保险经济学 第二章
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1.税收效应
一个企业的边际税率一般随着收入的增加而增加，企 业为降低税率会用支出抵扣税前收入，例如保险费就属于可 以扣减的费用。下面的例子说明了企业购买保险后税收是降 低的。
若一家公司的收益面临风险，如果未投保且收益发生 损失的情况下，其收益为OA；未投保且没有发生损失的情况 下收益为OC。现假设损失发生的概率为50%，则该公司的 期望收益为OB（OB=0.5*OA+0.5*OC）。如果该公司购买 了保险，对发生概率为0.5的损失额AC提供保障，采用公平 保费，则保费为0.5AC=BC。在购买保险后，公司可以得到 确定性收益OB，则该公司应税额为T（OB）。如果不购买 保险，则期望纳税额为T（OA）与T（OC）的加权平均值， 即图中E（Tax）。显然，E(Tax)大于T(OB)，也就是说，购 买保险后，企业降低了应纳税额，从而减少税收。
从图2-4看，当保费下降时，投保人的预算线CD 沿着无差异曲线 I 1 转动，假设变为l ，此时消费者 的最优选择变为E点。从图 2-4看，E点的消费者 实际上购买了超额保险（位于45度线以上）。由C 点到E点保险购买量的变化即纵轴上OL的长度表 示替代效应。
2. 收入效应
由于补偿预算线 l 是为了剔除实际收入水平而将真实的
支付的保费为 p A ，A 为保险金额，在购买保险的情况下，
消费者的期望效用为：
E ( U ) = ( 1 - p ) * U ( w 0 - p A ) + p * U ( w 0 - p A + A - L ) （2-1）
对（2-1）式求一阶导数，令其为零，可得：
E Ap(1p)U '(w 0pA )p(1p)U '(w 0LApA )0
（2-10）
由于 E[U'(Y)(Xp)]0在（2-10）式两边同时乘U 并求期望可得L：
'(Y)(
X L
p)，
E [ U ''( Y ) ( X L p ) ] - R a ( A L p L ) E [ U '( Y ) ( X L p ) ]
（2-11）
因为（2-6）式，进一步可得：
（一）保险的财富效应
❖ 保险的财富效应是指随着投保人的财富增加，其 最优保险购买量如何变化。
❖ 绝对风险厌恶系数：
Ra
U U
''(Y ) '(Y )
其中，Y代表财富水平
经研究发现：
❖ 绝对风险厌恶函数递减，最优保险购买量随着财富增加而 减少；
❖ 绝对风险厌恶函数递增，最优保险购买量随着财富增加而 增加；
则： YALXCXpC
L
（2-5）
期望效用函数 E[U(Y)]最大化。其一阶条件为：
E[U'(Y)(Xp)]0 L
0CL
（2-6）
对（2-6）式求微分，将期望与微分互换，得到
Ed[U'(Y)(X Lp)]0
将（2-5式）代入，进一步可得
E [X ( p ) U ''( Y )d ( A X p )2 U ''( Y )d] C 0
为保费， 为附加系数。
A 为当前财富，在保险合同下的最终财富为随机变量Y：
YA p(S)X W
（2-12）
假定随机变量X的密度函数为 f ( x ) ,则：
E(W )s (xS)f(x)dx
（2-13）
消费者最终财富的期望效用为：
E [ U ( Y ) ] 0 S U ( A p x ) f ( x ) d x U ( A p S ) s f ( x ) d x （2-14）
U '(w 0pA )U '(w 0LApA )
（2-2）
AL
这说明在不存在附加保费的条件下，一个风险 厌恶的消费者，购买保险的数量（以保额表示）和 其风险资产相等，即购买全额保险。
若存在风险附加保费，设其比例为 ，消费者需 要支付的保费增加额为 p(1)A ，则消费者在购买保 险后的期望效用为：
其中D是 d2E/dS2表达式中第二项的大括号里的
系数。令
B1(1)
f(x)dx
S
则当 X S时，有 A p X A p S ，如果 R a 为绝对风险 厌恶函数，有 ：
U U '''((A A p p X X))R a(ApS)
（2-19）
则
( 1 ) U ' ' ( A p X ) R a ( A p S ) ( 1 ) U ' ( A p X ) （2-20）
由于 0 ，则 ( 1 p ) ( 1 ) [ 1 p ( 1 ) ]，
进一步可得：
U '( w 0 p ( 1 ) A ) U '( w 0 p ( 1 ) A A L )
由于效用函数为凹函数，得到
w 0 p (1 )A w 0 p (1 )A A L
A L
该企业的价值可以用（2-4）式表示：
E (V ) t 1 { t i 1 1( 1 P i)[( 1 ( 1 P t)r E )( tF ) ( 1 P t (B r ) )t] }
（2-4）
企业购买保险后，P i 是降低的，即企业通过购买保险降
低了破产概率，间接增大了企业的价值。
二、保险需求模型中的收入效应与替代效应
即该消费者的最优选择为部分保险。
利用图２－２可以直观地说明为什么消费者会选择部分保险：
有
I2
损 失
I1
45
发
生
时
的
财
B
富
D C
O
P
A
M N 无损失发生时的财富
图2-2 投保人最优保险购买
（二）企业的保险需求
企业购买保险的动机远比个人消费者复杂，除考虑风险 分散因素外，还考虑了税收效应、专业化优势及破产约束等 原因。
3.破产的约束
由于在公司破产后，公司的剩余资产优先偿还债权人， 所以股东会千方百计降低公司破产的风险，购买保险就是方 式之一。
若一个企业的价值V，可以用未来资产F的贴现值减去破
产成本B的贴现值表示。假设某企业在第 i 年破产的概率
为P i ，则第 t 年后被清算的概率是：
(1 P 1 )(1 P 2)...(1 P t 1 )
求一阶导数：
dE [U (Y)]f(x)d(x)(1)SU '(Apx)f(x)dx
dS s
0
U'(ApS)[1(1)sf(x)dx]}
求二阶导数为：
d2E[U(Y)]
dS2
f
(x){(1)
S
U'(A
0
px) f
(x)
U'(A pS)[1(1)S f (x)dx]}
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (x)dx{(1)2
L
L
整理得：
dC
E[U''(Y)( X L
p)]
dA E[U''(Y)( X p)2]
L
（2-7）
若分母为负，该式的符号就与分子相同。将式（2-5）
改写为： Y(A LpL )(LC )(Xp)
L
若
X p0 L
由于 YALpL，则
即：
U''(Y) U'(Y)
Ra(ALpL)
（2-8） R a(Y ) R a(A L p L )（2-9）
预算线AB进行平移的，现在将重新恢复到AB的水平，相应 增加的保险购买量LK就是收入效应。
三、简单保险需求模型的扩展
本部分只介绍投保人如何选择最优免赔额。
设保险公司支付的金额是随机变量W，免赔为S，赔付
为X，有：
0, WX-S,
若XS 其他情况
假定保费是免赔额的一个函数，即 p(S)(1)E (W )，E (W )
未购买保险的情况下，消费者效用的期望为：
P 1 U (A 1 ) ...P iU (A i) E [ U (A ) ]
根据詹森不等式，有 U [E (A )]E [U (A )]，即消
费者购买保险后得到了更大的效用。
2．个人的最优保险购买
假设一个消费者具有初始财富 w 0 ，风险事故的损失额 是 L ，风险事故发生的概率是 p ，则该消费者购买保险
E[U''(Y)(Xp)]0，即 d C 0 .
