湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题(精品解析)
湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．116．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．187．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥89．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤412．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接写出复数3﹣2i对应的点的坐标得答案．【解答】解：在复平面上，复数3﹣2i对应的点的坐标为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若¬（p∧q）为假命题，则p∧q为真命题，则p为真命题，q为真命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据复合命题真假关系是解决本题的关键．3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】根据线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z＝3x+y的最大值即可．【解答】解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由z＝3x+y知，y＝﹣3x+z，所以动直线y＝﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝3×3+2＝11．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i＝8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝20，i＝1i＝2，S＝18不满足条件i＞5，i＝4，S＝14不满足条件i＞5，i＝8，S＝6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥8【分析】利用基本不等式，得出ab≤4，然后对各选项的代数式进行变形，利用ab≤4进行验证，【解答】解：（当且仅当a＝b时，等号成立），即，ab≤4，∴，选项A、C不成立；，选项B不成立；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥8，选项D成立．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，这种类型问题的解题关键在于对代数式进行合理配凑，属于中等题．9．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2＝a2+bc，利用余弦定理可得cos A＝，可得．由sin B•sin C＝sin2A，利正弦定理可得：bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，可得b＝c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4【分析】不等式n log2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得λ≤对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解∵a n＝2n+1，∴T n＝＝2n+2﹣4．不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而＝＝（n+1）+﹣3≥2﹣3＝3，当且仅当n+1＝即n＝2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．12．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】根据函数f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数，利用导数可以判断g（x）在[0，+∞）为减函数，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）转化为|x|＞|1﹣2x|，解得即可【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），∴f（﹣x）＝f（x）∵x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，∴x2f′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）＝x2f（x），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）≤0，∴g（x）在[0，+∞）为减函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵g（x）＜g（1﹣2x）∴|x|＞|1﹣2x|，即（x﹣1）（3x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为﹣3．【分析】先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y＝2﹣3（x﹣1）化简得y＝﹣3x+5，则直线l的斜率为﹣3，故答案为﹣3【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是π是无理数．【分析】根据三段论推理的标准形式，可得出结论【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是：π是无理数，故答案为：π是无理数【点评】本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算．【解答】解：由（1+i）x＝1+yi，得x+xi＝1+yi，∴x＝y＝1，则|x+yi|＝|1+i|＝．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．【分析】∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈R．且f（a）不在区间[1，2]内．f′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．研究单调性即可得出极值与最值．【解答】解：∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈Rf′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．可得：函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．x＝a时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（a）＝lna﹣1．∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），可得f（a）不在区间[1，2]内．∴a∈（0，1）∪（2，+∞）．故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力由于计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．【分析】（1）圆C的极坐标方程转化为ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程；直线l的极坐标方程转化为ρsinθ﹣ρcosθ＝1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）由，得，由此求出直线l与圆C公共点的极坐标．【解答】解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，∴ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，圆C的直角坐标方程为x2+y2＝x+y，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，∵直线l的极坐标方程为ρsin（）＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y﹣x＝1，即x﹣y+1＝0．（2）由，得，∴直线l与圆C公共点的极坐标为（1，）．【点评】本题考查圆和直线的直角坐标方程的求法，考查直线和圆的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出样本数据的众数．（2）数据落在第一、二组的频率为0.22，由此能求出该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C，由此利用列举法能求出事件|m﹣n|＞2的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：众数落在第三组[15，16）中，∴样本数据的众数为：＝15.5．（2）∵数据落在第一、二组的频率为：1×0.04+1×0.18＝0.22，∴该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11．（3）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04＝2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有：50×0.06＝3人，设为A，B，C，m，n∈[13，14）时有ab一种情况，m，n∈[17，18]时，有AB，AC，BC三种情况，m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况，基本事件总数n＝10，设事件|m﹣n|＞2为事件A，它由aA，aB，aC，bA，bB，bC这六个基本事件组成，∴P（A）＝．【点评】本题考查众数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和即可得到所求和．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列，可得a1+2d＝7，a42＝a2a9，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），解得a1＝1，d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．【分析】（1）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面PCD．（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则四边形AEGF为平行四边形，从而EG∥AF，进而GF⊥平面PCD，EG 为三棱锥E﹣PFC的高，由此能求出三棱锥P﹣EFC的体积．【解答】证明：（1）∵PA＝AD＝2，F为AD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．解：（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则GF∥CD，GF＝，又EA∥CD，EA＝CD，∴AE∥GF，AE＝GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF，由（1）知AF⊥平面PDC，∴GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，又GF＝AF＝EG＝，PF＝，，∴三棱锥P﹣EFC的体积V＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【分析】（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22＝2p×1，得p＝2故所求抛物线的方程是y2＝4x准线方程是x＝﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA＝﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12＝4x1（1）y22＝4x2（2）∴∴y1+2＝﹣（y2+2）∴y1+y2＝﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，切线斜率k＝f′（1）＝1，切点为（1，0），切线方程为y＝x﹣1；（2）f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（a）＝lna；②当＜a＜2a，即＜a＜时，f（x）在[a，]上单调递减，在[，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣；③当a≤时，f′（x）＜0，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）min＝f（2a）＝2ln（2a）；（3）证明：要证的不等式两边同乘以x，则等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，则由（1）知f（x）min＝f（）＝﹣，令φ（x）＝﹣，则φ′（x）＝，当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递增减；∴φ（x）max＝φ（1）＝﹣，∴f（x）min＝φ（x）max，且最值不同时取到，即xlnx＞﹣，∴∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(文)试卷(带答案)
湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{} |x 2x <1，集合N ＝{} |x log 2x >1，则下列结论中成立的是(C) A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝N C ．M ∩()∁U N ＝M D.()∁U M ∩N ＝【解析】由2x <1＝20，得x <0，由log 2x >1＝log 22，∴x >2，∴M ∩()∁U N ＝{}x |x <0∩{}x |x ≤2＝M ，故答案为C.2．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是(A) A ．若l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ，则α∥β B ．若m ∥n ，n α，则m ∥αC ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，n β，则n ⊥α【解析】∵m 与α的位置关系不确定，∴m ∥α不一定成立，B 不成立；由于m 与n 几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，C 不成立；D 也不成立，∴选A.3．已知P (1，3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的渐近线上，则该双曲线的离心率为(A)A.10 B ．2 C. 5 D. 3【解析】根据点P (1，3)在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以有ba ＝3，即b ＝3a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝10a ，所以有e ＝10，故选A.4．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是(B)A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【解析】由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象可得：A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2，再把点⎝⎛⎭⎫π12，1代入函数的解析式可得：1＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1.再由||φ<π2可得：φ＝π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.故应选B.5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为(参考数据：sin 15°＝0.258 8，sin 7.5°＝0.130 5)(C)A ．12B ．16C ．24D ．48【解析】由程序框图可列表如下：n 6 12 24 S332336－32因为36－32≈3.106>3.10，所以输出n 的值为24，故选C.6．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则满足不等式S n <－6的n的最小值是(D)A ．62B ．63C ．126D ．127【解析】因为S n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 2⎝⎛⎭⎫2n ＋2<－6，所以2n ＋2<2－6，n >126，故应选D. 7．设A 、B 、C 为圆O 上三点，且AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →＝(D) A ．－8 B ．－1 C ．1 D ．8【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则AD →＝12(AB →＋AC →)，OD →·BC →＝0.所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8，选D.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ＋2，则f (a n )＝(A)A ．0B ．0或1C ．－1或0D ．1或－1【解析】∵f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )函数周期为2，∵数列{}a n 满足S n ＝2a n ＋2，∴a 1＝－2，S n －1＝2a n －1＋2，∴a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴{a n }以－2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝－2n ，∴f (a n )＝f (－2n )＝f ()0＝0，故选A.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧||lg ||x －2，x ≠2，0，x ＝2，若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有(C)A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．因为函数f (x )的图象大致如图所示，数形结合可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根，故答案选C.10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为(D)A.8π3＋15B.16π3＋ 3C.8π3＋233D.16π9＋233【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l ＝（5）2＋⎝⎛⎭⎫2322＝22，圆锥的高h ＝（5）2－12＝2，圆锥底面半径为r ＝l 2－h 2＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，故底面剩余部分为S ＝23πr 2＋12r 2sin 120°＝83π＋3，故几何体的体积为：V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫83π＋3×2＝169π＋233，故选D. 11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)A.19B.16C.13D.12【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则⎩⎨⎧1≤x ≤4，1≤y ≤3，所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则⎩⎨⎧3≤x ≤4，2≤y ≤3，所对应的正方形区域的面积为1，所以P ＝16，选B.12．设函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称．已知f (x )＝⎩⎨⎧d （x ）－a ，x <1，4（x 2－3ax ＋2a 2），x ≥1，若函数f (x )恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A)A.⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫14，1∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 【解析】因为函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称，所以d (x )＝2x ；设g (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1，h (x )＝2x －a ，x <1，因为f (x )恰有2个不同的零点，又因为h (x )至多有一个零点，故：①若g (x )有两个零点，h (x )没有零点，则⎩⎨⎧a ≥1，h （1）＝2－a ≤0，得a ≥2②若g (x )和h (x )各有1个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1且⎩⎨⎧－a <0，h （1）＝2－a >0，得12≤a <1.综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)．故答案选A.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案CAABCDDACDBA本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切，则a 的值为__0或6__． 【解析】圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1的圆心为()a ，0，半径为1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为()3，0，半径为2，两圆外切，所以||a －3＝3，∴a ＝0，6，故a 的值为0或6.14．如果复数z 满足关系式z ＋||z －＝2＋i ，那么z 等于__34＋i__． 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，||z －＝a 2＋b 2，所以a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ， 所以得：⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1所以z ＝34＋i.15．已知2a ＝5b ＝10，则a ＋bab＝__1__．【解析】由已知，a ＝log 210＝1lg 2，b ＝log 510＝1lg 5.所以a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x ＞0时f (x )＞1.若f (4)＝5，则不等式f (3x 2－x －2)<3的解集为__⎝⎛⎭⎫－1，43__． 【解析】设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞1.所以f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1>0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是增函数．因为f (4)＝5，即f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以原不等式化为f (3x 2－x －2)<f (2)3x 2－x －2<23x 2－x －4<0－1<x <43.故不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－1，43. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f (x )的最大值是2，且在x ＝π6处的切线与直线x －y＝0平行．(1)求a 、b 的值；(2)先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，求cos 2α的值．【解析】(1)f ′(x )＝a cos x －b sin x ，1分由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2a cos π6－b sin π6＝1，解之得：⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.4分 (2)由(1)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，6分因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，8分由g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1213，10分cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－1213·12＋513·32＝53－1226.12分18．(本题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点。
2018-2019学年湖南省湖南师范大学附属中学高二上学期期中考试数学(理)试题 解析版
绝密★启用前湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．不等式x2－5x＋6<0的解集是A．{x|－2<x<3} B．{x|－3<x<2}C．{x|2<x<3} D．{x|－3<x<－2}【答案】C【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到答案.【详解】不等式x2－5x＋6<0等价于（x-2）(x-3)<0,根据二次函数的性质得到，解集是(2，3)，故选C【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．在等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则{an}的前11项的和为A．22 B．－33 C．－11 D．11【答案】D【解析】【分析】a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝=11 a6进而得到结果.【详解】等差数列{a n}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则a5＋a7＝2，∴a6＝(a5＋a7)＝1，∴{a n}的前11项的和为S11＝＝11a6＝11×1＝11.故选D.【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.3．在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为A．B．π C．2π D．4π【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.【详解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4．设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z 取得最大值，故，故选D．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．5．若，则下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质以及特殊值法判断即可．【详解】A．取a=1，b=-3，c=2，d=1，可知不成立，B．取c=0，显然不成立，C．取a=-3，b=﹣2，显然不成立，D．根据不等式的基本性质，显然成立，综上可得：只有B正确．故选：D．本题考查了不等式的基本性质、举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．6．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2ab cos C，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A. 7．已知数列{an}满足：a1＝－13，a6＋a8＝－2，且an－1＝2an－an＋1(n≥2)，则数列的前13项和为A．B．－C．D．－【答案】B【解析】【分析】根据题干变形可得到数列{a n}为等差数列，再由等差数列的公式得到通项，最终裂项求和即可.【详解】a n－1＝2a n－a n＋1(n≥2)，可得a n＋1－a n＝a n－a n－1，可得数列{a n}为等差数列，设公差为d，由a1＝－13，a6＋a8＝－2，即为2a1＋12d＝－2，解得d＝2，则a n＝a1＋(n－1)d＝2n－15.，即有数列的前13项和为＝×＝－.故选B.这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
2018-2019学年湖南师大附中高二下学期期中考试数学(文)试卷及答案
D．2，4，8，16，32，48
9．取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是
A.B.C.D．不确定
10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是
A.B.C.D.
