《随机过程及应用》教案-习题课五答案.doc

1.
（X （r ）,r （r ））是零均俏的二维正态过程.试证X 2（r ）也是二阶矩过程. 证明：MeT,XQ ）~ N （O,D ⑴），所以有
•••心]=2,申]=1 D ⑴ D(t)
空 2[渔]“ D\tY Z )(0
D\t)
E[X 2(/)]2 = E[X 4(r)] = 3D 2(r) /.｛X 2（o ）为二阶矩过程。

2. 设｛x”, n 1｝是相互独立的随机变量序列，其分布律为:
,_
7
试讨论此序列是否均方收敛。

其中
从而当mW n 时 lim E X m - X n
lim 2-2 ——
HT2
^｛X H ,n>l ｝不均方收敛。

£[x
,J = m -r = - m m n n E X ： 一；E X ；
(=m 2
-丄7 = 1 」 m" =zi 2
~- = 1
n~
E[X m X n ] = E[X m ]E[X n ]
mn
< 4-00
解：EX m -X n
=E X ；
+ 町 X^-2E[X m
]E[X n
]
3.证明若1 ,i.m X… = X，则X”的特征函数收敛于X的特征函数。

H—
证因为对于函数f(x) = e itx xe R,有卩"(兀)| = ”严勻小从而
|/(x)-/(j)|<H|x-y|
即f(X)=严XG R满足李普希兹条件，故对X5)冇
"T8 所以
E[I.^/(XJ]= E[/(X)]
即
lim(p x (/)= lim ~\ = 1 •/-,we，，X" = E e'rX =(p x (/)
X(”)的特征函数收敛于X的特征函数.
4.证明Poisson随机变最序列的均方极限是Poisson随机变最。

证明：设｛X”/ = l,2,・・・｝是Poisson随机变量序列，1.加X”=X,则lim£[Xj = £[%],
n—>oo >8
即lim = A
nT8
于是
(p x(r) = lim(p x (r) = lim/3~" =/宀"
"TOO "->8
故X是Poisson随机变量。

5.假设©点，…是独立同分布的随机变量列，E(^o) = A>O,V = V p服从参数为〃的指数分
布，且与—独立，令
+・・・+和
证明：当“TO时，卩匚的极限分布是参数为*的指数分布。

(1 A
证明：设耳严诞严PG忒+…+赢)，令g〜E 1 ,
丿
即证佈依分布收敛于§・由特征函数与分布函数之间的唯一确定关系，故只需证明佈的特征函数收敛丁宅的特征函数。

记0(町二疋「/細=—^—
L 」p-iu
E｛E[严]|[匕]｝
k=\
k=\
2 f
=£穴(1-尹)［卩伽)丁
; _______ 1
\-e P(p(pu)
[\-e~p^e~p(p[pu) l-e~r(p(pu) r /、
「u-以七n) lim% (w) = lim
------------------------------- ——-——-
—
"->0 竹“TO \ —e P(p(pu)
]
\_ii 屮
jfu 为g的特征两数，所以当〃T 0时〃•的极限分布是参数为-的指数分布。

6.设X(Z)=A Z2+B Z+C, A、B、C是相互独立的标准正态随机变最，讨论随机过程
｛X(/),-oo<r<+oo｝的均方连续性，均方可积性和均方可导性.
解:R x (s,t) = E[X(5)X(/)] = E[A2s2t2 + B2st + C2] + 0 = s2t2 + * +1 R(s,/)为连续函数，故｛X(r)｝均方连续、均方可积，考虑其广义二阶导数
R(t + 力』+ k) — R(t + h、t) — R(t、t + k) + R(t、f) lim
/—o
E T O
hk
v [(t + h)(t + k)f +(/+〃)(/+ R) + 1 -(r+/l)2/2 一(/ + 力)/_1_/2(/ + 切2 _&+上)一1 + /2/2 +/2 +1 =lim ------------------
hk
R T O
• (t + h)? k(2t + R) + k｛t + h) —「k(2t + k) — tk
=lim- ----------- ---------------------------- ------------- 中 t? hk
R->0
十k(2t + k) • h(2t + h) + kh
=lim——
flTl)
*->()
=4? +1
故｛X(/)｝均方可导。

kh
7.设｛W(t\t>0｝是参数为k的维纳过程
求随机过程｛x (/)』no ｝的均值函数和协方差函数.
解：令y (r )= £w (w )dw.则｛丫⑴,宀0｝为｛W)^>0｝的均方不定积分。

