2019年高考理科数学全国Ⅰ卷真题及答案详解

2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}}2
42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=
A. }{43x x -<<
B. }{42x x -<<-
C. }{22x x -<<
D. }{23x x <<
2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+=
C. 22(1)1x y +-=
D. 22(+1)1y x +=
3.已知0.20.3
2log 0.2,2,0.2a b c ===，则
A. a b c <<
B. a c b <<
C. c a b <<
D. b c a <<
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比
0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如
此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是
A. 165 cm
B. 175 cm
C. 185 cm
D. 190cm
5.函数f (x )=2
sin cos x x x x ++在[—π，π]的图像大致为
A. B.
C. D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A.
5
16
B.
11
32
C.
21
32
D.
11
16
7.已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为
A. π
6
B.
π
3
C.
2π
3
D.
5π
6
8.如图是求
1
1
2
1
2
2
+
+
的程序框图，图中空白框中应填入
A. A=
1
2A
+
B. A=
1
2
A
+ C. A=
1
12A
+
D. A=
1
1
2A
+
9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-
B.
310n a n =-
C. 2
28n S n n =-
D. 2
122
n S n n =
- 10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若
222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为
A. 2
212
x y +=
B. 22
132
x y +=
C. 22
143
x y +
= D. 22
154
x y +=
11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（
2
π
,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④
B. ②④
C. ①④
D. ①③
12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为
A. B. C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．
14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
14613
a a a ==，，则S 5=____________．
15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
16.已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线
与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设
22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．
（1）求A ；
（22b c +=，求sin C ．
18.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB
，A1D的中点．
1
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为3
2
的直线l与C的交点为A，B，与
x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3
AP PB
，求|AB|．
20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：
（1）()f x '在区间(1,)2π
-存在唯一极大值点；
（2）()f x 有且仅有2个零点．
21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；
若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,
,8)i p i =表示“甲药的累计
得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，
11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,
,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，
(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．
(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,
,7)i =为等比数列；
(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22
21141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，（t 为参数），以坐标原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为
2cos sin 110ρθθ++=．
（1）求C 和l 直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．
的
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：
（1）
222111
a b c a b c
++≤++； （2）3
3
3
()()()24a b b c c a +++≥++．
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学参考答案
1，
【答案】C 【详解】由题意得，{}{}
42,23M x x N x x =-<<=-<<，则
{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．
2.【答案】C
【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+
-1,z i -则2
2
(1)1x y +-=．故选C ． 3.【答案】B 【详解】
22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,
<<=则
01,c a c b <<<<．故选B ．
4.【答案】B
【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，
则
26261
105x x y +==+，得42.07, 5.15x cm
y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 5.【答案】D 【详解】由22
sin()()sin ()()cos()()cos x x x x
f x f x x x x x -+----=
==--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关
于原点对称．又221422()1,2
()2
f π
π
πππ+
+=
=>2()01f πππ=>-+．故选D ． 6.【答案】A
【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻
情况有36
C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3
6
62C =516
，故选A ．
7.【答案】B
【详解】因为()a b b -⊥，所以2
()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=
22||12||2
a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b
的夹角为3π
，故选B ． 8.【答案】A
【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1
122+=1
2A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算1
1
2122++=12A +，1
k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为1
2A A
=+，故选A ．
9.【答案】A
【详解】由题知，41
5
144302
45d S a a a d ⎧
=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 10.【答案】B
【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有
121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在
1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233
n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．
在12AF F △中，由余弦定理得22
14422243n n n n +-⋅⋅⋅=，
解得n =
2
2
2
24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22
132
x y +=，
故选B ．
11.【答案】C 【详解】
()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①
正确．当
2x π
π<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫
π ⎪⎝⎭
单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，
()2
s i n f
x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()s i n s i n 2s i n f
x x
x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：
0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2s i n f
x x =；当
[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈
N 时，()s i n s i n 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．
12.【答案】D 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三
棱锥，
PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE
AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥
平面PAC ，PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===
，P ABC ∴-为正方体一部分，
2R == 344,2338
R V R =
∴=π=⨯=π，故选D ．
解法二:
设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，
//EF PB ∴，且1
2
EF PB x =
=，ABC ∆为边长为2的等边三角形，
CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2
CE AE PA x ∴===
AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x
+--∠=
⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，
D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，22431
42x x x x +-+∴=，
221
2122
2
x x x ∴+=∴=
=
，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，
,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，
344338
V R ∴=
π=π⨯=，故选D .
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.【答案】30x y -=.
【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x x
y x e x x e x x e =+++=++
所以，/
0|3x k y ===
所以，曲线23()e x
y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 14.【答案】
121
3
. 【详解】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =
=，所以32511
(),33
q q =又0q ≠， 所以3,q =所以
55
151
(13)
(1)12131133
a q S q --===
--． 15.【答案】0.216.