答题卡
题号
7．在△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，则cos(A＋B)的值为
A．－B．－C.或D.
8．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是
A．5，10，15，20，25，30
B．3，13，23，33，4Fra bibliotek，53所以·2R2·R＝，解得R＝2，则球O的表面积是16π.
三、解答题
16．【解析】(1)略；(3分)
(2)f(x)max＝1，f(x)min＝－35.(6分)
17．【解析】设公比为q，则q≠1，由(5分)
解得：(8分)
18．【解析】(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵AB∥D1C1，AB＝D1C1，
A．[1，2)∪(2，＋∞)B．(1，＋∞)
C．[1，2)D．[1，＋∞)
3．设f＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈内近似解的过程中得f<0，f>0，f<0，则方程的根落在区间
A．(1，1.25)B．(1.25，1.5)C．(1.5，2)D．不能确定
4．如果直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于
(1)求圆C的方程；
(2)求直线l被圆截得的弦长．
湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
湖南师大附中2018-2019学年度高二第二学期期中考试数学（理科）第Ⅰ卷（满分100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合补集的定义，求出A的补集即可．【详解】∵全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{﹣1，0，2，4}，∴∁U A＝{1，3}．故选：C．【点睛】本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（）A. B.C. D. 不能确定【答案】B【解析】∵，∴该方程的根所在的区间为。
选B3.如果直线与直线互相平行，那么的值等于（）A. -2B.C. -D. 2【答案】D【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得1，解方程求a的值．【详解】∵直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相平行，∴它们的斜率相等，∴ 1 ∴a＝2 故选D．【点睛】本题考查两直线平行的性质，熟知两直线平行则斜率相等是解题的关键，属于基础题．4.设的内角，，所对边分别为，，若，，，则（）A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】由正弦定理得，所以或，又因为，所以应舍去，应选答案A。
!5.如图的程序运行后输出的结果为（）A. -17B. 22C. 25D. 28【答案】B【解析】【分析】根据流程图，先进行判定是否满足条件x＜0？，满足条件则执行x＝y﹣3，不满足条件即执行y ＝y+3，最后输出x﹣y即可．【详解】程序第三行运行情况如下：∵x＝5，不满足x＜0，则运行y＝﹣20+3＝-17最后x＝5，y＝-17，输出x﹣y＝22．故选：B．【点睛】本题主要考查了伪代码，条件结构，模拟程序的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．6.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是（）A. 异面B. 相交C. 平行D. 平行或重合【答案】C【解析】【分析】由题意设α∩β＝l，a∥α，a∥β，然后过直线a作与α、β都相交的平面γ，利用平面与平面平行的性质进行求解．【详解】设α∩β＝l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b且a∥c，由线面平行的性质定理可得b∥c．又∵b⊂α，c⊄α，∴c∥α．又∵c⊂β，α∩β＝l，∴c∥l．∴a∥l．故选：C．【点睛】本题考查平面与平面平行的性质、线面平行的判定定理及性质定理的应用，解题的关键是熟练运用定理，属于基础题．7.在中，已知，，则的值为（）A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】【分析】运用同角的三角函数的基本关系式，求得的值，再利用诱导公式和两角和的余弦公式，即可求解．【详解】在中，，所以，又由，故选A．【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的化简求值，同时考查同角三角函数的基本关系式和诱导公式的应用，其中解答熟记三角函数的基本公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A. 5，10，15，20，25，30B. 3，13，23，33，43，53C. 1，2，3，4，5，6D. 2，4，8，16，32，48【答案】B【解析】试题分析：系统抽样，要从60个个体中抽取容量为6的样本，确定分段间隔为，第一段1-10号中随机抽取一个个体，然后编号依次加10得到其余个体，构成样本考点：系统抽样点评：系统抽样的特点：被抽取的各个个体间隔相同，都为109.取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的概率是（）A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，分析题意从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【详解】记“两段的长都不小于2m”为事件A，将长度为5m的绳子依次分成2m、1m、2m的三段，若符合剪得两段的长都不小于2m，，则只能在中间1m的绳子上剪断，所以事件A发生的概率．故选：A．【点睛】本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于2m的界点来．10.已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据关于x的方程有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出，计算出cosθ，可得答案．【详解】，且关于x的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ，∴θ∈，故选：B．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题．，涉及二次方程根的问题，属于基础题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知，，且，则的最大值是__________．【答案】4【解析】【分析】由基本不等式可得mn4，注意等号成立的条件即可．【详解】∵m＞0，n＞0，且m+n＝4，∴由基本不等式可得mn4，当且仅当m＝n＝2时，取等号，故答案为：4【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．12.已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】先求出f（）2，从而f（f（））＝f（﹣2），由此能求出结果．【详解】∵函数f（x），∴f（）2，f（f（））＝f（﹣2）＝2﹣2．故答案为．【点睛】本题考查分段函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数解析式的合理运用．13.等差数列中，，，则数列的公差为__________．【答案】6【解析】【分析】根据题意和等差数列的性质、通项公式直接求出公差d．【详解】因为等差数列{a n}中，a3＝3，a8＝33，所以公差d6，故答案为：6．【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．14.函数的定义域是.【答案】，【解析】试题分析：根据题意由于有意义，则可知，结合正弦函数的性质可知，函数定义域，，，故可知答案为，，，考点：三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。
湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期第一次大练习数学试题
湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期第一次大练习（月考）数学时量：120分钟满分：150分得分：_________一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．0D ．12．已知直线m ，n 和平面α，β，给出下列四个命题，其中正确的是（）A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥nB ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥C ．若m ∥n ，n β⊥，m α⊂，则αβ⊥D ．若m α⊂，n β⊂，m ∥β，n ∥α，则α∥β3．若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a=（）A ．0B ．12C ．1D ．24．如图，在四面体A -BCD 中，点O 为底面△BCD 的重心，P 为AO 的中点，设AB a =，AC b = ，AD c = ，则BP = （）A ．511666a b c --B ．511666a b c -++C ．211333a b c --D ．211333a b c -++5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b=c ，()2221sin a b A =-，则A=（）A ．34πB ．3πC ．4πD ．6π6．将一枚骰子连续抛两次，得到正而朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“7x y +<”，则()P B A 的值为（）A ．12B ．13C ．79D ．597．若tan 2tan 5πα=，则3cos 10sin 5παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭（）A ．1B ．2C ．3D ．48．对实数a ，b ，定义运算“*”：,1,1a ab a b b a b -≤⎧*=⎨->⎩，设函数()()()212f x x x =+*+，若函数()y f x c =-有两个零点，则实数c 的取值范围是（）A ．()()2,45,+∞B ．(](]1,24,5C ．()(],14,5-∞ D ．[]1,2二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2019年中国5G 建设有序推进，新型信息基础设施能力不断提升，有力支撑社会的数字化转型，电信业务发展迅速，下图是2010-2019年中国移动电话用户数及增速走势图．根据该图，下列说法正确的是（）A ．2010-2019年中国移动电话用户数逐年增加B ．2011-2019年中国移动电话用户数增速的中位数为7.2%C ．2011-2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快D ．中国移动电话用户数在2011-2014年的增速逐年递减，因此期户数逐年减少10．已知直线l ：()220a x ay ++-=与n ：()2360a x y -+-=，下列选项正确的是（）A ．若l ∥n ，则a=6或1a =-B ．若l n ⊥，则1a =C ．直线恒过点（1，1-）D ．若直线n 在x 轴上的截距为6，则直线n 的斜截式为123y x =--11．已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+-（0A >，0ϕπ<<），若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=-，则下列结论正确的是（）A ．将函数()1y f x =+的图象向左平移6π个单位长度可得到函数()g x 的图象B ．函数()y g x =的图象关于点（6π-，0）对称C ．函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．若函数()g x θ+（0θ≥）为偶函数，则θ的最小值为712π12．如图ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1上的动点（不含端点），点F 在侧面BCC 1B 1上运动，且满足A 1F ∥平面AD 1E ，则下列命题正确的有（）A ．侧面BCC 1B 1上存在点F ，使役A 1F ⊥BC 1B ．直线A 1F 与直线DC 所成角的正切值的范围为（0）C ．当点E 固定时，三棱雉D 1-AEF 的体积为定值D ．设正方体的棱长为1，当E 为棱CC 1上靠近C 1的三等分点时，则过点A ，D 1，E 三点的截面面积为526三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是__________．14．已知()()25,3log 1,3x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()126f f =__________．15．设函数()sin 5f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>），若()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是__________．16．已知向量a ，b ，e 满足1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，2-=a b ，则⋅a b 的最小值是__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知直线l 经过点P （2，3），倾斜角为α．（1）若5cos 5α=-，求直线l 的斜截式方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的一般式方程．18．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c，且cos b aA A c+=．（1）求角C ；（2）设BC 的中点为D ，且，求2a b +的取值范围．如图，在四棱雉P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且，BC=PA=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）若点M为PD的中点，求直线BM与平而AMC所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高（单位：cm）按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；（2）在统计过程中，小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29．之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm．试根据上述数据求样本的方差．斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为4，侧面ABB 1A 1上侧面BCC 1B 1，平行四边形BCC 1B 1的面积为．（1）求点A 到平面BCC 1B 1的距离；（2）如图，D 为BB 1的中点，，BB 1=，BC ⊥BB 1，求二面角A -B 1C -B 的大小．22．（本小题满分12分）已知函数()f x （0x >）满足：()()22f x f x a +=+，()12f =，且当(]2,4x ∈时，()2266f x x x =-+．（1）求a 的值；（2）求()2f x ≥解集；（3）设()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，()2cos cos 2h x x m x =+（,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），若()()f h x g h x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．。