/?x (M) = E[x (5)X(/)] = -E[y (5)y(r)]
J I
=—[[R w (u, v)dudv s/Jo Ju =一 f [ a 2 min (M, v)dudv St Jo Jo I (j 2s 2 —-—(3/-5) 0<5<Z st 6 =V
1 zy 2/2
-------- (3$ —/) 0</<5
⑶6
& 设｛Ng > 0｝是平均率为久的泊松过程
X(/) = fj (；N(u)du ・
求随机过程｛x (/)』> 0｝的均值函数和协方差函数.
解：令 Y(/) = j ；N(u)du,则｛Y(f),f no ｝为｛N(f)j no ｝的均方不定积分
|
1 rf
1 et
|
£[%(/)] = -E[y (r )j = . E[N(u)idu = -\ Audx = -tA
t /J () /J () 2 Rx G' f )= + J ( J ( R N (s,f)dudv
=——[[f 2min(w, v)duJv+ [ f A^uvdudv] St Jo Jo Jo Jo
Av ，- 、才 n
—(3/ — $) ----- st 0 v y 5 /
6/
4
=<
2f
—(3s — /) ------ st Ov/Ws 6$ 4
C (5, t) = R x (y, t) - m x (5)m x (/)
—(3r-5) 0<5<r 61 —<
—(35 -1)
0<t<s
9.设｛VV(T),r > 0｝ W 是参数为a 2的维纳过程
Y(t) = *
W(〃)d«,常数L > 0.
求随机过程｛m/>o ｝的均值函数和协方差函数。

E[x(r)]
st
1 c l+L
解：竹⑴二三]E\W(u)]du = 0
C(.v,Z)= /?(5j)-0 = —I [I a~ min(i/,v)jM]Jv ①当s>t + L时
a 2
vdu 加+J J (y ?
(u-v)dv
du
由⑪④协方差函数
2 2
eg)吟(2$ + Q +紗
2
C(s 9t) = —(L + 2s)
2
C(s,/)n
—a 2(2t + L)
2
2 *>
牛⑵+厶)+
+L-5)3
s>t + L
—(2 *v + L)十石尹 + A -r)3 2
—(L + 25) 2
s<t<s + L
t>s + L
10.设｛W).r>0｝是平均率为久的泊松过程
Y(f) = *
N(u)d“,常数厶 > 0.
求随机过程｛Y(t\t>0｝的均值函数和协方差函数.
f+L
lie
E[N(t)]du=-A^-u 2 f+E - 二扌兄⑵+厶)
t^L
1 r t+L c s+L 9
C (5,r) = -^-J o [J (y^vdu\dv
1 f /+i 9
=—I (T ，厶・ udu L 2 J/
1.1.
=—er —旷 L 2 1 9
= -CT 2(2/ + 厶) 2 ②当/<5</4- L
g)胡门[
=右｛*(2+厶+ F)k 厶+右心7 —
2 2 =—(2r + 厶)+ 二(丫 +厶一 b 2 6L 2
由对称性冇 (3)当+厶吋
s^L
f+1
11. 设｛W(0,r>0｝是参数为1的Wiener 过程，令
X(/) = [sW($)ds,/nO ,
Y(/) =「[W ⑴-W(s)J 如no
试求｛X(t),t>0｝和｛"),/"｝的均值函数和相关函数。

解 先求｛X(r),dO ｝的均值函数和相关函数 m x (z) = E[X(z)] = J E[s% (s)]ds = 0,r n0
R x (5,r) = E[X(s)X
(/)] = | J uvR w
(w, v)dudv
=f f uvm\n(<
u,v)dudv
Jo Jo
当0 5$ 5/时,
当厶时
A min(w, v) + A 2uvdu dv
1无 2
dv+ 9 (2$ 厶+ Z?)(2 仏 + 厶2)
匕4
02
Cy ($ J) = Ry (比 t) 一 m Y (s)tn Y
⑴ 右r 『 当s>t +厶时
Amin(u,v)du dv
C r (5,r) = -2(2/ + L)
2
C y (S,t) = ~(2S + 厶)+
+ L — t)
2
6L~
当t>s + L 时
-2
Q(5,Z )= y(25+L)
由①■④协方差两数
)
s>t + L
+ L — 5)3 t<s<t+L + 厶-/)3 s<t<s + L •
t>s^L
2
C r (5,r) = -(2r + L) +
+ L — $)'
1 1
｝ 1
1
R N ｛u.v)du dv Ry(S,H=芒
Rx d =P4o j闷3-询
1 30 1 5
=-s r---------- s
6 30
= -(5r2-?)
同理，当OGvs时,
30v)
R x ^t) = -(5s 2-t 2)
= (5/2—疋)0<5<Z 30
F
—(5$~ —广)，0 W r v $ 130
再求{Y(t\t > 0}的均值函数和相关函数。

