高考数学一轮复习各单元检测试卷及答案

高考数学一轮复习单元检测试卷合集
［解析版］
目录
第一章单元能力测试卷 (1)
第二章单元能力测试卷 (10)
第三章单元能力测试卷 (20)
第四章单元能力测试卷 (29)
第五章单元能力测试卷 (41)
第六章单元能力测试 (51)
第七章单元能力测试卷 (59)
第八章单元能力测试卷 (67)
第九章单元能力测试卷 (76)
第十章单元能力测试卷(A版) (88)
第十章单元能力测试卷(B版) (100)
第十一、十二章单元能力测试卷 (114)
第一章 单元能力测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)
1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩∁N B 等于( ) A ．{1,5,7} B ．{3,5,7} C ．{1,3,9} D ．{1,2,3}
答案 A
解析 即在A 中把B 中有的元素去掉．
2．设全集为R ，集合A ＝{x |1
x ≤1}，则∁R A ＝( )
A ．{x |0≤x <1}
B ．{x |0<x ≤1}
C ．{x |0<x <1}
D ．{x |x ≥1或x <0} 答案 A
解析 A ＝{x |1x ≤1}＝{x |1
x －1≤0}＝{x |1－x x ≤0}＝{x |x ≥1或x <0}，因此∁R A ＝
{x |0≤x <1}．选A.
3．已知∁Z A ＝{x ∈Z|x ＜6}，∁Z B ＝{x ∈Z|x ≤2}，则A 与B 的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A ＝B D ．∁Z A
∁Z B
答案 A
4．已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )
A ．{－1,2}
B ．{－1,0}
C ．{0,1}
D ．{1,2}
答案 A
解析 依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A.
5．(2010·广东卷)“x >0”是“3
x 2>0”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件
答案 A
解析 当x >0时，3x 2>0成立；但当3
x 2>0时，得x 2>0，则x >0或x <0，此时不能得到x >0.
6．设集合P ＝{x |x 2－x －2≥0}，Q ＝{y |y ＝1
2x 2－1，x ∈P }，则P ∩Q ＝( )
A ．{m |－1≤m <2}
B ．{m |－1<m <2}
C ．{m |m ≥2}
D ．{－1}
答案 C
解析 本题考查集合的概念及运算，根据题意知P ＝{x |x ≥2或x ≤－1}，又因为当x ∈P 时，y ＝12x 2－1∈⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，故Q ＝⎩
⎨⎧
⎭⎬⎫ y |y ≥－12， 故P ∩Q ＝{m |m ≥2}．
7．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是( )
A ．(綈p )或q
B ．p 且q
C ．(綈p )且(綈q )
D ．(綈p )或(綈q ) 答案 D
解析 由于命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此，命题綈q 是真命题，于是(綈p )或(綈q )是真命题．
8．(2010·浙江)设0<x <π
2，则“x sin 2 x <1”是“x sin x <1”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 当0<x <π
2时，0<sin x <1，故x sin x <1⇒x sin x sin x <sin x <1⇒x sin 2x <1，但x sin 2x <1
⇒x sin x <
1sin x ，而1sin x
>1，故不能保证x sin x <1，故选B. 9．“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
答案 A
10．如下四个电路图，视“开关甲闭合”为条件甲，“灯泡乙亮”为结论乙，以贴切、形象的诠释甲是乙的必要不充分条件的图形是( )
答案 B
11．(2011·山东潍坊一模)已知集合A 为数集，则“A ∩{0,1}＝{0}”是“A ＝{0}”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 ∵“A ∩{0,1}＝{0}”得不出“A ＝{0}”，而“A ＝{0}”能得出“A ∩{0,1}＝{0}”，
∴“A ∩{0,1}＝{0}”是“A ＝{0}”的必要不充分条件．
12．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中的( )
答案 B
解析 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c
a
＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.
f (－x )＝－x 2＋x ＋2的图象开口向下，顶点为(12，9
4
)．故选B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知集合A ＝{1，a,5}，B ＝{2，a 2＋1}．若A ∩B 有且只有一个元素，则实数a 的值为________．
答案 0或－2
解析 若a ＝2，则a 2＋1＝5，A ∩B ＝{2,5}，不合题意舍去． 若a 2＋1＝1，则a ＝0，A ∩B ＝{1}． 若a 2＋1＝5，则a ＝±2. 而a ＝－2时，A ∩B ＝{5} ∴a ＝0或a ＝－2
14．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是________． 答案 若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1
解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x <1”的否定是“x ≥1或x ≤－1”．
15．(2011·上海春季高考)若a 1 、a 2、a 3均为单位向量，则a 1＝(33，6
3
)是a 1＋a 2＋a 3＝(3，6)的________条件．
答案 必要不充分
解析 由题意可知，|a 1|＝|a 2|＝|a 3|＝1，若a 1＋a 2＋a 3＝(3，6)，则|a 1＋a 2＋a 3|＝3＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|，a 1、a 2、a 3共线且方向相同，即a 1＝a 2＝a 3＝(
33，63)；若a 1＝(33，6
3
)，当a 1、a 2、a 3不全相等时，a 1＋a 2＋a 3≠(3，6)，故为必要不充分条件．
16．已知命题p ：α＝β是tan α＝tan β的充要条件． 命题q ：∅⊆A .下列命题中为真命题的有________． ①p 或q ②p 且q ③┐p ④┐q 答案 ①③
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)π为圆周率，a 、b 、c 、d ∈Q ，已知命题p ：若aπ＋b ＝cπ＋d ，则a ＝c 且b ＝d .