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中考试化学试题(解析版)
湖南师大附中2020-2021学年度高二第一学期期中考试化学可能用到的相对原子质量：H~1 C~12 N~14 O~16 Mg~24 Cl~35.5 Fe~56一、选择题(本题共10小题，每小题2分，共20分)1. 化学与生活密切相关。
下列说法错误的是（）A. 碳酸钠可用于去除餐具的油污B. 氯化铵可用于铁制品的除锈剂C. 氢氧化铝可用于中和过多胃酸D. 碳酸钡可用于胃肠X射线造影检查【答案】D【解析】【详解】A.碳酸钠在溶液中水解使溶液呈碱性，碱性条件下油脂会发生水解反应，则碳酸钠可用于去除餐具的油污，故A正确；B.氯化铵在溶液中水解使溶液呈酸性，氢离子与铁锈氧化铁反应生成盐和水，则氯化铵可用于铁制品的除锈剂，故B正确；C.氢氧化铝是两性氢氧化物，可用于中和盐酸，治疗胃酸过多，故C正确；D.碳酸钡能与盐酸反应生成有毒的氯化钡，则碳酸钡不能用于胃肠X射线造影检查，故D错误；故选D。
2. 25℃时，下列溶液中水的电离程度最小的是( )A. pH=2的NaHSO4溶液B. 0.01mol/LNaHCO3溶液C. 2×10-7mol/L盐酸D. 0.1mol/L氨水[K b(NH3•H2O)=1.8×10-5]【答案】A【解析】【分析】酸电离出的氢离子和碱电离出的氢氧根都会抑制水的电离，电离出的c(H+)或c(OH-)越大，对水的电离的抑制作用越强，水的电离程度越小。
【详解】A．pH=2的NaHSO4溶液由硫酸氢根电离出的c(H+)=0.01mol/L；B．碳酸氢钠溶液中主要以碳酸氢根的水解为主，促进水的电离；C．2×10-7mol/L盐酸中HCl电离出的c(H+)=2×10-7mol/L；D．设0.1mol/L氨水中由一水合氨电离出的c(OH-)=a，则有a a0.1-a=1.8×10-5，解得a 1.34×10-3mol/L；综上所述pH=2的NaHSO4溶液中电离出的氢离子最大，所以水的电离程度最小，故答案为A。
精品解析：湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．当23＜m ＜1时，复数m （3+i ）﹣（2+i ）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．曲线221259x y +=与曲线221925x y k k +=--（9k <且0k ≠）的（ ） A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等3．数列{}n a 的通项()374,4,,4,n n t n n a t n -⎧-+≤=⎨>⎩若{}n a 是递增数列，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(4,7)B ．32,75⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．32,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(1,7)4．,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）A B C D ．125．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ） A ．35B ．42C ．49D ．566．半径为5的圆O 内有一点P ，已知4OP =，过点P 的21条弦的长度构成一个递增的等差数列{}n a ，则{}n a 的公差的取值范围为（ ） A ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．14,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知0ω>，函数()sin f x x ω=在π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，则ω的取值范围是（ ）A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1339,,2222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．133,,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知函数2()f x x mx n =++，则存在,m n ∈R ，对任意的x ∈R 有（ ）A ．()(22022)f x f x <+B ．2022(())2022≥x f f xC ．≥⎝⎭ffD ．(sin )(cos )f x f x ≤二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知圆22:230A x y y +--=，则下列说法正确的是（ ） A ．直线=1x -与圆A 相切 B ．圆A 截y 轴所得的弦长为4 C ．点(1,1)B --在圆A 外D ．圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为3 10．已知n S 是{}n a 的前n 项和，下列结论正确的是（ ） A ．若{}n a 为等差数列，则n pS n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（p 为常数）仍然是等差数列B ．若{}n a 为等差数列，则322n n n S S S =-C ．若{}n a 为等比数列，公比为q ，则()21nn n S q S =+D ．若{}n a 为等比数列，则“,,,,m n p q m n p q *+=+∈N ”是“m n p q a a a a ⋅⋅=”的充要条件11．点M 是正方体1111ABCD A B C D -中侧面正方形11ADD A 内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（ ） A．满足1MC AD ⊥的点M B ．点M 存在无数个位置满足直线1//B M 平面1BC DC ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30D ．若E 是棱1CC 的中点，平面1AD E 与平面11BCC B 所成锐二面角的正切值为12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是12,A A ，左、右两个焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上异于12,A A 的一点，给出下列结论，其中正确的是（ ） A ．存在点P ，使得212PF PA a -=B ．存在点P ，使得直线12,PA PA 的斜率的绝对值之和122PA PA bk k a+≤ C ．使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有四个 D ．若212PA PA b ⋅=，则120PF PF ⋅=三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．14．已知直三棱柱111ABC A B C 的所有顶点都在球O 的球面上，1120,2AB AC BAC AA ==∠=︒=，则球的表面积为___________．15．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．16．已知数列{}n a 满足()2211112n n n n n n a a a a a a +++++=-+．（1）若31a =，则n a =___________；（2）若对任意正实数t ，总存在1(3,)a λ∈和相邻两项1,k k a a +，使得1(21)0k k a t a +++=成立，则实数λ的取值范围是___________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．在平面直角坐标系中，三个点(0,0),(2,0),(0,6)O A B -到直线l 的距离均为d ，且1d <． (1)求直线l 的方程；(2)若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l C 的标准方程． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PD ⊥平面ABCD ，E 为AB 中点，F 为PD 中点，222AB PD BC ===．(1)证明：EF ∥平面PBC ； (2)求点E 到面PBC 的距离．19．7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只有1天）后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件． （1）求7月几日该款服装销售最多，最多售出几件．（2）按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行．求该款服装在社会上流行几天．20．已知抛物线2:4,(1,2),(,0)C y x A B m =，其中0m >，过B 的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点．(1)当直线l 垂直于x 轴，且AMN 为直角三角形，求实数m 的值；(2)若四边形OAPB 是平行四边形，当点P 在直线l 上时，求实数m ，使得AM AN ⊥． 21．已知数列{}n a 的首项135a =，且满足1321nn n a a a +=+． (1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)设数列{}n b 满足13,,2,,2nn n a b n n n nn ⎧-⎪⎪=⎨+⎪+⎪+⎩为偶数时为奇数时求最小的实数m ，使得122k b b b m +++<对一切正整数k 均成立．22．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(2,0)F -．过1F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆交于()()1122,,,A a b B a b 两点，且112AF F B =．(1)求证：()2121220b b b b ++=，并求椭圆C 的方程；(2)设()()()()11223344,,,,,,,M x y P x y N x y Q x y 是椭圆C 上顺时针依次排列的四个点，求四边形MPNQ 面积的最大值并计算此时的22221212,x x y y ++的值．数学参考答案1．D 【分析】原复数化为（3m ﹣2）+i （m ﹣1），再根据m 的范围确定. 【详解】m （3+i ）﹣（2+i ）化简得（3m ﹣2）+i （m ﹣1）， ∥213m ＜＜ ∥3m ﹣2＞0，m ﹣1＜0 ∥所对应的点在第四象限 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的代数形式，考查了复平面内各象限复数的特点，属于基础题. 2．C 【分析】分析可知两曲线都表示椭圆，求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，可得出合适的选项. 【详解】曲线221259x y +=表示焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8的椭圆．曲线221925x y k k+=--（9k <且0k ≠）表示焦点在y轴上，长轴长为短轴长为8=故选：C. 3．A 【分析】根据一次函数以及幂函数的性质即可结合数列的特征求解. 【详解】由已知得()270,1,474,t t t t ⎧->⎪>⎨⎪-+<⎩解得47t <<．故选:A ． 4．B 【分析】作图，找到直线PC 在平面PAB 上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将,,PA PB PC 三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】 解法一：如图，设直线PC 在平面PAB 的射影为PD ，作CG PD ⊥于点G ，CH PA ⊥于点H ，连接HG ，易得CG PA ⊥，又,,CH CG C CH CG ⋂=⊂平面CHG ，则PA ⊥平面CHG ，又HG ⊂平面CHG ，则PA HG ⊥， 有cos cos cos PH CPA PCPG PH PH CPD APD PC PG PC ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠⨯∠=⋅=⎪⎩故cos cos cos CPA CPD APD ∠=∠⨯∠． 已知60,30APC APD ∠=︒∠=︒，故cos cos60cos cos cos30CPA CPD APD ∠︒=∠︒∠==为所求． 解法二：如图所示，把,,PA PB PC 放在正方体中，,,PA PB PC 的夹角均为60︒．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)P C A B ， 所以(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)PC PA PB =-==-， 设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =，则00n PA y z n PB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1x =，则1,1y z ，所以(1,1,1)n =-，所以2cos ,||||2PC n PC n PC n ⋅-〈〉===⋅⨯．设直线PC 与平面PAB所成角为θ，所以6sin |cos ,|3PC n θ=〈〉=， 所以cos θ= 故选B ． 5．B 【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数. 【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染, 则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=-，∥0R 3=，∥当感染人数增加到1000人时，113=100013n +--，化简得3=667n ， 由563243,3729==，故得6n ≈，又∥平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天， 故选：B 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 6．A 【分析】计算出过点P 的直线截圆O 所得弦长的最大值和最小值，即可求得数列{}n a的公差的取值范围. 【详解】设圆心O 到过点P 的直线的距离为d ，则04d OP ≤≤=， 设过点P 的直线截圆O 的弦长为L ，则[]6,10L =， 即过点P 的直线截圆O 所得弦长的最大值为10，最小值为6，设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >且201064d ≤-=，解得105d <≤. 故选：A. 7．D 【分析】根据()sin f x x ω=的最值点为ππ+2,k x k ω=∈Z，进而根据不等式得到1132k ωω<+<，由ωk ，的取值范围即可求解. 【详解】当()sin f x x ω=取最值时，ππ+,2x k k ω=∈Z ．即ππ+2,k x k ω=∈Z ，由题知ππ+π2<<π3ωk ，故1132k ωω<+<．即33,2Z 1,2k k k ωω⎧<+⎪⎪∈⎨⎪>+⎪⎩．因为0,0k ω>=时，1322ω<<；1k =时，3922ω<<； 显然当32ω>时，2πππ2=π32232T ωω==<，此时()sin f x x ω=在π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上必有最值点．综上，所求133,,222ω⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选:D ． 