2018-2019学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级(下)第一次月考数学试卷

2018-2019学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（下）
第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，12小题，共36分）
1．（3分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（）
A．3x（x﹣4）＝0B．x2+y﹣3＝0C．+x＝2D．x3﹣3x+8＝0 2．（3分）下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）
A．x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+3＝0C．x2+x﹣1＝0D．x2+4＝0
3．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）4．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（）
A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1D．y＝（x+2）2﹣1 5．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）
A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣2）2＝5D．（x+2）2＝5 6．（3分）二次函数y＝﹣x2+2x﹣5有（）
A．最大值﹣5B．最小值﹣5C．最大值﹣4D．最小值﹣4 7．（3分）若关于x的方程2x2﹣ax+2b＝0的两根和为4，积为﹣3，则a、b分别为（）A．a＝﹣8，b＝﹣6B．a＝4，b＝﹣3C．a＝3，b＝8D．a＝8，b＝﹣3 8．（3分）关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，下列说法中错误的是（）A．当x＜2，y随x的增大而减小
B．函数的对称轴是直线x＝1
C．函数的开口方向向上
D．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
9．（3分）已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（）
A．1＜L＜5B．2＜L＜6C．5＜L＜9D．6＜L＜10 10．（3分）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线A B将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）
（ （ （
A ．1 或 9
B ．3 或 5
C ．4 或 6
D ．3 或 6
11．
（3 分）若二次函数 y ＝x 2﹣6x +c 的图象过 A （﹣1，y 1），B （2，y 2），C （
，y 3），
则 y 1，y 2，y 3 的大小关系是（
）
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 1＞y 3＞y 2
C ．y 2＞y 1＞y 3
D ．y 3＞y 1＞y 2
12．（3 分）股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，
叫做涨停；当跌了原价的 10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之
后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为 x ，则 x 满足的方程是
（
）
A ．（1+x ）2＝
C ．1+2x ＝
B ．（1+x ）2＝
D ．1+2x ＝
二、选择题（每小题 3 分，6 小题，共 18 分）
13．3 分
）二次函数 y ＝x 2+bx +c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表，则 m 的值为 ．
x
y
﹣2
7 ﹣1
2
﹣1 1
﹣2
2
m
3
2 4
7
14．（3 分）若 a 是方程 x 2﹣2x ﹣1＝0 的解，则代数式 2a 2﹣4a+2018 的值为
．
15．（3 分）与抛物线 y ＝﹣ +3 关于 x 轴对称的抛物线的解析式为
．
16．（3 分）已知函数 y ＝﹣x 2﹣2x ，当
时，函数值 y 随 x 的增大而增大．
17． 3 分）关于 x 的一元二次方程 x 2+2x ﹣2m +1＝0 的两实数根为一正一负，则实数 m 的取
值范围是
．
18． 3 分）如图是二次函数 y ＝ax 2+b x +c 图象的一部分，其对称轴为 x ＝﹣1，且过点（﹣3，
0）
．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若（﹣5，y 1），（ ，y 2）
是抛物线上两点，则 y 1＞y 2．其中说法正确的是
．
三、解答题（第19、20题每题6分，第21、22、23、24题每题8分，第25题9分，第26题10分，共63分）
19．（6分）用适当的方法解下列一元二次方程．
（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）
（2）（3m+2）2﹣7（3m+2）+10＝0
20．（6分）已知函数y＝x2+b x+c经过（1，3），（4，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求当函数值y＞0时自变量x的范围．
21．（8分）关于x的方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根α，β．（1）求k的取值范围：
（2）α+β+αβ＝5，求（α﹣β）2+3αβ﹣5的值．
