A 因为y'=-12x -32,所以曲线y=x -12在点(m,m -12)处的切线方程为y-m -12=-12·m -32(x-m),令x=0,得y=32m -12,令y=0,得x=3m,由题意可得,12×32m -12×3m=18,解得m=64.13.ACD 在A 中,若f(x)=x 2,则f'(x)=2x,则x 2=2x,这个方程显然有解,故A 符合要求;在B 中,若f(x)=e -x ,则ln 1e =-e -x ,即e -x =-e -x ,此方程无解,故B 不符合要求;在C 中,若f(x)=ln x,则f'(x)=1x ,由ln x=1x ,数形结合可知该方程存在实数解,故C 符合要求;在D 中,若f(x)=1x ,则f'(x)=-1x 2,由1x =-1x 2,可得x=-1,故D 符合要求.故选ACD.14.解析 因为y=x n+1,所以y'=(n+1)x n ,所以曲线y=x n+1(n ∈N *)在(1,1)处的切线斜率为k=n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得x=n n +1,即x n =n n +1,所以a n =lg 1x n =lg(n+1)-lg n,所以a 1+a 2+a 3+…+a 2 019=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 4-lg 3+…+lg 2 020-lg 2 019=lg 2 020-lg 1=1+lg 202.。
人教A高中数学选修22提能达标过关：1.22 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一 含解析
第一章 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)提能达标过关一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x 2解析：若y ＝cos x ，则y ′＝－sin x ，∴A 错；若y ＝sin x ，则y ′＝cos x ，∴B 错；若y ＝1x ＝x －1，则y ′＝－1·x －2＝－1x 2，∴C 正确；若y ＝x ＝，则y ′＝12·＝12x ，∴D 错． 答案：C2．函数y ＝e x 在点(0,1)处的切线方程为( )A ．y ＝1e x ＋1B ．y ＝e x ＋1C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：∵y ′＝e x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即y ＝x ＋1，故选D.答案：D3．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线的倾斜角为α，∵y ′＝(sin x )′＝cos x ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝tan α.∵－1≤cos x 0≤1，∴－1≤tan α≤1.又∵0≤α＜π，∴0≤α≤π4或3π4≤α＜π.答案：A4．(2019·定州高三模拟)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cosx 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 12·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.答案：A5．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切，则k 的值为( )A ．eB ．－eC.1e D ．－1e 解析：∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x .设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0，y 0＝ln x 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，y 0＝1.∴k ＝1e . 答案：C二、填空题6．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________.解析：∵f (x )＝10x ，∴f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10.答案：10ln 107．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．解析：y ′＝1x ln 2，∴∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，令x ＝0，得y ＝－1ln 2，令y ＝0，得x ＝1，∴S ＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1ln 2＝12ln 2. 答案：12ln 28．(2019·寿光高二月考)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 018(x )＝________.解析：由已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x .答案：－sin x三、解答题9．(2019·泉州高二月考)已知两条曲线y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．理由如下：由于y 1＝sin x ，y 2＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处切线的斜率分别为k 1＝y 1′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y 2′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．10．已知函数y ＝12x 2的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线为l ，若l 也为函数y ＝ln x (0<x <1)的图象的切线，求证：3<x 0<2.证明：函数y ＝12x 2的导数为y ′＝x ，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线的斜率为k ＝x 0， 切线方程为y －12x 02＝x 0(x －x 0)，设切线与y ＝ln x 相切的切点为(m ，ln m )，0<m <1，由y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，可得x 0＝1m ，切线方程为y －ln m ＝1m (x －m )，令x ＝0，可得y ＝ln m －1＝－12x 02，由0<m <1，可得x 0>1，由m＝1x0，可得12x02－ln x0－1＝0，令f(x)＝12x2－ln x－1，x>1，∴f′(x)＝x－1x>0，∴f(x)在(1，＋∞)上递增，且f(2)＝1－ln 2>0，f(3)＝32－12ln 3－1＝12(1－ln 3)<0，则有12x02－ln x0－1＝0的根x0∈(3，2)．∴3<x0<2.。
函数求导练习题(含解析)
一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝，C为常数；（2）（xα）′＝，α为常数；（3）（a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝；（6）（cos x）′＝．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．6．求下列函数的导数．（Ⅰ）；（Ⅱ）．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．9．求下列函数的导数：（1）；（2）．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）解析一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝0，C为常数；（2）（xα）′＝αxα﹣1，α为常数；（3）（a x）′＝a x lna，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝cos x；（6）（cos x）′＝﹣sin x．分析：根据初等函数的导数公式，直接求解即可．解答：解：（1）（C）′＝0，（2）（xα）′＝αxα﹣1，（3）（a x）′＝a x lna，（4）（log a x）′＝，（5）（sin x）′＝cos x，（6）（cos x）′＝﹣sin x．故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）a x lna；（4）；（5）cos x；（6）﹣sin x．点评：本题主要考查初等函数的导数公式，比较基础．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．分析：利用导数的运算性质逐个化简即可求解．解答：解：（1）由已知可得y′＝2x﹣7；（2）由已知可得y′＝1+2cos x．点评：本题考查了导数的运算性质，属于基础题．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．分析：（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解答：解：（1）f（x）＝3x4+sin x则f′（x）＝12x3+cos x；（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（1）∵y＝ln（2x+1），∴y′＝×2＝，（2）∵，∴y′＝﹣sin（﹣2x）×（﹣2）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．分析：根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵g（x）＝（8﹣3x）7，∴g'（x）＝7（8﹣3x）6⋅（8﹣3x）'＝﹣21（8﹣3x）6．（3）∵p（x）＝5cos（2x﹣3），∴p'（x）＝﹣5sin（2x﹣3）⋅（2x﹣3）'＝﹣10sin（2x﹣3）．（4）∵w（x）＝ln（5x+6）2，∴点评：本题考查导数的计算，注意复合函数的导数计算，属于基础题．（Ⅰ）；（Ⅱ）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．分析：利用导数的运算性质化简即可求解．解答：解：（1）因为f（x）＝sin x cos x＝sin2x，所以f′（x）＝cos2x×＝cos2x，（2）∵y＝，∴y′＝＝．点评：本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：根据导数的公式，即可依次求解．解答：解：（1）y'＝＝．（2）因为y＝（2x2+3）（3x﹣2）＝6x3﹣4x2+9x﹣6，所以y′＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查导数的运算，属于基础题．