8．C 【分析】根据二次函数的对称轴，结合二次函数的单调性，即可判断AC ，根据指数函数的性质即可判断B,取特殊值即可排除D. 【详解】由题意可知，函数图象开口向上，对称轴为2mx =-， A 选项，当220222mx +=-时，根据二次函数性质知不成立，故A 错误； B 选项，(())f f x 为四次函数，因为2022x y =为指数函数，且单调递增，当x 取得足够大的实数时，一定有2022(())2022x f f x <，故B 错误；C ≥，则只需()f x 即2m -≤，所以m ≥即可，故C 正确；D 选项，分别取ππ,0,,π22x =-，可得(0)(1)(1)f f f =-=，对二次函数来说是不可能的，故D 错误．故选：C ． 9．BC 【分析】根据圆心到直线的距离即可判断AD,根据圆的弦长可判断B,根据点与圆的位置关系可判断C. 【详解】由圆22:230A x y y +--=得22(1)4x y +-=， 所以圆心(0,1)A ，半径2r =，对于A ：圆心A 到直线=1x -的距离为1，所以直线=1x -与圆A 相交，故A 错误； 对于B ：圆心A 在y 轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B 正确；对于C ：点(1,1)B --到圆心A 的距离2d ==，所以点B 在圆A 外，故C 正确； 对于D ：圆心A 到直线的距离3d ==，所以圆A 上的点到直线34190x y -+=的最小距离为321-=，故D 错误． 故选:BC ． 10．AC 【分析】结合等差数列求和公式求出npS n，根据等差数列定义判断A ；结合等差数列前n 项和的性质判断B ；根据数列的前n 项和的定义及等比数列的通项公式判断C ；举反例判断D. 【详解】对于A ，由211(1)222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故122n pS pdd n p a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．所以()1111122222n n pS pS pd d pd d pd n p a n p a n n +⎛⎫⎛⎫-=++----= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 所以n pS n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（p 为常数）是等差数列，A 正确； 对于B ，由{}n a 为等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --仍成等差数列，故有()()2322n n n n n S S S S S -=+-，所以()()()322232n n n n n n n n S S S S S S S S =-=-+--，设数列{}n a 的公差为d ，则()2322n n n n d S S S -+=，当0d ≠时，322n n n S S S ≠-，B 不正确；对于C ，()212212n n n n n n n n n S S a a a q a a a q S ++-=+++=+++=，故()21n n n S q S =+，C 正确；对于D ，令3n a =，则{}n a 为等比数列，且210013a a a a ⋅=⋅，但210013+≠+，故“,,,,m n p q m n p q *+=+∈N ”不是“m n p q a a a a ⋅⋅=”的必要条件，D 不正确． 故选：AC ． 11．ABD 【分析】利用线面垂直判定可证得1AD ⊥平面11A B CD ，可知点M 轨迹即为平面11A B CD 与平面11ADD A 的交线1A D ，由此可得轨迹长度，知A 正确；利用面面平行得判定可证得平面11//AB D 平面1BDC ，可知当M 轨迹为平面11AB D 与平面11ADD A 的交线1AD ，由此可知B 正确；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设()101AM AD λλ=≤≤可求得M 点坐标，利用线线角的向量求法可得关于λ的函数形式，由函数的最值可得线线角最小值大于30，知C 错误；利用二面角的向量求法可求得平面1AD E 与平面11BCC B 所成锐二面角的余弦值，进而得到正切值，知D 正确. 【详解】对于A ，CD ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，1CD AD ∴⊥； 四边形11ADD A 为正方形，11AD A D ∴⊥； 又1,CD A D ⊂平面11A B CD ，1CDA D D =，1AD ∴⊥平面11AB CD ，∴点M 轨迹即为平面11A B CD 与平面11ADD A 的交线，即为1A D ，∴点M A 正确；对于B ，11//B D BD ，BD ⊂平面1BDC ，11B D ⊄平面1BDC ，11//B D ∴平面1BDC ； 同理可得：1//AD 平面1BDC ，又1111B D AD D ⋂=，111,B D AD ⊂平面11AB D ， ∴平面11//AB D 平面1BDC ，∴M 轨迹为平面11AB D 与平面11ADD A 的交线，即1AD ， ∴点M 存在无数个位置满足直线1//B M 平面1BC D ，B 正确；对于C ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,1,0C ，()0,0,0D ，()11,1,1B ，()1,0,0A ，()10,0,1D ， ()0,1,0DC ∴=，()11,0,1AD =-设(),0,M s t ，()101AM AD λλ=≤≤，()()1,0,,0,s t λλ∴-=-，则()1,0,M λλ-，()1,1,1B M λλ∴=---，111cos ,B MDC B M DC BM DCλ⋅∴<>===⋅ 则当12λ=时，1max cos ,cos30B M DC <>=<=；1B M ∴与DC 夹角大于30，C 错误；对于D ，由C 可得空间直角坐标系如下，则()1,0,0A ，()10,0,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()11,0,1AD ∴=-，110,1,2D E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面1AD E 的法向量(),,n x y z =，11012AD n x z D E n y z ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令2z =，解得：2x =，1y =，()2,1,2n ∴=， 又平面11BCC B y ⊥轴，∴平面11BCC B 的一个法向量()0,1,0m =，1cos ,3m nm n m n ⋅∴<>==⋅，tan ,2m n ∴<>= 即平面1AD E 与平面11BCC B 所成锐二面角的正切值为D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的动点轨迹问题、线线角与面面角的求解问题；本题求解动点轨迹的关键是能够借助线面垂直、面面平行的性质，找到动点所在的其他平面，进而得到动点轨迹为两平面的交线. 12．AD 【分析】由双曲线的定义，可判断A 正确；由12200022000PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⋅=+--，结合双曲线的方程，得到1222PA PA b k k a=⋅可判断B 错误；结合双曲线的几何性质，可判断C 错误；结合22200x y c +=，得到22212000PF PF x y c ⋅=+-=，可判断D 正确． 【详解】设00(,)P x y ．对于A ，由双曲线的定义，只需11PA PF =即可，即只需P 点为线段11A F 的中垂线与双曲线的交点，故A 正确；对于B ，因为12(,0),(,0)A a A a -，所以12200022000PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⋅=+--，又2200221x y a b-=，所以()1222222022,PA PA b b y x a k k a a=-⋅=，故122PA PA b k k a +≥=，当且仅当12PA PA k k =时等号成立，又分析得等号不可能成立，故B 错误；对于C ，若P 在第一象限，则当12PF c =时，222PF c a =-，12PF F △为等腰三角形； 当22PF c =时，11222,PF c a PF F =+△也为等腰三角形， 故点P 在第一象限且使得12PF F △为等腰三角形的点P 有两个．同理，在第二、三、四象限且使得12PF F △为等腰三角形的点P 也各有两个， 因此使得12PF F △为等腰三角形的点P 共有八个，故C 错误；对于D ，由22221200PA PA x y a b ⋅=+-=，得22200x y c +=， 从而22212000PF PF x y c ⋅=+-=，故D 正确． 故选：AD ． 13．310##0.3 【分析】由列举法得所有基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】从5条线段中任取3条线段的基本事件有135137139157159179357359379579，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,总数为10，能构成三角形的情况有：(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个基本事件，故概率为310． 故答案为：31014．12π 【分析】设ABC 和111A B C △外接圆的圆心为D ，E ，则球心O 为DE 的中点，在ABC 中由正弦定理可求得其外接圆半径，结合球的性质可求球的半径，进而求得其表面积． 【详解】设ABC 和111A B C △的外心分别为D ，E ．由球的性质可得三棱柱111ABC A B C 的外接球的球心O 是线段DE 的中点，连接,OC CD ，设外接球的半径为R ，ABC 的外接圆的半径r ，因为120AB AC BAC ==∠=︒，由余弦定理可得cos1206BC = 2r =，所以r =而在OCD 中，可知222||||||CO OD CD =+，即2213R r =+=， 因此三棱柱外接球的表面积为24π12πS R ==． 故答案为：12π．15．2. 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 60ba==. 【详解】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60b a =2c e a ===． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题． 16． 4n - 7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【分析】化简递推关系，证明数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式求n a ，化简方程1(21)0k k a t a +++=可得1112k a k -<<-，结合连接列不等式求λ的取值范围. 【详解】因为()2211112n n n n n n a a a a a a +++++=-+，所以()221112102n n n n n n a a a a a a +++-+++-=，所以()()211210n n n n a a a a ++--+=+，故()2110n n a a +-+=， 所以11n n a a +-=-，所以数列{}n a 是公差为1-的等差数列， （1）31a =时，()1211a +⨯-=，所以13a =，所以4n a n =-，（2）由已知可得1(21)1(21)2(1)10k k k k k a t a a t a t a +++=-++=+-=，又t 为正实数， 所以12(1)k a t =+，0t >，所以102k a <<．所以11012a k <+-<， 即1112k a k -<<-． 从而11,(3,)2k k λ⎛⎫--⊆ ⎪⎝⎭，即有1312k k λ-≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩，所以72λ≥，所以实数λ的取值范围是7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：4n -；7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.17．(1)330x y --= (2)22(2)1x y -+= 【分析】（1）根据几何意义可判断直线l 为ABO 的三条中位线，结合1d <可知为AB 边上的中位线，进而根据截距式即可求解方程，（2）由待定系数法，可根据圆的弦长公式列方程求解半径和圆心即可. 【详解】（1）由几何意义可知，直线l 为ABO 的中位线，而O 到OB 边的中位线距离为1．O 到OA 边的中位线距离为3．O 到AB 边上的中位线距离12OAd <=，故直线l 只能为AB 边上的中位线，即直线l 过点(1,0),(0,3)-．故直线l 的方程113x y +=-，即330x y --=； （2）设圆的标准方程为222(),0,0x a y r a r -+=>>， 则()222221,a r r ⎧-=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎝⎭⎩ 解得2a =或0（舍去），1r =， 所以圆C 的标准方程为22(2)1x y -+= 18．(1)证明见解析【分析】（1）取PC 的中点G ，连接,BG FG ，由三角形中位线定理结合矩形的性质可得四边形BEFG 为平行四边形，则EF ∥BG ，再由线面平行的判定定理可证得结论，（2）由已知可得,,PD AD DC 两两垂直，所以以点D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量， 利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取PC 的中点G ，连接,BG FG , 因为F 为PD 中点， 所以FG ∥DC ，12FG DC =， 因为E 为AB 中点，所以12BE AB =， 因为AB ∥DC ，AB DC =， 所以BE ∥FG ，BE FG =， 所以四边形BEFG 为平行四边形， 所以EF ∥BG ，因为EF ⊄平面PBC ，BG ⊂平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ， 所以,PD AD PD DC ⊥⊥，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD DC ⊥， 所以,,PD AD DC 两两垂直，所以以点D 为坐标原点，以,,DA DC DP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1)D A B C P ， 因为E 为AB 中点，F 为PD 中点， 所以1(1,1,0),0,0,2E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()1,0,0,0,2,1CB PC ==-，(0,1,0)EB =， 设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则 ·0·20m CB x m PC y z ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，令1y =，则(0,1,2)m =， 所以点E 到平面PBC 的距离为1EB m d m⋅=== 19．（1） 7月13日该款服装销售最多，最多售出39件；（2） 11天． 【分析】（1）根据等差数列的特点列出式子即可求解；（2）求出数列的前n 项和，根据题意列出不等式即可求解. 【详解】（1）设7月n 日售出的服装件数为()*,131n a n n ∈≤≤N ，最多售出k a 件．