22．（8分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端梯子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y＝﹣x2+3x+1的一部分，如图所示
（1）求演员弹跳离地面的最大高度：
（2）已知人梯高BC＝3.4，在一次表演中，人梯到起跳点A到水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
23．（8分）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
|
（1）P ，Q 两点从出发开始到几秒时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm 2？
（2）P ，Q 两点从出发开始到几秒时，点 P 和点 Q 的距离第一次是 10cm ？
24．（8 分）我校上个月进行了义卖活动，某班购进了一批单价为20 元的某种商品在课余时
间进行义卖，并将所得利润捐给希望工程，经实验发现，若每件按 24 元的价格销售时，
每天能卖出 36 件：若每件按 29 元的价格销售时，每天都能卖出 21 件，假定每天销售件
数 y （件）与销售价格 x （元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数．
（1）求 y 与 x 满足的函数表达式（不要求写出 x 的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的
利润 p 最大？
25．（9 分）在学习一次函数时，我们采用翻折的方法画过形如y ＝|x|的函数图象，也接触到
形如：关于 x 的方程|x ﹣l|＝kx 有两个不同的根，求参数 k 的范围问题，一般解决就是设
y 1＝|x ﹣1|，y 2＝kx ，画出这两个函数的图象，方程x ﹣1|＝kx 有几个解就是这两个函数图
象有几个交点，采用数形结合的方法求出参数 k 的范围．
根据以前的学习经验与上述阅读材料解题：
（1）解方程：x 2﹣2x ﹣3＝0；
（2）请画出 y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（不要列表）；
（3）你能否用数形结合的方法解题（可以借助（2）的图象）：关于 x 的方程|x 2﹣2x ﹣3|
＝x +b 至少有三个不同的解，求 b 的范围．
26．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在 x 轴上，点 C 、D 在 y 轴上，且 OB ＝
OC ＝3，OA ＝OD ＝1，抛物线 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过 A 、B 、C 三点，直线 AD 与抛
物线交于另一点 M
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴上是否存在点 N ，使得 AN +CN 和最小？若存在，请求出所
有点 N 的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）已知P为抛物线上在直线AM下方的一动点，当△AMP面积最大时，求点P的坐标及面积最大值．
2018-2019学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学八年级（下）
第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，12小题，共36分）
1．（3分）有下列关于x的方程是一元二次方程的是（）
A．3x（x﹣4）＝0B．x2+y﹣3＝0C．+x＝2D．x3﹣3x+8＝0【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项正确；
B、不是一元二次方程，故此选项错误；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不
等于0”；“整式方程”．
2．（3分）下列一元二次方程中，有实数根的方程是（）
A．x2﹣x+1＝0B．x2﹣2x+3＝0C．x2+x﹣1＝0D．x2+4＝0
【分析】只要判断每个方程的根的判别式的值与零的关系就可以了．
【解答】解：A、＝（﹣△1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，没有实数根；
B、＝（﹣△2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，没有实数根；
C、＝△12﹣2×1×（﹣1）＝3＞0，有实数根；
D、＝△0﹣4×1×4＝﹣16＜0，没有实数根．
故选：C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（△1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（△2）＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（△3）＜0⇔方程没有实数根．
3．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标是（）
A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）【分析】由抛物线的解析式可求得答案．
【解答】解：
∵y＝2（x+3）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（﹣3，5），
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．（3分）将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（）