L
dA
证毕。
若 X p 0 的情况,（2-9）式符号改变，两边同时乘
L
U'(Y)( X p) ，（2-10）符号同时改变，式（2-11）仍然成 立。 L
❖ 即如果投保人的个人绝对风险厌恶函数递增，则最优保险 购买量随着其财富的增加而增加，保险是正常品。
f (x)dx
S
U''(A px)f (x)dx
s
S
0
U''(A pS)[1(1) f (x)dx]2} S
（2-15） （2-16）
若E[U(Y)]单调递增，则二阶导数恒为负。最优解S无穷
大，即不购买保险；若E[U(Y)]在S取得特定值时达到最大，
在该点有：
(1)
S
U'(Apx)f(x)dx
0
U'(ApS)[1(1)
f(x)dx]
S
（2-17）
即若E[U(Y)]在某个有限值S处有极值点，则该点一定
是最大值点。在S的最优解是有限值的情况下，对（2-17）
式求微分，进一步得到：
dS1{(1)
S
U''(Apx)f(x)dx}
dA D
0
U''(ApS)[1(1)
f(x)dx]}
S
（2-18）
E ( U 1 ) 0 .3 * U ( 5 0 ) 0 .7 * U ( 2 0 0 )
如果一家保险公司以公平保费提供保险，即收取的保费 为45，在发生火灾时进行全额赔付，消费者在购买保险后， 无论发生火灾还是不发生火灾，最终财富效用都为：
E ( U 2 ) 1 .0 * U ( 2 0 0 4 5 ) U ( 1 5 5 )
E ( U ) = ( 1 - p ) * U [ w 0 - p ( 1 + ) A ] + p * U [ w 0 - p ( 1 + ) A + A - L ] （2-3）
根据最优条件，对（2-3）式求一阶导数，令其为零， 可得：
E Ap(1p)(1)U'(w 0p(1)A)p[1p(1)]U'(w 0p(1)AAL) (1)(1p)U'(w 0p(1)A)[1p(1)]U'(w 0p(1)AAL) （2-4）
T(OC)
E(TAX)
T(OB) T(OA)
O
A
B
C
图2-3 企业购买保险的税收效应
2.专业化优势
保险公司的优势在于理赔及防灾防损的专业性。保险公 司分布广泛的理赔网络及专业人才使其能够在企业出现损失 后较快地完成理赔，从而能够使企业尽早恢复生产。专业化 的防灾防损技术也可以帮助企业降低发生损失的概率，而从 间接提高了企业的生产效益。
❖ 从期望效用角度探讨个人和企业的保险需求。
（一） 个人的保险需求
1.个人购买保险的原因 假设一个风险厌恶的消费者初始财富为200，其中房屋的 价值是150，若房屋遭遇火灾后被完全烧毁，则消费者灾后 的财富变为50。假设发生火灾的可能性为0.3，则损失的期 望值为45(0.3*150)。该消费者在没有购买保险的情况下，其 期望效用是：
❖ 绝对风险厌恶函数不变，最优保险购买量不随财富增加而 变化。
证明：绝对风险厌恶函数递增时，投保人的最优保险购买量 随着财富的增加而增加，即保险为正常品（其他部分证明方 法类似）。
L ——风险资产
A ——无风险资产 C ——保险保额
p ——费率
X ——损失X C X ——实际赔付
L
Y ——最终财富
第二章 保险需求：基础理论
学习目的
通过本章学习，熟悉保险需求模型，学会分 析保险需求模型中的收入效应和替代效应，了解 保险需求模型的一些扩展形式；了解保险风险分 散的机制，掌握帕累托最优保单的分析方法，学 会分析再保险市场价格及保险市场的均衡。
第一节 保险需求模型
一、简单保险需求模型
❖保险作为一种商品， 可以给个人消费者带来效用， 但由于保险金的给付是不确定的， 因此保险消费 的效用是一种期望效用。
（二）收入效应与替代效应的图形分析
有
损 失
I2
发 生
l I1
45
时
的
财
富
总效应
收入效应
L
E
B
替代效应 DC
O
P
A
MN
无损失发生时的财富
图2-4 保险的替代效用与收入效应
1.替代效应
保险商品的替代效应是指保险价格的变化所引起 的购买保险与不购买保险的相互替代引起的保险 购买量的变化。
当保险价格下降时，投保人的实际财富发生变化， 为单纯考察替代效应，引入在消费者理论中使用 的补偿预算线，使得投保人的实际财富保持不变。 也就是说，保险价格下降使得投保人的实际财富 增加时，假设可以取走一部分财富，使投保人的 实际财富保持不变，维持在原有的效用水平上。