由题意知()()3312313k ka k a k ⎧=+-⎪⎨--=⎪⎩，解得1339k k a =⎧⎨=⎩，∥7月13日该款服装销售最多，最多售出39件． （2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，由（1）及题意知3,113652,1431n n n a n n ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，∥()()()33,11322735113,1431n n nn S n n n ⎧+≤≤⎪=⎨⎪+--≤≤⎩． ∥13273200S =>，∥当113n ≤≤时，由200n S >，得1213n ≤≤，当1431n ≤≤时，日销售量连续下降，由20n a <，得2331n ≤≤， ∥该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）． 20．(1)5m = (2)6m = 【分析】（1）根据向量垂直，即可利用坐标运算求解，（2）根据平行得斜率关系，进而联立方程得韦达定理，结合向量垂直由坐标运算即可求解. 【详解】（1）由题意:l x m =，代入24y x =中，解得y =± 不妨取((,M m N m -，则(1,22),(1,2)AM m m AN m =--=--，AMN 为直角三角形,故只能是A ∠为直角，即2(2)(1,2)(1)(44)0AM AN m m m m ⋅=-⋅--=-+-=， 故5m =或1，易知1m =不合题意，舍去，故5m =． （2）由题意四边形OAPB 为平行四边形，则2BP OA k k ==，设直线221212:2(),,,,44y y l y x m M y N y ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立()22,4,y x m y x ⎧=-⎨=⎩得2240y y m --=，由题意，判别式Δ4160m =+>，12122,4y y y y m +==-， 要使AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，又2212121,2,1,244y y AM y AN y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()2212121122044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 化简，得()()1222160y y +++=，即()12122200y y y y +++=，代入得60,m -=故6m =． 故6m =时，有AM AN ⊥．21．(1)证明见解析 (2)94【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122k b b b +++，由不等式的性质即可求解. 【详解】 （1）由已知得，112133n na a +=+， 所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 因为112103a -=≠， 所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列．（2）证明：（2）由（1），当n 为偶数时，12323n n n b a =-=-， 当n 为奇数时，222222n n n b n n n n +=+=+-++， 故()()1221321242k k k b b b b b b b b b -+++=+++++++24222222222222222213352121333k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭242222222221333k k k k ⎛⎫=+-++++- ⎪+⎝⎭222211233212113k k ⎛⎫-⎪⎝⎭=-++-292142143kk =--+⋅， 由29219421434k k --<+⋅ 所以m 的最小值为94． 22．(1)证明见解析；22:195x y C +=(2)四边形MPNQ 面积的最大值为222212129,5x x y y +=+=【分析】(1)化简关系112AF F B =可得122b b =-，由此证明()2121220b b b b ++=，结合设而不求法列方程，结合关系2222a b -=可求,a b ，由此可得椭圆方程；(2)由三角形面积公式和数量积运算证明122112OMPSx y x y =-，再结合基本不等式求其最大值，由此求出四边形MPNQ 面积的最大值并求出取最值是22221212,x x y y ++的值．【详解】（1）由112AF F B =，得()()11222,22,a b a b ---=+，故122b b =-，从而()()()222212122222222222220b b b b b b b b b b ++=-++-=-=， 依题意，直线AB的方程为2)y x =+，由)22222,1,y x x y ab ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2221y b =，即2222222403b a y y b a b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 又因为2222a b -=，故122222412222234,33b b a b a b b b b b b a a ⎧⎪+=⎪⎪+⎪⎨⎪--⎪⋅==⎪++⎪⎩于是242222033b b a a ⎛⎫ ⎪-+= ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22332a b =+，解得3,a b ==故椭圆C 的方程为22195x y +=； （2）由（1）得222211221,19595x y x y +=+=，故由基本不等式和绝对值不等式)222212211221122129595x y x y x y x y y x y =+++≥=+≥-，从而1221x y x y -≤取等条件为22221221,9595x y x y ==，且12120x x y y ≤，故有2222121295x x y y ++=，又2222122129595x y x y +++=，于是222212129,5x x y y +=+=．而11||||sin |||22OMP S OM OP MOP OM OP =⋅⋅⋅∠=⋅△=21()2OM OP =⋅=122112x y x y ==-≤．同理OPN ONQ QQM S S S ≤≤≤△△△于是，四边形MPNQ 的面积4OMP OPN ONQ OQM S S S S S ≤+++≤=△△△△另一方面，当M ，N ，P ，Q 为椭圆四个顶点时，有1|2||2|2S a b =⋅⋅=故四边形MPNQ 面积的最大值为222212129,5x x y y +=+=．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题 - 副本
湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期入学考试数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=>A x x log 02}{，==≤B y y x x2,0}{，则=AB ( )A.∅B.>x x 0}{ C.<≤x x 01}{D.>x x 1}{2.已知复数=+z a i (>a 0，i 是虚数单位)，若=z z1的虚部是( ) A.101 B.-101 C.10i 1D.-10i 13.下列命题错误的是( )A.“=x 1”是“-+=x x 3202”的充分不必要条件B.“=πx k 4，Z ∈k ”是“=x tan 1”的必要不充分条件 C.对于命题R ∃∈p x :，使得++<x x 102，则⌝p 是：R ∀∈x ，均有++≥x x 102 D.命题“R ∃∈x ，+≥x x 21”的否定形式是“R ∀∈x ，+>xx 21” 4.已知扇形的周长为10cm ，面积为4cm 2，则该扇形圆心角的弧度数为( )A.1或4B.21或8C.1D.21 5.在空间中，l ，m 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是( )A.若⊥αl ，l m //，αβ//，则⊥βmB.若l m //，⊂βm ，则βl //C.若⊥αβ，=αβm ，⊥l m ，则⊥βlD.若⊂αl ，⊂βm ，αβ//，则l m //6.函数()1sin ln1x f x x x -=⋅+的大致图象为( ) A. B.C. D.7.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，064，191，925，271，932，812，458，569，683， 431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为( )A.0.6B.0.7C.0.75D.0.88.下列命题不正确的是( )A.若非零向量a ，b ，c 满足//a b ，//b c ，则//a cB.向量a ，b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得λ=b a 成立C.在ABC △中，16b =，20c =，60B =︒，则该三角形不存在D.若()3,1AB =，()1,AC m m =-，BAC ∠为锐角，则实数m 的取值范围是34m >二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列各式中值为的是( )A.tan12tan 331tan12tan 33︒︒-︒+︒B.sincos1212ππC.sin 72cos18cos72sin18-︒︒︒︒22cos sin 88ππ⎫-⎪⎭10.下列命题正确的有( )A.若0a b <<，则22a ab b <<B.若a b >，c d >，则a d b c ->-C.若0b a <<，0c <，则c c a b < D.若0a >，0b c >>，则b b ac c a+<+11.2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是20132019年我国农村减贫人数(按现行农村贫困标准统计)统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年标准下全部脱贫.以下说法正确的是( )A.2013~2020年我国农村贫困人口逐年减少B.20132019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上C.2017年末我国农村贫困人口有3046万人D.2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上任意两点，且EF 的长为1，则下列四个值中为定值的是( )A.点P 到平面QEF 的距离B.二面角P EF Q --的大小C.直线PQ 与平面PEF 所成的角D.三棱锥P QEF -的体积三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.事件A 、B 是相互独立事件，若()0.3P A =，()P B n =，()0.9P A B +=，则实数n 的值等于________. 14.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[)13,14，[)14,15，[)15,16，[)16,17，[]17,18，已知各组频数之比为1:3:7:5:4，那么成绩的第70百分位数约为________秒.15.设点P 在ABC △内部且为ABC △的外心，6BAC π∠=，如图.若PBC △，PCA △，PAB △的面积分别为12，x ，y ，则x y +的最大值是________. 16.“求方程34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解”有如下解题思路：构造函数()y f x =，其表达式为()35xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭45x⎛⎫⎪⎝⎭，易知函数()y f x =在R 上单调递减，且()21f =，故原方程有唯一解2x =.类比上述解题思路，不等式()3622323x x x x -->+-的解集为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)设ABC △的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =.(1)求a 的值； (2)求cos 3A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18.(本小题满分12分)用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知3A B ''=，1B C ''=，3A D ''=，且//A D B C ''''.(1)求原平面图形ABCD 的面积；(2)将原平面图形ABCD 绕BC 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.某学校高一年级在期末考试成绩中随机抽取100名学生的数学成绩、按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.(1)请先求出频率分布表中①，②位置相应数据，并估计这次考试中所有同学的平均成绩；(2)为了解学生的学习状态，年级决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生作为第一批座谈对象，第3，4，5组每组各有多少名学生是座谈对象？如果年级决定在这6名学生中随机抽取2名学生单独交流，求第4组有且只有一名学生被选中的概率.20.(本小题满分12分)已知向量sin2x ω⎫=-⎪⎭a ，sin ,2sin2x x ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，函数()1f x =⋅+a b (其中01ω<<)，函数()f x 的图象的一条对称轴是直线2x π=.(1)求ω的值； (2)若03πα<<且3423f α⎛⎫=⎪⎝⎭，求3328f πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △是边长为2的正三角形，BC CD ⊥，BC CD =，PD AB ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD .(1)求证：PD ⊥平面ABCD ；(2)若1PD =，求二面角C PB D --的平面角的余弦值.22.(本小题满分12分)已知函数()22xxf x -=-，()2log g x x =.(1)若对任意的()0,1x ∈，()()f g x kx <恒成立，求实数k 的取值范围； (2)设函数()()sin 4xh x g x π=+，()h x 在区间()0,+∞上连续不断，证明：函数()h x 有且只有一个零点0x ，且05sin 46x f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.。
湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题
数学(理科)
时量：120分钟满分：150分
得分：______________
第Ⅰ卷(满分100分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝ ，A＝ ，则∁UA＝
A．B．{0，2，4}C．{1，3}D．{－1，1，3}
15．如图，正四棱锥P－ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VP－ABCD＝ ，则球O的表面积是________．
三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本小题满分6分)
某校从参加环保知识竞赛的1200名学生中，随机抽取60名，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图的频率分布直方图．
④“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
22．双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的两顶点为A1，A2，其虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是
