2021-2022学年高等数学期末考试题(含答案)

2021-2022学年高等数学期末考试题（含答案）
一、填空题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分)
1. 已知f (x ) =⎩⎨⎧≥+<-,
1||,1,
1||,122x x x x g (x ) = e x , 则f [g (ln 2)]= .
2. 设1)1(='f , 则1
)
1()(lim 21--→x f x f x = . 3. 曲线y = e x
+ x 上点(0, 1)处的切线方程为______. 4. 不定积分⎰
=dx e x x 3 .
5.
dx x
x
x )1cos 1tan (
1
1
4
32
++⎰
-= .
6. 设a = (2, -3, 5), b = (3, 1, -2), 则a ⨯ b = . 二、单项选择题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分)
1. 设函数y = f (x )有2)0(='f , 则当0→∆x 时, f (x )在x = 0处的微分d y 是 ( )
A . 比x ∆高阶无穷小;
B . 比x ∆低阶无穷小;
C . 与x ∆同阶无穷小, 但不是等价无穷小;
D . 与x ∆等价无穷小.
2. 设y = x + ln x , 则=dy
dx
( )
A . 1+x x ;
B . y y 1+;
C . x
x 1
+;
D .
1
+y y
. 3. 已知函数f (x )在x 0的某邻域内二阶可导, 并且)(0x f '= 0, 0)(0<''x f , 则 ( )
A . (x 0, f (x 0))是函数f (x )的极值点;
B . (x 0, f (x 0))是曲线y=f(x)的拐点;
C . x 0是函数f (x )的极小值点;
D . f (x 0)是函数f(x)的极大值. 4. 设
⎰+=C xe
dx )x (f x
, 则f (x ) =
( )
A . (x + 2)e x ;
B . (x +1)e x ;
C . xe x ;
D . (x -1)e x . 5. 下列反常积分收敛的是
( )
A . ⎰∞+1ln 1
dx x
x ; B . ⎰101dx x ;
C . ⎰
-202)2(1dx x ; D . ⎰
∞++02
11dx x .
6. 点(3, -1, 2)关于x 轴的对称点是
( ) A . (-3, 1, -2); B . (-3, -1, -2); C . (3, 1, -2);
D . (-3, 1, 2).
三、计算下列各题 (本大题分5小题, 每小题8分, 共40分)
1. 计算极限: )1
sin 1(lim 0x
x x -→.
2. 已知⎰
-=
x dt t g t x x f 0
)()()(, 其中g (x )为连续函数, 求)(x f ''.
3. 求不定积分⎰
++dx x x x 22
1.
4. 计算定积分⎰
41.ln dx x
x
5. 设f (x )是连续函数, 且满足⎰
+=10
2)()(dx x f x
x x f , 求f (x ).
四、应用题(本大题分2小题, 每小题19分, 共18分) 1. 设0< a < 1, 问a 为何值时, 积分
⎰-1
||dx a x 取得最小值.
2. 求由抛物线y = x 2, 直线x = 2和x 轴所围成的平面图形的面积, 并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋
转体的体积.
五、证明题(6分) 证明: 当x > 0时, 有ln(1+x ) >x
x
+1arctan .
一、填空题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分)
1. 3;
2. 21;
3. y = 2x + 1;
4. C e x x ++3ln 13;
5. 32
;
6. (1, 19, 11).
二、单项选择题 (本大题分6小题, 每小题3分, 共18分)
1. C ;
2.A ;
3. D ;
4.B ;
5. D ;
6. C .
三、计算下列各题 (本大题分5小题, 每小题8分, 共40分)
1. 解: x x x x x x x x sin sin lim )1sin 1(lim 00-=-→→(2分)= 20sin lim x x x x -→ (2分)x x x 2cos 1lim 0-=→ (2分)=02sin lim 0=→x
x . (2分)
2. 解: ⎰
⎰
-
=x x dt t tg dt t g x
x f 0
)()()(, (3分))()()()(0
x xg x xg dt t g x f x -+=
'⎰
=
⎰
x dt t g 0
)(, (3分)
)()(x g x f =''.(2分)
3. 解: ⎰++dx x x x 221=⎰+dx x
x 2
1+⎰+dx x x 221(2分)=)1ln(212
x ++⎰
+-+dx x x 22111 (2分) =)1ln(212x ++⎰
+-dx x
)111(2(2分)= )1ln(21
2x ++ x - arctan x + C . (2分) 4. 解: ⎰41ln dx x
x =⎰41ln 2x xd (2分)=]
1
ln [24141⎰
⋅-dx x x x x (3分)=2(2ln4412x -) (2分)= 8ln2 - 4. (1分)
5. 解: 设A dx x f =⎰10)(, (1分)则Ax x x f +=2
)(, (1分)所以, ⎰=10)(dx x f A =⎰
+102)(dx Ax x =A 2131+, (4
分)解得A = 32, 因此, x x x f 3
2
)(2+=.(2分)
四、应用题(本大题分2小题, 每小题9分, 共18分)
1. 解: 设f (a ) =
⎰-1
||dx
a x , 则
⎰-1
||dx
a x =
⎰
-a dx x a 0
)(+
⎰
-1)(a
dx a x (3
分)=2221a a -
+22121a -2a a +-= 212+-a a (2分), 令12)(-='a a f = 0, (2分)得唯一驻点2
1
=a , 即当2
1
=a 时, 积分
⎰-1
||dx a x 取得最小值. (2分)
2. 画图, (1分)所求面积为⎰
=20
2
dx x A (2分)=2
331x =38
. (2分)
所求体积为V x =⎰
20
4
dx x π
(2分)=2
551x π=π532
.(2分)
五、证明题(本大题6分)
证明: 设x x x x f arctan )1ln()1()(-++=, (1分)则2
2
1)1ln()(x
x x x f ++
+=', (1分)当x > 0时, 有0)(>'x f ,
(1分)即f (x )在[0, +∞)上单调增加, (1分)所以, 当x > 0时, 有f (x ) > f (0) = 0, (1分)因此, 当x > 0时, 有
ln(1+x ) >x
x
+1arctan .(1分)。