（1）；（2）．分析：（1）先展开f（x），然后求导即可；（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可．解答：解：（1），；（2）．点评：本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可．解答：解：（1）S（t）＝＝t+，所以S′（t）＝1﹣；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2），所以h′（x）＝4x（3x﹣2）+3（2x2+3）＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则，属于基础题．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．分析：利用复合函数的导函数的求法，结合导数的运算求解即可．解答：解：（1），所以；（2）所以．点评：本题考查了导函数的求法，重点考查了导数的运算，属基础题．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．分析：直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．解答：解：（1）令t＝1﹣2x2，则，所以；（2）．点评：本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．分析：由已知结合函数的求导公式即可求解．解答：解：（1）y′＝cos x+；（2）y′＝﹣sin x+1；（3）y′＝sin x+x cos x；（4）y′＝＝；（5）y′＝6x+cos x﹣x sin x；（6）y′＝＝﹣．点评：本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．分析：根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．解答：解：（1）y′＝3x2﹣2；（2）y′＝sin（2x+5）+2x cos（2x+5）．点评：本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）．分析：利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可．解答：解：（1）因为y＝（x2+3x+3）e x+1，所以y'＝[（x2+3x+3）e x+1]'＝（x2+3x+3+2x+3）e x+1＝（x2+5x+6）e x+1＝（x+2）（x+3）e x+1；（2）因为，所以．点评：本题考查了导数的运算，主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．。
高中数学导数的计算精选题目(附答案)
高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1) 8．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2； (4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝S i n 2x2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x 2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x . 3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x. 11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。
同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案
同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案1.函数$y=x^2$在点$x=1$处的导数是2.2.函数$f(x)=(2x+1)^2(4x-2x+1)$的导数是$24x^2-1$。
3.函数$f(x)=(x+2a)(x-a)^2$的导数为$f'(x)=2(x^2-a^2)+2(x-a)\cdot 2x=2(3x^2-2ax-a^2)$。
4.函数$f(x)=1+\sin x$，其导函数为$f'(x)=\cos x$，则$f'(\pi/3)=1/2$。
5.已知函数$f(x)=3x^2$，则$f'(3)=18$。
6.函数$f(x)=(2e^x)+\sin x$的导数是$f'(x)=2e^x+\cos x$。
7.已知$f(x)=\sin x+\cos x+\pi/2$，则$f'(\pi/2)=-1$。
8.已知函数$f(x)=2\sin x+\cos x$，则$f'(\pi)=-2$。
9.已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2$，则$f(x)=\frac{1}{2}x^2+C$，其中$C$为常数。
10.某物体的瞬时速度为0时，$t=2$。
11.已知函数$f(x)=ax^2+b$的图像开口向下，$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=4$，则$a=-2$。
12.已知函数$f(x)=x^4+ax^2-bx$，且$f'(-1)=-13$，$f'(-1)=-27$，则$a+b=-18$。
13.已知函数$f(x)=x\sin x+\cos x$，则$f'(\frac{\pi}{2})=-1$。
14.函数$f(x)=x\mathrm{e}^x$的导函数为$f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x$，所以$f'(x)>0$的解集为$(0,+\infty)$。
导数公式的练习题及答案
导数公式的练习题及答案1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数y?f在x?x0处的瞬时变化率是?x?0limf?f，?x我们称它为函数y?f在x?x0处的导数，记作f?或y?|x?x0，即f?=lim?x?0f?f?x2. 导数的几何意义: 当点Pn趋近于P时，函数y?f 在x?x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k?lim3. 导函数二．导数的计算1. 基本初等函数的导数公式. 导数的运算法则. 复合函数求导?x?0f?f?f?xn?x0y?f和u?g,称则y可以表示成为x的函数,即y?f)为一个复合函数 y??f?)?g?三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数y?f的极值的方法是:如果在x0附近的左侧f??0,右侧f??0,那么f是极大值; 如果在x0附近的左侧f??0,右侧f??0,那么f是极小值;.函数的最大值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数y?f在[a,b]上的最大值与最小值的步骤求函数y?f在内的极值；将函数y?f的各极值与端点处的函数值f，f比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题1、已知函数f?2x?1的图象上一点及邻近一点，则2?y等于?xA．4B．4?xC．4?2?xD．4?2?x2、如果质点M按规律S?3?t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度为A．4B．4.1C．0.41D．33、如果质点A按规律S?2t3运动，则在t?3秒的瞬时速度为A．B．18C．54D．8111在点处的切线斜率为_________，切线方程为__________________． x225、已知函数f?ax?2，若f??1，则a?__________．4、曲线y??6、计算：f?5x?7，求f?；f?y?221x?2，求f?；21，求y?|x?0 x?17、在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t存在函数关系S?10t?5t2，t?20,?t?0.1时的求t?20的速度． 1、函数y??S； ?t的导数是1?4?141323A．xB．xC．x5D．?x55555112、曲线y?x2在点处切线的倾斜角为225???A．1B．?C．D．4443、已知曲线y?x?2x?2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是A．B． C．D．2x在点处的切线方程为____________________．x?135、曲线y?x在点处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形面积为__________．4、曲线y?6、求下列函数的导数：y?x?log3x；y??2x?1．13?；y?cos2x．sinx?cosx求f在点处的切线方程；求过点的切线方程．、函数y?的导数是A．6x5?12x B．4?2x C．2 D．2?3x、已知y?333321sin2x?sinx，那么y?是A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数D．非奇非偶函数 10、曲线y?e1x2在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为2C．2e D．e22211、已知f?ln，若f??1，则实数a的值为__________． A．e2B．4e12、y?sin3x在处的切线斜率为__________________．1?x，?1?x?1． 1?x13、求下列函数的导数：f?f?e?x2?2x?3；y?lncos2x??14、已知f? ，求f．1?sin2x41、函数f?e的单调递增区间是A． B．C． D．2、设函数y?f在定义域内可导，y?f的图象如图1所示，则导函数y?f?可能为A2xB C D3、若函数f?x?ax?x?6在内单调递减，则实数a的取值范围是A．a?1B．a?13C．a?1D．0?a?14、函数f?ax?x在R上为减函数，则实数a的取值范围是______________．、求函数f?2x?lnx的单调区间．、设函数f?xe．kx2求曲线y?f在点)处的切线方程；求函数f的单调区间；若函数f在区间内单调递增，求k的取值范围．、函数y?4x2?1的单调递增区间是 x11A． B． C．D．8、若函数y?x3?x2?mx?1是R上的单调函数，则实数m 的取值范围是A． B．D．．函数f?lnx?1313131312x的图象大致是10、如果函数y?f的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数y?f在区间内单调递增；②函数y?f在区间内单调递减；③函数y?f在区间内单调递增；④当x?2时，函数y?f有极小值；⑤当x??12121时，函数y?f有极大值.32则上述判断中正确的是____________．11、已知函数f?x?ax?bx?c，g?12x?4，若f?0，且f 的图象在点)处的切线方程为y?g．求实数a，b，c的值；求函数h?f?g的单调区间 12、已知函数f?13、已知函数f?12x?lnx?x在上是增函数，求实数a的取值范围．