A．y＝（x﹣2）2+1B．y＝（x+2）2+1C．y＝（x﹣2）2﹣1D．y＝（x+2）2﹣1【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再确定平移后顶点坐标，然后写出平移的顶点式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点（2，1），
所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象与几何变换：抛物线的平移转化为顶点的平移．5．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）
A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣2）2＝5D．（x+2）2＝5【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：x2+4x＝﹣1，
配方得：x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3．
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用配方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边化为非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
6．（3分）二次函数y＝﹣x2+2x﹣5有（）
A．最大值﹣5B．最小值﹣5C．最大值﹣4D．最小值﹣4
【分析】用配方法配方成顶点式，可求二次函数的最大值．
【解答】解：配方，得y＝﹣（x﹣1）2﹣4
所以当x＝1时，y max＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数最大值的求法．二次函数的最大（小）值，即为顶点纵坐标的值，可以用配方法或公式法求解．
7．（3分）若关于x的方程2x2﹣ax+2b＝0的两根和为4，积为﹣3，则a、b分别为（）A．a＝﹣8，b＝﹣6B．a＝4，b＝﹣3C．a＝3，b＝8D．a＝8，b＝﹣3【分析】由关于x的方程2x2﹣ax+2b＝0的两根和为4，积为﹣3，直接利用根与系数的关系的知识求解即可求得答案．
【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣ax+2b＝0的两根和为4，积为﹣3，
∴﹣＝4，＝﹣3，
解得：a＝8，b＝﹣3．
故选：D．
【点评】此题考查了根与系数的关系．注意x1，x2是一元二次方程ax2+b x+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
8．（3分）关于二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象，下列说法中错误的是（）A．当x＜2，y随x的增大而减小
B．函数的对称轴是直线x＝1
C．函数的开口方向向上
D．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
【分析】把解析式化为顶点式可求得其开口方向、对称轴及增减性，令x＝0可求得抛物线与y轴的交点，则可求得答案．
【解答】解：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当x＜1时y随x的增大而减小，故B、C正确，A 不正确，
令x＝0可得y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），故D正确，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
9．（3分）已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（）
A．1＜L＜5B．2＜L＜6C．5＜L＜9D．6＜L＜10
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣5x+6＝0，得到x＝2或x＝3，即三角形的两边长是2和3，再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，从而得到三角形的周长L 的取值范围．
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x＝2或x＝3，即三角形的两边长是2和3，
∴第三边a的取值范围是：1＜a＜5，
∴该三角形的周长L的取值范围是6＜L＜10．
故选：D．
【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：把方程左边分解成两个一次式的乘积，右边为0，从而方程就转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．
10．（3分）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线A B将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）
A．1或9B．3或5C．4或6D．3或6
【分析】根据题意列方程，即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，
∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）＝×（6+9+x）×9﹣6×3，
解得x＝3，或x＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确分识别图形是解题的关键．11．（3分）若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（﹣1，y1），B（2，y2），C（，y3）分别代入二次函数的解析式y＝x2﹣6x+c求得y1，y2，y3，然后比较它们的大小并作出选择．
【解答】解：根据题意，得
y1＝1+6+c＝7+c，即y1＝7+c；
y2＝4﹣12+c＝﹣8+c，即y2＝﹣8+c；
y3＝9+2+6﹣18﹣6+c＝﹣7+c，