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是
30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是2
2
0.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 16.【答案】2. 【详解】如图，
由1,
F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，
又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得
02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为
0tan 60b
a
==所以该双曲
线的离心率为2c e a =
===．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.【答案】
（1）3
A π
=；（2）sin C =
【详解】（1）()2
222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=
2221cos 22
b c a A bc +-∴==
()0,πA ∈ 3
A π\=
（2）
22a b c +=sin 2sin A B C +=
又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3
A π
=
1
cos sin 2sin 222
C C C ++=
整理可得：3sin C C -
=
2
2
sin cos 1C C += (()
2
2
3s i n
31
s i n C C ∴=
-
解得：sin C =
因
sin 2sin 2sin 02B C A C =-=-
>所以sin 4
C >
，故sin C =
（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=
又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3
A π
=
1
sin 2sin 2
C C C ++=
整理可得：3sin C C -=
，即3sin 6C C C π⎛
⎫
=-
= ⎪⎝
⎭
sin 62C π⎛
⎫∴-=
⎪⎝⎭
由2(0,
),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446
C C ππππ-==+
sin sin(
)4
6
4
C π
π
=+
=
.
18.【答案】
（1）见解析；（2【详解】（1）连接ME ，1B C
M ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线
1//ME B C ∴且112
ME B C =
又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且11
2
ND B C =
//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形
//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE Ì平面1C DE //MN ∴平面1C DE
（2）设AC
BD O =，11111AC B D O =
由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD 四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥
则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则：)
A
，()0,1,2M
，)1
4A ，D （0，-1,0
）1,222N ⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭
取AB 中点F ，连接DF
，则01,2F ⎫
⎪⎪⎝⎭
四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形 DF AB ∴⊥
又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1D F A A ∴⊥
DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA
DF ∴为平面1
AMA 一个法向量，且33,,022DF ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =，又(
)13,1,2MA =
-，33,,022MN ⎛⎫
=-
⎪ ⎪⎝⎭
1320
33
022n MA
x y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩
，令x =1y =，1z =- (
)
3,1,1n ∴=-
cos ,15DF n DF n DF n
⋅∴<>=
=
=⋅ 10
sin ,DF n ∴<>=
∴二面角1A MA N --
19.【答案】
（1）12870x y --=；（2）3
. 【详解】（1）设直线l 方程为：3
y =
x m 2
+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 125
2
x x ∴+=
联立232
3y x m y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩得：()22
9121240x m x m +-+= 则()2
212121440m m ∆=--> 1
2m ∴<
1212125
92m x x -∴+=-=，解得：78
m =-
∴直线l 的方程为：37
28
y x =
-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：2
3
x y t =+
联立223
3x y t y x
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 1
3
t ∴>-
122y y ∴+=，123y y t =-
3AP PB = 1
23y y ∴=- 21y ∴=
-
，13y =
123
y y ∴=-
则33
AB ==
=
20.【答案】
（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1
cos 1
f x x x '=-
+
令()1
cos 1g x x x =-
+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭ ()()
2
1
sin 1g x x x '∴=-+
+，1,
2x π⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭
()
2
1
1x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减 ()g x '∴在1,2
π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
上单调递减
又()0sin0110g '=-+=>，()()
22
44sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++ 00,2x π⎛⎫
∴∃∈ ⎪⎝⎭
，使得()00g x '=
∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭时，()0g x '<
即()
g x ()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减
则0x x =为()g x 唯一的极大值点
即：()f x '在区间1,2π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .
（2）由（1）知：()1
cos 1
f x x x '=-
+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增
()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减
又()00f =
0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点
②当0,
2x π⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,
2x π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减 又()00f '= ()00f x '
∴>
()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点 又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭ 10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝
⎭，使得()10f x '= ()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减 又()()000f x f >=，2sin ln 1ln ln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立，此时不存在零点 ③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减 ()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减 又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭
，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭
，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上存在唯一零点 ④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=
()sin ln 10x x ∴-+<
即()f x 在(),π+∞上不存在零点
综上所述：()f x 有且仅有2个零点
21.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）41257
p =.
【详解】（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1
()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==- 则X 的分布列如下：
（2）0.5α=，0.8β= 0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=
（i ）
()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅
整理可得：()11541,2,,7i
i i p p p i -+=+=⋅⋅⋅ ()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅ {}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列
（ii ）由（i ）知：()110144i i i i p p p p p +-=-⋅=⋅
78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅
作和可得：()
880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===- 18341
p ∴=- ()
4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+ 4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257
p =
≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.【答案】（1）22
:14y C x +=
；:2110l x ++=；（2
【详解】（1）由2
211t x t -=+得：211x t x -=+，又()2222161t y t =+ ()()222116141144111x
x y x x x x x -⨯
+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ 整理可得C 的直角坐标方程为：2
2
14y x += 又cos x ρθ=，sin y ρθ=
l ∴
的直角坐标方程为：2110x ++=
（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ
则C 上的点到直线l
的距离d ==当sin 16πθ⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭
时，d 取最小值
则min d =
23.【答案】
（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）1abc = 111111a b c b c a c a b a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭
(
)()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++
当且仅当a b c ==时取等号 ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）
()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等
号
又a b +≥b c +≥，a c +≥a b c ==时等号同时成立）
()()()333
3a b b c c a ∴+++++≥⨯=
又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥。