甘肃省第十八中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年甘肃省高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）
A. 0或
B. 0或3
C. 1或
D. 1或3
2.直线3x+y+1=0的倾斜角是（）
A. B. C. D.
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD与A1C1
的位置关系是（）
A. 平行
B. 相交
C. 异面但不垂直
D. 异面且垂直
4.点（5，-3）到直线x+2=0的距离等于（）
A. 7
B. 5
C. 3
D. 2
5.一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
6.三个数70.3，0.37，ln 0.3的大小关系是（）
A. B.
C. D.
7.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是（）
A. B. 相交
C. D. 、相交或平行
8.若幂函数f（x）=xα经过点，，则f（x）是（）
A. 偶函数，且在上是增函数
B. 偶函数，且在上是减函数
C. 奇函数，且在是减函数
D. 非奇非偶函数，且在上是增函数
9.若ac＜0，bc＜0，则直线ax+by+c=0的图形只能是（）
A. B. C. D.
10.直线l过点P（1，3），且与x、y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程
是（）
A. B. C. D.
11.已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A（3，2）、B（a，-1），且l1与l垂直，
直线l2：2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）
A. B. C. 0 D. 2
12.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜．则
（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知点A（2，1），B（-2，3），C（0，1），则△ABC中，BC边上的中线长为______．
14.已知函数f（x）=，则的值为______．
15.到直线x-y-1=0的距离为2的直线方程为______．
16.设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．
其中真命题的个数是______．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
17.求过点P（2，3）并且在两轴上的截距相等的直线方程．
18.直线l的倾斜角为135°，且经过点P（1，1）．
（1）求直线l的方程；
（2）求点A（3，4）关于直线l的对称点A′的坐标．
19.在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝
BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB；
（3）求三棱锥V-ABC的体积．
20.已知两条直线l1：x+（1+m）y=2-m，l1：2mx+4y=-16，m为何值时，l1与l2：
（1）相交；
（2）平行；
（3）垂直．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：A∪B=A⇔B⊆A．
∴{1，m}⊆{1，3，}，
∴m=3
或m=，解得m=0或m=1（与集合中元素的互异性矛盾，舍去）．
综上所述，m=0或m=3．
故选：B．
由两集合的并集为A，得到B为A的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．
此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基础题．
2.【答案】C
【解析】
解：根据题意，设直线3x+y+1=0的倾斜角为θ，
直线3x+y+1=0即y=-x-，
其斜率k=-，则有tanθ=-，
又由0°≤θ＜180°，
则θ=120°，
故选：C．
根据题意，设直线3x+y+1=0的倾斜角为θ，求出直线的斜率k，由直线的斜率与倾斜角的关系可得tanθ=-，结合θ的范围，分析可得答案．
本题考查直线的倾斜角，涉及直线的一般式方程，注意求出直线的斜率．
3.【答案】D
【解析】
解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，
连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，
∴直线BD与A1C1垂直，
∴直线BD与A1C1异面且垂直，
连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．
本题给出长方体，判断它的两条对角线的位置关系，着重考查了空间两条直线位置关系的判断及其证明的知识，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】
解：由已知代入点到直线的距离公式可得：
d==7，
故选：A．
由已知代入点到直线的距离公式即可求解．
本题考查点到直线的距离公式，属基础题．
5.【答案】A
【解析】
解：设正方体的边长为a，则正方体的表面积S=6a2=54，
∴a=3，又正方体的体对角线长等于其外接球的直径，
∴外接球的半径R=，
∴其外接球的表面积为4π×=27π．
故选：A．
先设正方体的边长为a，根据正方体的表面积S=6a2=54，求得a=3，再根据正方体的体对角线长等于其外接球的直径，求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．
本题考查了正方体的表面积，正方体的外接球的表面积，解题的关键是利用正方体的体对角线长等于其外接球的直径，求得外接球的半径．
6.【答案】A
【解析】
解：∵70.3＞70=1，0＜0.37＜0.30=1，ln 0.3＜ln1=0，
∴70.3＞0.37＞ln 0.3．
借助于中间量0，1，即可得出结论．
本题考查大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】
解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
BB1的中点为E，CC1的中点为F，
设D1C1=a，平面ABCD为α，则a∥α．
观察图形，知：a与AD为异在直线，ADα；
a与AA1为异面直线，AA1与α相交；
a与EF是异面直线，EF∥α．
∴若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b和α的位置关系是平行、相交或b在α内．
故选D．
以正方体为模型能够比较容易地得到结果．
本题考查直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意平面的公理及其推论的灵活运用．
8.【答案】D
【解析】
解：幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），
所以=2α，解得：α=，
函数的解析式为：f（x）=，