(1)写出p 的非并判断真假；
(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假；
(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论．
解析(1)原命题p的非是：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．假命题．(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．
否命题：若“aπ＋b≠cπ＋d，
则a≠c或b≠d”．真命题．
逆否命题：“若a≠c或b≠d，
则aπ＋b≠cπ＋d”真命题．
(3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件．
证明如下：
充分性：若a＝c，则aπ＝cπ，
∵b＝d，∴aπ＋b＝cπ＋d.
必要性：∵aπ＋b＝cπ＋d，∴aπ－cπ＝d－b.
即(a－c)π＝d－b.
∵d－b∈Q，∴a－c＝0，d－b＝0.
即a＝c，b＝d
∴是充要条件．
18．(本小题满分12分)已知集合E＝{x||x－1|≥m}，F＝{x|10
x＋6
>1}．
(1)若m＝3，求E∩F；
(2)若E∪F＝R，求实数m的取值范围．
解析(1)m＝3时，E＝{x||x－1|≥3}＝{x|x≤－2或x≥4}，
F＝{x|10
x＋6>1}＝{x|
x－4
x＋6
<0}＝{x|－6<x<4}．
∴E∩F＝{x|x≤－2或x≥4}∩{x|－6<x<4}＝{x|－6<x≤－2}．
(2)∵E＝{x||x－1|≥m}，
①m≤0时，E＝R，E∪F＝R，满足条件．
②m>0时，E＝{x|x≤1－m或x≥1＋m}，
由E ∪F ＝R ，F ＝{x |－6<x <4}， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
1－m ≥－6，1＋m ≤4，m >0，
解得0<m ≤3.
综上，实数m 的取值范围为m ≤3. 19．(本小题满分12分)解不等式：2x x －1>1|x |
.
解析 (1)当x >0时，2x x －1>1x ⇒2x 2
－x ＋1
x (x －1)
>0，∵2x 2－x ＋1>0.
∴x (x －1)>0，∴x >1. (2)当x <0时，2x x －1
>－1
x ，
∵x －1<0，x <0，不等式两边同乘以x (x －1)得： 2x 2>－(x －1)，即2x 2＋x －1>0， 得x <－1或x >1
2.
由x <0，得：x <－1.
综上，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)设全集U ＝R ，函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋a －1)(a <1)的定义域为A ，集合B ＝{x |cos πx ＝1}，若(∁U A )∩B 恰有2个元素，求a 的取值集合．
解析 依题意得|x ＋1|＋a －1>0，即|x ＋1|>1－a ， ∵a <1，∴1－a >0，∴x ＋1>1－a 或x ＋1<a －1， 即x >－a 或x <a －2，
∴A ＝(－∞，a －2)∪(－a ，＋∞)， ∴(∁U A )＝[a －2，－a ]．
又∵cos πx ＝1，∴πx ＝2kπ，∴x ＝2k (x ∈Z)， ∴B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z}．
∵(∁U
A )∩
B 恰有2个元素，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a <1，0≤－a <2，
－4<a －2≤－2，
解得－2<a ≤0.
∴a 的取值集合为(－2,0]．
21．(本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数，命题q ：当x ∈[1
2，
2]时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1
c
恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围．
解析 由命题p 知0＜c ＜1， 由命题q 知：2≤x ＋1x ≤5
2
.
要使此式恒成立，则2＞1c ，即c ＞1
2.
又由p 或q 为真，p 且q 为假知， p 、q 必有一真一假，
①p 为真，q 为假时，p 为真，0＜c ＜1； q 为假，c ≤12，∴0＜c ≤1
2
.
②p 为假，q 为真时，p 为假，c ≤0或c ≥1； q 真，c ＞1
2
，∴c ≥1.
综上可知，c 的取值范围为0＜c ≤1
2
或c ≥1.
22．(本小题满分12分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1|≤m } (1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．若存在，求m 的范围． (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件．若存在，求出m 的范围． 解析 (1)P ＝{x |－2≤x ≤10}， S ＝{x |1－m ≤x ≤m ＋1} 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－m ＝－21＋m ＝10
，∴m 不存在． (2)若存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，
∴S ⊆P .