即y3＝﹣7+c；
∵7＞﹣7＞﹣8，
∴7+c＞﹣7+c＞﹣8+c，
即y1＞y3＞y2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征（图象上的点都在该函数的图象上）．解答此题时，还利用了不等式的基本性质：在不等式的两边加上同一个数，不等式仍成立．
12．（3分）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）
（
A ．（1+x ）2＝
C ．1+2x ＝
B ．（1+x ）2＝
D ．1+2x ＝
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的 90%，再从 90%的基础上涨到原来的价格，且
涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x ，每天相对于前一
天就上涨到 1+x ．
【解答】解：假设股票的原价是 1，设平均每天涨 x ．
则 90%（1+x ）2＝1，
即（1+x ）2＝ ，
故选：B ．
【点评】此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关
键在于理解：价格上涨 x%后是原来价格的（1+x ）倍．
二、选择题（每小题 3 分，6 小题，共 18 分）
13． 3 分）二次函数 y ＝x 2+b x +c 中
，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表，则 m 的值为 ﹣
1 ．
x
y
﹣2
7 ﹣1
2
﹣1 1
﹣2
2
m
3
2 4
7
【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对
称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求 m 的值．
【解答】解：根据图表可以得到，
点（﹣2，7）与（4，7）是对称点，
点（﹣1，2）与（3，2）是对称点，
∴函数的对称轴是：x ＝1，
∴横坐标是 2 的点与（0，﹣1）是对称点，
∴m ＝﹣1．
【点评】正确观察图象，能够得到函数的对称轴，联想到对称关系是解题的关键．
14．（3 分）若 a 是方程 x 2﹣2x ﹣1＝0 的解，则代数式 2a 2﹣4a+2018 的值为
2020 ．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到 a 2﹣2a ＝1，再把 2a 2﹣4a+2018 变形为 2（a 2
﹣2a ）+2018，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，
∴a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a+2018＝2（a2﹣2a）+2018＝2×1+2018＝2020．
故答案为2020．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
15．（3分）与抛物线y＝﹣+3关于x轴对称的抛物线的解析式为y＝x2﹣3．【分析】先利用顶点式得到＝﹣+3的顶点坐标为（0，3），再利用关于x轴对称点的坐标特征得到点（0，3）关于x轴对称的点的坐标为（0，﹣3），然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式．
【解答】解：y＝﹣+3的顶点坐标为（0，3），而点（0，3）关于x轴对称的点的坐标为（0，﹣3），
所以抛物线y＝﹣+3关于x轴对称后抛物线的解析式为y＝x2﹣3．
故答案为y＝x2﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16．（3分）已知函数y＝﹣x2﹣2x，当x＜﹣1时，函数值y随x的增大而增大．【分析】先运用配方法将抛物线写成顶点式y＝﹣（x+1）2+1，由于a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质可知当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，即可求出．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，
a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+b x+c（a≠0）的性质，确定抛物线的对称轴是解答
（ （
本题的关键，a ＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小；a ＜0，抛物
线开口向下，在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大．
17． 3 分）关于 x 的一元二次方程 x 2+2x ﹣2m +1＝0 的两实数根为一正一负，则实数 m 的取
值范围是 m ＞
．
【分析】设 x 1、x 2 为方程 x 2+2x ﹣2m +1＝0 的两个实数根．由方程有实数根以及两实数根
为一正一负可得出关于 m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：设 x 1、x 2 为方程 x 2+2x ﹣2m +1＝0 的两个实数根，
由已知得：
，即 ，
解得：m ＞ ．
故答案为：m ＞ ．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关
键是得出关于 m 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，
根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于 m 的一元一次不等式组是关
键．
18． 3 分）如图是二次函数 y ＝ax 2+b x +c 图象的一部分，其对称轴为 x ＝﹣1，且过点（﹣3，
0）