x?1?alnx，f的单调区间．1．C ．B3．C4．4；y?4x?4．?7．210.5；2101?1?381x111．C．C ．B4．y??x?2．6．；?；ln?233xln3?sinx?cosx7．y?4x?3；y?e；1?x814．?9111．D．D ．A4．a?0．增区间，减区间22116．y?x；k?0时，增区间，减区间kk11k?0时，增区间，减区间；[?1,0)?和，减区间12．a?213．a?0时，增区间为a?0时，在基本初等函数的导数公式及导数运算法则练习姓名班级713?1．曲线y＝x－2在点?－1，－处切线的倾斜角为?3?A．30°B．45° C．135°D．60°．设f＝31A641－1x2xf′等于57B.C．－667D.63．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为A．4x－y－3＝032B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝04．已知f＝ax＋9x＋6x－7，若f′＝4，则a的值等于A.193B.16101 D.3314325．已知物体的运动方程是st－4t＋16t，则瞬时速度为0的时刻是A．0秒、2秒或4秒B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒6．曲线y＝x－2x＋1在点处的切线方程为A．y＝x－1B．y＝－x－1 D．y＝－2x－23C．y＝2x－2x7．若函数f＝esinx，则此函数图象在点)处的切线的倾斜角为A.π2B．0C．钝角D．锐角?ππ8．曲线y＝xsinx在点?－，处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为 ?22?πA.21222B．π C．2πD.＋π)29．设f0＝sinx，f1＝f0′，f2＝f1′，…，fn＋1＝fn′，n∈N，则f2011等于A．sinxB．－sinx C．cosxD．－cosx10．f与g是定义在R上的两个可导函数，若f、g满足f′＝g′，则f与g满足A．f＝g B．f－g为常数C．f＝g＝0 11．函数y＝在x＝1处的导数等于A．1 B．2C．D．412．若对任意x∈R，f′＝4x，f＝－1，则f＝第 - 1 - 页共 1页32D．f＋g为常数A．x34mB．x－D．x＋21*}的前n项和是 f44C．4x－513．设函数f＝x＋ax的导数为f′＝2x＋1，则数列{ A.n＋2nn＋1B. C.D.n＋1n＋1n－1nn14．二次函数y＝f的图象过原点，且它的导函数y＝f′的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f的图象的顶点在A．第一象限32B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．函数y＝的导数为A．6x＋12xB．4＋2xC．24252332D．2·3x316．若函数f＝ax＋bx＋c满足f′＝2，则f′＝A．－1B．－ C．2D．031017．设函数f＝，则f′＝A．0B．－1 C．－60D．6018．函数y＝sin2x－cos2x的导数是π??A．2cos?2x－?4??π??B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2x D．22cos?2x ＋?4??119．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为42A．3B． C．11D.x220．设函数f是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f在x＝5处的切线的斜率为1A51B．5D．5?π1221．设f＝ax－bsinx，且f′＝1，f′?＝a＝________，b＝________.?3?222．设f＝x－3x－9x＋1，则不等式f′＜0的解集为________．3．曲线y＝cosx在点P?32?π，1处的切线的斜率为______．?32?x24．已知函数f＝ax＋be图象上在点P处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f的解析式是____________．25．若f＝x，φ＝1＋sin2x，则f[φ]＝_______，φ[f]＝________.6．设函数f＝cos，若f＋f′是奇函数，则φ＝________.7．函数y＝的导数为________．8．函数y＝x1＋x的导数为________．三、解答题第 - - 页共 1页22829．求下列函数的导数：1111＋x1x24x4xy＝x；y＝；y＝sin＋cosy＝xx44x1－x1x30．求下列函数的导数：e＋1x＋cosxy＝xsinx； y＝ln；yx y＝.e－1x＋sinx22x.31．求下列函数的导数：y＝cos；y＝cosx·sin3x； y＝xloga； y＝log2 2sinx232．设f＝f′＝·g，求g．1＋x33．求下列函数的导数：是可导函数)第 - - 页共 1页222x－1. x＋1?1?2y＝f??；y＝fx＋1)．?x?34．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．17．已知曲线C1：y＝x与C2：y＝－.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．18．求满足下列条件的函数f：f是三次函数，且f＝3，f′＝0，f′＝－3，f′＝0；f′是一次函数，xf′－f＝1.222第 - - 页共 1页基本初等函数的导数公式及导数运算法则答案一、选择题7?13?1．曲线yx－2在点?－1，－?处切线的倾斜角为?3?A．30° C．135° [答案] B[解析] y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.．设f31A67C6[答案] B1－1B．45° D．60°x2xx，则f′等于5B.67D.63．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 A．4x－y－3＝0C．4x－y＋3＝0[答案] A [解析] ∵直线l的斜率为4，而y′＝4x，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝x＝1，故直线l的方程为：y－1＝4即4x－y－3＝0.4．已知f＝ax＋9x＋6x－7，若f′＝4，则a的值等于 A.C.193103B.D.16313332344B．x＋4y－5＝0 D．x＋4y＋3＝0[答案] B[解析] ∵f′＝3ax＋18x＋6，16∴由f′＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝.3∴选B.第 - - 页共 1页2基本初等函数的导数公式及导数运算法则1．y?x31导数为 x22．y＝xsin2x导数为3．y?x2lnx导数为ex4．y?导数为 x5．函数y＝2在x＝1处的导数等于6．函数y＝2的导数为7．设函数f＝10，则f′＝8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是9．函数y＝1＋x的导数为________．10．若对任意x∈R，f′＝4x3，f＝－1，则f＝11．江西)若函数f＝ax4＋bx2＋c满足f′＝2，则f′＝基本初等函数的导数公式及导数运算法则1．y?x31导数为 x22．y＝xsin2x导数为3．y?xlnx导数为ex4．y?导数为 x5．函数y＝2在x＝1处的导数等于6．函数y＝2的导数为7．设函数f＝10，则f′＝8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是9．函数y＝1＋x的导数为________．10．若对任意x∈R，f′＝4x3，f＝－1，则f＝11．江西)若函数f＝ax4＋bx2＋c满足f′＝2，则f′＝。
高中数学 专题1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)测试(含解析)新人教A版选修
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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）(时间：25分，满分50分)班级姓名得分1．(5分)设y＝－2e x sin x，则y′等于( ）A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x（sin x＋cos x)【答案】D【解析】y′＝－2（e x sin x＋e x cos x）＝－2e x(sin x＋cos x）．2．(5分）已知f(x）＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1）＝4,则a的值是( )A.错误!B.错误!C.错误! D。
错误!【答案】D【解析】∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′（－1）＝3a－6＝4,∴a＝错误!.3．（5分）设曲线y＝错误!在点（3，2）处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( ）A．2 B.错误! C．－错误! D．－2【答案】D4．（5分）设函数f（x）＝g（x）＋x2，曲线y＝g（x）在点（1，g(1)）处的切线方程为y ＝2x＋1,则曲线y＝f(x)在点(1，f（1)）处切线的斜率为( )A．4 B．－错误! C．2 D．－错误!【答案】A【解析】依题意得f′（x）＝g′（x）＋2x，f′(1)＝g′(1）＋2＝4.5。
《初等函数的导数公式及导数的运算法则》 同步测试