叫⑴=E[Y(t)] =(/) — W (“] ds = 0
”)5)]
Rx(S 」)h R Y (S ,() = E
p +，[W(^)-W (M )]jw£+1[W (r)-W (v)]jv =j'+l 创「' E{[w (S ) _ W (”)][w (/) _ iv(v)]pv =
£[W (5)W (r)]-|/+1£[VV (5)VV (v)}/v-j S+l E[VV (r)W (H )}/w
+j 5+l JMp'£[W (M )VV (v)}/v
/•r+i
『$+1 『$+1 『f+i
=min (5,r)-j min (5,v)Jv-j min(/,")〃” + j duj min(«,v)Jv (1) 当OS$GS$ + 1 吋，
p/4-l
厂+l
p5+) /•r+l
R y (s,/) = min (5,/)-j min (5,v)<Zv-j min(/,w)Jw + j Jwj min(w,v)Jv =4v - 5 - J min (人"M” 一 J min
+ j du^ min (w, v)dv
r 厂+1 厂丰 1 严 1 厂+i 严 =-j udu - j tdu + J duj udv + J </wj (v-i/)dv
$2) _心 + 1_"+*(2$ + 1) _*($ + ]_》『
#[(F7)'-3(K ) + 2_
(2)
当OSSs + lvr 吋，
R Y (5,Z )= min ($,/)_ J min (5, v)Jv-J min(r,«)jM + j du^ min (M,v)t/v
=5 - 5 - J udu + J duj udv =E
$+1
=0 同理
(3)当0</<5<r + l 时
=_扣2"2)_心+17)+扣$+1)_扣+17)、
二+[($_/)、—3(si) + 2_
(4)当0</</ + 1<5 时,
Ry(s,f)=O
—[(/— $)' — 3(/ — $) + 2], OWsW/Ws + 1
丄心-门3-3($-/) + 2], 0 < / < 5 < r +1
0<s<s + l<ti^0<t<t + l<s
注：此题屮R Y (SJ )的计算也可利用
L+l r 『+l L+l L
y (r) = j [W(z)-VV (5)]tZr = W(r)-j W(s)d$ = W ⑴一L W(s)出+ z>0
进行计算。

12. 设X(r)为二阶矩随机过程，其自相关函数心g)二」曰，若
Y(t) = 2X (r) + X\t),试求r(z)的白相关函数。

/?r (5,r) = E[y (5)r(/)]
=E[2X ($) + X\s)~][_2X ⑴ + X[/)]
= 4E[X (5)X (r)] + 2E[X (5)X z (z )] + 2£[x ，(5)x (z )] + £[x ，(5)x ，(z )] =4R X (s,t) + 2Rx x ，(s,t)十 2Rx‘ x ($,『) +磁，(*』) 因为 Z ?X G,/)=」T = Rx (◎,故
Rx.xO)= Rx
O =Ry(S.t) = <
A 2(2th + h 2} 。

」 ------ -247 h
2 =0
=lim£f h-^O + 2E[cos 2 fX • (—X + ^-^)2 ] h =lim E /—o A 2h 故[X(t)dt = A 2r
Jo
14.设X(0 = sinrX ,其中X 为一随机变量且EX 4 <oo, 求证：
X'(/) = Xcos/X .
证明：只需证切
「sin(r + /?)X-sinrX 丫 limE ----------------------------- X cos tX =0
力TO 力 _
由于
uSin(/ + /0X-sinrX v 2 £ ---------------------------- X costX h
=E 皿X (cos 〃X-l) _ %
cosrX + 西空cosfX h <2E sin 2/X (cos 〃X-1)?
R Y (S ," =
13. 设X(r) = 2A 2r,其中4是随机过程,町/f] voo ，求f x (M . 解因为
=4.S 7E[A 4]连续，所以[X(『M 存在.取 U k =|(r A+I + 4)，则 J X (M = IJjn 工X (协)(也 -4)=迪工2A 二(r I+l + t k )(t k+l -t k ) J0
T “0 T A=o L -A 2(t 2 -0) T A 2t 2, 故 「X(r)dr= [2A 2tdt = A 2t 2 ・
Jo Jo 另解：
<2E 'sin 2rX-(/?X)4_ + 2E
Rx (sM = E[X(s)X(t)] = E[4A\vf
(2 4
4/i2■ •—. 4 .
=lr/72X4i 0
2 L 」
于是得证X\t) = XcostX .
注：在题屮条件下，同理可证得[cosrX] =-X sintX。