．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若（﹣5，y 1），（ ，y 2）
是抛物线上两点，则 y 1＞y 2．其中说法正确的是
①②④ ．
【分析】根据图象分别求出 a 、b 、c 的符号，即可判断①；根据对称轴求出 b ＝2a ，代
入 2a ﹣b 即可判断②；把 x ＝2 代入二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可判断
③；求出点（﹣5，y 1）关于直线 x ＝﹣1 的对称点的坐标，根据对称轴判断 y 1 和 y 2 的大
小，即可判断④．
【解答】解：①∵二次函数的图象开口向上，
（
∴a ＞0，
∵二次函数的图象交 y 轴的负半轴于一点，
∴c ＜0，
∵对称轴是直线 x ＝﹣1，
∴﹣
＝﹣1，
∴b ＝2a ＞0，
∴abc ＜0，
故①正确；
②∵b ＝2a ，
∴2a ﹣b ＝0，
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为 x ＝﹣1，且过点（﹣3，0）
，
∴抛物线与 x 轴另一交点为（1，0）．
∵当 x ＞﹣1 时，y 随 x 的增大而增大，
∴当 x ＝2 时 y ＞0，即 4a +2b +c ＞0，
故③错误；
④∵（﹣5，y 1）关于直线 x ＝﹣1 的对称点的坐标是（3，y 1），
又∵当 x ＞﹣1 时，y 随 x 的增大而增大，3＞ ，
∴y 1＞y 2，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 y ＝ax 2+b x +c （a ≠0），二次
项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当 a ＞0 时，抛物线向上开口；当 a ＜0 时，抛
物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时
（即 ab ＞0），对称轴在 y 轴左侧； 当 a 与 b 异号时（即 ab ＜0），对称轴在 y 轴右侧． 简
称：左同右异）．抛物线与 y 轴交于（0，c ）．抛物线与 x 轴交点个数：
＝△b 2﹣4ac ＞0
（ （
时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；
＝△b 2﹣4ac ＝0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； ＝△b 2
﹣4ac ＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点
三、解答题（第 19、20 题每题 6 分，第 21、22、23、24 题每题 8 分，第 25 题 9 分，第 26
题 10 分，共 63 分）
19．（6 分）用适当的方法解下列一元二次方程．
（1）3x （x ﹣2）＝2（x ﹣2）
（2）（3m +2）2﹣7（3m +2）+10＝0
【分析】 1）变形得到 3x （x ﹣2）﹣2（x ﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）把方程看作关于 3m +2 的方程，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）3x （x ﹣2）﹣2（x ﹣2）＝0，
（x ﹣2）（3x ﹣2）＝0，
x ﹣2＝0 或 3x ﹣2＝0，
所以 x 1＝2，x 2＝ ；
（2）[（3m +2）﹣5][（3m +2）﹣2]＝0，
3m +2﹣5＝0 或 3m +2﹣2＝0，
所以 m 1＝1，m 2＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出
方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20．（6 分）已知函数 y ＝x 2+b x +c 经过（1，3），（4，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求当函数值 y ＞0 时自变量 x 的范围．
【分析】 1）把点（1，3）
，（4，0）代入函数 y ＝x 2+b x +c 得出方程组，解方程组求出 b
和 c 的值即可；
（2）求出 y ＝0 时 x 的值，即可得出函数值 y ＞0 时自变量 x 的范围．
【解答】解：（1）∵函数 y ＝x 2+bx +c 经过（1，3），（4，0）
∴
解得：
，
，
∴抛物线的解析式为 y ＝x 2﹣6x +8；
（2）当 y ＝0 时，x 2﹣6x +8＝0，
（
解得：x ＝2 或 x ＝4，
即抛物线与 x 轴的交点为（2，0）、（4，0），
∵抛物线的开口向上，
∴当函数值 y ＞0 时自变量 x 的范围为 x ＜2 或 x ＞4．
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式、抛物线与 x 轴的交点以及方程组的
解法；熟练掌握二次函数的定义，求出抛物线解析式是解决问题的关键．
21．
（8 分）关于 x 的方程 x 2+（2k +3）x +k 2＝0 有两个不相等的实数根 α，β．
（1）求 k 的取值范围：
（2）α+β+αβ＝5，求（α﹣β）2+3αβ﹣5 的值．
【分析】 1）由于关于 x 的方程 x 2+（2k +3）x +k 2＝0 有两个不相等的实数根 α，β，那么
其判别式应该是一个正数，由此即可求出 k 的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可以得到 α+β＝﹣（2k +3），αβ＝k 2，而 α+β+αβ＝5，由此可
以求出 k 的值，再把（α﹣β）2+3αβ﹣5 变为（α+β）2﹣αβ﹣5，代入前面的值计算即可．
【解答】解：（1）∵关于 x 的方程 x 2+（2k +3）x +k 2＝0 有两个不相等的实数根 α，β，
∴ ＝（△2k +3）2﹣4k 2＝12k +9＞0，
解得：k ＞﹣ ；
（2）∵关于 x 的方程 x 2+（2k +3）x +k 2＝0 有两个实数根 α、β，