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》金牌训练题一、选择题1．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( )A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x 解析：∵y ＝x －(2x －1)2＝－4x 2＋5x －1，∴y ′＝－8x ＋5.答案：D2．函数y ＝cos(1＋x 2)的导数是( )A ．2x sin(1＋x 2)B ．－sin(1＋x 2)C ．－2x sin(1＋x 2)D ．2cos(1＋x 2)解析：∵y ′＝[cos(1＋x 2)]′＝－sin(1＋x 2)·(1＋x 2)′＝－2x sin(1＋x 2)．答案：C3．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为( )A ．1B ．2 C. 2 D ．a >0解析：∵f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·2ax ＝ax ax 2－1， ∴f ′(1)＝a a －1＝2.∴a ＝2，故选B. 答案：B 4．函数y ＝x 2＋12x －1的导数是( ) A.2＋x x 2＋1·(2x －1)2B ．－2＋x1＋x 2·(2x －1)2 C.4x 2－x ＋2(2x －1)2D.4x 2－x ＋2(2x －1)2x 2＋1＝2cos(2x ＋3)．(2)解法一：y ′＝2(x ＋1x )(x ＋1x)′ ＝2(x ＋1x )(1－1x 2)＝2x －2x3. 解法二：∵y ＝x 2＋2＋1x2， ∴y ′＝(x 2＋2＋1x 2)′＝2x －2x3. (3)y ′＝1(x 2＋2x ＋3)ln2·(x 2＋2x ＋3)′ ＝2x ＋2(x 2＋2x ＋3)ln2.11．已知函数f (x )＝e －x (cos x ＋sin x )，将满足f ′(x )＝0的所有正数x 从小到大排成数列{x n }．求证：数列{f (x n )}为等比数列．证明：f ′(x )＝－e －x (cos x ＋sin x )＋e －x (－sin x ＋cos x )＝－2e －x sin x ，由f ′(x )＝0，得－2e －x sin x ＝0，解得x ＝n π，n ∈Z .从而x n ＝n π(n ＝1,2,3……)，f (x n )＝(－1)n e －n π，所以f (x n ＋1)f (x n )＝－e －π.所以数列{f (x n )}是公比为q ＝－e －π的等比数列．12．曲线y ＝e 2x cos3x 在(0,1)处的切线与直线C 的距离为5，求直线C 的方程． 解：由曲线y ＝e 2x cos3x ，得y ′＝(e 2x )′cos3x ＋e 2x (cos3x )′＝2e 2x cos3x －3e 2x sin3x ，∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1.设直线C 的方程为y ＝2x ＋b ，由题意得。
[精品]新人教A版选修2-2高中数学1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则2过关习题和答案
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选修2-2 1.2.2 第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] D[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝( ) A．x4B．x4－2C．4x3－5 D．x4＋2[答案] B[解析] ∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.3．设函数f(x)＝x m＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是( )A.nn＋1B.n＋2 n＋1C.nn－1D.n＋1n[答案] A[解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，即f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1， 故选A.4．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a ， 顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，－b 24a 在第三象限，故选C. 5．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x[答案] A[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6，∴y ′＝6x 5＋12x 2.6．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0[答案] B[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2要善于观察，故选B.7．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)＝( )A ．0B ．－1C ．－60D ．60[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝10(1－2x 3)9(1－2x 3)′＝10(1－2x 3)9·(－6x 2)＝－60x 2(1－2x 3)9，∴f ′(1)＝60.8．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数是( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos2x －sin2xC ．sin2x ＋cos2xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 [答案] A[解析] y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2C ．1 D.12[答案] A [解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3. 10．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15 D ．5[答案] B[解析] 由题设可知f (x ＋5)＝f (x )∴f ′(x ＋5)＝f ′(x )，∴f ′(5)＝f ′(0)又f (－x )＝f (x )，∴f ′(－x )(－1)＝f ′(x )即f ′(－x )＝－f ′(x )，∴f ′(0)＝0故f ′(5)＝f ′(0)＝0.故应选B.二、填空题11．若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝_______，φ[f (x )]＝________.[答案] 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，1＋sin2x[解析] f [φ(x )]＝1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2＝|sin x ＋cos x |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. φ[f (x )]＝1＋sin2x .12．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6.若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.13．函数y ＝(1＋2x 2)8的导数为________．[答案] 32x (1＋2x 2)7[解析] 令u ＝1＋2x 2，则y ＝u 8，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x＝32x (1＋2x 2)7.14．函数y ＝x 1＋x 2的导数为________．[答案] (1＋2x 2)1＋x 21＋x 2[解析] y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x sin 2x ； (2)y ＝ln(x ＋1＋x 2)；(3)y ＝e x ＋1e x －1； (4)y ＝x ＋cos x x ＋sin x. [解析] (1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin2x .(2)y ′＝1x ＋1＋x2·(x ＋1＋x 2)′ ＝1x ＋1＋x 2(1＋x 1＋x 2)＝11＋x2 . (3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. (4)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′(x ＋sin x )2＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )(x ＋sin x )2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1(x ＋sin x )2. 16．求下列函数的导数：(1)y ＝cos 2(x 2－x )； (2)y ＝cos x ·sin3x ；(3)y ＝x log a (x 2＋x －1)； (4)y ＝log 2x －1x ＋1. [解析] (1)y ′＝[cos 2(x 2－x )]′＝2cos(x 2－x )[cos(x 2－x )]′＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](x 2－x )′＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](2x －1)＝(1－2x )sin2(x 2－x )．(2)y ′＝(cos x ·sin3x )′＝(cos x )′sin3x ＋cos x (sin3x )′ ＝－sin x sin3x ＋3cos x cos3x ＝3cos x cos3x －sin x sin3x .(3)y ′＝log a (x 2＋x －1)＋x ·1x 2＋x －1log a e(x 2＋x －1)′＝log a (x 2＋x －1)＋2x 2＋x x 2＋x －1log a e. (4)y ′＝x ＋1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′log 2e ＝x ＋1x －1log 2e x ＋1－x ＋1(x ＋1)2 ＝2log 2e x 2－1. 17．设f (x )＝2sin x 1＋x 2，如果f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )，求g (x )． [解析] ∵f ′(x )＝2cos x (1＋x 2)－2sin x ·2x (1＋x 2)2＝2(1＋x 2)2[(1＋x 2)cos x －2x ·sin x ]， 又f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )． ∴g (x )＝(1＋x 2)cos x －2x sin x .18．求下列函数的导数：(其中f (x )是可导函数)(1)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)y ＝f (x 2＋1)．[解析] (1)解法1：设y ＝f (u )，u ＝1x，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝f ′(u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . 解法2：y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . (2)解法1：设y ＝f (u )，u ＝v ，v ＝x 2＋1，。
导数公式及导数运算法则1+同步练习【含解析】(可编辑修改word版)
