高二数学解三角形应用举例2
【创新设计】2022-2021学年高二数学人教B版必修5学案：1.2 应用举例(二)
1．2 应用举例(二)[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题．[学问链接] 有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用格外广泛，本节课我们来争辩正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面几何方面的应用．要点一 测量角度问题例1 如图在海岸A 处发觉北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B 处有一艘走奉命以103私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃跑．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里． 在△ABC 中，由余弦定理， 得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC ＝6(海里)． 又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题肯定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后依据条件，画出示意图，转化为三角形问题．跟踪演练1 甲船在A 点发觉乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 解 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝ACsin B 得：sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 要点二 正、余弦定理在几何中的应用例2 如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？解 设∠AOB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理， 得AB 2＝12＋22－2×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)，于是，四边形OACB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △ABC＝12OA ·OB ·sin α＋34AB 2＝12×2×1×sin α＋34(5－4cos α) ＝sin α－3cos α＋543＝2sin(α－π3)＋543.由于0<α<π，所以当α－π3＝π2，α＝56π，即∠AOB ＝56π时，四边形OACB 面积最大．规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练2 如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC边上的高AD 的长．解 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，x >0， 由正弦定理得7x sin C ＝8xsin B .∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32.∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不合要求)． 由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5. ∴AB ＝21或AB ＝35，在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ，∴AD ＝123或20 3.1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观看站C 的距离相等，灯塔A 在观看站C 的北偏东40°，灯塔B 在观看站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析 如图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危急区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危急区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B解析 设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km ，AP ＝x . 在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ， 即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°， 化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1.故选B.3．一艘海轮从A 处动身，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 n mile B ．10 3 n mile C ．20 2 n mile D ．20 3 n mile答案 A解析 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°， ∠ABC ＝105°，AB ＝40×12＝20(n mile)．∴∠BCA ＝45°.∴由正弦定理可得AB sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(n mile)．4．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则AB ＝________.答案 43解析 在△ADC 中，已知AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则由S △ADC ＝12·AC ·AD ·sin ∠DAC ，求得sin ∠DAC ＝12，即∠DAC ＝30°，∴ ∠BAC ＝30°.而∠ABC ＝60°，故△ABC 为直角三角形； ∵ AC ＝6，∴ AB ＝AC cos 30°＝632＝4 3.1．在求解三角形中，我们可以依据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必需检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先争辩，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．一、基础达标1．从高出海平面h m 的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为 ( )A ．2h m B.2h m C.3h m D ．22h m 答案 A解析 如图所示，BC ＝3h m ，AC ＝h m ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (m)．2．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km 的速度向正北航行，同时，乙船自B 动身以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ) A.1507分钟 B.157小时 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟答案 A解析 设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ， 两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x －514)2－257＋100∴当x ＝514小时＝1507分钟，y 2有最小值．∴y 最小．3．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处40°，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为________ km. 答案6－1解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.4．在平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是________． 答案 16解析 设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b2－2ab cos α＝17，a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65. 解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16.5．两座灯塔A 和B 与海洋观看站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观看站C 的北偏东20°，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为________km. 答案3a解析 由于灯塔A 在观看站C 的北偏东20°，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°，所以∠ACB ＝120°.又由于AC 和BC 的距离都是a km ，由余弦定理，得AB 2＝a 2＋a 2－2×a ×a ×cos 120°＝3a 2，所以A ，B 的距离是3a km.6.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如右图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC ＝2.57 cm ，CE ＝3.57 cm ，BD ＝4.38 cm ，B ＝45°，C ＝120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm)．解 如下图所示，将BD ，CE 分别延长相交于一点A ，在△ABC 中，已知BC 的长及角B 与角C ，可以通过正弦定理求AB ，AC 的长．将BD ，CE 分别延长相交于一点A ，在△ABC 中，BC ＝2.57 cm ，B ＝45°，C ＝120°， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋120°)＝15°.∵BC sin A ＝AC sin B ，∴AC ＝BC sin B sin A ＝2.57sin 45°sin 15°. 利用计算器算得AC ≈7.02(cm)． 同理，AB ≈8.60(cm)．答 原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.7．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°. 求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°.由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile.(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°.解得：CD ＝83(n mile)．即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 二、力量提升8．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/时． 答案 20(6－2) 解析 由题意，得∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)(海里)．则v 货＝20(6－2) (海里/时)．9．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，马上测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇马上以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间． 解 如图所示，设所需时间为t 小时， 则AB ＝103t 海里，CB ＝10t 海里，在△ABC 中，依据余弦定理，则有 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°， 整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103(海里)，BC ＝10(海里)， 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°AB ＝10×32103＝12，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.10．为保障高考的公正性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点四周1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的大路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿大路行驶，问最长需要多少分钟检查员开头收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如图所示，考点为A ，检查开头处为B ， 设大路上C ，D 两点到考点的距离为1千米． 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)， ∠ABC ＝ 30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)． ∵BC12×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 所以最长需要5分钟检查员开头收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．11．某工厂生产产品后，留下大量中心角为60°，半径为R 的扇形边角料，现要利用边角料，从中剪裁出矩形毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？解 如图所示，矩形有两个顶点在半径OA 上，设∠AOP ＝θ， 则PM ＝R sin θ，∵扇形中心角为60°， ∴∠PQO ＝120°.在△OPQ 中，由正弦定理， 得OP sin 120°＝PQsin (60°－θ)，即PQ ＝23R sin(60°－θ)． ∴矩形MPQR 的面积为 S 1＝PM ·PQ ＝23R 2sin θsin(60°－θ)， sin θsin(60°－θ)＝sin θ(32cos θ－12sin θ) ＝32sin θcos θ－12sin 2 θ ＝34sin 2θ－1－cos 2θ4 ＝34sin 2θ＋14cos 2θ－14＝12sin(2θ＋30°)－14， 当sin(2θ＋30°)＝1时，取得最大值14，即θ＝30°时，sin θsin(60°－θ)≤14.此时S 1＝23R 2sin θsin(60°－θ)≤36R 2，故θ＝30°时，S 1取最大值36R 2，由θ＝30°确定P 点，通过做平行线不难确定出另三点． 三、探究与创新12．现有一块直径为30 cm 的圆形钢板，需截去直径分别为20 cm,10 cm 的圆形钢板各一块，现需在剩余的钢板中再截出同样大小的圆形钢板两块，问这两块钢板的半径最大为多少？解 如图，设⊙A ，⊙B 分别是直径为20 cm 和10 cm 的圆，⊙D 是直径为30 cm 的圆，则⊙A ，⊙B 相外切且与⊙D 内切，再设最终截下的两个最大的圆为⊙C ，⊙E ，则它们与⊙A ，⊙B 相外切，且与⊙D 相内切，连接AB 、AC 、BC 、CD .设⊙C 的半径为r ，在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝10＋r ， BC ＝5＋r ，AD ＝5，CD ＝15－r ， 由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝152＋(10＋r )2－(5＋r )22×15×(10＋r )＝30＋r 30＋3r .在△ADC 中，cos ∠DAC ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC＝52＋(10＋r )2－(15－r )22·5·(10＋r )＝5r －10r ＋10.故30＋r30＋3r ＝5r －10r ＋10，整理得7r 2＋40r －300＝0， ∴r ＝307或r ＝－10(舍去)．所以在剩余的钢板中还可以截出半径最大为307cm 的同样大小的圆形钢板两块．。
高二数学 解三角形和不等式
1 1 x2y x2y 3 2y x 32 2
xy x
y
xy
当且仅当 2 y x ．再由 x＋2y＝1 解得 xy
x 2 1， y 1 2 ． 2
1、若 1 ＜ 1 ＜ 0 ，则下列结论不正确的是( D )
ab
A. a2 ＜b2
B. ab＜b2
C. b a ＞2 ab
3
3
Q 如图可知，当直线y - 2 x z 33
经过可行域上的点M时，直线在
y轴上的截距 z 最大，即z最大 3
解方程组
x 2y 8 3x y 9
得
x
y
2 3
，即
M
2,3
所以zmax=2x+3y=4+9=13=1.3(万元)
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获
最大利润1.3万元。
2、若 logx 2 log y 2 0，则下列不等式中成立的是（ D）
1
A. x 2
1
y2
B.
