高中数学讲义微专题73 求参数的取值范围

微专题73 求参数的取值范围一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。

常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b +=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈-② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b-=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b+< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④ 分式函数。

若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。

（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。

3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 点()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1A Q 斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线Q A 2斜率的取值范围；解：（1）c e a ==::a b c ∴=∴椭圆方程为：222213x y b b +=代入()3,1可得：24b =22312a b ∴== ∴椭圆方程为：221124x y +=（2）由（1）可得：()()12,A A - 设(),Q x y ， 则k =2A Q k =22212A Qy k k x ∴⋅==- Q 在椭圆上 ()222211121243x y y x ∴+=⇒=- 2221123A Qy k k x ∴⋅==--213A Q k k∴=-11,23k ⎛⎫∈--⎪⎝⎭12,133k ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭即22,13A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>的离心率为2，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OAOB tOP +=（O 为坐标原点），当23PA PB -<时，求实数t 的取值范围 解：（1）2c e a == ::a b c ∴= 2EGF 的周长4C a a ==⇒=1b ∴=∴椭圆方程为：2212x y += （2）设直线AB 的方程为()2y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x yOA OB tOP += 1212x x txy y ty+=⎧∴⎨+=⎩联立直线与椭圆方程：()()222222212882021y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ ()()()22228412820k k k ∴∆=-+->，解得：212k <()23121212222884,44212121k k kx x y y k x x k k k k k +=+=+-=-=-+++()()222821421k x t k k y t k ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=-⎪+⎩，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2221612k t k∴=+ 由条件23PA PB -<可得：253AB <12AB x ∴=-<()()22121220149kx x x x ⎡⎤∴++-<⎣⎦，代入22121222882,2121k k x x x x k k -+==++可得： ()()()222222228822014411413021219k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-+-⋅<⇒-+>⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦214k ∴>211,42k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭22221618=16,411232k t k k ⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 262,,233t ⎛⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭⎝⎭例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的离心率为2，且在所有（1）求椭圆方程（2）若过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,EF （E 在,B F 之间），求三角形OBE 与三角形OBF 面积比值的范围 解：（1）2c e a == ::a b c ∴=由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为22b a =1,b a ∴==∴椭圆方程为2212x y += （2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y112211,22OBEOBFSOB x x S OB x x ∴=⋅⋅==⋅⋅= 1122OBE OBFx S x Sx x ∴==联立直线与椭圆方程：()222221286022y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()()22238241202k k k ∴∆=-+>⇒>12122286,01212k x x x x k k+=-=>++ 12,x x ∴同号 ()()22221212212212832122631212k x x k x x k x x x x k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭∴===++++232k > ()22232321164,1333122k k k⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 122116423x x x x <++< 设120x t x =>，所解不等式为：124111612333t t tt t t⎧++>⇒≠⎪⎪⎨⎪++<⇒<<⎪⎩()121,11,33x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()1,11,33OBE OBFS S⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程 （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C 上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围解：（1）3c e a a ==⇒= :2l y x =+与圆222x y b +=相切O l d b -∴== b ∴=3a c = 22222b a c c ∴=-=即21c =，解得1c =a ∴=221:132x y C ∴+=（2）由（1）可得1:1l x =-线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M2PM MF ∴=即12M l d MF -=M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则所求QS 为关于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ⋅=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。

解：2C 与椭圆的交点为()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222121121016y y y QR RS y y y -∴⋅=+-=，因为12y y ≠，化简可得：21116y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ①考虑QS ⎛==由①可得22221121116256323264y y y y y ⎛⎫=+=++≥+= ⎪⎝⎭2264y ∴≥时，可得14QS =≥)8QS ⎡∴∈+∞⎣例5：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率13e =，左焦点为1F ，椭圆上的点到1F 距离的最大值为8 （1）求椭圆C 的方程（2）在（1）的条件下，过点N 的直线l与圆2236xy +=交于,G H 两点，l 与点C 的轨迹交于,P Q 两点，且GH ⎡∈⎣，求椭圆的弦RQ 长的取值范围解：（1）由离心率可得：13c e a == ::3:a b c ∴= 依题意可得：8a c += ∴可得：6,2a c ==22232b a c ∴=-=∴椭圆方程为：2213632x y -= （2）由（1）可得椭圆方程为2213632x y += 不妨设()2,0N①当直线斜率不存在时，GH =323RQ = ② 当直线斜率存在时， 设直线():2l y k x =-O l d -=在圆2236x y +=中 2222113624d r GH GH ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭GH ⎡∈⎣ ∴可得：222424241k d k ≤≤⇒≤≤+解得：21k ≥设()()1122,,,R x y Q x y ，联立直线与椭圆方程：()22213632y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()2221213632x k x +-= ()22229836362880k x k x k ∴+-+-=()22212122223683636288,989898k k k x x x x k k k --∴+===+++12RQ x ∴=-====22969698k k +==+222121212128989k k k=-=-++ 由21k ≥可得：32192317RQ <≤综上所述：RQ 的取值范围是32192,317⎡⎤⎢⎥⎣⎦例6：已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的两个焦点12,F F ，动点P 在椭圆上，且使得190F PF ∠=的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为22+（1）求椭圆1C 的方程（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线22x =-上的动点T ，作圆2C 的两条切线，设切点分别为,A B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点,C D ，求AB CD的取值范围解：（1）使得190F PF ∠=的点P 恰有两个12F PF ∴∠的最大值为90P ∴为短轴顶点时，190F PF ∠=b c ∴= 2222222a b c b a b c ∴=+=⇒==P 到焦点1F 的距离的最大值为22a c += 2,2a c ∴==∴椭圆1C 的方程：22142x y += （2）由椭圆方程可得圆222:4C x y +=设()()()112222,,,,,T t A x y B x y -，由圆的性质可得：1122:4,:4AT x x y y BT x x y y +=+=代入()T t -可得：112244ty ty ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ ,A B ∴满足方程40ty -+-=则O 到AB的距离O AB d -=AB ∴==下面计算CD：联立方程()2222416816024ty t y ty x y ⎧-+=⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩ 设()()3344,,,C x y D x y343422816,1616t y y y y t t ∴+=⋅=-++()21224816t CD y t +∴=-==+()()22221616488ABt t CD t t ++∴==++ 不妨设()288m t m =+≥ABCD ==设1108s s m ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，所以AB CD = 设()3112256f s s s =+-()'211276808f s s s =-=⇒=()f s ∴在10,8⎛⎫⎪⎝⎭单调递增所以()(]1,2f s ∈，即(ABCD∈ 例7：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且离心率12e =（1）求椭圆方程（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线过定点1,08G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求k 的取值范围解：（1）12c e a ==可得：::2a b c = ∴椭圆方程为2222143x y c c +=，代入31,2⎛⎫⎪⎝⎭可得：22219111443c c c+⋅=⇒= ∴椭圆方程为：22143x y += 设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程可得：()2222234123484120x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩ ()()()()222222222843441264416481236km k m k m k m k m ∴∆=-+-=--+-()2244812360k m =-+>2243m k ∴<+设MN 中点()00,P x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭()1212122286,24343km mx x y y k x x m k k +=-+=++=++ 2243,4343kmm P k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭则MN 的中垂线为：223144343m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，代入1,08⎛⎫⎪⎝⎭可得： ()21438m k k=-+，代入2243m k <+可得： ()222143438k k k ⎡⎤-+<+⎢⎥⎣⎦ 2221436420k k k ∴+<⇒>k ∴>k < 即k的取值范围是5,,1010⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例8：在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ,抛物线C 的方程为y x 42=,线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程和焦点坐标F ;（2）当8=AB 时，设圆)0)1(:222>=-+r r y x D （,若存在且仅存在两条动弦AB ,满足直线AB 与圆D 相切，求半径r 的取值范围？解：（1）由抛物线y x 42=可得：()0,1F ，准线方程：1y =-（2）设直线:AB y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程：224404y kx bx kx b x y=+⎧⇒--=⎨=⎩ 12124,4x x k xx b ∴+==-1282AB x ∴=-==⇒=2241b k k∴=-+ AB 与圆相切D AB d r -∴==r ∴=，不妨令1t t=≥则34r t t =-，令()3334,144,t t t f t t t t t t⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪->⎪⎩()f t ∴在⎡⎣单调递减，在)+∞单调递增()13f =则若关于k 的方程有两解，只需关于t 的方程有一解3r ∴>时，y r =与()y f t =有一个交点 3r ∴>例9：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为15，12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且12PF F 的周长是8215+ （1）求椭圆C 的方程 （2）设圆()224:9T x t y -+=，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于,E F 两点，当圆心在x 轴上移动且()1,3t ∈时，求EF 的斜率和取值范围解：（1）154c e a == ::4:1:15a b c ∴= 12PF F 的周长1212228215C F F PF PF a c =++=+=+ 4,15a c ∴== 2221b a c ∴=-=∴椭圆方程为：22116x y += （2）由椭圆方程可得：()0,1M ，设过M 且与圆T 相切的直线方程为()11,2i y k x i =+=21231i i k t d r k +∴===+ ()()22231219141i i i i k t k k t k ∴+=+⇒+=+，整理可得：()22941850i i tk tk -++=∴两条切线斜率12,k k 是方程()22941850t k tk -++=的两根联立直线ME 与椭圆方程可得：12211616y k x x y =+⎧⎨+=⎩消去y 可得：()2211116320k x k x ++=12132116E k x k ∴=-+，同理可得：22232116F k x k =-+ ()()121211E F E F E FEF E F E F E Fk x k x y y k x k x k x x x x x x +-+--∴===---12122212121212221232321161161163232116116k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅--- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫--- ⎪++⎝⎭由()22941850t k tk -++=可得：121222185,9494t k k k k t t +=-=-- 2221861946528283116394EF tt t k t t t t --∴===⋅--⋅-- 设()16283f t t t=⋅-，可知()f t 为增函数，()1,3t ∈6,1825EF k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例10：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其中12,F F 为左右焦点，且离心率为33e =，直线l 与椭圆交于两不同点()()1122,,,P x y Q x y ，当直线l 过椭圆C 右焦点2F 且倾斜角为4π时，原点O 到直线l 的距离为2 （1）求椭圆C 的方程（2）若OP OQ ON +=，当OPQ 的面积为62时，求ON PQ ⋅的最大值 解：（1）设直线:l y x c =-2122O l d c -∴==⇒=c e a == a ∴== 2222b a c ∴=-=∴椭圆方程为22132x y += （2）若直线l 斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yOP OQ ON += ()1212,N x x y y ∴++联立方程：22236y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 可得：()22236x kx m ++=，整理可得： ()222326360kx kmx m +++-=()()()()2222264323624320km k m k m ∆=-+-=+->2232k m ∴+>2121222636,3232km m x x x x k k -∴+=-=++()12122264223232km m y y k x x m k m k k ⎛⎫∴+=++=⋅-+= ⎪++⎝⎭ 2264,3232kmm N k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭考虑PQ ==O l d -=21122322OPQO l SPQ d k -∴=⋅=⋅=+2232k =+()()()()()22222222222432323243220m k mkk m k m∴+-=+⇒+-++=即()2223220k m+-=22322k m ∴+=2222646432,,,323222kmm km m k N k k m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222222229466426k m ON m m m m m -∴=+=+=-()()()22222224222212413232244432m m k k m PQ m m k ⎛⎫-+ ⎪++-⎝⎭====++ 222222222642264252m m ON PQ m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥∴⋅=-+≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦等号成立条件：2222642m m m -=+⇒=± 2m ∴=±时ON PQ ⋅的最大值是5当斜率不存在时，,P Q 关于x 轴对称，设()00,P x y 00,0x y >00001622OPQSx y x y ∴=⋅==，再由220132x y +=可得：00621x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩可计算出265ON PQ ⋅=< 所以综上所述ON PQ ⋅的最大值是5 三、历年好题精选1、已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，12,F F 分别是双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12PF PF OP+的取值范围是（ ）A. []0,6B. (2,6⎤⎦C. 16,22⎛⎤⎥⎝⎦ D.60,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、（2015，新课标I ）已知()00,M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）A. 33,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 33,66⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 2222,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 2323,33⎛⎫- ⎪⎝⎭3、（2014，四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______4、（2016，广东省四校第二次联考）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ） A.3B. 1C. 233D. 25、（2016，贵州模拟）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 是线段2QF 的中点，若果2,,A Q F 三点的圆恰好与直线:330l x y --=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点()0,2M 的直线1l 与椭圆C 交于,G H 两点，且MG MH >.若实数λ满足MG MH λ=，求1λλ+的取值范围.6、（2015，山东理）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q①求||||OQ OP 的值；②求ABQ ∆面积最大值. 7、（2014，四川）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 （1）求椭圆C 的标准方程（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点,P Q① 证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点） ② 当TF PQ最小时，求点T 的坐标8、（2014，湖南）如图，O 为坐标原点，椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知12e e =，且 （1）求12,C C 的方程（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦,AB M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值9、（2014，山东）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当A 的横坐标为3时，ADF 为正三角形 （1）求C 的方程（2）若直线1l l ∥，且1l 和C 有且只有一个公共点E ① 证明直线AE 过定点，并求出定点坐标② ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由10、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （1）求椭圆C 的方程;（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OMAEAD +的最小值.11、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2 （1）若椭圆C 经过点)1,26(，求椭圆C 的方程； （2）设()2,0A -，F 为椭圆C 的左焦点，若椭圆C 存在点P ，满足2=PFPA，求椭圆C 的离心率的取值范围；12、已知定点)0,3(),0,3(21F F -，曲线C 是使||||21RF RF +为定值的点R 的轨迹，曲线C 过点)1,0(T .（1）求曲线C 的方程；（2）直线l 过点2F ，且与曲线C 交于PQ ，当PQ F 1∆的面积取得最大值时，求直线l 的方程； （3）设点P 是曲线C 上除长轴端点外的任一点，连接1PF 、2PF ，设21PF F ∠的角平分线PM 交曲线C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围.13、已知圆(222:M x y r -+=(0)r >,若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为圆M的圆心，离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）若存在直线:l y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于,A B 两点，与圆M 分别交于,G H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 的半径r 的取值范围．14、已知1F 、2F 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点，且离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F ∆的内切圆面积的最大值为43π.(1) 求椭圆的方程；(2) 若,,,A B C D 是椭圆上不重合的四个点，满足向量1F A 与1FC 共线，1F B 与1F D 共 线，且0AC BD ⋅=，求||||AC BD +的取值范围. 习题答案：1、答案：B解析：设(),P x y ，其中0x >，由焦半径公式可得：12,PF ex a PF ex a =+=-12PF PF OP+∴==224,2x y e =-=12PF PF OP+===因为28x ≥所以解得(]122,6PF PF OP+=由对称性可知：当0x <时，(]122,6PF PF OP+∈2、答案：A解析：由22:12x C y -=可得())12,F F，所以()100,,MF x y =--()2003,MF x y =--，则2212030MF MF x y ⋅=+-<，由220012x y -=得：220022x y =+代入到不等式：2120310MF MF y ⋅=-<，解得033y ⎛∈-⎝⎭3、答案：5解析：由两条动直线()13x mym x y =-⎧⎨-=-⎩ 可得两条信息：①两个定点坐标()()0,0,1,3A B ，且两条直线垂直，垂足即为P ，所以PAB 为直角三角形，可知22210PA PBAB +==，2252PA PBPA PB +≤⇒≤=，等号成立当且仅当PA PB = 4、答案：A解析：过,A B 分别作准线的垂线，垂足设为,Q P设,AF a BF b ==，由抛物线定义可得：,AF AQ BF BP == 在梯形AQPB 中，可得MN 为中位线()()11222a bMN AQ BP AF BF +∴=+=+= 由余弦定理可知在ABF 中，222222cos AB AF BF AF BF AFB a b ab =+-=++()2222AB a b ab a b ab =++=+-22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()()()2222344a b AB a b a b +∴≥+-=+ ()()22221143334a b MN MN AB AB a b +≤=⇒≤+ 5、解析：设椭圆C 的半焦距为()0c c > 由1F 为线段2F Q 中点，2AQ AF ⊥所以2,,A Q F 三点圆的圆心为()1,0F c -，半径为2c a =又因为该圆与直线l 相切，所以3212c c c --=∴= 所以224,3a b ==，故所求椭圆方程为22143x y +=； （2）若1l 与x 轴不垂直，可设其方程为2y kx =+，代入椭圆方程22143x y += 可得()22341640k x kx +++=，由0∆>，得214k > 设()()1122,,,G x y H x y ，根据已知，有12x x λ=于是()1222212216134134k x x x k x x x k λλ-⎧+=+=⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩消去2x ，可得()22216434k k λλ+=+ 因为214k >，所以()22264644,163344k k k =∈++ 即有()()21124,16λλλλ+=++∈，有()12,14λλ+∈6、解析：（1）椭圆离心率为22c e a ∴==，::2:1:a b c = ∴左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F：22()9,x y +=圆2F：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<<，交点，224134b b =⋅， 整理得424510b b -+=，解得21,b =214b =（舍去） 故21,b =24,a =椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）① 椭圆E 的方程为221164x y +=， 设点00(,)P x y ，满足220014x y +=，射线000:(0)yPO y x xx x =<， 代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==. ② 点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222(14)84160k x kmx m +++-= 2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->||AB =2211||||||36221414m m S AB d k k ∆==⋅⋅⋅=++ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+，当且仅当22||82m m k =+等号成立.而直线y kx m =+与椭圆C ：2214x y +=有交点P ，则2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解，即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解， 其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥，则上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，则2|614m S k ∆==+在(0,1]为增函数， 于是当2214k m +=时max S ∆==ABQ ∆面积最大值为12.7、解析：（1）由已知可得：24a c ⎧=⎪⎨==⎪⎩解得：226,2a b ==椭圆方程为：22162x y += （2）① 由（1）可得：()2,0F -，设()3,T m -()32TF m k m -∴==----所以设:2PQ x my =-，()()1122,,,P x y Q x y ，联立椭圆方程可得：()222213420622x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--=⎨⎪=-⎩12122242,33m y y y y m m ∴+==-++ ()121221243x x m y y m ∴+=+-=-+ 设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为2264,33m m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭3OM mk ∴=-OT 的斜率3OT m k =-M ∴在OT 上，即OT 平分PQ ②由①可得：TF =由弦长公式可得：12PQ y y =-=)2213mm+=+2TFPQ∴===3≥=等号成立当且仅当224111m mm+=⇒=±+TFPQ∴最小时，T点的坐标为()()3,1,3,1---8、解析：（1）由12e e=可得：22a a a⋅== 44422324a ba a b∴-=⇒=:a b∴=())24,0,,0Fb F∴241F F b=-=1b∴=a∴=222212:1,:122x xC y C y∴+=-=（2）由（1）可得：()11,0F-，设直线:1AB x my=-，联立方程可得：()22221221012x mym y myxy=-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩设()()1122,,,A x yB x y12122221,22my y y ym m∴+==-++()12122422x x m y ym∴+=+-=-+AB∴中点222,22mMm m⎛⎫-⎪++⎝⎭:2mPQ y x ∴=-即20mx y += 与双曲线联立方程可得：()2222222224224,2212m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪⎪⇒-=⇒==⎨--⎪-=⎪⎩PQ ∴== 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d2d ∴=,A B 在直线20mx y +=的异侧()()1122220mx y mx y ∴++<()2112211221222222mx y mx y mx y mx y m y y ∴+++=+--=+-1222y y m -==+2d∴==122APBQS PQ d ∴=⋅⋅==四边形 由2022m <-≤ 0m ∴=时，min 2S = 综上所述：四边形APBQ 面积的最小值为29、解析：（1）依题意可知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()(),00D t t >，则FD 的中点为2,04p t +⎛⎫⎪⎝⎭ FA FD =由抛物线定义可知：322p pt +=-，解得：3t p =+或3t =-（舍） 2324p tp +=⇒= ∴抛物线方程为：24y x = （2）① 由（1）可得()1,0F ，设()()00,,,0D A x y D xFA FD = 00112D D x x x x ∴-=+⇒=+ ()02,0D x ∴+AB ∴的斜率为02AB y k=-直线1l l ∥设直线01:2y l y x b =-+，代入抛物线方程： 200880y b y y y +-= 1l 和C 有且只有一个公共点E2000643220b b y y y ∴∆=+=⇒=- 设(),E E E x y ，则可得：20044,E E y x y y =-= 当24y ≠时，0020044E AE E y y yk x x y -==--()000204:4y AE y y x x y ∴-=-- 2004y x =，整理可得：()020414y y x y =-- AE ∴恒过点()1,0F 当24y =时，可得：:1AE x =，过点()1,0F AE ∴过点()1,0F② 由①可得：AE 过点()1,0F0012AE AF EF x x ∴=+=++ 设:1AE x my =+()00,A x y 在直线AE 上，001x m y -∴=设()11,B x y 直线AB 的方程为()00000222y y y x x x y x y -=--⇒=-++代入抛物线方程可得：2008840y y x y +--= 011010000884,4y y y y x x y y x ∴+=-⇒=--=++414B AE x d -⎫+∴===+0011422ABESx x ⎫⎛⎫∴=⋅+++ ⎪⎝⎭00122,2x x +≥⋅=+≥=()14222162ABES∴≥⋅⋅+=，等号成立当且仅当00011x x x =⇒=⎨⎪=⎪⎩10、解析：（1）由左顶点为(40)A -，可得4a =，又12e =，所以2c = 又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=.（2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=.化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+.当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++， 所以222161224,4343()D k k k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k kk k -++，则3(0)4OP k k k-=≠直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k =-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(3,0)-. （3）因为OMl ，所以OM 的方程可设为y kx =，由2211612x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x =由OMl ，得2D A E A D AM Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -+=+=≥=即k =所以当k =AD AE OM+的最小值为 11、解析：（1）依题意可得：221c c =⇒=221a b ∴=+将)1,26(代入椭圆方程可得：223112a b+= 222213112a b ab ⎧=+⎪∴⎨+=⎪⎩解得：2232a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆方程为22132x y += （2）可知()1,0F -，设()00,P x y ，可知：2200221x y a b+=由2=PFPA可得：222PA PF =()()22220000221x y x y ⎡⎤∴++=++⎣⎦，整理可得：2202x y += 联立方程：220022002222211x y x y ab a b ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，可解得：()()22222222202213x a a b a a a a a =-=--=-[]0,x a a ∈- 220x a ∴≤，即()22203a a a ≤-≤223a a ∴≤≤⇒≤≤12c e a a ∴==∈⎣⎦12、解析：（1）3241)3(22122121=>=+=+=+F F TF TF RF RF 2分∴曲线C 为以原点为中心，21,F F 为焦点的椭圆设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ，则322=c ，1,3,2===∴b c a∴曲线C 的方程为1422=+y x 4分 （2）设直线l 的为,3+=my x 代入椭圆方程1422=+y x ，得 0132)4(22=-++my y m ，计算并判断得0>∆，设),(),,(4433y x Q y x P ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+24324341432m y y m m y y ∴22432432432434)1(44))[(1()()(mm y y y y m y y x x PQ ++=-++=-+-=1F 到直线l的距离d =21m t +=，则1≥t∴23343344134||212221≤+=+=++⨯=⋅=∆tt t t m m d PQ S PQ F当2,2,322±===m m t 即时，面积最大∴PQ F 1∆的面积取得最大值时，直线l 的方程为：0x +=和0x -= 9分 11||||PF PM PF PM ⋅=22||||PF PM PF PM ⋅,11||PF PM PF ⋅=22||PF PM PF ⋅ 设00(,)P x y 其中204x ≠，将向量坐标代入并化简得： m （23000416)312x x x -=-，13、解析：(1)设椭圆的焦距为2C ，因为,c a =, 1,1c b ∴==,所以椭圆C 的方程为2212x y +=. (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,联立直线与椭圆方程得：22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩22(12)20k x ⇒+-=1212220,12x x x x k ⇒+==-+,则||AB ==)到直线l 的距离d =||GH ∴=显然若点H 也在直线AB 上,则由对称性可知,直线y kx =就是y 轴与已知矛盾,∴要使得|AG|=|BH|,只要|AB|=|GH|,∴=42422(1)231k r k k ⇒=+++,当0k =时,r =当k 0≠时, 222212(1)1123()r k k =+++,22221110()3()22k k k >⇒++>⇒222110112()3()2k k<<++r ⇒<<r ≤<14、解析：(1)由几何性质可知：当12PF F ∆内切圆面积取最大值时， 即12PF F S ∆取最大值，且12max 1()22PF F S c bbc ∆⋅⋅=.由243r ππ=得r =又1222PF F C a c ∆=+为定值，12122PF F PF F r S C ∆∆=， 综上得22bca c =+又由12ce a ==，可得2a c=，即b =， 经计算得2c =，b =，4a =，故椭圆方程为2211612x y +=. (2) ①当直线AC 与BD 中有一条直线垂直于x 轴时，||||6814AC BD +=+=. ②当直线AC 斜率存在但不为0时，设AC 的方程为：(2)y k x =+，由 22(2)11612y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y可得：2222(34)1616480k x k x k +++-=，代入弦长公式得： 2224(1)||34k AC k +=+，同理由221(2)11612y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 可得2222111(34)1616480x x k k k+++-=， 代入弦长公式得：2224(1)||34k BD k +=+， 所以2222222168(1)168||||11(34)(43)121(1)k AC BD k k k k ++==+++-++ 令21(0,1)1t k =∈+，则24912(12,]4t t -++∈，所以96||||[,14)7AC BD +∈，由①②可知，||||AC BD +的取值范围是96[,14]7.。