效用
U(200)
E (U 1 )
D
B
E C
U(50)
A
50
155
200
财富
图2-1 消费者购买保险的效用比较
假设一个消费者具有 i 项风险资产A１，… ，Ai，面 临风险的概率分别为P１，… ，Pi，在购买保险的情况下 ，消费者期望效用为：
U (P 1 A 1 ,...,P iA i) U [E (A )]
一个企业的边际税率一般随着收入的增加而增加，企 业为降低税率会用支出抵扣税前收入，例如保险费就属于可 以扣减的费用。下面的例子说明了企业购买保险后税收是降 低的。
若一家公司的收益面临风险，如果未投保且收益发生 损失的情况下，其收益为OA；未投保且没有发生损失的情况 下收益为OC。现假设损失发生的概率为50%，则该公司的 期望收益为OB（OB=0.5*OA+0.5*OC）。如果该公司购买 了保险，对发生概率为0.5的损失额AC提供保障，采用公平 保费，则保费为0.5AC=BC。在购买保险后，公司可以得到 确定性收益OB，则该公司应税额为T（OB）。如果不购买 保险，则期望纳税额为T（OA）与T（OC）的加权平均值， 即图中E（Tax）。显然，E(Tax)大于T(OB)，也就是说，购 买保险后，企业降低了应纳税额，从而减少税收。
从图2-4看，当保费下降时，投保人的预算线CD 沿着无差异曲线 I 1 转动，假设变为l ，此时消费者 的最优选择变为E点。从图 2-4看，E点的消费者 实际上购买了超额保险（位于45度线以上）。由C 点到E点保险购买量的变化即纵轴上OL的长度表 示替代效应。
2. 收入效应
由于补偿预算线 l 是为了剔除实际收入水平而将真实的
支付的保费为 p A ，A 为保险金额，在购买保险的情况下，
消费者的期望效用为：
E ( U ) = ( 1 - p ) * U ( w 0 - p A ) + p * U ( w 0 - p A + A - L ) （2-1）
对（2-1）式求一阶导数，令其为零，可得：
E Ap(1p)U '(w 0pA )p(1p)U '(w 0LApA )0
（2-10）
由于 E[U'(Y)(Xp)]0在（2-10）式两边同时乘U 并求期望可得L：
'(Y)(
X L
p)，
E [ U ''( Y ) ( X L p ) ] - R a ( A L p L ) E [ U '( Y ) ( X L p ) ]
（2-11）
因为（2-6）式，进一步可得：
（一）保险的财富效应
❖ 保险的财富效应是指随着投保人的财富增加，其 最优保险购买量如何变化。
❖ 绝对风险厌恶系数：
Ra
U U
''(Y ) '(Y )
其中，Y代表财富水平
经研究发现：
❖ 绝对风险厌恶函数递减，最优保险购买量随着财富增加而 减少；
❖ 绝对风险厌恶函数递增，最优保险购买量随着财富增加而 增加；
则： YALXCXpC
L
（2-5）
期望效用函数 E[U(Y)]最大化。其一阶条件为：
E[U'(Y)(Xp)]0 L
0CL
（2-6）
对（2-6）式求微分，将期望与微分互换，得到
Ed[U'(Y)(X Lp)]0
将（2-5式）代入，进一步可得
E [X ( p ) U ''( Y )d ( A X p )2 U ''( Y )d] C 0
为保费， 为附加系数。
A 为当前财富，在保险合同下的最终财富为随机变量Y：
YA p(S)X W
（2-12）
假定随机变量X的密度函数为 f ( x ) ,则：
E(W )s (xS)f(x)dx
（2-13）
消费者最终财富的期望效用为：
E [ U ( Y ) ] 0 S U ( A p x ) f ( x ) d x U ( A p S ) s f ( x ) d x （2-14）
U '(w 0pA )U '(w 0LApA )
（2-2）
AL
这说明在不存在附加保费的条件下，一个风险 厌恶的消费者，购买保险的数量（以保额表示）和 其风险资产相等，即购买全额保险。
若存在风险附加保费，设其比例为 ，消费者需 要支付的保费增加额为 p(1)A ，则消费者在购买保 险后的期望效用为：
其中D是 d2E/dS2表达式中第二项的大括号里的
系数。令
B1(1)
f(x)dx
S