( 1 )x y 3
3 x y
C. ( 1 )1 x 3 1 y
3
D.
( 1 )1 x 3
3 1 y
log x 2 log y 2 0 ? 1 x y ?
1、已知 a b 0, c d 0 ，那么下列判断中
B
C
基本不等式的变形：
a2 b2 2ab ab a2 b2 2
a b 2 ab ab a b 2
ab ( a b )2 a2 b2
2
2
4. 目标函数 z 2x y ，变量 x, y 满足
x 4y 3 0
3x 5 y 25 ，则有 （ C ） y
解三角形应用举例(二)
B
80
A0
A
B0
C
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝340mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得： BC sin C 85 sin 80 sin A 0.2462 AB 340 因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ 又由正弦定理： AB sin B 340 sin 85 45 AC 344.3( mm) sin C 0.9848
A0 A A0C AC ( AB BC ) AC ( 340 85) 344.3 80.7 81( mm )
答：活塞移动的距离为81mm．
解三角形应用举例
总结 实际问题 抽象概括 示意图 数学模型 推 演 理 算 实际问题的解 还原说明 数学模型的解
B
A
C
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为14米。
D
测量术语： 1 仰角，俯角 2 方向角：北偏西，南偏东 3 方位角：从正北方向顺时针旋转 到目标方向线的水平角
例 2 如图, 某渔轮在航行中不幸遇 险, 发出呼救信号. 我海军舰艇在 A处获悉后, 测出该渔轮在方位角为45 0 , 距离为10n mile的C处, 并测得渔轮正沿方位角 为105 0 的方向,以9 n mile / h的速度向小岛靠拢 .我海军舰艇立 即以21 n mile / h的速度前去营救 .求舰艇的航向和靠近 渔轮所需的时间 (角度精确到 0.10 , 时间精确到1 min).
答 舰艇应沿着方位角66.8 0 的方向航行, 经过40 min 就可靠近渔轮.
高三数学解三角形及应用(201911整理)
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内角和定理：
A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
cos C =sin A B
2
2
sin C =cos A B
2
2
面积公式：
S= 1 absinC= 1 bcsinA= 1 casinB
2
2
2
S= pr = p( p a)(p b)(p c) 其中p= a b c , r为内切圆半径
求证：A＝2B
例3．已知锐角Δ ABC中，
sin(A
B)
3 ,sin(A 5
B)
1 5
，
（1）求证：tan A 2tan B ；
（2）设AB＝3，求AB边上的高。
例4：在Δ ABC中，a,b, c 分别是角A、B、
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
29《平面向量 －解三角形及定理： a2=b2+c2-2bccosθ,
cos b2 c2 a 2
2bc
a b c 2R sin A sin B sin C
利用正弦定理，可以解决以下两类问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
2
射影定理： a = bcosC + ccosB； b = acosC + ccosA； c = acosB + bcosA
解三角形应用举例
B C
α β
A
D
BC AB = sin(α β ) sin(90 + β )
BC sin(90 + β ) BC cos β = 所以，AB = sin(α β ) sin(α β )
解RtABD, 得 BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α β ) 28 cos 30 sin 60 = sin(60 30 ) = 42(m)
视 线
N 仰角 俯角
水平线
方位角 60度
目标方向线
视 线
二、例 题 讲 解
例2、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 ，从与烟囱底部在 、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB， 间的距离是12m.已知测角仪器高 已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 求烟囱的高。 ， 间的距离是 求烟囱的高 β = 60° CD间的距离是 已知测角仪器高 想一想 图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 几何图形？已知什么， 求什么？ 求什么？
a sin β AC = sin(α β ) a sin α sin β AB = AE + h = AC sin α + h = +h sin(α β )
ห้องสมุดไป่ตู้
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 练习 在山顶铁塔上 处测得地面 上一点A的俯角 的俯角α＝ ° 上一点 的俯角 ＝ 60° ，在塔底 C处测得 处的俯角 ＝30°。已 处测得A处的俯角 处测得 处的俯角β＝ ° 知铁塔BC部分的高为 部分的高为28m，求出 知铁塔 部分的高为 ， 山高CD. 山高 分析：根据已知条件， 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或 的长 法计算出 或AC的长 解：在⊿ABC中， 中 ∠BCA=90°+β, ° ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α° β, ∠BAD=α.根据正弦定理， 根据正弦定理， 根据正弦定理
新课标人教A版数学必修5全部课件：解三角形的应用举例
向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距
离 A 0 A ）（精确到1mm）
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°， 求AC． 解：（如图）在△ABC中， 由正弦定理可得：
0 . 9848
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
A 0 A A 0 C AC ( AB BC ) AC ( 340 85 ) 344 . 3 80 . 7 81 ( mm )
答：活塞移动的距离为81mm．
5.10 解斜三角形应用举例
练习：
我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正 由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C 解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
sin A BC sin C AB 85 sin 80 340
0 . 2462
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ 又由正弦定理：
AC AB sin B sin C 340 sin 85 4 5
344 . 3 ( mm )
5.10 解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
高中数学 必修5 6.解三角形应用举例2(航行面积)
6.解三角形的实际应用举例教学目标 班级：_____ 姓名：____________1.掌握利用正、余弦定理及其推论，掌握方位角，三角形面积计算等问题.2.了解数学建模思想，培养利用数学知识解决实际问题的能力.3.体会数学的实用性.教学过程一、航海问题.1.方位角的识别：（1）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角.（2）方向角：从指定方向到目标方向线所成的角.例1：分别用方位角和方向角表示右图中A 、B 的方向.A 点：________________________________________B 点：________________________________________例2：甲船在A 点发现乙船在北偏东60的B 处，乙船以每小时10海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时310海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？练2：某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角 45，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为 105的方向，以10海里/小时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以310海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.二、三角形的面积公式： 1.高底⨯⨯=21S ；（已知底和高）. 2.B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===；(已知两边及夹角) 例3：已知的面积为，且，则A=_________.练3：在ABC ∆中，已知23=a ，31cos =C ，34=∆ABC S ，求边b 的长.作业 1.一艘海轮从A 处出发，以40海里/小时的速度沿南偏东40方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向为南偏东 70，在B 处观察灯塔，其方向为北偏东 65，那么B 、C 之间的距离为多少？。
【创新设计】2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：1.2 应用举例(二) Word版含答案
1．2 应用举例(二)[学习目标] 1.能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关底部不行到达的物体高度测量的问题.2.巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的争辩、探究习惯.3.进一步培育同学学习数学、应用数学的意识及观看、归纳、类比、概括的力量．[学问链接] 现实生活中，人们是怎样测量底部不行到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？要点一 测量仰角求高度问题例1 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin 15°＝ADsin 45°， 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1) (m)．即山的高度为800(3＋1) m.规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都依据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解． 跟踪演练1 如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一基线AB ，AB ＝20 m ，在A 点处测得P 点仰角∠OAP ＝30°，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度h .(结果保留两个有效数字)解 在Rt △AOP 中，∠OAP ＝30°，OP ＝h ， ∴OA ＝OP ·1tan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ·1tan 45°＝h .在△AOB 中，AB ＝20，∠AOB ＝60°，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2×OA ×OB ·cos 60°， 即202＝(3h )2＋h 2－2·3h ·h ·12，解得h 2＝4004－3≈176.4，∴h ≈13(m)．答 旗杆高度约为13 m. 要点二 测量俯角求高度问题例2 如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD . 解 在△ABC 中， ∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α， ∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 依据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝h cos αsin βsin (α－β).答 山的高度为h cos αsin βsin (α－β).规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练2 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303，BC ＝30tan 45°＝30，C ＝30°， AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30. 要点三 测量方位角求高度问题例3 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，求塔AB 的高度．解 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得BC sin 45°＝CDsin 30°， BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝ABBC，AB ＝BC tan 60°＝10 6. 答 塔AB 的高度为10 6 m.规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练3 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.答案 30 2解析 如图，由已知条件， 得AC ＝60 km ，∠BAC ＝30°， ∠ACB ＝105°，∠ABC ＝45°.由正弦定理得BC ＝AC sin ∠BAC sin B＝302(km)1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观看站C 的距离相等，灯塔A 在观看站C 的北偏东40°，灯塔B 在观看站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析 如右图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( ) A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米D ．22h 米答案 A解析 如图所示， BC ＝3h ， AC ＝h ， ∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (米)．3．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________. 答案 20 3 m ，4033 m 解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203； 乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033.1.在争辩三角形时，机敏依据两个定理可以查找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．2．测量底部不行到达的建筑物的高度问题．由于底部不行到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．一、基础达标1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( ) A ．20⎝⎛⎭⎫1＋33 mB ．20⎝⎛⎭⎫1＋32 mC ．20(1＋3) mD ．30 m答案 A解析 如图，h ＝20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33(m)，故选A.2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，连续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( ) A ．200 m B ．300 m C ．400 m D ．100 3 m 答案 B解析 法一 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B. 法二 由于△BCD 是等腰三角形，12BD ＝DC cos 2θ，即300＝2003cos 2θ.cos 2θ＝32，2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300，故选B.3．一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m. 答案 5 856.4 解析 宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4(m)． 4．为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．解 在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15(m)． 依据正弦定理，AB sin 2.8°＝ATcos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°.塔的高度为AT ·sin 21.4°＝15·cos 18.6°sin 2.8°sin 21.4°≈106.19(m)．所以塔的高度为106.19 m.5．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°. 求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24 (n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile. (2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos 30°＝192， 解得CD ＝8 3 n mile.即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 二、力量提升6．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15 mB ．5 mC ．10 mD ．12 m答案 C解析 如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h . 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ， 即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°， ∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍)．7．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m 答案 D解析 由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ， 在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得，3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500 m ．故选D. 8．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高h ＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α).解 在△ABP 中，∠ABP ＝180°－γ＋β，∠BP A ＝180°－(α－β)－∠ABP ＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α. 在△ABP 中，依据正弦定理，AP sin ∠ABP ＝AB sin ∠APB ，AP sin (180°－γ＋β)＝αsin (γ－α)，AP ＝a ×sin (γ－β)sin (γ－α)所以山高h ＝AP sin α＝a sin αsin (γ－β)sin (γ－α).9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.摸索究图中B 、D 间距离 km ，2≈1.414，与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 6≈2.449).解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA ，在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620.因此，BD ＝32＋620≈0.33 km ，故B 、D 的距离约为0.33 km.三、探究与创新10．为保障高考的公正性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点四周1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的大路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿大路行驶，问最长需要多少分钟检查员开头收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解 如图所示，考点为A ，检查开头处为B ， 设大路上C ，D 两点到考点的距离为1千米． 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)， ∠ABC ＝ 30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°， ∴BC ＝AC ＝1(千米)，在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)．∵BC12×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开头收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．。
高中数学必修5《解三角形应用举例》教案(4)
《解三角形应用举例》教案（4）教学目标1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；2．通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三.3．进一步提高利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力4．让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验.教学重点难点1．重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.2．难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教法与学法1．教法选择：教学形式采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作交流得出转化问题方法.2．学法指导：学生通过数学建模，自主探究、合作交流，在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣三、思维拓展，课堂交流 3AB AC ⋅=．（II ）若b c +=，253AB AC ⋅=cos 3,A =bc ∴1sin 2bc A ==）对于5bc =，又5,1b c∴==或1,5b c==，由余弦定理得2222cos20a b c bc A=+-=，25a∴=四、归纳小结，课堂延展教学环节教学过程设计意图师生活动归纳小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.回顾解斜三角形的一般题型，便于学生在复习中更深入的思考,更广泛的研究解三角形.由学生谈体会，师生共同归纳总结.巩固创新课堂延展1 .△ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案：A2．某城市有一条公路,自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10 km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.(不要求作近似计算)答案：当AB分别在OA、OB上离O点既能保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外.学生课下通过练习，巩固正余弦定理的理解.1．教材地位分析解三角形应用举例(4)是在学习了正弦定理、余弦定理的基础上安排的一节应用举例课程，是在学习了测量距离、高度、角度问题后，有了解三角形方法的初步体验，本节主要介绍了正弦定理和余弦定理在计算三角形面积、判断三角形形状、证明恒等式中的应用.本节课是解三角形应用举例第四阶段，为前面学习测量距离、高度、角度问题做了总结，是前面问题的进一步深化.2．学生现实状况分析通过正弦定理、余弦定理的学习，学生对解斜三角形已经有了直观地认识，能够从图形中找到解三角形的方法.但学生对正弦定理和余弦定理应用范围、应注意的问题缺乏清晰的概念.因此，本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型.另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解.只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点.。
《高二数学解三角形》课件
在地理测量中，利用解三角形的方法可以精确地测量方向。例如，使用 罗盘和三角函数可以确定一个物体的方向。
03
卫星轨道确定
在卫星轨道确定中，解三角形也是非常重要的工具。通过解三角形，可
以精确地计算卫星的位置和速度。
几何图形中的应用
三角形面积计算
解三角形的一个重要应用是计算三角 形的面积。通过解三角形，可以找到 三角形的底和高，然后使用公式计算 面积。
代数方法解题主要依赖于三角形的边和角的关系，通过代数 运算来求解三角形。
代数方法解题通常需要利用三角形的边和角的关系，如余弦 定理、正弦定理等，通过代数运算来求解三角形的角度、边 长等参数。这种方法适用于已知条件较为复杂，需要精细计 算的情况。
几何方法解题
几何方法解题主要依赖于几何图形的性质和定理，通过构造辅助线、图形变换等 方式来求解三角形。
正弦定理
总结词
利用正弦定理求解三角形的边长或角度。
详细描述
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形边长和对应角正弦值之间的关 系。通过已知的边长和角度，我们可以使用正弦定理求解其他边长或角度。
余弦定理
总理是另一种求解三角形的方法，它建立了三角形边长的平方和与角度余弦值之间 的关系。通过已知的边长和角度余弦值，我们可以使用余弦定理求解其他边长或角度。
解三角形的重要性
总结词
解三角形在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。
详细描述
解三角形在数学中扮演着重要的角色，它不仅是解决几何问题的基础，也是解决物理、工程等领域问题的重要工 具。例如，在物理学中，解三角形可以用于解决力学、光学、电磁学等方面的问题；在工程学中，解三角形可以 用于解决建筑、机械、航空航天等方面的问题。
解三角形应用举例
B
例4:如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一 点A的俯角,在塔底C处测得A处的俯角.已 知铁塔BC部分的高为27.3米,求出山高 CD.
例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正 东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山 顶D在东偏南15°的方向上,行驶5KM后 到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方 向上,仰角为8° ,求此山的高度CD.
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5° (2)已知B=62.7°Ｃ＝６５.8° ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
例8:在某市进行城市环境建设中，要把 一个三角形的区域改造城市内公园，经 过测量得到这个三角形区域的三条边长 分别为68m,88m,127m,这个区域的面 积是多少？ （精确到0.1cm2）
例1 设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的 距离,测量者在A的 同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55cm,
BAC 51, ACB 75
求A,B两点间的距离
B
A
C
例 2 如图A,B两点都在河的对岸(不可到达),设 计一种测量A,B两点距离的方法
A B
例3 : AB是底部B不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高 度AB的方法. A
例6:如图一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方 向航行67.5海里后到达海岛B,然后从B出发,沿 北偏东32°的方向航向54海里后到达海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿 怎样的方向航行,需要航行多少距离?，根据下列条件，求三角 形的面积S（精确到0.1cm2）
高中数学 高二第一讲学生版 解三角形
第一讲： 解三角形利用正、余弦定理解三角形取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．[考点精要]解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角． (4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且有a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b .[类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.3．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．三角形形状的判定判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等．[考点精要] 三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[典例] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[类题通法]根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化； ③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形2．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝3a，试判断△ABC的形状．正、余弦定理的实际应用主，难度一般．[考点精要](1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．[典例]如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[类题通法]应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[题组训练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，如图，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m2．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m ，则旗杆的高度为________m.课后作业：1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12 B.212C ．28D ．6 32．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A.19B.13 C ．1 D.723．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7D ．74．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( ) A ．一定是锐角三角形B ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C ．一定是钝角三角形D ．一定是直角三角形5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan A tan B ＝2cb，则边c 的值为________．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．8．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列． (1)求B 的值；(2)求2sin 2 A ＋cos(A －C )的范围．。
2.3.1.解三角形的实际应用举例
课题: 2.3.1解三角形的实际应用举例编制人：徐海军 审核： 领导签字：【使用说明】1.请同学们认真阅读课本，划出重要知识，并熟记基础知识，用红颜色笔做好疑难标记。
2.联系课本知识和学过的知识，利用自习时间认真限时完成此训练学案，要特别注意解题的方法和规范性。
3. 根据自身特点选择提升自身能力的侧重点。
4.小组长在课堂上讨论环节发挥引领作用，确保人人达到目标。
【学习目标】知识与技能：了解斜三角形在测量、工程、航海等实际问题中的应用；能选择正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题。
过程与方法：在解三角形的实际问题中，进一步体会数学建模的思想，掌握数学建模的方法。
. 情感态度价值观：体会数学知识来源于实际生活，体会正弦定理、余弦定理在实际生活中的广泛应用.重 点：构建数学模型，解决实际问题。
难 点：数学建模的过程及解三角形的运算。
一、问题导学 1、正弦定理：2sin sin sin a b c R ABC===2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ； 变形：bcac b A 2cos 222-+==2b=2c3、面积公式： 在ABC Rt ∆中=S 在一般三角形中=S二、课内探究1、从地平面A ，B ，C 三点测得某山顶的仰角均为 15，设 30=∠BAC ，而BC=200m 。
求山高（结果精确到0.1m ）2、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。
已知AB=50m,BC=120m ，于A 处测得水深AD=80m ，于B 处测得水深BE=200m ，于C 处测得CF=110m ，求DEF ∠的余弦值。
解：作DM//AC 交BE 于N ，交CF 于M 。
29810170302222=+=+=DM MF DF 130120502222=+=+=ENDNDE.15012090)(2222=+=+-=BCFC BE EF在DEF ∆中，由余弦定理，EFDE DFEFDEDEF ⨯-+=∠2cos 222.6516150130229810150130222=⨯⨯⨯-+=.3、某观测站C 在A 城的南偏西20°的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人距C 为31千米正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A 城？ 解： 设∠ACD=α，∠CDB=β. 在△BCD 中，由余弦定理得 cos β=CDBD CBCDBD⋅-+2222=21202312120222⨯⨯-+=-71，则sin β=734,而sin α=sin(β-60°)=sin βcos60°-cos βsin60°=734×21+23×71=1435,在△ACD 中，由正弦定理得︒60sin 21=αsin AD ,∴AD=︒60sin sin 21α=23143521⨯=15(千米).4、如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C 在AB 的延长线上，BC=1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值. 解：POC 中，由余弦定理得PC 2=OP 2+OC 2-2OP ·OCcos θ=5-4cos θ. ∴y=S △OPC +S △PCD =21×1×2sin θ+43(5-4cos θ)=2sin(θ-3π)+435.∴当θ-3π=2π，即θ=65π时，y max =2+435. 所以四边形OPDC 面积的最大值为2+435.三、当堂检测1、在△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，则角B 为（ ） (A) 30°(B) 60°(C) 90° (D) 120°2、在△ABC 中，若222c a b ab =++，则∠C=（ ）(A) 60° (B) 90°(C) 150°(D) 120°3、在△ABC 中，若sin cos cos sin A B A B =，则△ABC 为（ ）(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形4、如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40 min 后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C 点，求P 、C 间的距离。
解三角形应用举例
解三角形应用举例一、选择题1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )A. 6 kmB. 2 kmC. 3 kmD.2 km解析如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC＝22×32＝6(km).答案 A2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A.102海里B.103海里C.203海里D.202海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里).答案 A3.(2017·合肥调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )A.a kmB. 3 a kmC.2a kmD.2a km解析由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，解得AB ＝3a (km). 答案 B 4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A.8 km/hB.6 2 km/hC.234 km/hD.10 km/h 解析 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.选B. 答案 B5.如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BCsin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.答案 D二、填空题6.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分. 解析由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得ACsin B＝ABsin∠ACB，所以AC＝AB·sin Bsin∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分).答案6 37.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，ON＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×3 2＝300＝103(m).答案10 38.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.解析如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200 m，∴AC＝40033(m).在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，∴CD＝13AC＝4003(m).答案400 3三、解答题9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值.解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时.(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.10.(2015·安徽卷)在△ABC中，A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.解设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理，得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0<B<π4，所以cos B＝1－sin2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B.由正弦定理，得AD＝AB·sin Bsin（π－2B）＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.11.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cos A＝( )A.31010B.1010C.－1010D.－31010解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝π4，BD＝13BC，DC＝23BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A＝－1010.答案 C12.如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α＜β)，则点A离地面的高AB等于( )A.a sin α·sin βsin（β－α）B.a sin α·sin βcos（β－α）C.a cos α·cos βsin（β－α）D.a cos α·cos βcos（β－α）解析结合题图示可知，∠DAC＝β－α.在△ACD中，由正弦定理得：DCsin∠DAC＝ACsin α，∴AC＝a sin αsin∠DAC＝a sin αsin（β－α）.在Rt△ABC中，AB＝AC sin β＝a sin αsin βsin（β－α）.答案 A13.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于________m.解析如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝ADtan∠ACD＝60tan 30°＝603(m)，在Rt△ABD中，BD＝ADtan∠ABD＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)(m)，∴BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m).答案120(3－1)14.如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449). 解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝103t(海里)，BD＝10t(海里).在△ABC中，∵AB＝(3－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝（3－1）2＋22－2×2×（3－1）cos 120°＝6(海里).根据正弦定理，可得sin∠ABC＝AC sin 120°BC＝2×326＝22.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝BD sin∠CBDCD＝10t·sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6(海里)，则有10t＝6，t＝610≈0.245小时＝14.7分钟.故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.。
必修五正弦定理,余弦定理(2节5课时)
人教A版高中数学必修5全册导学案目录1.1.1正弦定理(2)1.1.2余弦定理(2)1.2.1解三角形应用举例（一）1.2.2解三角形应用举例（二）1.2.3解三角形应用举例（三）1.2.3解三角形应用举例（四）2.1.1数列的概念与简单表示法（一）2.1.2数列的概念与简单表示法（二）2.2.1等差数列(一)2.2.2等差数列（二）2.3.1等差数列的前n项和（一）2.3.2等差数列的前项和（二）2.4.1等比数列（一）2.4.2等比数列（二）2.5.1等比数列的前n项和（一）2.5.2等比数列的前n项和（二）3.1.1不等关系与不等式（一）3.1.2不等关系与不等式（二）3.2.1 一元二次不等式及其解法（一）3.2.2一元二次不等式及其解法（二）3.2.3一元二次不等式及其及解法(三)3.3.1.1二元一次不等式（组）与平面区域（一）3.3.2.1简单的线性规划问题（一）3.3.2.2简单的线性规划问题（二）3.3.2.3简单的线性规划问题（三）3.3.2二元一次不等式(组)与平面区域（二）3.4.1基本不等式（一）3.4.2基本不等式（二）3.4.3基本不等式（三）学案序号： 1 \2 课型： 新授课 时间： 2018/8/ 禄丰一中高 二年级标题 §1.1.1正弦定理【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 【重难点】1、会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．2、掌握正弦定理的证明方法 【自主学习指导】阅读教材第1页-第4页，思考下列问题： 1、 正弦定理还可以怎样推导？ 2、 正弦定理用途有哪些？【学习过程】一、 新知：1、 正弦定理文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等， 符号语言：sin sin a bA B =sin c C =． 2、 解三角形一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．注意：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c bC B =，sin a A =sin c C ． 3、正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．二、典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆==中，求和．三、总结提升1. 正弦定理：sin sin a bA B =sin c C = 知识拓展sin sin a b A B =2sin cR C==，其中2R 为外接圆直径.2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角． 【当堂检测】1. 在ABC ∆中，若cos cos A bB a=，则ABC ∆是（ ）.A ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定 4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a sin sin sin a b cA B C++++= ．6. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．【知识构建】学案序号： 3\4课型： 新授课 时间：2018/8 禄丰一中高 二年级 班标题§1.1.2余弦定理【学习目标】学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 【重难点】1、运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 【自主学习指导】复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．【学习过程】 一、新知阅读教材第5—7页内容，然后回答问题（余弦定理）<1>余弦定理及其推导过程？<2>余弦定理及余弦定理的应用？思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC = ， ∴AC AC ∙=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ． [理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c ab =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角． 二、典型例题例1. 在△ABC 中，已知a =b =45B =，求,A C 和c变式：在△ABC 中，若AB，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2. 在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．三、学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．※ 知识拓展在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角． 【当堂检测】（1）△ABC中，a =2c =，150B =，求b ． （2）△ABC 中，2a =，b =，1c ，求A ． 1. 已知ac ＝2，B ＝150°，则边b 的长为（ ）.A.B.C.D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A ．60 B ．75 C ．120 D ．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）. A13x << B ．13x ＜5 C ． 2＜x ＜5 D ＜x ＜54. 在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC |＝________．5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．6、在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值．7、在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求AB BC ⋅的值.【知识构建】学案序号： 5课型： 习题课 时间：2018/8 禄丰一中高 二年级 班 标题正余弦定理【学习目标】1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形． 【自主学习指导】 复习1：在解三角形时已知三边求角，用 定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理． 二、典型例题探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.① A ＝6π，a ＝25，b ＝② A ＝6π，a，b ＝A ＝6π，a ＝50，b ＝思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？例1. 在∆ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC 中，若1a =，12c =，40C ∠=︒，则符合题意的b 的值有_____个．学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※知识拓展在∆ABC中，已知,,a b A，讨论三角形解的情况：①当A为钝角或直角时，必须a b>才能有且只有一解；否则无解；②当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a b<，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sina b A>，则有两解；（2）若sina b A=，则只有一解；（3）若sina b A<，则无解．当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sin2sin3AB=，则a bb+的值=（）.A. 13B.23C.43D.532. 已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）.A．135°B．90°C．120°D．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（）.A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加长度决定4. 在△ABC中，sin A:sin B:sin C＝4:5:6，则cos B＝．5. 已知△ABC中，cos cosb Cc B=，试判断△ABC的形状．一、选择题1．在中，已知角则角A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°2．中，则此三角形有（）A．一解 B．两解 C．无解 D．不确定3．若是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在中，已知则AD长为（）A．B． C．D．5．在，面积，则BC长为（）A．B．75 C．51 D．496．钝角的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A．1、2、3、B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、67．在中，，则A等于（）A．60°B．45° C．120°D．30°8．在中，，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形9．在中，，则等于（）A．B．C．D．10．在中，，则的值为（）A．B．C．D．11．在中，三边与面积S的关系式为则角C为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．在中，是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题13．在中，，则14．若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。
全国第八届青年数学教师优质课教学设计：解三角形应用举例 含答案
1.2 解三角形应用举例（高度测量问题）（人教A版高中课标教材数学必修5）教学设计授课教师：管亚楠天津市第十四中学指导教师：申铁天津市中小学教育教学研究室刘金英天津市中小学教育教学研究室郑建天津市河北区教师进修学校朱宝坤天津市第十四中学2016年10月一、教学内容解析：本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A 版必修5第一章《解三角形》1。
2《应用举例》的第二课时,测量底部不可到达的建筑物高度问题。
在第一课时学生学习了应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题,初步了解从实际背景中抽象数学模型,将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法。
本节课是解三角形应用举例的延伸，继续探究底部不可到达的建筑物等的高度测量问题.解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的,在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力,增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力。
本节课的教学重点：1.通过对实地测量任务的交流展示，体会数学建模过程；2。
通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法;3。
结合用测量工具收集的数据,巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题。
二、教学目标解析：（一）教学目标:1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程,培养学生的数学建模素养；2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关底部不可到达的建筑物高度测量的问题；3。
操作简单的测量工具测量仰角、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用；4。
通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想,培养学生的数学表达能力；5。
2020高二数学人教A必修5练习：1.2.1 解三角形的实际应用举例 Word版含解析
课时训练3解三角形的实际应用举例一、测量中的距离问题1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是()A.5B.5√3C.10√3D.10答案:D解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,∠ACB=60°.∴AB=5√3,BC=5,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=15.∴CD=BD-BC=10.2.(2015福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60°处;行驶4 h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15°处,这时船与灯塔的距离为km.答案:30√2解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75°-30°=45°,在△ABC中,根据正弦定理得,ACsinB =BCsin∠BAC,即22=BC12,∴BC=30√2 km,即此时船与灯塔的距离为30√2 km.3.(2015福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20°,一条笔直公路AB,其中B在A 城南偏东40°,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是千米.答案:24解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,在△BCD 中,由余弦定理得cos ∠BDC=212+202-3122×21×20=-17. 设∠ADC=α,则cos α=17,sin α=4√37. 在△ACD 中,由正弦定理,得AC=21sinαsin60°=24.二、测量中的高度与角度问题4.如图,D ,C ,B 三点在地面同一直线上,DC=a ,从C ,D 两点测得A 点的仰角分别是β,α(α<β),则A 点距离地面的高度AB 等于( )A.asinαsinβsin(β-α) B.asinαsinβcos(α-β) C.asinαcosβsin(β-α) D.acosαsinβcos(α-β)答案:A解析:在△ACD 中,∠DAC=β-α,DC=a ,∠ADC=α,由正弦定理得AC=asinαsin(β-α), ∴在Rt △ACB 中,AB=AC sin β=asinαsinβsin(β-α).5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10√6 m(如图所示),则旗杆的高度为( ) A.10 m B.30 mC.10√3 mD.10√6 m答案:B解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理知CE sin ∠EAC=AC sin ∠CEA,∴AC=CE·sin∠CEAsin∠EAC=20√3(m),∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=30(m).∴旗杆的高度为30 m.6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10 n mile C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sin θ的值等于()A.√217B.√22C.√32D.5√714答案:D解析:根据题目条件可作图如图:在△ABC中,AB=20,AC=10,∠CAB=120°,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos∠CAB=202+102-2×20×10cos 120°=700,∴BC=10√7.再由正弦定理得ABsin∠ACB =BCsin∠CAB,∴sin∠ACB=AB·sin∠CAB=20×sin120°10√7=√217.又0°<∠ACB<90°,∴cos∠ACB=2√7,∴sin θ=sin(30°+∠ACB)=sin 30°cos∠ACB+cos 30°sin∠ACB=1×2√7+√3×√21=5√7.7.某海岛周围38 n mile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30 n mile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此船触礁的危险(填“有”或“无”).答案:无解析:由题意在△ABC中,AB=30 n mile,∠BAC=30°,∠ABC=135°,∴∠ACB=15°. 由正弦定理,得BC=AB sin ∠ACB·sin ∠BAC=30sin15°·sin 30°=6-24=15(√6+√2).在Rt △BDC 中,CD=√22BC=15(√3+1)>38.∴无触礁的危险.8.如图,在一个特定时段内,以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距40√2海里的位置B ,经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°+θ(其中sinθ=√2626,0°<θ<90°)且与点A 相距10√13海里的位置C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 解:(1)因为AB=40√2,AC=10√13,∠BAC=θ,sin θ=√26,0°<θ<90°,所以cos θ=√1-(√2626)2=5√2626.由余弦定理得BC=√AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cosθ=10√5,所以该船的行驶速度为v=10√523=15√5(海里/小时).(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q. 在△ABC 中,由余弦定理得 cos ∠ABC=AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=√2)2√5)2√13)22×402×105=3√1010,所以sin ∠ABC=√1-cos 2∠ABC =√1-910=√1010. 在△ABQ 中,由正弦定理得AQ=ABsin∠ABCsin(45°-∠ABC)=40√2×√101022×21010=40.因为AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×√55=3√5<7.故该船会进入警戒水域.(建议用时:30分钟)1.如图,已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B 在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的()的位置.A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°答案:B解析:由图可知,∠ACB=180°-(40°+60°)=80°.又∵AC=BC,∴∠A=∠CBA=12(180°-80°)=50°.∵CE∥BD,∴∠CBD=∠BCE=60°,∴∠ABD=60°-50°=10°.∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°的位置.2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点(点A,B与树根部在同一直线上),从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为()A.(30+30√3) mB.(30+15√3) mC.(15+30√3) mD.(15+3√3) m答案:A解析:设树高为h,则由题意得√3h-h=60,∴h=√3-1=30(√3+1)=(30√3+30)(m).3.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距8√2 n mile,则灯塔S在B处的()A.北偏东75°B.东偏南75°C.北偏东75°或东偏南75°D.以上方位都不对答案:C解析:根据题意画出示意图,如图,由题意可知AB=32×12=16,BS=8√2,∠A=30°.在△ABS中,由正弦定理得ABsinS =BSsinA,sin S=ABsinABS=16sin30°8√2=√22,∴S=45°或135°,∴B=105°或15°,即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°.4.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.103(√6+√2) n mile/hB.103(√6−√2) n mile/hC.103(√6+√3) n mile/hD.103(√6−√3) n mile/h答案:B解析:如图,设货轮的时速为v,则在△AMS中,∠AMS=45°,∠SAM=105°,∠ASM=30°,SM=20,AM=3v.由正弦定理得3vsin30°=20sin105°,即v=206sin105°=103(√6−√2)(n mile/h).5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为()A.d1>d2B.d1=d2C.d1<d2D.不能确定大小答案:C解析:如图,B,C,D分别是第一、二、三辆车所在的位置,由题意可知α=β.在△PBC中,d1sinα=PBsin∠PCB,在△PCD中,d2sinβ=PDsin∠PCD,∵sin α=sin β,sin∠PCB=sin∠PCD,∴d1d2=PBPD.∵PB<PD,∴d1<d2.6.如图,某人于地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°,过1 min后到B再测得仰角为45°,如果该飞机以450 km/h的速度沿水平方向飞行,则飞机的高度为 km.答案:15(√3+1)4解析:如图,∠DCA=60°,∠DCB=45°,设飞机高为h,则BD=h,AD=√3h.又AB=450×160=7.5,由AD-BD=AB得√3h-h=7.5.∴h=√3-1=15(√3+1)4.7.一船以24 km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是 km.答案:3√2解析:如图,由条件知,AB=24×1560=6(km).在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°.由正弦定理,得BSsin30°=ABsin45°,∴BS=6sin30°sin45°=3√2.8.海上一观测站测得方位角为240°的方向上有一艘停止待修的商船,在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近,速度为90 n mile/h.此时海盗船距观测站10√7 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mile,再过min,海盗船到达商船.答案:403解析:如图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A,B,C处,20 min后,海盗船到达D处,在△ADC 中,AC=10√7,AD=20,CD=30,由余弦定理,得cos∠ADC=AD2+CD2-AC22AD·CD =400+900-7002×20×30=12.∴∠ADC=60°,在△ABD中,由已知,得∠ABD=30°,∠BAD=60°-30°=30°,∴BD=AD=20,2090×60=403(min).9.如图,某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°方向,距离为12√6 km,在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°方向,距离为8√3 km,货轮由A 处向正北航行到D 处时,再看灯塔B 在北偏东120°方向,求:(1)A 处与D 处的距离; (2)灯塔C 与D 处的距离.解:(1)在△ABD 中,∠ADB=60°,∠B=45°,由正弦定理得AD=AB ·sinB sin ∠ADB=12√6×√2232=24(km).∴A 处与D 处的距离为24 km .(2)在△ACD 中,由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC cos 30°,解得CD=8√3(km).∴灯塔C 与D 处的距离为8√3 km .。
高二数学常考题型的总结(学生版)
高二数学常考题型的总结（必修五）第一章 解三角形考点一 正弦定理的应用例1：在中，60,10,15===A b a ，则=B cos考点二 余弦定理的应用例2：在∆ABC 中，已知32=a ，26+=c ， 60=B ，求b 的值考点三 正、余弦定理的混合应用例3：设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长别离为,,a b c 。
若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.考点四 三角形的面积问题例4：在ABC ∆中，角C B A 、、所对应的边别离为c b a 、、，若B C A 2=+，且,3,1==b a 求ABCS ∆的值考点五 最值问题例5：在ABC ∆中，的最大值为考点六 三角形形状的判断例6：已知ABC ∆中，B b A a cos cos =，判断三角形的形状考点七 三角形个数的判断例7：在ABC ∆中，角C B A 、、所对应的边别离为c b a 、、，若 30=A ，且,3,1==b a 求c 的值考点八 大体不等式在解三角形上的应用例8：在ABC ∆中，角C B A 、、所对应的边别离为c b a 、、，若2,4==b a π，求ABC ∆的面积的最大值。
例9：设ABC △的内角A B C ，，所对的边长别离为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=，求tan()A B -的最大值。
考点九 平面向量在解三角形上的应用例10：在ABC ∆中，6,AC AB ⋅=ABC ∆的面积AABC ∆60,B AC =2AB BC +例11：在ABC ∆中，边c 所对的角为C ，向量)2sin ,2(cos ),2sin ,2(cos CC n C C m -==，且向量m 与n 的夹角是3π，求角C 的大小 考点十 数列在解三角形上的应用例12：设ABC △的内角A B C ，，所对的边长别离为a b c ，，，若a b c ，，依次成等比数列，角B 的取值范围.考点十一 解三角形的实际应用例13：如图，D C B A 、、、都在同一个与水平面垂直的平面内，D B 、为两岛上的两座灯塔的塔顶。
高二解三角形练习题
高二解三角形练习题三角形是数学中一个重要的概念，解三角形题目是高二数学学习中的一项基础训练。
通过解题，可以加深对三角形性质和定理的理解，并提高解决实际问题的能力。
下面将为大家介绍几个高二解三角形的练习题。
一、已知三角形ABC，∠A=40°，∠B=60°，求∠C的度数。
解：根据三角形内角和为180°的性质，可以得到∠C=180°-40°-60°=80°。
因此，∠C的度数为80°。
二、已知∠A=30°，∠B=50°，边长a=5cm，边长b=8cm，求边长c的长度。
解：根据正弦定理，可以得到c/sinC=b/sinB。
将已知数据代入计算，可得c/sinC=8/sin50°。
进一步计算可得c≈8.98cm，所以边长c的长度约为8.98cm。
三、已知∠A=45°，∠B=60°，边长a=5cm，求边长b和边长c的长度。
解：根据正弦定理，可以得到b/sinB=c/sinC。
将已知数据代入计算，可得b/sin60°=5/sinC。
进一步计算可得b≈6.88cm，所以边长b的长度约为6.88cm。
而边长c可以通过补角的方式计算得到，即C=180°-45°-60°=75°，然后利用正弦定理可得c≈7.30cm，所以边长c的长度约为7.30cm。
四、已知边长a=3cm，边长b=4cm，边长c=5cm，判断该三角形是什么类型的三角形。
解：根据边长关系可以判断三角形的类型。
由于3²+4²=5²，所以该三角形是一个直角三角形。
五、已知∠A=50°，∠B=70°，边长a=6cm，边长b=8cm，求边长c的长度。
解：根据余弦定理，可以得到c²=a²+b²-2ab*cosC。
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t
例1 在△ABC中，角A、B、C的对边分 别为a，b，c，外接圆直径为1，已知 cos2C—cos2A＝2b(b＋c)，求角A的值.
A＝120°
例2 在△ABC中，已知sinA＋sinC＝
3 1，B＝30°，面积为 ，求AC边的长. 2
AC = 1+
3
【问题2】求边角代数式的值
例3 在△ABC中，角A，B，C的对边分
1 1 1 + = 别为a，b，c，已知 t an A t an B t an C
a + b 求 的值. 2 c
2
2
2
a +b = 3 2 c
2
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分 别为a，; t an C 的值. t an B t an C
高中数学学业水平考试总复习
必修5
第一章
解三角形
第一课时
三角形中的求值问题
学习目标
1.理解正弦定理和余弦定理，应 用正弦定理和余弦定理解决有关三 角形的问题. 2.应用正弦定理和余弦定理解决 有关距离、高度、角度、几何计算 等实际问题.
【问题1】求三角形的边角值
1 5730 p 2
1 5730 p 2
t
t an B + t an C = t an B t an C
3
【问题3】在测量中求几何量的值 例5 在湖面上高h处，测得一朵云的 仰角为α ，且云在湖中的正射影的俯角 为β ，求这朵云离湖面的高度.
C A
h sin( a + b ) sin( b - a )
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其数啊！这可怜的三个娃儿„„”耿老爹痛哭失声，再也说不出一句话来„„“耿大哥啊！”“耿伯伯啊！”李长善夫妇和尚 文、尚英、尚武兄妹三人也都痛哭失声„„华老郎中终于擦把虚汗松了一口气，也流下了心酸的泪水。哭罢多时，耿老爹对李 长善全家人和华老郎中谈了自己当初带着三个孩子远道南下创业的初衷，谈了他们在汉口镇上首次创业的成功、洪灾后的无奈 过江、白家的热心收留，以及以后发生的所有一切。说到为了抄近路翻越碧山而遭遇突如其来的天降洪灾，三个亲生骨肉生死 不明时，耿老爹再次痛哭失声„„了解了这些之后，华老郎中和李长善全家人对耿老爹更加敬佩了。想到不幸遇难的耿家三兄 妹，李长善全家人心酸的眼泪怎么也擦不干。华老郎中的心里也久久不能平静„„第二天晚饭后，华老郎中继续与耿老爹攀谈， 发现他对洪灾逃生和逃生之后的记忆还有些个模糊。所以他认为，还必须得继续一段时间，这个顽疾才能算是被彻底治愈了！ 华老郎中也看到，李家三兄妹并没有因为耿老爹已经清醒过来，而不再把他当“爹”来对待了。晚饭后，他们依然还是亲亲热 热地围在耿老爹的周围，只是将“爹”改成了“耿伯伯”，而耿老爹也只是将“正儿”和“小直子”改成了“文儿”和“武 儿”。至于“英子”，是不需要改口的。考虑到他们之间已经建立起了真挚感人的父子情谊，也为了耿老爹的后续，华老郎中 郑重地向李长善夫妇提出建议：“这自古就说了，人间最难是真情。你们的三个儿女和他们耿伯伯之间的感情是多么真挚啊！ 你们如果让尚文、尚英和尚武认耿老弟作义父，岂不更好！再者说了，这样做，对耿老弟的后续肯定会有利的！”李长善夫妇 听了，高兴地拍手称好，连声说：“老先生言之有理，言之有理啊！我夫妻也正有这个意思呢！”华老郎中转而再与耿老爹和 李家三兄妹说这事儿。耿老爹当即就高兴地流下了眼泪，哽咽着说：“我虽然不幸丢失了自己的三个骨肉，但以后有文儿、英 子和武儿做我的义子和义女，这也是上天的恩赐啊！在我的心目中，他们三个早已经就是我的亲生娃儿了哇！”李尚文说： “我很愿意认耿伯伯为义父！”李尚英说：“我真得很喜欢这个爹爹呢！”李尚武则说：“耿伯伯本来就是我的爹，他给了我 第二次生命呢！我有两个爹！”于是，李长善夫妇当即就准备香案和跪垫，请耿老爹端坐在正堂上，在华老郎中的见证下，让 李尚文、李尚英和李尚武兄妹三人并排向耿老爹行跪拜礼，隆重地认了义父：“义父在上，义子李尚文给您磕头了！”“义父 在上，义女李尚英给您磕头了！”“义父在上，义子李尚武给您磕头了！”耿老爹和李家仨兄妹，还有李长善夫妇和华老郎中， 全都激动得热泪盈眶！耿老爹泪流满面地将李家兄妹三个一一扶
α β
E M D 湖面
B
例6 一艘海轮从A处出发，以每小时 40海里的速度沿东偏南50°方向直线航 行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔， 海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南 20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，求B、C两点间的距离.
A 东
C 南
B
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