3 x 2x＝ － ，则 t ＝ 3－1，－ 3 B.选修 1-2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．曲线 y1x 3－2 在点(7)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°2．设 f (x ) 1 1f ′(1)等于()x A ．－1 5 6 6 7 7 C ．－D. 663．若曲线 y ＝x 4 的一条切线 l 与直线 x ＋4y －8＝0 垂直，则 l 的方程为()A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝04．已知 f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若 f ′(－1)＝4，则 a 的值等于()A.193 10 B.163 13 C. D. 33 5.已知物体的运动方程是 s ＝1 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，4则瞬时速度为 0 的时刻是()A ．0 秒、2 秒或 4 秒B ．0 秒、2 秒或 16 秒C ．2 秒、8 秒或 16 秒D ．0 秒、4 秒或 8 秒6．曲线 y ＝x 3－2x ＋1 在点(1,0)处的切线方程为()＝ ， 则 － 2 ， 2A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －27. 若函数 f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为()A. π2 B ．0 C ．钝角D ．锐角8. 曲线 y ＝x sin x 在点( π π)处的切线与 x 轴、直线 x ＝π 所围成的三角形的面积为()A. π22B. π2C. 2π21＋π)2D. (2 29．设 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )， n ∈N ，则 f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝ g ′(x )，则 f (x )与 g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数二、填空题11．设 f (x )＝ax 2－b sin x ，且 f ′(0)＝1，f ′(π)1a ＝ ，b ＝3 2.12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0 的解集为．x )， π 1处的切线的斜率为．3 214. 已知函数 f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点 P (－1,2)处的切线与直线 y ＝－3x 平行，则函数 f (x )的解析式是 ．三、解答题15. 求下列函数的导数． (1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6(2)y ＝x 2＋cos x(3) y = 1x2(5) y = x + 1x(4)y ＝x e x(6)y ＝x sin x(7)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)(8) y = ( - 2)2(9) y = x -sinxcos x2 2(10) y =x -1x + 113．曲线 y ＝cos x 在点 P (x(11) y =sin xx(12) y = ( + 1)( 1-1)16.已知两条曲线 y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．17. 已知曲线 C 1：y ＝x 2 与 C 2：y ＝－(x －2)2.直线 l 与 C 1、C 2 都相切，求直线 l 的方程．x。
高二数学 第一章1.2.1基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 课时作业
1．y ＝3x 2的导数是( )A ．3x 2B ．13x 2C ．－12D ．233x解析：选D ．∵y ＝3x 2＝x 23，∴y ′＝23x －13＝233x. 2．函数y ＝sin(x ＋π2)的导数为( ) A ．y ′＝－cos(x ＋π2) B ．y ′＝cos x －sin x C ．y ′＝－sin x D ．y ′＝cos x 解析：选C ．∵y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ， ∴y ′＝－sin x .3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e解析：选A.由条件得y ′＝e x ，根据导数的几何意义，可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1.4．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则P 的坐标为( ) A ．(12，2) B ．(12，2)或(－12，－2) C ．(－12，－2) D ．(12，－2) 解析：选B.因为y ′＝－1x 2，令－1x 2＝－4，得x ＝±12，P 的坐标为(12，2)或(－12，－2)，故选B.5．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8解析：选A.∵y ′＝－12·x －32， ∴y ′|x ＝a ＝－12·a －32， ∴在点(a ，a －12)处的切线方程为y －a －12＝－12·a －32·(x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12，令y ＝0，得x ＝3a ，∴12×3a ×32a －12＝18，解得a ＝64. 6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x， ∴y ′|x ＝e ＝1e. ∴切线方程为y －1＝1e(x －e)， 即x －e y ＝0.答案：1ex －e y ＝0 7．已知函数f (x )＝1x，且f ′(a )－f (a )＝－2，则a ＝________.解析：f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2， f ′(a )－f (a )＝－1a 2－1a＝－2. 即2a 2－a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－12. 答案：1或－128．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝x 相切的直线方程是________．解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2，又∵y ′＝(x )′＝12x， ∴12x＝2，解得x ＝116. ∴切点的坐标为(116，14)． 故切线方程为y －14＝2(x －116)． 即16x －8y ＋1＝0.答案：16x －8y ＋1＝09．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)． 解：(1)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 32－1＝32x . (2)y ′＝(1x4)′＝(x －4)′＝－4x －4－1 ＝－4x －5＝－4x5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1 ＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4) ＝2sin x 2(2cos 2x 4－1) ＝2sin x 2cos x 2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .10．在曲线y ＝4x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解：设P 点坐标为(x 0，y 0)，∵y ′＝－8x －3，∴y ′|x ＝x 0＝－8x －30＝tan 135°＝－1，即8x －30＝1，∴x 0＝2.将x 0＝2代入曲线方程得y 0＝1，∴所求P 点坐标为(2,1)．[高考水平训练]1．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2 B ．ln 2＋1 C ．ln 2－1 D ．ln 2解析：选C ．∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x， ∴令1x ＝12，得x ＝2， ∴切点为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1. 2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 014(x )＝________.解析：由已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…依次类推可得，f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .答案：－sin x3．过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．解：∵(e x )′＝e x ，设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的直线的斜率为e x 0，∴所求切线的方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．∵切线过原点，∴－e x 0＝－x 0·e x 0，x 0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e.4．已知直线x ＋2y －4＝0与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的AOB 上求一点P ，使△APB 的面积最大．解：因为|AB |为定值，所以要使△APB 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，只要点P 是抛物线的平行于AB 的切线的切点即可．设P (x ，y )，由图知，点P 在x 轴下方的图象上，所以y ＝－2x ，所以y ′＝－1x. 因为k AB ＝－12， 所以－1x＝－12，x ＝4. 由y 2＝4x (y ＜0)，得y ＝－4，所以P (4，－4)．。
课时分层作业3 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