∴α+β＝﹣（2k +3），αβ＝k 2．
∵α+β+αβ＝5，
∴k 2﹣2k ﹣3＝5，
解得 k ＝4 或﹣2，
由（1）可知 k ＝﹣2 不合题意，舍去．
∴k ＝4，
∴α+β＝﹣11，αβ＝16，
则（α﹣β）2+3αβ﹣5＝（α+β）2﹣αβ﹣5＝121﹣16﹣5＝100．
【点评】本题考查的是一元二次方程的判别式、一元二次方程根与系数的关系， x 1，x 2
是一元二次方程 ax 2+b x +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝﹣ ，x 1•x 2＝
，反过来也成
立．
（
22．（8 分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端梯子 B 处，其身
体（看成一点）的路线是抛物线 y ＝﹣ x 2+3x +1 的一部分，如图所示
（1）求演员弹跳离地面的最大高度：
（2）已知人梯高 BC ＝3.4，在一次表演中，人梯到起跳点 A 到水平距离是 4 米，问这次
表演是否成功？请说明理由．
【分析】 1
）将二次函数化简为 y ＝﹣ （x ﹣ ）2+ ，即可解出 y 最大的值．
（2）当 x ＝4 时代入二次函数可得点 B 的坐标在抛物线上．
【解答】解：（1）将二次函数 y ＝﹣ x 2+3x +1 化成 y ＝ （x ﹣ ）2+ ，
当 x ＝ 时，y 有最大值，y 最大值＝
，
因此，演员弹跳离地面的最大高度是 4.75 米．
（2）能成功表演．理由是：
当 x ＝4 时，y ＝﹣ ×42+3×4+1＝3.4．
即点 B （4，3.4）在抛物线 y ＝﹣ x 2+3x +1 上，
因此，能表演成功．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二
次函数解决实际问题．
23．（8 分）如图所示，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝16cm ，AD ＝6cm ，动点 P ，
Q 分别从点 A ，C 同时出发，点 P 以 3cm /s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止，点
Q 以 2cm /s 的速度向点 D 移动
（1）P ，Q 两点从出发开始到几秒时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm 2？
（2）P ，Q 两点从出发开始到几秒时，点 P 和点 Q 的距离第一次是 10cm ？
（ （
【分析】当运动时间为 t 秒时，PB ＝（16﹣3t ）cm ，CQ ＝2tcm ．
（1）利用梯形的面积公式结合四边形 PBCQ 的面积为 33cm 2，即可得出关于 t 的一元一
次方程，解之即可得出结论；
（2）过点 Q 作 QM ⊥AB 于点 M ，则 PM ＝|16﹣5t|cm ，QM ＝6cm ，利用勾股定理结合 PQ
＝10cm ，即可得出关于 t 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：当运动时间为 t 秒时，PB ＝（16﹣3t ）cm ，CQ ＝2tcm ．
（1）依题意，得： ×（16﹣3t +2t ）×6＝33，
解得：t ＝5．
答：P ，Q 两点从出发开始到 5 秒时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm 2．
（2）过点 Q 作 QM ⊥AB 于点 M ，如图所示．
∵PM ＝PB ﹣CQ ＝|16﹣5t|cm ，QM ＝6cm ，
∴PQ 2＝PM 2+QM 2，即 102＝（16﹣5t ）2+62，
解得：t 1＝ ，t 2＝
（不合题意，舍去）．
答：P ，Q 两点从出发开始到 秒时，点 P 和点 Q 的距离第一次是 10cm ．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是： 1）
根据梯形的面积公式，找出关于 t 的一元一次方程； 2）利用勾股定理，找出关于t 的一
元二次方程．
24．（8 分）我校上个月进行了义卖活动，某班购进了一批单价为20 元的某种商品在课余时
（ | 间进行义卖，并将所得利润捐给希望工程，经实验发现，若每件按 24 元的价格销售时，
每天能卖出 36 件：若每件按 29 元的价格销售时，每天都能卖出 21 件，假定每天销售件
数 y （件）与销售价格 x （元/件）满足一个以 x 为自变量的一次函数．
（1）求 y 与 x 满足的函数表达式（不要求写出 x 的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的
利润 p 最大？
【分析】 1）设 y 与 x 满足的函数关系式为：y ＝kx +b ．
，由题意可列出 k 和 b 的二元一次
方程组，解出 k 和 b 的值即可；
（2）根据题意：由“总利润＝每件利润×销售量”列出函数解析式，再配方成顶点式可
得答案．
【解答】解：（1）根据题意，设 y 与 x 之间的函数解析式为 y ＝kx +b ，
将 x ＝24、y ＝36 和 x ＝29、y ＝21 代入，得：
，
解得：
，
∴y 与 x 之间的函数解析式为 y ＝﹣3x+108；
（2）p ＝（x ﹣20）（﹣3x+108）
＝﹣3x 2+168x ﹣2160
＝﹣3（x ﹣28）2+192，
∵a ＝﹣3＜0，
∴当 x ＝28 时，P 取得最大值，最大值为 192，
答：销售价格定为 28 元时，才能使每天获得的利润 p 最大，最大利润为 192 元．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函
数的性质以及最值得求法，注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场
经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，
然后再利用二次函数求最值．
25．（9 分）在学习一次函数时，我们采用翻折的方法画过形如y ＝|x|的函数图象，也接触到