若m ＜0，即S ＝∅时，满足条件． 若S ≠∅，应有⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋1≥1－m 1－m ≥－2
m ＋1≤10
解之得 0≤m ≤3.
综之得，m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．
第二章 单元能力测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 的映射，则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．2个
答案 A
解析 当f (0)＝－1时f (1)可以是0或1，则有2个映射． 当f (0)＝0时，f (1)＝1，则有1个映射． 2．函数y ＝1
ln (x －1)的定义域为( )
A ．(1，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(1,2)∪(2，＋∞)
D ．(1,2)∪[3，＋∞)
答案 C
解析 由ln(x －1)≠0得x －1>0且x －1≠1，由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝
1
ln (x －1)的定义域是(1,2)∪(2，＋∞)．
3．已知f (x )＝a |x －a |(a ≠0)，则“a <0”是“f (x )在区间(0,1)内单调递减”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 f (x )＝a |x －a |(a ≠0)在(0,1)内单调递减的充要条件是a <0或a ≥1，故选A. 4．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A ．2 B.2
3 C.13 D ．1
答案 B
解析 由题可知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[1
3
，1]，所以b －a
的最小值为2
3
.故选B.
5．设f (x )是R 上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3
x )，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )等于( )
A ．x (1＋3
x ) B ．－x (1＋3
x ) C ．－x (1－3
x ) D ．x (1－3
x )
答案 C
解析 令x <0，则－x >0 ∴f (－x )＝－x (1＋
3
－x )＝－x (1－3
x )
∵f (－x )＝f (x )＝－x (1－3
x )
6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝(13)x ，那么f －1(0)＋f －
1(－9)
的值为( )
A ．7
B ．2或7
C ．7或12
D ．2
答案 D
7．已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( )
A ．f (6)>f (7)
B ．f (6)>f (9)
C ．f (7)>f (9)
D ．f (7)>f (10)
答案 D
解析 y ＝f (x ＋8)可看作是y ＝f (x )左移8个单位 ∴y ＝f (x )关于x ＝8对称，两侧单调性相反． 8．函数y ＝2
－|x |
的单调递增区间是( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(0，＋∞)
D ．非奇非偶函数
答案 B
解析 画出y ＝2－|x |的图象如图：
故选B.
9．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b －3(x ∈R )图象恒过点(2,0)，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B.15 C ．4 D.14
答案 B
解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b －3的图象恒过点(2,0)，∴4＋2a ＋b －3＝0，即2a ＋b ＋1＝0，则a 2＋b 2＝a 2＋(1＋2a )2＝5a 2＋4a ＋1
＝5(a ＋25)2＋15，∴a 2＋b 2的最小值为1
5
.
10．已知偶函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋1)＝f (x －1)，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝3x ＋4
9，则
f (lo
g 1
3
5)的值等于( )
A ．－1 B.2950 C.10145 D ．1
答案 D
解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x ＋2)＝f (x )，函数y ＝f (x )是以2为周期的周期函数． 因为log 135∈(－2，－1)，log 135＋2＝log 135
9∈(0,1)，
又f (x )为偶函数且x ∈[－1,0]，f (x )＝3x ＋4
9，
∴当x ∈[0,1]时，f (x )＝3－x ＋4
9
，
所以f (log 135)＝f (log 135＋2)＝f (log 1359)＝3－log 1359＋49＝3log 359＋49＝59＋4
9＝1，故选D.
11．将函数y ＝3
x ＋a 的图象C 向左平移一个单位后，得到的是函数y ＝f (x )的图象，若y
＝f (x )的反函数是一个奇函数，则实数a 的值是( )
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．－3
答案 C
12．函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －
1－2 (x ≤1)
31－x －2 (x >1)的值域是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－2，＋∞)
C ．(－∞，－1]
D ．(－2，－1]
答案 D
解析 当x ≤1 时，y ＝3x －1－2， ∵0<3x －1≤1，∴－2<y ≤－1. 当x >1时，0<31－x <1， ∴－2<y <－1，
综上得：－2<y ≤－1，∴选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知f (x )＝ax －1
2，f (lg a )＝10，则a 的值为________．
答案 10或10－1
2
解析 a lg a －
12＝
10，两边取10为底的对数得(lg a －12)lg a ＝12，解得lg a ＝1或lg a ＝－1
2
，
故a ＝10或
a ＝10－1
2.
14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1
f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，
则f (1.5)＝________.
答案 2.5
解析 f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1
f (x ＋2)＝f (x )，故T ＝4，
∴f (1.5)＝f (1.5－4)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5.
15．某厂有形状为直角梯形的边角料，现从中截取矩形铁片(如图所示)，当矩形面积最大时，矩形的两边x ，y 分别应为________．
答案 x ＝15，y ＝12
解析 由三角形相似的性质可得：x 24－y ＝20
24－8
， ∴16x ＝480－20y ，y ＝24－4
5x .