课时分层作业(三) 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数y ＝mx 2m －n 的导数为y ′＝4x 3，则( )A ．m ＝－1，n ＝－2B ．m ＝－1，n ＝2C ．m ＝1，n ＝2D ．m ＝1，n ＝－2D [∵y ＝mx 2m －n ，∴y ′＝m (2m －n )x 2m －n －1，又y ′＝4x 3，∴⎩⎨⎧ m (2m －n )＝42m －n －1＝3∴⎩⎨⎧ m ＝12m －n ＝4，即⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝－2.]2．若f (x )＝1－x 2sin x ，则f (x )的导数是( )A.－2x sin x －(1－x 2)cos xsin 2xB.－2x sin x ＋(1－x 2)cos xsin 2 xC.－2x sin x ＋(1－x 2)sin xD.－2x sin x －(1－x 2)sin xA [f ′(x )＝(1－x 2)′sin x －(1－x )2·(sin x )′sin 2x ＝－2x sin x －(1－x )2cos xsin 2x .]3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为() A.193 B.103C.133D.163B [∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ，又f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.] 4．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)D [切线的斜率k ＝tan 34π＝－1，设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1，又f ′(x )＝－1x 2，∴－1x 20＝－1，∴x 0＝1或－1， ∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.]5．某质点的运动方程为s ＝1t 4(其中s 的单位为米，t 的单位为秒)，则质点在t ＝3秒时的速度为( )A ．－4×3－4米/秒B ．－3×3－4米/秒C ．－5×3－5米/秒D ．－4×3－5米/秒D [由s ＝1t 4得s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 4′＝(t －4)′＝－4t －5. 得s ′|t ＝3＝－4×3－5，故选D.]二、填空题6．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________.1 [因为f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝1x 且x >0，f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x ＝1，即2x 2－x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)．故x ＝1.]7．函数y ＝ln x 在x ＝2处的切线斜率为________．12 [∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12.] 8．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. －2 [∵f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.] 三、解答题9．若函数f (x )＝e xx 在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．[解] ∵f ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2.依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，即e c c ＋e cc －1c 2＝0，∴2c －1＝0，得c ＝12.10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．[解] 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.[能力提升练]1．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N，则f2 019(x)＝() A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos xD[f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，所以4为最小正周期，故f2 019(x)＝f3(x)＝－cos x．]2．若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64 B．32 C．16 D．8A[因为y′＝－12x－32，所以曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线方程为：y－a－12＝－12a－32(x－a)，由x＝0得y＝32a－12，由y＝0得x＝3a，所以12·32a－12·3a＝18，解得a＝64.] 3．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为() A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)C．(2,8) D.⎝⎛⎭⎪⎫－12，－18B[∵y′＝3x2，k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1.故P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]4．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.eln 3[设切点为(x0，y0)．因为y′＝3x ln 3，①所以k＝3x0ln 3，所以y＝3x0ln 3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln 3·x0＝3x0，②所以x0＝1ln 3＝log3 e.所以k＝eln 3.]5．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[解](1)因为y′＝2x.P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝4－12＋1＝1，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝12，所以切点M⎝⎛⎭⎪⎫12，14，与PQ平行的切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.。
高中数学导数的计算精选题目(附答案)
高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；#当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；!(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1./3.(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； …(4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ； (3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1);8．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6； (6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数．&(1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2；(4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．[12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x .(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1？＝S i n 2x 2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.·(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x .3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.:(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.—6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x )＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.!(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2.…(4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 【所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3.(3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x.11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。
高中数学选择性必修二 5 2 1基本初等函数的导数(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.2.1基本初等函数的导数要点一 几个常用函数的导数要点二【重点小结】(1)几个基本初等函数导数公式的特点①正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． ②指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数． ③对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数． (2)函数与其导函数奇偶性的关系 ①常数的导数是0.②奇函数的导函数为偶函数． ③偶函数的导函数为奇函数．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2.( ) (2)(log 3x )′＝13ln x.( )(3)⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ′＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x .( ) (4)若y ＝e 3，则y ′＝e 3.( ) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×2．(多选题)下列导数运算正确的是( )A ．(ln x )′＝xB ．(a x )′＝xa x －1C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－5x －6 【答案】CD【解析】由导数公式得C 、D 正确．