A. －1B. C. D. ＋1
C．1，2，3，4，5，6D．2，4，8，16，32，48
9．取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是
A. B. C. D．不确定
10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是
A. B. C. D.
湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．116．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．187．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥89．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤412．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m ﹣n|＞2的概率．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接写出复数3﹣2i对应的点的坐标得答案．【解答】解：在复平面上，复数3﹣2i对应的点的坐标为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若¬（p∧q）为假命题，则p∧q为真命题，则p为真命题，q为真命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据复合命题真假关系是解决本题的关键．3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】根据线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z＝3x+y的最大值即可．【解答】解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由z＝3x+y知，y＝﹣3x+z，所以动直线y＝﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝3×3+2＝11．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i＝8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝20，i＝1i＝2，S＝18不满足条件i＞5，i＝4，S＝14不满足条件i＞5，i＝8，S＝6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥8【分析】利用基本不等式，得出ab≤4，然后对各选项的代数式进行变形，利用ab ≤4进行验证，【解答】解：（当且仅当a＝b时，等号成立），即，ab≤4，∴，选项A、C不成立；，选项B不成立；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥8，选项D成立．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，这种类型问题的解题关键在于对代数式进行合理配凑，属于中等题．9．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2＝a2+bc，利用余弦定理可得cos A＝，可得．由sin B•sin C＝sin2A，利正弦定理可得：bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，可得b＝c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4【分析】不等式n log2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得λ≤对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解∵a n＝2n+1，∴T n＝＝2n+2﹣4．不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而＝＝（n+1）+﹣3≥2﹣3＝3，当且仅当n+1＝即n＝2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．12．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】根据函数f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数，利用导数可以判断g（x）在[0，+∞）为减函数，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）转化为|x|＞|1﹣2x|，解得即可【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），∴f（﹣x）＝f（x）∵x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，∴x2f′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）＝x2f（x），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）≤0，∴g（x）在[0，+∞）为减函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵g（x）＜g（1﹣2x）∴|x|＞|1﹣2x|，即（x﹣1）（3x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为﹣3．【分析】先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y＝2﹣3（x﹣1）化简得y＝﹣3x+5，则直线l的斜率为﹣3，故答案为﹣3【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是π是无理数．【分析】根据三段论推理的标准形式，可得出结论【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是：π是无理数，故答案为：π是无理数【点评】本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算．【解答】解：由（1+i）x＝1+yi，得x+xi＝1+yi，∴x ＝y ＝1，则|x +yi |＝|1+i |＝．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．16．函数f （x ）＝ln x ﹣（a ＞0），若∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），则实数a 的取值范围是 （0，1）∪（2，+∞） ．【分析】∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），⇔f （x ）max ＜f （t ）max ，其中x ∈[1，2]，t ∈R ．且f （a ）不在区间[1，2]内．f ′（x ）＝﹣＝（a ＞0，x ＞0）．研究单调性即可得出极值与最值．【解答】解：∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），⇔f （x ）max ＜f （t ）max ，其中x ∈[1，2]，t ∈Rf ′（x ）＝﹣＝（a ＞0，x ＞0）． 可得：函数f （x ）在（0，a ）上单调递增，在（a ，+∞）上单调递减．x ＝a 时，函数f （x ）取得极大值即最大值，f （a ）＝lna ﹣1．∃x 0∈R ，使得∀x 1∈[1，2]都有f （x 1）＜f （x 0），可得f （a ）不在区间[1，2]内．∴a ∈（0，1）∪（2，+∞）．故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力由于计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．） 17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ＝cos θ+sin θ，直线l 的极坐标方程为ρsin （）＝．（1）求圆C 和直线l 的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l 与圆C 公共点的极坐标．【分析】（1）圆C 的极坐标方程转化为ρ2＝ρcos θ+ρsin θ，由此能求出圆C 的直角坐标方程；直线l 的极坐标方程转化为ρsin θ﹣ρcos θ＝1，由此能求出直线l 的直角坐标方程．（2）由，得，由此求出直线l 与圆C 公共点的极坐标． 【解答】解：（1）∵圆C 的极坐标方程为ρ＝cos θ+sin θ，∴ρ2＝ρcos θ+ρsin θ，圆C的直角坐标方程为x2+y2＝x+y，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，∵直线l的极坐标方程为ρsin（）＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y﹣x＝1，即x﹣y+1＝0．（2）由，得，∴直线l与圆C公共点的极坐标为（1，）．【点评】本题考查圆和直线的直角坐标方程的求法，考查直线和圆的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m ﹣n|＞2的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出样本数据的众数．（2）数据落在第一、二组的频率为0.22，由此能求出该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C，由此利用列举法能求出事件|m﹣n|＞2的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：众数落在第三组[15，16）中，∴样本数据的众数为：＝15.5．（2）∵数据落在第一、二组的频率为：1×0.04+1×0.18＝0.22，∴该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11．（3）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04＝2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有：50×0.06＝3人，设为A，B，C，m，n∈[13，14）时有ab一种情况，m，n∈[17，18]时，有AB，AC，BC三种情况，m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况，基本事件总数n＝10，设事件|m﹣n|＞2为事件A，它由aA，aB，aC，bA，bB，bC这六个基本事件组成，∴P（A）＝．【点评】本题考查众数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和即可得到所求和．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列，可得a1+2d＝7，a42＝a2a9，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），解得a1＝1，d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．【分析】（1）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面PCD．（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则四边形AEGF为平行四边形，从而EG∥AF，进而GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，由此能求出三棱锥P﹣EFC的体积．【解答】证明：（1）∵PA＝AD＝2，F为AD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．解：（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则GF∥CD，GF＝，又EA∥CD，EA＝CD，∴AE∥GF，AE＝GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF，由（1）知AF⊥平面PDC，∴GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，又GF＝AF＝EG＝，PF＝，，∴三棱锥P﹣EFC的体积V＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B （x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【分析】（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22＝2p×1，得p＝2故所求抛物线的方程是y2＝4x准线方程是x＝﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA＝﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12＝4x1（1）y22＝4x2（2）∴∴y1+2＝﹣（y2+2）∴y1+y2＝﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，切线斜率k＝f′（1）＝1，切点为（1，0），切线方程为y＝x﹣1；（2）f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（a）＝lna；②当＜a＜2a，即＜a＜时，f（x）在[a，]上单调递减，在[，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣；③当a≤时，f′（x）＜0，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）min＝f（2a）＝2ln（2a）；（3）证明：要证的不等式两边同乘以x，则等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，则由（1）知f（x）min＝f（）＝﹣，令φ（x）＝﹣，则φ′（x）＝，当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递增减；∴φ（x）max＝φ（1）＝﹣，∴f（x）min＝φ（x）max，且最值不同时取到，即xlnx＞﹣，∴∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
湖南师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试文科数学答案解析
若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，故②为真命题；
若a<b<0，则a2>ab且ab>b2，即a2>ab>b2，故③为真命题；
若c>a>b>0，则 < ，则 < ，则 > ，故④为真命题；
若a>b， > ，即 > ，故a·b<0，则a>0，b<0，故⑤为真命题．
∴x(3－3x)取最大值 时x的值为 .
故选B.
11．D【解析】由n∈N*，都有Sn≥S10,
∴a10≤0，a11≥0，
∴a1＋a19＝2a10≤0，
∴S19＝ ≤0，
故选D.
二、填空题
12．2 018
13. 【解析】∵a＝ ，b＝1，∠A＝ ，∴由正弦定理可得：sinB＝ ＝ ＝ ，∵b<a，B为锐角，∴cosB＝ ＝ .故答案为： .
∵函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有 即 ∴－20≤q≤12.6分
(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，且对称轴是x＝8.
设其公差为d，且d＞0，
由题意可得：a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，
则4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，
解可得a1＝ ，d＝ ，
则第6节的容积a6＝a1＋5d＝ ＝ .
故答案为A.
7．A【解析】由27a4＋a7＝0，得q＝－3，故 ＝ ＝1＋q2＝10.故选A.
8．A【解析】由an＋1＋an＝(－1)n·n，得a2＋a1＝－1，a3＋a4＝－3，a5＋a6＝－5，…，a19＋a20＝－19.∴an的前20项的和为a1＋a2＋…＋a19＋a20＝－1－3－…－19＝－ ×10＝－100，故选A.
人教版湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试文科数学试题一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分)1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可.详解：,故选C.点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题.2.已知数列1，，，，…，，…，则是它的( )[A. 第22项B. 第23项C. 第24项D. 第28项【答案】B【解析】试题分析：由题意可知数列的通项公式，∴令=，可得．考点：数列的通项公式．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c＝2a，则cos B＝A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】将三角形的三边都用表示，然后根据余弦定理求解即可．【详解】在△ABC中，由余弦定理得．故选B．【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是把三边进行统一表示，属于简单题．4.在△中，角所对的边分别为,若，则△为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.5.已知点在函数的图象上，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，利用基本不等式计算出的最小值为.【详解】故选.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属中档题.6.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设此等差数列为{a n}，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解出即可得出a1与d的值，由等差数列的通项公式计算可得答案．详解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n}，设其公差为d，且d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=，d=，则第6节的容积a6=a1+5d=故答案为：A点睛：本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.7.设为等比数列{}的前n项和,,则＝A. 10B. 9C. -8D. -5【答案】A【解析】由,得,故.故选A8.数列满足，则数列的前20项的和=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，，的前项的和为，故选A.9.若实数满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使最大，则直线在轴上的截距最大，结合可行域可知当直线过点时z最大，求出的坐标，代入得答案．详解：由满足约束条件作出可行域如图，由，得．要使z最大，则直线的截距最大，由图可知，当直线过点时截距最大．联立，解得），∴的最大值为．故选：B．点睛：本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．10.已知，则取最大值时的值为（ ）．A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由，利用基本不等式可得结果.详解：∵，∴，当且仅当时取等号．∴取最大值时的值为．故选．点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11.已知等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若对所有的n(n∈N*)，都有S n≥S10，则A. a n≥0B. a9·a10<0C. S2<S17D. S19≤0【答案】D【解析】【分析】由题意得到等差数列前n项和的最小值为，进而得到，然后再根据等差数列项的下标和的性质以及求和公式，对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由对所有的n(n∈N*)，都有，得等差数列{a n}的前n项和S n的最小值为，所以a10≤0，a11≥0.对于A，由以上结论可得显然不成立，所以A错误；对于B，由以上结论可得，所以B错误；对于C，由于，所以，因此C错误；对于D，由以上结论可得，故，所以D正确．故选D.【点睛】本题考查等差数列中的基本运算和分析判断的能力．解题的关键是由题意得到数列项的正负的结论，另外还要注意等差数列中“下标和”性质的应用，属于基础题．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.在等比数列{a n}中，a4·a6＝2 018，则a3·a7＝________ .【答案】2018【解析】【分析】根据等比数列中项的下标和的性质求解即可．【详解】∵数列{a n}为等比数列，∴．故答案为：2018.【点睛】本题考查等比数列的项的下标和的性质，即在等比数列中，若，且，则，运用此性质可简化计算，提高解题的效率．13.在△ABC中，a＝，b＝1，∠A＝，则cos B＝________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出sin B，再根据平方关系求出cos B即可．【详解】在△ABC中，由正弦定理得，∴．又，∴B为锐角，∴．故答案为：．【点睛】本题考查正弦定理和同角三角函数关系式的运用，解题时根据要求逐步求解后可得结论，属于基础题．14.对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0.其中正确的是________．(填写序号)【答案】②③④⑤【解析】【分析】根据不等式的有关知识对给出的每个命题分别进行判断，进而可得正确的命题．【详解】对于①，当c＝0时，由a>b，可得ac＝bc，故①为假命题；对于②，由ac2>bc2，得c≠0，故c2>0，所以可得a>b，故②为真命题；对于③，若，则，且，所以，故③为真命题；对于④，若，则，则，则，故④为真命题；对于⑤，若a>b，，则，故a·b<0，所以，故⑤为真命题．综上可得②③④⑤为真命题．故答案为：②③④⑤.【点睛】本题考查不等式的性质及其应用，解题的关键是熟练、正确地运用有关性质进行解题，要特别注意在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变等，这是容易出现错误的地方，属于基础题．三、解答题(本大题共3小题，共30分)15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.16.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h，2 h，加工一件乙产品所需工时分别为2 h，1 h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h，分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大？并求出最大收入．【答案】（1）见解析（2）安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．【解析】试题分析：（1）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，列出约束条件和目标函数，画出可行域。
湖南师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)(含答案)