故函数f（x）是非奇非偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，
故选：D．
求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可．
本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，基本知识的考查．
9.【答案】C
【解析】
解：由题意知，函数的解析式即y=-x-，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，
∴-＜0，-＞0，故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0，
故选C．
把直线的方程化为斜截式，判断斜率的符号和直线在y轴上的截距上的符号，从而确定函数图象的位置．
本题考查一次函数的图象的位置，由直线的斜率以及在y轴上的截距共同确
定．
10.【答案】A
【解析】
解：设所求的直线方程为：．
∵过点P（1，3）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，
∴，解得a=2，b=6．
故所求的直线方程为：3x+y-6=0．
故选：A．
设所求的直线方程为：．由于过点P（1，3）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，列出方程组，解得a，b即可．
本题考查了直线与直线的位置关系、交点求法、相互平行与垂直的直线与斜
率之间的关系、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于基
础题．
11.【答案】B
【解析】
解：∵l的斜率为-1，则l1的斜率为1，
∴k AB==1，∴a=0．
由l1∥l2 得，-=1，得b=-2，
所以，a+b=-2．
故选：B．
先求出l的斜率，利用垂直关系可得l1的斜率，由斜率公式求出a的值，由l1∥l2 得，-=1，解得b值，可得结果．
本题考查两直线平行、垂直的性质，斜率公式的应用．
12.【答案】A
【解析】
解：∵f（x）是偶函数
∴f（-2）=f（2）
又∵任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，
又∵1＜2＜3
∴f（1）＞f（2）=f（-2）＞f（3）
故选：A．
先由奇偶性将问题转化到[0，+∞），再由函数在区间上的单调性比较．
本题主要考查用奇偶性转化区间和单调性比较大小，在比较大小中，用单调性的较多，还有的通过中间桥梁来实现的，如通过正负和1来解决．
13.【答案】．
【解析】
解：BC中点为（-1，2），所以BC边上中线长为=．
故答案为：．
求出BC中点坐标，利用两点间的距离公式，可得结论．
本题考查中点坐标公式，考查两点间的距离公式，比较基础．
14.【答案】
【解析】
解：∵＞0
∴f（）=log3=-2
∵-2＜0
∴f（-2）=2-2=
故答案为．
首先求出f（）=-2，再求出f（-2）的值即可．
本题考查了对数的运算性质，以及分段函数求值问题，分段函数要注意定义域，属于基础题．
15.【答案】x-y+2-1=0，或x-y-2-1=0
【解析】
解：设要求的直线方程为：x-y+m=0，
由题意可得：=2，解得m=±2-1．
∴到直线x-y-1=0的距离为2的直线方程为：x-y+2-1=0，或x-y-2-1=0．故答案为：x-y+2-1=0，或x-y-2-1=0．
设要求的直线方程为：x-y+m=0，由题意可得：=2，解得m即可得出．本题考查了点到直线的距离公式、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.【答案】0
【解析】
解：若a⊥b，b⊥c，则 a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故①错误；
若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a与c可能平行，可能相交，也可能异面，故②错误；
若a和b相交，b和c相交，则a和c可能平行，可能相交，也可能异面，故③错误；
若a和b共面，b和c共面，则a和c可能共面，也可能异面．
故答案为：0
根据空间直线位置关系的定义及几何特征，分别判断题目中的四个结论，得到四个结论的真假性后，进而即可得到答案．
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面的基本性质及推论，异面直线的判定，熟练掌握空间直线位置关系的定义及几何特征是解答本题的关键．
17.【答案】解：当直线经过原点时，直线的方程为y=x，化为3x-2y=0．
当直线不经过原点时，设直线的截距式为x+y=a，把点p（2，3）代入可得：2+3=a，∴a=5．∴直线的方程为：x+y=5．
故答案为：3x-2y=0或x+y-5=0．
【解析】
当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为x+y=a，把点P的坐标代入即可得出．
本题考查了直线的截距式方程、分类讨论的思想方法，属于基础题．
18.【答案】解：（1）直线l的方程为：y-1=（x-1）tan135°，化为：x+y-2=0．
（2）设对称点A′的坐标（a，b），则，
解得a=-2，b=-1．
∴A′（-2，-1）．
【解析】
（1）利用点斜式即可得出．
（2）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
本题考查了点斜式、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19.【答案】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB，
∵VB⊄平面MOC，OM平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（2）∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，
∴S△VAB=，
∵OC⊥平面VAB，
∴V C-VAB=•S△VAB=，
∴V V-ABC=V C-VAB=．
【解析】
（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；
（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB
（3）利用等体积法求三棱锥V-ABC的体积．
本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．
20.【答案】解：（1）2m（1+m）-4≠0，可得：m2+m-2≠0，解得m≠-2且m≠1．
（2）由2m（1+m）-4=0，可得：m2+m-2≠0，解得m=-2或m=1．
经过验证可得：m=-2时两条直线重合，
可得：m=1．
（3）m=-1时两条直线不垂直，
m≠-1时，由两条直线垂直，可得：-×=-1，
解得m=-．
【解析】
（1）2m（1+m）-4≠0，解得m即可得出．
（2）由2m（1+m）-4=0，可得m，经过验证可得．．
（3）m=-1时两条直线不垂直，m≠-1时，由两条直线垂直，可得：-×=-1，解出m即可得出．
本题考查了相互垂直平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
第11页，共11页。