3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x ＋y －2＝0 【答案】C【解析】y ′|x ＝0＝e x |x ＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A (0,1)，故切线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 4．函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 【答案】1【解析】f ′(x )＝cos x ，所以f ′(6π)＝1.题型一 利用导数公式求函数的导数 【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝x －3； (2)y ＝3x ；(3)y ＝ x x x ； (4)y ＝log 5x ；(5)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ；(6)y ＝sin π6；(7)y ＝ln x ； (8)y ＝e x .【解析】(1)y ′＝－3x －4；(2)y ′＝3x ln 3；(3)y ＝x ·x ·x 12＝xx 32＝x ·x 34＝x 78，∴y ′＝78x1-8；(4)y ′＝1x ln 5；(5)y ＝sin x ，y ′＝cos x ；(6)y ′＝0；(7)y ′＝1x；(8)y ′＝e x .不能用基本初等函数公式直接求导的，应先化为基本初等函数再求导． 【方法归纳】求简单函数的导数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 【跟踪训练1】求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (3)y ＝x x ；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1. 【解析】(1)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (3)y ′＝(x x )′＝(x32)′＝32x12＝32x ； (4)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .题型二 利用导数公式求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 【解析】∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e ，即切线斜率为1e .∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.【变式探究】本例中的曲线不变，求过点(0,0)的切线方程． 【解析】因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点Q (a ，b )．则切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝1a，又k ＝b －0a －0＝b a，且b ＝ln a∴a ＝e ，b ＝1，∴切线方程为x －e y ＝0. 【方法归纳】(1)求过点P 的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的；(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．【跟踪训练2】已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 垂直的曲线y ＝x 2的切线方程．【解析】∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|0x x ＝＝2x 0，又∵直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线垂直于直线PQ ，∴2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫－12，14.∴所求的切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0.易错辨析 混淆幂函数与指数函数求导公式致错【例3】曲线f (x )＝2x 在点(0,1)处的切线方程为________． 【答案】y ＝x ln 2＋1【解析】∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝2x ln 2，∴f ′(0)＝ln 2 故所求切线方程为y －1＝(x －0)ln 2 即y ＝x ln 2＋1. 【易错警示】 1.出错原因记错导数公式(a x )′＝a x ln a ，与幂函数y ＝x α的求导公式混淆. 2.纠错心得利用导数公式求导时，应先弄清是指数函数，还是幂函数.一、单选题1．若函数5()(2cos )sin 2f x a x x x =-+（其中a 为参数）在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值. 【解析】根据题意，()22259cos 2sin 2cos cos 4cos 22f x a x x x a x x '=+-+=-+()f x 在R 上单调递增 ()0f x ∴'≥ 在R 上恒成立令cos x t =，[]1,1t ∈-，则 ()f x '可写为 ()[]294,1,12g t at t t =-+∈-根据题意()g t 在[]1,1-上的最小值非负()()1010g g ⎧-≥⎪∴⎨≥⎪⎩解得 1122a -≤≤，所以选项B 正确故选：B.2．已知函数()tan f x x =，则4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭等于（ ）A ．12 BC ．1D ．2【答案】D 【分析】先对函数求导，然后求出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭即可【解析】由()sin tan cos x f x x x ==，得2222cos sin 1()cos cos x x f x x x+=='，所以2124cos4f ππ⎛⎫=='= ⎪⎝⎭， 故选：D3．已知函数()()2e e ln ex f x f x '=⋅⋅-（e是自然对数的底数），则()e f 等于（ ） A ．e 1- B ．21e-C ．1D ．11e-【答案】C 【分析】利用导数的运算可得出关于()e f '的方程，求出()e f '的值，可得出函数()f x 的解析式，进而可求得()e f 的值. 【解析】因为()()2e e ln e xf x f x '=⋅⋅-，则()()2e e 1e f f x x ''=-， 所以，()()1e 2e e f f ''=-，所以，()1e e f '=，故()2ln exf x x =-，因此，()e 2lne 11f =-=. 故选：C.4．函数()ln 25y x x =+的导数为（ ）A ．()2ln 25y x x '=+B ．25xy x '=+ C ．()ln 2525xy x x '=+++ D ．()2ln 2525xy x x '=+++ 【答案】D 【分析】利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数()ln 25y x x =+求导即可. 【解析】因为()ln 25y x x =+，所以()()()ln 25ln 25ln 25y x x x x x x ''⎡''=+=⎤⎡+++⎤⎣⎦⎣⎦()()()12ln 2525ln 252525xx x x x x x =++⋅⋅+=++++'. 故选：D.5．若()e ln2xf x x =，则()f x '等于（ ）A ．e e ln 22xx x x+B ．e ln 2xx x -C ．e e ln 2xxx x+D ．12e x x⋅【答案】C 【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得； 【解析】解：()()()ee ln 2e ln 2e ln 2xxx x f x x x x x'''=⋅+⋅=+.故选：C. 6．函数()1f x x=在2x =和3x =处的导数的大小关系是（ ） A ．()()23f f ''< B ．()()23f f ''> C ．()()23f f ''= D ．不能确定【答案】A 【分析】求出函数导数即可比较. 【解析】 ()1f x x =，()21f x x '∴=-，所以()()112,349f f ''=-=-，即()()23f f ''<.故选：A.7．给出下列命题：①ln 2y =，则12y ；②21y x=，则3227x y ==-'；③2x y =，则2ln 2x y '=；④2log y x =，则1ln 2y x '=.其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可 【解析】①中ln 2y =为常数函数，故0y '=，故①错误； 对于②，∵32y x '=-，∵3227x y ==-'，故②正确； 显然③④正确. 故选：C.8．下列导数运算正确的是（ ） A ．()121x x-'=B ．11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．()cos sin x x '=D ．()1ln 1x x x'+=+【答案】D 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可 【解析】因为()121x x -'=-，11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()cos sin x x '=-，()1ln 1x x x '+=+，所以选项A ，B ，C 均不正确，选项D 正确， 故选：D.二、多选题9．（多选）以下运算正确的是（ ）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()sin cos x x '=C ．()22ln 2x x '=D ．()1lg ln10x x =-' 【答案】BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式，依次计算判断即可 【解析】对于A ，因为1211()x x x -'⎛⎫'==- ⎪⎝⎭，所以A 不正确； 对于B ，因为()sin cos x x '=，所以B 正确； 对于C ，因为()22ln 2x x '=，所以C 正确； 对于D ，因为()1lg ln10x x '=，所以D 不正确. 故选：BC.10．下列求导运算不正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()555log x x x '=D ．()2cos 2sin x x x x '=-【答案】ACD 【分析】利用基本初等函数的导数公式和运算法则求解. 【解析】2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错误； 2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确； ()55ln 5xx'=，故C 错误；()22cos 2cos sin xx x x x x '=-，故D 错误．故选：ACD11．下列各式正确的是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()cos sin x x '=C ．()sin cos x x '=D ．'⎛ ⎝【答案】CD 【分析】直接根据导数的运算公式计算即可. 【解析】对于A ，sin 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故错误；对于B ，()cos sin x x '=-，故错误； 对于C ，()sin cos x x '=，故正确； 对于D ，'⎛=⎝ 故选：CD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。