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)时量：120分钟 满分：150分得分：______________第Ⅰ卷 (必修5模块结业考试 满分100分)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式x 2－5x ＋6<0的解集是 A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－3<x <2} C ．{x |2<x <3} D ．{x |－3<x <－2}2．在等差数列{a n }中，若a 5，a 7是方程x 2－2x －6＝0的两根，则{a n }的前11项的和为 A ．22 B ．－33 C ．－11 D ．113．在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝45°，则△ABC 的外接圆面积为 A.π4B ．πC ．2πD ．4π 4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．35．若a ，b ，c ，d ∈R ，则下列说法正确的是A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若a <b <0，则1a <1bD ．若a >b ，则a －c >b －c6．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知数列{a n }满足：a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，且a n －1＝2a n －a n ＋1(n ≥2)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前13项和为A.113 B ．－113 C.111 D ．－111 答题卡二、填空题：本大题共38．在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4，则sin B ＝________． 9．将等差数列1，4，7，…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是________．10．若x，y均为正数，且9x＋y＝xy，则x＋y的最小值是________．三、解答题：(本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 11．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝(2a－b)cos C.(1)求角C的大小；(2)若AB＝4，求△ABC的面积S的最大值，并判断当S最大时△ABC的形状．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？已知函数f(x)＝x2－ax(a∈R)．(1)解不等式f(x)≤1－a；(2)若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥－x2－2恒成立，求a的取值范围．设数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 是各项都为正数的等比数列，且a 1＝1，b 1＝2，a 3＋b 3＝11，a 5＋b 5＝37. (1)求数列{}a n ，{}b n 的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，数列{}c n 的前n 项和为T n ，求证：T n ≤n 2·2n －1＋2.第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)15．“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)17．已知向量a ≠e ，|e |＝1t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则A ．a ⊥eB ．a ⊥(a －e )C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e ) 答题卡题号 15 16 17答案二、填空题(本大题共2小题，18．已知直线l 1：2x －y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点P 在抛物线C 上运动，当点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小时，直线PF 被抛物线所截得的线段长是________．19．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x .(1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值．(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为2，求m 的最小值．21.(本题满分13分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线x ＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)参考答案第Ⅰ卷 (必修5模块结业考试 满分100分)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 【解析】不等式x 2－5x ＋6<0的解集是(2，3)，故选C.2．D 【解析】等差数列{a n }中，若a 5，a 7是方程x 2－2x －6＝0的两根，则a 5＋a 7＝2，∴a 6＝12(a 5＋a 7)＝1，∴{a n }的前11项的和为S 11＝11×（a 1＋a 11）2＝11a 6＝11×1＝11.故选D.3．B 【解析】在△ABC 中，A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝60°.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2R ＝c sin C，解得R ＝1，故△ABC 的外接圆面积S ＝πR 2＝π，故选B.4．D 【解析】x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0的可行域如图(阴影部分)：z ＝x ＋y 即y ＝－x ＋z ，当直线过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，z 的值最大．由⎩⎨⎧y ＝0，x ＋3y ＝3，解得A (3，0)，所以z ＝x ＋y 的最大值为3.故选D. 5．D6．A 【解析】在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°， 由AB 2＝BC 2＋AC 2－2AC ·BC cos C ，可得：13＝9＋AC 2＋3AC ，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.7．B 【解析】a n －1＝2a n －a n ＋1(n ≥2)，可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1，可得数列{a n }为等差数列，设公差为d ，由a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，即为2a 1＋12d ＝－2， 解得d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －15.1a n a n ＋1＝1（2n －15）（2n －13）＝12⎝⎛⎭⎫12n －15－12n －13，即有数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前13项和为12⎝⎛⎭⎫1－13－1－11＋1－11－1－9＋…＋111－113＝12×⎝⎛⎭⎫－113－113＝－113.故选B.二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 8.5716【解析】∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4，∴a ∶b ∶c ＝6∶5∶4， 不妨取a ＝6，b ＝5，c ＝4，则cos B ＝62＋42－522×6×4＝916，B ∈(0，π)．则sin B ＝1－cos 2B ＝5716.9．577 【解析】由题意可得等差数列的通项公式为a n ＝3n －2，由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为第1＋2＋3＋4＋…＋19＋3＝193个数，a 193＝3×193－2＝577.10．16 【解析】根据题意，若9x ＋y ＝xy ，则有1x ＋9y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9xy＝16， 当且仅当y x ＝9xy时，等号成立，即x ＋y 的最小值是16，故答案为16.三、解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．【解析】(1)∵c cos B ＝(2a －b )cos C ，∴由正弦定理可知，sin C cos B ＝2sin A cos C －sin B cos C ，2分 sin C cos B ＋sin B cos C ＝2sin A cos C ，sin(C ＋B )＝2sin A cos C . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin A cos C ．4分 ∵sin A ≠0，∴cos C ＝12.∵0<C <π，∴C ＝π3.6分(2)由题知，c ＝4，C ＝π3，∴S △ABC ＝34ab .7分∵由余弦定理可知：a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，8分a 2＋b 2＝16＋ab ≥2ab ，10分∴ab ≤16.当且仅当“a ＝b ”时等号成立，11分∴S △ABC 最大值是43，此时三角形为等边三角形.12分 12．【解析】设分别向甲、乙两组项目投资x 万元，y 万元，利润为z 万元，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，3分目标函数z ＝x ＋0.5y ， 作出可行域6分作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离 最大，这里M 是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝6，10分此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)，∴x ＝4，y ＝6时，z 最大．答：投资人投资甲项目4万元，乙项目6万元，获得利润最大.12分 13．【解析】(1)由f (x )≤1－a 可得x 2－ax ＋a －1≤0， 即(x －1)[x －(a －1)]≤0，3分当a >2时，不等式解集为[1，a －1]；4分 当a ＝2时，不等式解集为{1}；5分 当a <2时，不等式解集为[a －1，1].6分(2)f (x )≥－x 2－2即a ≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，8分 令h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，等价于a ≤h (x )min 对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，10分 又h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4x ·1x ＝4，当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立， ∴a ≤4，∴a 的取值范围为(－∞，4].13分14．【解析】(1)设数列{}a n 的公差为d ，数列{}b n 的公比为q ，依题意有⎩⎨⎧2d ＋2q 2＝10，4d ＋2q 4＝36，2分解得⎩⎨⎧d ＝1，q 2＝4，又b n >0，∴q ＝2，4分于是a n ＝a 1＋()n －1d ＝n ，b n ＝b 1q n －1＝2n .6分(2)易知c n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋()n －1·2n ＋n ·2n ＋1，8分两式相减，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝()1－n ·2n ＋1－2，∴T n ＝()n －1·2n ＋1＋2，11分∵T n －()n 2·2n －1＋2＝－2n －1·()n －22≤0，∴T n ≤n 2·2n －1＋2.13分第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)15．A 【解析】设直线ax ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝－a .①由a <－1得tan θ>1，可知倾斜角为θ大于π4；②由倾斜角为θ大于π4得－a >1或－a <0，即a <－1或a >0.由①②可知“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的充分而不必要条件，选A. 16．C 【解析】∵g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即y ＝f (x )与y ＝－x －a 有两个交点，f (x )的图象如下图所示：要使得y ＝－x －a 与f (x )有两个交点，则有－a ≤1即a ≥－1，∴选C.17．C 【解析】由|a －t e |≥|a －e |得|a －t e |2≥|a －e |2展开并整理得t 2－2a ·e t ＋2a ·e －1≥0，由t ∈R ，得Δ＝(－2a ·e )2＋4－8a ·e ≤0，即(a ·e －1)2≤0，所以a ·e ＝1，从而e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )，选C.二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)18．20 【解析】直线l 2为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1，0)的距离．点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小即转化为点P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小，当点P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小时，直线PF ⊥l 1，从而直线PF 方程为y ＝－12(x －1)，代入C 方程得x 2－18x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝18，从而所求线段长为x 1＋x 2＋p ＝18＋2＝20. 19.32【解析】由题设条件可知，m ∥BD ，n ∥A 1B ，因此直线m 、n 所成的角即直线BD 与A 1B 所成的角，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△A 1BD 是正三角形，BD 与A 1B 所成的角是60°，其正弦值为32. 三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．【解析】(1)由题设知f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.1分 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，所以2x 0＋π6＝k π， 即2x 0＝k π－π6(k ∈Z ).3分 所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫k π－π6.4分 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34，5分 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.6分 (2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋12sin 2x＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin 2x ＋32＝12⎝⎛⎭⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32.9分 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，m ，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2m ＋π3. 要使得h (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为1. 所以2m ＋π3≥π2，11分 即m ≥π12.所以m 的最小值为π12.12分 21．【解析】(1)依题意得c a ＝12，12·2a ·2b ＝43，又a 2＝b 2＋c 2，由此解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：方法1：由(1)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 0，y 0)．∵M 点在椭圆上，∴y 20＝34(4－x 20)． ① 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2.由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2.7分 从而BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2.8分 ∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝2x 0＋2(x 20－4＋3y 20)． ②10分 将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0).11分 ∵2－x 0>0，∴BM →·BP →>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内.13分方法2：由(1)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差||BQ 2－14||MN 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－22＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222－14[]（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ③6分直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x ＝4上， ∴6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 2＝3（x 2－2）y 1x 1＋2④8分 又点M 在椭圆上，则x 214＋y 213＝1，即y 21＝34(4－x 21) ⑤9分 于是将④、⑤代入③，化简后可得||BQ 2－14||MN 2＝54(2－x 1)(x 2－2)<0.12分 从而点B 在以MN 为直径的圆内.13分。
【精编】湖南省师范大学附属中学2018-2019学年高二数学上学期期末考试试卷理.doc
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：______________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数3＋i 1＋i＝A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i2．已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)C．M∪N＝U D．M(∁U N)3．已知命题p a∈R，且a>0，a＋1a≥2，命题q x0∈R，sin x0＋cosx＝3，则下列判断正确的是A．p是假命题 B．q是真命题C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{a n}的前10项和为A．10 B．8 C．6 D．－85．已知函数f(x)＝e x＋ae x(a∈R)，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x6．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →＝ A.12AB →－AD → B ．－12AB →＋AD → C.AB →＋12AD → D.AB →－12AD →7．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产A ．9千台B ．8千台C ．6千台D ．3千台8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为A.216a B.66a C.156a D.153a 9．已知直线l 1：x ＝－1，l 2：x －y ＋1＝0，点P 为抛物线y 2＝4x 上的任意一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为A ．2 B. 2 C ．1 D.2210．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋m ，若g (x )存在两个零点，则m 的取值范围是A ．[－1，＋∞)B ．[－1，0)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)11．在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是PF 1的中点，且OM ⊥PF 1，2|PF 1|＝|PF 2|，则双曲线的离心率为A. 6 B ．2 C. 5 D. 312．已知函数f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝－x 3＋x 2＋5.若对任意的x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (x 1)－g (x 2)≤0成立，则实数a 的取值范围是A.(]－∞，2－4ln 2 B ．(－∞，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－4ln 2，12＋14ln 2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12＋14ln 2答题卡13．已知x >1，观察下列不等式：x ＋1x >2；x 2＋2x >3；x 3＋3x >4；…按此规律，第n 个不等式为________．14．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋3≤0，x －1≤0，y －1≥0，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．15.⎠⎛011－x 2d x －⎠⎛0πsin x d x ＝________． 16．若函数f(x)＝ax 2＋x ln x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且b 2＋c 2－a 2＝433S.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a ＝53，cos B ＝45，求c.已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且满足3a n ＝2S n ＋n(n ∈N *)．(Ⅰ)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n＋12是等比数列； (Ⅱ)记T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，求T n 的表达式．如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC是边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在ABCD上的射影恰好在AD上．(Ⅰ)证明：平面SAB⊥平面SAD；(Ⅱ)若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．已知圆M: x2＋y2＋22y－10＝0和点N()0，2，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P, P的轨迹为曲线E.(Ⅰ)求曲线E的方程；(Ⅱ)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x＝ty＋m交E于B、C两点，直线AB, AC的斜率分别是k1, k2，若k1·k2＝9，求：①m的值；②△ABC面积的最大值．已知函数f(x)＝x2＋ax＋ln x(a∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)在定义域上的单调性；(Ⅱ)令函数g(x)＝e x－1＋x2＋a－f(x)，e＝2.718 28…是自然对数的底数，若函数g(x)有且只有一个零点m，判断m与e的大小，并说明理由．(二)选考题：共10分。
湖南省师范大学附属中学2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题理2019041102106
∴a≤2－4ln 2，则实数 a 的取值范围是(－∞，2－4ln 2]．故选 A.