∴S ＝x ·y ＝x ·(24－45x )＝24x －4
5x 2
＝－45(x －15)2＋4
5×152.
当x ＝15，y ＝12时，S 最大．
16．设f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f (x ＋3
x ＋4)的所有x 的和
为________．
答案 －8
解析 依题意，当f (x )＝f (x ＋3x ＋4)时，x ＝x ＋3x ＋4，即x 2
＋3x －3＝0，此时满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)
的x 的和为x 1＋x 2＝－3；又f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (－x )＝f (x ＋3x ＋4)，即－x ＝x ＋3
x ＋4，
即x 2
＋5x ＋3＝0，∴满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的x 的和为x 3＋x 4＝－5.∴满足f (x )＝f (x ＋3
x ＋4
)的所有x 的
和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－3＋(－5)＝－8.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝1x 2＋1
，令g (x )＝f (1
x )．
(1)如图，已知f (x )在区间[0，＋∞)的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据；
(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．
解析 (1)∵f (x )＝1x 2＋1，所以f (x )的定义域为R ，又任意x ∈R ，都有f (－x )＝1
(－x )2＋1
＝
1
x 2＋1
＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，
故f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示
(2)∵g (x )＝f (1x )＝1(1x )2＋1
＝x 2
1＋x 2(x ≠0)， ∴g (x )＋f (x )＝11＋x 2＋x 2
1＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1， 即g (x )＋f (x )＝1(x ≠0)
点评 利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称．
18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
(x ＋2)2
， x <0，4， x ＝0
(x －2)2， x >0.
(1)写出f (x )的单调区间； (2)若f (x )＝16，求相应x 的值．
解析 (1)当x <0时，f (x )在(－∞，－2]上递减，在(－2,0)上递增； 当x >0时，f (x )在(0,2]上递减，在(2，＋∞)上递增．
综上，f (x )的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]． (2)当x <0时，f (x )＝16，即(x ＋2)2＝16，解得x ＝－6； 当x >0时，f (x )＝16，即(x －2)2＝16，解得x ＝6. 故所求x 的值为－6或6.
19．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－x ＋k ，且log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k (a ＞0，a ≠1) (1)求a ，k 的值；
(2)当x 为何值时，f (log a x )有最小值？并求出该最小值．
解析 (1)由题得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－a ＋k ＝4 (1)
(log 2a )2
－log 2a ＋k ＝k (2)
由(2)得log 2a ＝0或log 2a ＝1 解得a ＝1(舍去)或a ＝2 由a ＝2得k ＝2
(2)f (log a x )＝f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2
当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log a x )有最小值，最小值为7
4
.
20．(本小题满分12分)(1)已知函数y ＝ln(－x 2＋x －a )的定义域为(－2,3)，求实数a 的取值范围；
(2)已知函数y ＝ln(－x 2＋x －a )在(－2,3)上有意义，求实数a 的取值范围． 解 (1)据题意，不等式－x 2＋x －a >0的解集为(－2,3)， ∴方程－x 2＋x －a ＝0的两根分别为－2和3. ∴a ＝(－2)×3＝－6.
(2)据题意，不等式－x 2＋x －a >0的解集{x |－x 2＋x －a >0}⊇(－2,3)， ∴方程f (x )＝－x 2＋x －a ＝0的两根分别在(－∞，－2]和[3，＋∞)内．
∴⎩⎨⎧
Δ>0
f (－2)≥0f (3)≥0
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
a <14
a ≤－6⇒a ≤－6.a ≤－6
.
∴a 的取值范围为a ≤－6.
21．(本小题满分12分)某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k
m ＋1(k 为常数)，如果
不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2010年该产品的利润y (万元)表示为m 的函数． (2)该厂家2010的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大．
分析 (1)本题含有多个计算公式：年利润＝年销售收入－总成本；年销售收入＝年销售量×销售价格；总成本＝产品成本＋促销费用；销售价格1.5×每件产品平均成本；产品成本＝固定投入＋再投入；每件产品年平均成本＝产品成本/年销售量．(2)转化为求函数y ＝f (m )的最大值．
解析 (1)由题意可知当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，即k ＝2. ∴x ＝3－2
m ＋1
.
由题意，得每件产品的销售价格为1.5×8＋16x
x (元)，
则2010年的利润
y ＝x [1.5×8＋16x
x ]－(8＋16x ＋m )
＝4＋8x －m ＝4＋8(3－2
m ＋1)－m
＝－16m ＋1－m ＋28(m ≥0)，
即y ＝－16
m ＋1－m ＋28(m ≥0)．
(2)下面证明当0≤m ≤3时，函数y ＝－16
m ＋1
－m ＋28是增函数． 设0≤m 1＜m 2≤3，则
y 1－y 2＝(－16m 1＋1－m 1＋28)－(－16
m 2＋1－m 2＋28)
＝(16m 2＋1－16
m 1＋1)＋(m 2－m 1) ＝
16(m 1－m 2)
(m 2＋1)(m 1＋1)＋(m 2－m 1)
＝(m 1－m 2)[16
(m 2＋1)(m 1＋1)
－1]，
∵0≤m 1＜m 2≤3，
∴m 1－m 2＜0,0＜(m 2＋1)(m 1＋1)＜16. ∴16
(m 2＋1)(m 1＋1)＞1. ∴16
(m 2＋1)(m 1＋1)－1＞0. ∴y 1＜y 2.
∴当0≤m ≤3时，函数y ＝－
16
m ＋1
－m ＋28是增函数． 同理可证，当m ＞3时，函数y ＝－
16
m ＋1
－m ＋28是减函数． 则当m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)，
∴该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元． [注]：也可用导数法求最值．
22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图象关于原点对称．
(1)求f (x )和g (x )的解析式；
(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解 (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． ∵f (x )图象的对称轴是x ＝－1，
∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x .
由函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .
(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数； ②当λ<－1时，h (x )图象对称轴是x ＝λ－1
λ＋1
，
则
λ－1
λ＋1
≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1
λ＋1≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0.
综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．
第三章 单元能力测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)＜0 B ．f ′(x 0)＞0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在
答案 B
2．三次函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝1
3
答案 A
解析 y ′＝3ax 2－1，由y ′≤0得3ax 2－1≤0. ∴a ≤0.
3．如果函数f (x )＝x 4－x 2，那么f ′(i)＝( ) A ．－2i B ．2i C ．6i D ．－6i 答案 D
解析 因为f ′(x )＝4x 3－2x ，所以f ′(i)＝4i 3－2i ＝－6i. 4．若对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数为( ) A ．f (x )＝x 4 B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1 D ．f (x )＝x 4＋2 答案 B
解析 用f (1)＝－1验证即可．
5．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )
答案 D
解析 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )的该区间上单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项满足题意．
6．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )
A ．f (x )的极大值为f (3，极小值为f (－3)
B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)
C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)
D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3) 答案 D
解析 由函数y ＝x ·f ′(x )的图象可知 x ∈(－∞，－3)，f ′(x )<0，f (x )单减 x ∈(－3,3)，f ′(x )>0，f (x )单增
x ∈(3，＋∞)，f ′(x )<0，f (x )单减，∴选D.
7．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B.π
4 C ．1 D.π2
答案 B
解析 f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x ＋e x (－sin x )＝e x (cos x －sin x )，则函数f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(x )|x ＝0＝e x (cos x －sin x )|x ＝0＝e 0＝1，故切线的倾斜角为π
4
，故选B.
8．(2011·《高考调研》原创题)家电下乡政策是应对金融危机，积极扩大内需的重要举措．我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预期运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下
图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
答案 B
解析 由题意可知，运输效率越来越高，只需曲线上点的切线的斜率越来越大即可，观察图形可知，选项B 满足条件，故选B.
9．已知f (x )＝{ 2x ＋3，x ≠，x ＝1，下面的结论正确的是( )
A ．f (x )在x ＝1处连续
B ．f (1)＝5 C.lim x →
1
f (x )＝2 D.lim x →
1
f (x )＝5 答案 D
解析 当x ≠1时，lim x →
1
(2x ＋3)＝5≠2，故A 、C 错误．故选D. 10．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
1f (n )n ∈(N *)的前n 项和( )
A.n n －1
B.n ＋1n
C.n n ＋1
D.n ＋2n ＋1
答案 C
解析 ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ，又f ′(x )＝2x ＋1.
∴{
m ＝2，m －1＝1.∴m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x .
⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1n 2＋n ，a n ＝1n 2＋n ＝1n －1
n ＋1
， S n ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1
.
11．(2010·江西卷)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )
A ．26
B ．29
C ．212
D ．215
答案 C
解析 f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x
所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 12．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－1
2，b ＝log 32，则下列关
系正确的是( )
A ．f (a )>f (b )
B ．f (a )<f (b )
C ．f (a )＝f (b )
D ．f (|a |)<f (b )
答案 A
解析 f (x )＝sin x ＋2xf ′(π
3)
∴f ′(x )＝cos x ＋2f ′(π
3)
∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)
∴f ′(π3)＝－cos π3＝－12
∴f ′(x )＝cos x －1≤0，∴f (x )为减函数 ∵b ＝log 32>log 31＝0>－12＝a
∴f (a )>f (b )．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．li m x →π 2sin 2x
1＋cos 3x 的值是________．
答案 43
解析 约掉零因子1＋cos x .
14．已知曲线y ＝－1
3x 3＋2与曲线y ＝4x 2－1在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为
________．
答案 12
解析 ∵两曲线在x 0处切线互相垂直
∴(－x 20)·(8x 0)＝－1 ∴x 0＝12
.
15．若函数y ＝－4
3x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
解析 若函数y ＝－4
3x 3＋bx 有三个单调区间，则其导数y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相
等的实数根，所以b >0.
16．(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．
答案 21
解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的
交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝1
2，∴a 3
＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值． 解 (1)∵f (x )为奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12， 又直线x －6y －7＝0的斜率为1
6，
因此，f ′(1)＝3a ＋b ＝－6， ∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.
(2)单调递增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)． f (x )在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8 2.
18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值1
2
.
(1)求a ，b 的值；
(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． 解 (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b
x
.
又函数f (x )在x ＝1处有极值1
2
，
所以⎩⎨⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12.即⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝0，a ＝12.解得⎩⎨⎧
a ＝12，
b ＝－1.
(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x .
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以函数y ＝f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．
19．(本题满分12分)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr 2
分，其中r 是瓶子的半径，单位是cm ，已知每出售1 mL 饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6 cm.
试求出瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大或最小． 解析 由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是 y ＝f (r )＝0.2×4
3πr 3－0.8πr 2
＝0.8π(r 33－r 2
)，0<r ≤6.
f ′(r )＝0.8π(r 2－2r )， 当r ＝2时，f ′(r )＝0.
当r ∈(0,2)时，f ′(r )<0；当r ∈(2,6)时，f ′(r )>0.
因此，当半径r >2时，f ′(r )>0，它表示f (r )单调递增，即半径越大，利润越高；半径r <2时，f ′(r )<0，它表示f (r )单调递减，即半径越大，利润越低．
所以半径为2 cm 时，利润最小，这时f (2)<0，表示此种瓶装饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6 cm 时，利润最大．
20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝1
2
x 2－m ln x .
(1)若函数f (x )在(1
2，＋∞)上是递增的，求实数m 的取值范围；
(2)当m ＝2时，求函数f (x )在[1，e ]上的最大值和最小值．
解析 (1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0在(1
2，＋∞)上恒成立．
而f ′(x )＝x －m x ，即m ≤x 2在(12，＋∞)上恒成立，即m ≤1
4
.
(2)当m ＝2时，f ′(x )＝x －2x ＝x 2
－2
x
，
令f ′(x )＝0得x ＝±2，
当x ∈[1，2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，e )时，f ′(x )>0，故x ＝2是函数f (x )在[1，e ]上唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (2)＝1－ln2，又f (1)＝12，f (e )＝12e 2
－2＝e 2－42>12，故f (x )max
＝e 2－4
2
.
21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .
(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间； (2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求b
a －1的范围．
解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 依题意得{
f ′(2)＝0，f (2)＝－6，
解得⎩
⎨⎧
a ＝－52，
b ＝－2.
∴f ′(x )＝3x 2－5x －2. ∴令f ′(x )<0，得－1
3
<x <2.
∴y ＝f (x )的单调递减区间是(－1
3
，2)．
不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：
∴Q 点的坐标为(0，－1)．
设z ＝b
a －1，则z 表示平面区域内的点(a ，
b )与点P (1,0)连线的斜率．
∵K PQ ＝1，由图可知z ≥1或z <－2，
即z ＝b
a －1
的范围是(－∞，－2)∪[1，＋∞)．
22．(本题满分12分)(2010·湖北卷，理)已知函数f (x )＝ax ＋b
x ＋c (a >0)的图象在点(1，f (1))
处的切线方程为y ＝x －1.
(1)用a 表示出b ，c ；
(2)若f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解析
(1)f ′(x )＝a －b
x 2
，则有{
f (1)＝a ＋b ＋c ＝
f ′(1)＝a －b ＝1，解得
{
b ＝a －1，
c ＝1－2a .
(2)由(1)知，f (x )＝ax ＋a －1
x
＋1－2a .
令g (x )＝f (x )－ln x ＝ax ＋a －1
x
＋1－2a －ln x ，x ∈[1，＋∞)，
则g (1)＝0，g ′(x )＝a －a －1x 2－1x ＝ax 2
－x －(a －1)x 2＝a (x －1)(x －1－a
a
)x 2
，
(ⅰ)当0<a <1
2时，1－a a
>1.
若1<x <1－a
a ，则g ′(x )<0，g (x )是减函数，所以g (x )<g (1)＝0，
即f (x )<ln x ．故f (x )≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立． (ⅱ)当a ≥1
2时，1－a a
≤1.
若x >1，则g ′(x )>0，g (x )是增函数，所以g (x )>g (1)＝0，
即f(x)>ln x，故当x≥1时，f(x)≥ln x.
，＋∞)．综上所述，所求a的取值范围为[1
2
第四章 单元能力测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)
1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－8
答案 A
解析 a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24 2a 9－a 10＝2(a 8＋d )－(a 8＋2d )＝a 8＝24
2．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29
a 11的值为( )
A ．9
B ．1
C ．2
D ．3
答案 D
解析 由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得
a 7＝3，又a 2
9a 11＝a 7a 11
a 11
＝a 7，故
选D.
3．夏季高山上气温从山脚起每升高100 m 降低0.7 ℃，已知山顶的气温是14.1 ℃，山脚的气温是26 ℃.那么，此山相对于山脚的高度是( )
A ．1500 m
B ．1600 m
C ．1700 m
D ．1800 m
答案 C
4．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f (n )＋n
2
(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( ) A ．95 B ．97 C ．105 D ．192 答案 B
解析
f (n ＋1)＝f (n )＋n 2
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
f (20)＝f (19)＋
192
f (19)＝f (18)＋182……
f (2)＝f (1)＋12
累加得：f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋19
2)＝f (1)＋19×204＝97.
5．若a
x －1
，a y ，a
－x ＋1
(a >0，且a ≠1)成等比数列，则点(x ，y )在平面直角坐标系内的
轨迹位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 D 解析 ∵成等比， ∴(a y )2＝a x －1
·a －
x ＋1
，
即2y ＝
x －1－x ＋1，
x －1>0，∴x >1.
x －1<x ＋1，∴y <0.∴位于第四象限
6．已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项的和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是( ) A ．a 9S 8>a 8S 9 B ．a 9S 8<a 8S 9 C ．a 9S 8≥a 8S 9 D ．a 9S 8≤a 8S 9
答案 A
解析 a 9S 8－a 8S 9＝a 9a 1(1－q 8)1－q －a 8a 1(1－q 9)1－q ＝a 8a 1(q －q 9－1＋q 9)1－q
＝－a 1a 8＝－a 21q 7
，
因为a 21>0，q <0，所以－a 21q 7
>0，即a 9S 8>a 8S 9，故选A.
7．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2
n ＝1的离心率为
( )
A.12
B.22
C.32
D.33
答案 B
解析 由题意知2n ＝m ＋m ＋n
∴n ＝2m ，n 2＝m ·m ·n ，∴n ＝m 2，∴m 2＝2m ∴m ＝2，∴n ＝4，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2 ∴e ＝c a ＝22
8．设等比数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝1，那么lim n
→∞
S n 的值为( ) A.83 B.43 C.32 D.23
答案 A
解析 易求q ＝12，a 1＝43，∴lim n →∞
S n
＝a 11－q ＝8
3
. 9．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )
A ．8
B ．－8
C ．－6
D ．不确定
答案 B
解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2 ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.
10．数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *
且n ≥2)则此数列为( )
A ．等差数列
B ．等比数列
C ．从第二项起为等差数列
D ．从第二项起为等比数列 答案 D
解析 S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0 ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1，∴a n ＋1＝2a n 又a 1＝1 a 2＝1，∴从第二项起为等比数列
11．等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则lim n →∞ a n b n 等于( )
A ．1 B.
63
C.2
3 D.49
答案 C
解析 根据等差数列性质有
a n ＝12(a 1＋a 2n －1)＝12n －1S 2n －1
b n ＝12(b 1＋b 2n －1)＝12n －1T 2n －1
故lim n
→∞
a n
b n ＝lim n →∞ S 2n －1T 2n －1＝lim n →∞ 4n －26n －2
＝lim n →∞
2－1n 3－1n
＝2
3
12．定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1
a n
＝d (n ∈N *，d 为常数)，我们称{a n }为“等
差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝2，则a 2009
a 2006
的个位数字是( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
答案 C
解析 由a 1＝a 2＝1，a 3＝2，得a 3a 2－a 2
a 1＝1＝d ，设a n ＋1a n ＝
b n ，则b n ＋1－b n ＝1，且b 1＝1.
∴b n ＝n ，即a n ＋1
a n
＝n ，
∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n
a n －1＝1×1×2×3×…×(n －1)，
∴a 2009
a 2006
＝2006×2007×2008，它的个位数字是6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝31
32，则公比q 等于________．
答案 －1
2
解析 S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－1
2
.
14．某人从2009年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到2009年12月底取出的本利和应是________元．
答案 1223.4
解析 应为1200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1200＋0.3×12×13
2
＝1223.4(元)．
15．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝a 5，则S 11＝________. 答案 0
解析 ∵a 3＋a 8＝a 5＋a 6，∴a 5＋a 6＝a 5，∴a 6＝0，∴S 11＝
11(a 1＋a 11)2＝11·2a 6
2
＝11·a 6＝0. 16．数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1
b n
＝0的两个根，则数列{b n }
的前n 项和S n 等于________．
答案
n n ＋1
解析 a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n a n ＋1＝1b n ，b n ＝1a n a n ＋1
.由a 1＝1，得a 2＝2，a 3＝3，S 1＝1
b 1＝
1a 1a 2＝12，S 2＝1b 1＋1b 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝11×2＋12×3＝23.可得，S n ＝n
n ＋1
. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在等比数列{a n }中，已知a 3＝112，S 3＝41
2，求a 1与q .