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基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案）
选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则
一、选择题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()
A．1B．2
C．3D．4
答案]D
解析]y′＝(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)•(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.
2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()
A．x4B．x4－2
C．4x3－5D．x4＋2
答案]B
解析]∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1
∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.
3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是()
A.nn＋1
B.n＋2n＋1
C.nn－1
D.n＋1n
答案]A
解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，
∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，
即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
∴数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为：
Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
＝1－1n＋1＝nn＋1，
故选A.
4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案]C
解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.
5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()
A．6x5＋12x2B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2D．2(2＋x3)•3x
答案]A
解析]∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，
∴y′＝6x5＋12x2.
6．(2010•江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()
A．－1B．－2
C．2D．0
答案]B
解析]本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2 要善于观察，故选B.
7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝()
A．0B．－1
C．－60D．60
答案]D
解析]∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9•(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.
8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()
A．22cos2x－π4B．cos2x－sin2x
C．sin2x＋cos2xD．22cos2x＋π4
答案]A
解析]y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′
＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－π4.
9．(2010•高二潍坊检测)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()
A．3B．2
C．1D.12
答案]A
解析]由f′(x)＝x2－3x＝12得x＝3.
10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为()
A．－15B．0
C.15D．5
答案]B
解析]由题设可知f(x＋5)＝f(x)
∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)
又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)
即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0
故f′(5)＝f′(0)＝0.故应选B.
二、填空题
11．若f(x)＝x，φ(x)＝1＋sin2x，则fφ(x)]＝_______，φf(x)]＝________. 答案]2sinx＋π4，1＋sin2x
解析]fφ(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2
＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋π4.
φf(x)]＝1＋sin2x.
12．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
答案]π6
解析]f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，
f(x)＋f′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)
＝2sin3x＋φ＋5π6.
若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，
即0＝2sinφ＋5π6，∴φ＋5π6＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.
13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．
答案]32x(1＋2x2)7
解析]令u＝1＋2x2，则y＝u8，
∴y′x＝y′u•u′x＝8u7•4x＝8(1＋2x2)7•4x
＝32x(1＋2x2)7.
14．函数y＝x1＋x2的导数为________．
答案](1＋2x2)1＋x21＋x2
解析]y′＝(x1＋x2)′＝x′1＋x2＋x(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.
三、解答题
15．求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；
(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.
解析](1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x•2sinx•(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.
(2)y′＝1x＋1＋x2•(x＋1＋x2)′
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.
(3)y′＝(ex＋1)′(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)′(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2.
(4)y′＝(x＋cosx)′(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)′(x＋sinx)2
＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2
＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.
16．求下列函数的导数：
(1)y＝cos2(x2－x)；(2)y＝cosx•sin3x；
(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2x－1x＋1.
解析](1)y′＝cos2(x2－x)]′
＝2cos(x2－x)cos(x2－x)]′
＝2cos(x2－x)－sin(x2－x)](x2－x)′
＝2cos(x2－x)－sin(x2－x)](2x－1)
＝(1－2x)sin2(x2－x)．
(2)y′＝(cosx•sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.
(3)y′＝loga(x2＋x－1)＋x•1x2＋x－1logae(x2＋x－1)′＝loga(x2＋x－1)＋
2x2＋xx2＋x－1logae.
(4)y′＝x＋1x－1x－1x＋1′log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x＋1)2
＝2log2ex2－1.
17．设f(x)＝2sinx1＋x2，如果f′(x)＝2(1＋x2)2•g(x)，求g(x)．
解析]∵f′(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx•2x(1＋x2)2
＝2(1＋x2)2(1＋x2)cosx－2x•sinx]，
又f′(x)＝2(1＋x2)2•g(x)．
∴g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.
18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)
(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．
解析](1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则y′x＝y′u•u′x＝f′(u)•－1x2＝－1x2f′1x.
解法2：y′＝f1x′＝f′1x•1x′＝－1x2f′1x.
(2)解法1：设y＝f(u)，u＝v，v＝x2＋1，。