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．
n 13．xn＋ >n＋1
x
2x－y＋3 ≤ 0
{ 14．2 【解析】作出 x，y 满足的约束条件 x－1 ≤ 0 y－1 ≥ 0
)表示的平面区域，
得到如图的区域，其中 A(－1，1)，
{ 14．若 x，y 满足约束条件 x－1 ≤ 0， y－1 ≥ 0，
)则 z＝－x＋y 的最小值为________．
1
π
∫ ∫ 15. 1－x2dx－ sin xdx＝________．
0
0
16．若函数 f(x)＝ax2＋xln x 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是__________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必
6
6
3
9．已知直线 l1：x＝－1，l2：x－y＋1＝0，点 P 为抛物线 y2＝4x 上的任意一点，则 P
到直线 l1，l2 的距离之和的最小值为
2 A．2 B. 2 C．1 D.
2
{ ) 2x，x ≤ 0，
10．已知 f(x)＝ log2x，x > 0， g(x)＝f(x)＋x＋m，若 g(x)存在两个零点，则 m 的取
2
18.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}，Sn 是其前 n 项和，且满足 3an＝2Sn＋n(n∈N*)．
1
{ } (Ⅰ)求证：数列 an＋ 是等比数列； 2 (Ⅱ)记 Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，求 Tn 的表达式．
3
19.(本小题满分 12 分) 如图，五边形 ABSCD 中，四边形 ABCD 为长方形，三角形 SBC 是边长为 2 的正三角形，将 三角形 SBC 沿 BC 折起，使得点 S 在 ABCD 上的射影恰好在 AD 上． (Ⅰ)证明：平面 SAB⊥平面 SAD； (Ⅱ)若 AB＝1，求平面 SCD 与平面 SBC 所成锐二面角的余弦值．
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湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试文科数学试题一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分)1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可.详解：,故选C.点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题.2.已知数列1，，，，…，，…，则是它的( )[A. 第22项B. 第23项C. 第24项D. 第28项【答案】B【解析】试题分析：由题意可知数列的通项公式，∴令=，可得．考点：数列的通项公式．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c＝2a，则cos B＝A. B. C. D. 1【解析】【分析】将三角形的三边都用表示，然后根据余弦定理求解即可．【详解】在△ABC中，由余弦定理得．故选B．【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是把三边进行统一表示，属于简单题．4.在△中，角所对的边分别为,若，则△为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.5.已知点在函数的图象上，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，利用基本不等式计算出的最小值为.【详解】【点睛】本题考查基本不等式的应用，属中档题.6.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设此等差数列为{a n}，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解出即可得出a1与d的值，由等差数列的通项公式计算可得答案．详解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n}，设其公差为d，且d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=，d=，则第6节的容积a6=a1+5d=故答案为：A点睛：本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.7.设为等比数列{}的前n项和,,则＝A. 10B. 9C. -8D. -5【答案】A由,得,故.故选A8.数列满足，则数列的前20项的和=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，，的前项的和为，故选A.9.若实数满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使最大，则直线在轴上的截距最大，结合可行域可知当直线过点时z最大，求出的坐标，代入得答案．详解：由满足约束条件作出可行域如图，由，得．要使z最大，则直线的截距最大，由图可知，当直线过点时截距最大．联立，解得），∴的最大值为．故选：B．点睛：本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．10.已知，则取最大值时的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由，利用基本不等式可得结果.详解：∵，∴，当且仅当时取等号．∴取最大值时的值为．故选．点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11.已知等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若对所有的n(n∈N*)，都有S n≥S10，则A. a n≥0B. a9·a10<0C. S2<S17D. S19≤0【答案】D【解析】【分析】由题意得到等差数列前n项和的最小值为，进而得到，然后再根据等差数列项的下标和的性质以及求和公式，对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由对所有的n(n∈N*)，都有，得等差数列{a n}的前n项和S n的最小值为，所以a10≤0，a11≥0.对于A，由以上结论可得显然不成立，所以A错误；对于B，由以上结论可得，所以B错误；对于C，由于，所以，因此C错误；对于D，由以上结论可得，故，所以D正确．故选D.【点睛】本题考查等差数列中的基本运算和分析判断的能力．解题的关键是由题意得到数列项的正负的结论，另外还要注意等差数列中“下标和”性质的应用，属于基础题．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.在等比数列{a n}中，a4·a6＝2 018，则a3·a7＝________ .【答案】2018【解析】【分析】根据等比数列中项的下标和的性质求解即可．【详解】∵数列{a n}为等比数列，∴．故答案为：2018.【点睛】本题考查等比数列的项的下标和的性质，即在等比数列中，若，且，则，运用此性质可简化计算，提高解题的效率．13.在△ABC中，a＝，b＝1，∠A＝，则cos B＝________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出sin B，再根据平方关系求出cos B即可．【详解】在△ABC中，由正弦定理得，∴．又，∴B为锐角，∴．故答案为：．【点睛】本题考查正弦定理和同角三角函数关系式的运用，解题时根据要求逐步求解后可得结论，属于基础题．14.对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0.其中正确的是________．(填写序号)【答案】②③④⑤【解析】【分析】根据不等式的有关知识对给出的每个命题分别进行判断，进而可得正确的命题．【详解】对于①，当c＝0时，由a>b，可得ac＝bc，故①为假命题；对于②，由ac2>bc2，得c≠0，故c2>0，所以可得a>b，故②为真命题；对于③，若，则，且，所以，故③为真命题；对于④，若，则，则，则，故④为真命题；对于⑤，若a>b，，则，故a·b<0，所以，故⑤为真命题．综上可得②③④⑤为真命题．故答案为：②③④⑤.【点睛】本题考查不等式的性质及其应用，解题的关键是熟练、正确地运用有关性质进行解题，要特别注意在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变等，这是容易出现错误的地方，属于基础题．三、解答题(本大题共3小题，共30分)15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.16.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h，2 h，加工一件乙产品所需工时分别为2 h，1h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h，分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大？并求出最大收入．【答案】（1）见解析（2）安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．【解析】试题分析：（1）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，列出约束条件和目标函数，画出可行域。
（2）由可行域及目标函数，可出得最优解，注意x,需取整。
试题解析：（Ⅰ）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分（Ⅱ）设每月收入为z千元，目标函数是z=3x+2y由z=3x+2y可得y=﹣x+z，截距最大时z最大．结合图象可知，z=3x+2y在A处取得最大值由可得A（200，100），此时z=800故安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．17.已知公差不为零的等差数列{a n}满足：，且是与的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和S n .【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；（2）利用裂项法求和. 试题解析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项，∴，解得a1=1，d=2，∴a n=1+2（n-1）=2n-1．（2）b n==（），∴S n=b1+b2+b3+…+b n=（1-+-+…+）=（1-）=．点睛：本题主要考查了等差数列，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.一、选择题18.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设到的距离为，则，因为，所以，所以直线的斜率为，因为，所以直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，所以，故选．【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.二、填空题19.如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是．【答案】．【解析】|F1F2|＝2.设双曲线的方程为－＝1.∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，则(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，∴a＝，∴离心率e＝＝＝.三、解答题20.在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如图．(1)若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；(2)求二面角C－AB－F的正切值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平面几何知识在空间几何体中可证得AG⊥FB，同时可得EF⊥平面ABF，进而得AG⊥EF，于是可得AG⊥平面BCEF．（2）根据二面角平面角的定义并结合三垂线法作出二面角的平面角，再通过解三角形得到所求的正切值．【详解】(1)因为AF＝BF，∠AFB＝60°，所以△AFB为等边三角形．又G为FB的中点，所以AG⊥FB.在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，所以EF⊥AB.于是EF⊥AF，EF⊥BF，又,所以EF⊥平面ABF，因为平面ABF，所以AG⊥EF.又，所以AG⊥平面BCEF.(2)如图，连接CG，因为在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4，E、F分别是CD、AB中点，G为FB的中点，所以EC＝FG＝BG＝1，从而CG∥EF.因为EF⊥平面ABF，所以CG⊥平面ABF.过点G作GH⊥AB于H，连结CH，由三垂线定理可得CH⊥AB，所以∠CHG为二面角C－AB－F的平面角.在Rt△BHG中，BG＝1，∠GBH＝60°，所以GH＝.在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝，所以CG＝1.在Rt△CGH中，可得tan∠CHG，所以二面角C－AB－F的正切值为.【点睛】（1）解决空间中垂直关系问题的关键是熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础，同时合理运用“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间的相互转化．（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．21.已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由二次函数的单调性易得，解关于的不等式组可得．（2）分，最大值是最大值是三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是求出12-t的值，验证范围后即可得到答案．【详解】(1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有即∴－20≤q≤12.(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，解得t＝，∴t＝；②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，∴t＝9.综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件.【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．22.已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率（I）求椭圆的标准方程；（II）与圆相切的直线交椭圆于、两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得(t≠0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于x的一元二次方程，根据根据系数的关系可得点C的坐标，代入椭圆方程后整理得到，根据的范围可得，进而得到所求范围．【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由已知得解得所以椭圆的标准方程为.（2）因为直线：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，所以＝1，整理得(t≠0)．由消去y整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，因为直线与椭圆交于M，N两点，所以，将代入上式可得恒成立．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，所以y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，因为)，所以可得C，又因为点C在椭圆上，所以＋＝1,所以，因为t2＞0，所以＋＋1＞1，所以，所以的取值范围为.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。