形如：关于 x 的方程|x ﹣l|＝kx 有两个不同的根，求参数 k 的范围问题，一般解决就是设
y 1＝|x ﹣1|，y 2＝kx ，画出这两个函数的图象，方程x ﹣1|＝kx 有几个解就是这两个函数图
象有几个交点，采用数形结合的方法求出参数 k 的范围．
（
根据以前的学习经验与上述阅读材料解题：
（1）解方程：x 2﹣2x ﹣3＝0；
（2）请画出 y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（不要列表）；
（3）你能否用数形结合的方法解题（可以借助（2）的图象）：关于 x 的方程|x 2﹣2x ﹣3|
＝x +b 至少有三个不同的解，求 b 的范围．
【分析】 1）配方法直接求解方程；
（2）分类两种情况去掉绝对值符号，在各自范围内画函数图象；
（3）求方程|x 2﹣2x ﹣3|＝x +b 至少有三个不同的解，就是求函数 y 1＝|x 2﹣2x ﹣3|和函数
y 2＝x +b 有至少三个交点，画图可知，有三个交点时，直线的与图象的特点是，①y 2＝x +b 经过（﹣1，0）；②当 y 2＝x +b 与 y 1＝|x 2﹣2x ﹣3|（﹣1＜x ＜3）两种临界情况．对②利
用 ＝△0，求出 b 的值．
【解答】解：（1）x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣3）（x +1）＝0，
解得 x ＝3 或 x ＝﹣1．
（2）当 x 2﹣2x ﹣3≥0 时，即 x ≥3 或 x ≤﹣1，
y ＝x 2﹣2x ﹣3；
当 x 2﹣2x ﹣3＜0 时，即﹣1＜x ＜3，
y ＝﹣x 2+2x +3；
（3）
设函数 y 1＝|x 2﹣2x ﹣3|和函数 y 2＝x +b ，
求方程|x 2﹣2x ﹣3|＝x +b 至少有三个不同的解，就是求函数 y 1＝|x 2﹣2x ﹣3|和
函数 y 2＝x +b 有至少三个交点，
结合图象可知当 y 2＝x +b 经过（﹣1，0）时图象有三个交点，此时 b ＝1，
当 y 2＝x +b 与 y 1＝|x 2﹣2x ﹣3|（﹣1＜x ＜3）有一个交点时，这个函数有两个交
△13 （ 点，
∴x +b ＝﹣x 2+2x +3，即 x 2﹣x ﹣3+b ＝0，
＝﹣4b ＝0，b ＝ ，
∴1≤b ≤
．
故当 1≤b ≤
时，关于 x 的方程|x 2﹣2x ﹣3|＝x +b 至少有三个不同的解．
【点评】考查知识：二次函数图象的特点；一次函数与二次函数综合；函数与方程根的
求解．解决本类问题一定要数形结合，透过图象寻找相关信息，进而进行代数运算．
26．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在 x 轴上，点 C 、D 在 y 轴上，且 OB ＝
OC ＝3，OA ＝OD ＝1，抛物线 y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过 A 、B 、C 三点，直线 AD 与抛
物线交于另一点 M
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴上是否存在点 N ，使得 AN +CN 和最小？若存在，请求出所
有点 N 的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）已知 P 为抛物线上在直线 AM 下方的一动点，当△AMP 面积最大时，求点 P 的坐
标及面积最大值．
【分析】 1
）由 OB ，OC ，OA ，OD 的长度可得出点 A ，B ，C ，D 的坐标，由点 A ，B ，
C 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）利用配方法可求出抛物线的对称轴，连接 BC ，交抛物线对称轴于点 N ，此时 AN +CN
和最小，由点 B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 B C 的解析式，再利用一次函数
图象上点的坐标特征可求出点 N 的坐标；
（3）由点 A ，D 的坐标可得出直线 AD 的解析式，联立直线 AD 和抛物线的解析式成方
程组，通过解方程组可求出点 M 的坐标，过点 P 作 PE ⊥x 轴，交直线 AD 于点 E ，设点
P 的坐标为（m ，m 2+2m ﹣3）（﹣4＜m ＜1），则点 E 的坐标为（m ，﹣m +1），进而可得
出 PE 的长，由三角形的面积结合 S △APM ＝△S APE +△S MPE 可得出 S △
APM 关于 m 的函数关 系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）∵OB ＝OC ＝3，OA ＝OD ＝1，
∴点 B 的坐标为（﹣3，0），点 C 的坐标为（0，﹣3），点 A 的坐标为（1，
0），点 D 的
坐标为（0，1）．
将 A （1，0），B （﹣3，0），C （0，﹣3）代入 y ＝ax 2+b x +c ，得：
，解得： ，
∴这条抛物线的解析式为 y ＝x 2+2x ﹣3．
（2）∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线 x ＝﹣1．
连接 BC ，交抛物线对称轴于点 N ，如图 1 所示．
∵点 A ，B 关于直线 x ＝﹣1 对称，
∴AN ＝BN ，
∴AN +CN ＝BN +CN ．
∴当点 B ，C ，N 三点共线时，BN +CN 取得最小值．
设直线 BC 的解析式为 y ＝kx +d （k ≠0），
将 B （﹣3，0），C （0，﹣3）代入 y ＝kx +d ，得：
，解得： ，
∴直线 BC 的解析式为 y ＝﹣x ﹣3．
当 x ＝﹣1 时，y ＝﹣（﹣1）﹣3＝﹣2，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点 N （﹣1，﹣2），使得 AN +CN 和最小．
（3）∵点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0，1），
∴直线 AD 的解析式为 y ＝﹣x +1．。