解析 ①当q ＝1时，S 3＝3a 3成立，此时a 1＝3
2
；
②当q ≠1
时，由题意，⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1q 2＝3
2
，
a 1
(1－q 3
)
1－q ＝92.解得a 1＝6，q ＝－12
.所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝32
，q ＝1
或
⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝6，
q ＝－12.
18．(本小题满分12分)已知数列{a n }成等差数列，S n 表示它的前n 项和，且a 1＋a 3＋a 5
＝6，S 4＝12.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)数列{a n S n }中，从第几项开始(含此项)以后各项均为正整数？
解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
3a 1＋6d ＝6
4a 1＋6d ＝12
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝6
d ＝－2
∴a n ＝－2n ＋8 (n ∈N *)
(2)a n S n ＝(－2n ＋8)(－n 2＋7n )
∵－2n ＋8从第5项起为负数，－n 2＋7n 从第8项起为负数． ∴a n ·S n 从第8项起，恒为正整数
19．(本小题满分12分)(2010·山东卷，理)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .
(1)求a n 及S n ；
(2)令b n ＝1
a 2n －1(n ∈N *)，求数列{
b n }的前n 项和T n .
解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2.
由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )
2，
所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)． (2)因为a n ＝2n ＋1， 所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，
因此b n ＝14n (n ＋1)＝14(1n －1n ＋1)．
故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1) ＝
n
4(n ＋1)
，
所以数列{b n }的前n 项和T n ＝
n
4(n ＋1)
.
20．(本小题满分12分)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．
(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；
(2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋1
2，求数列{b n }的前n 项和S n .
解 (1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2，
a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)， 得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝3
2
.
当λ＝32时，a 2＝2×32－2＝1，a 1＝a 2，故λ＝3
2不合题意舍去；
当λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2可得a n －a n －1＝－1， ∴数列{a n }构成首项为a 1＝1，d ＝－1的等差数列， ∴a n ＝2－n .
(2)当λ＝3时，a n ＝3a n －1＋1， 即a n ＋12＝3(a n －1＋1
2
)，即b n ＝3b n －1，
∴数列{b n }构成首项为b 1＝3
2
，公比为3的等比数列，
∴b n ＝32×3n －1＝3n
2
， ∴S n ＝3
2(1－3n )1－3
＝34(3n －1)．
21．(本小题满分12分)(2010·四川卷，文)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(4－a n )q n －
1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .
解析 (1)设{a n }的公差为d .由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
3a 1＋3d ＝6，
8a 1＋28d ＝－4.
解得a 1＝3，d ＝－1. 故a n ＝3－(n －1)＝4－n .
(2)由(1)的解答可得，b n ＝n ·q n －1，于是 S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.
若q ≠1，将上式两边同乘以q 有qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n . 两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1. ＝nq n
－q n －1q －1
＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1
于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1
(q －1)2
.
若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2.
所以，S n
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
n (n ＋1)2，(q ＝1)，
nq n ＋1
－(n ＋1)q n ＋1
(q －1)2
，(q ≠1).
22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －2
2n －1>2010的n
的最小值．
解析 (1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)．两式相减得a n ＝2a n －1＋1.
所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}为等比数列． 因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1. a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n .
所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2×22－2n ＋11－2
－(2n ＋1)·2n ＋1
＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1. 所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1. 若
T n －2
2n －1>2010， 则2＋(2n －1)·2n ＋12n －1
>2010，即2n ＋1>2010.
由于210＝1024,211＝2048，所以n ＋1≥11，即n ≥10. 所以满足不等式T n －2
2n －1>2010的n 的最小值是10.
1．(2010·江西卷，文)等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( )
A ．(－2)n －
1
B ．－(－2)n －
1
C ．(－2)n
D ．－(－2)n
答案 A
解析 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1.
2．曲线y ＝1－x 2上存在不同的三点到点(2,0)的距离构成等比数列，则构成的等比数列的公比不可能是( )
A.3
2 B.3
3
C.12
D. 3
答案 C
解析 易知曲线y ＝
1－x 2是半圆，不妨设点(2,0)到曲线y ＝
1－x 2上不同的三点的距
离分别为d 1，d 2，d 3，它们构成的等比数列的公比为q .不妨令d 3＝d 1q 2，显然1≤d 3≤3，所以1d 1≤q 2≤3d 1，又1≤d 1≤3，所以33≤q ≤3，q 不能取到1
2
，故选C.。