则当 X S时，有 A p X A p S ，如果 R a 为绝对风险 厌恶函数，有 ：
U U '''((A A p p X X))R a(ApS)
（2-19）
则
( 1 ) U ' ' ( A p X ) R a ( A p S ) ( 1 ) U ' ( A p X ) （2-20）
由于 0 ，则 ( 1 p ) ( 1 ) [ 1 p ( 1 ) ]，
进一步可得：
U '( w 0 p ( 1 ) A ) U '( w 0 p ( 1 ) A A L )
由于效用函数为凹函数，得到
w 0 p (1 )A w 0 p (1 )A A L
A L
该企业的价值可以用（2-4）式表示：
E (V ) t 1 { t i 1 1( 1 P i)[( 1 ( 1 P t)r E )( tF ) ( 1 P t (B r ) )t] }
（2-4）
企业购买保险后，P i 是降低的，即企业通过购买保险降
低了破产概率，间接增大了企业的价值。
二、保险需求模型中的收入效应与替代效应
即该消费者的最优选择为部分保险。
利用图２－２可以直观地说明为什么消费者会选择部分保险：
有
I2
损 失
I1
45
发
生
时
的
财
B
富
D C
O
P
A
M N 无损失发生时的财富
图2-2 投保人最优保险购买
（二）企业的保险需求
企业购买保险的动机远比个人消费者复杂，除考虑风险 分散因素外，还考虑了税收效应、专业化优势及破产约束等 原因。
3.破产的约束
由于在公司破产后，公司的剩余资产优先偿还债权人， 所以股东会千方百计降低公司破产的风险，购买保险就是方 式之一。
若一个企业的价值V，可以用未来资产F的贴现值减去破
产成本B的贴现值表示。假设某企业在第 i 年破产的概率
为P i ，则第 t 年后被清算的概率是：
(1 P 1 )(1 P 2)...(1 P t 1 )
求一阶导数：
dE [U (Y)]f(x)d(x)(1)SU '(Apx)f(x)dx
dS s
0
U'(ApS)[1(1)sf(x)dx]}
求二阶导数为：
d2E[U(Y)]
dS2
f
(x){(1)
S
U'(A
0
px) f
(x)
U'(A pS)[1(1)S f (x)dx]}
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (x)dx{(1)2
L
L
整理得：
dC
E[U''(Y)( X L
p)]
dA E[U''(Y)( X p)2]
L
（2-7）
若分母为负，该式的符号就与分子相同。将式（2-5）
改写为： Y(A LpL )(LC )(Xp)
L
若
X p0 L
由于 YALpL，则
即：
U''(Y) U'(Y)
Ra(ALpL)
（2-8） R a(Y ) R a(A L p L )（2-9）
预算线AB进行平移的，现在将重新恢复到AB的水平，相应 增加的保险购买量LK就是收入效应。
三、简单保险需求模型的扩展
本部分只介绍投保人如何选择最优免赔额。
设保险公司支付的金额是随机变量W，免赔为S，赔付
为X，有：
0, WX-S,
若XS 其他情况
假定保费是免赔额的一个函数，即 p(S)(1)E (W )，E (W )
未购买保险的情况下，消费者效用的期望为：
P 1 U (A 1 ) ...P iU (A i) E [ U (A ) ]
根据詹森不等式，有 U [E (A )]E [U (A )]，即消
费者购买保险后得到了更大的效用。
2．个人的最优保险购买
假设一个消费者具有初始财富 w 0 ，风险事故的损失额 是 L ，风险事故发生的概率是 p ，则该消费者购买保险
E[U''(Y)(Xp)]0，即 d C 0 .
L
dA
证毕。
若 X p 0 的情况,（2-9）式符号改变，两边同时乘
L
U'(Y)( X p) ，（2-10）符号同时改变，式（2-11）仍然成 立。 L
❖ 即如果投保人的个人绝对风险厌恶函数递增，则最优保险 购买量随着其财富的增加而增加，保险是正常品。
f (x)dx
S
U''(A px)f (x)dx
s
S
0
U''(A pS)[1(1) f (x)dx]2} S
（2-15） （2-16）
若E[U(Y)]单调递增，则二阶导数恒为负。最优解S无穷
大，即不购买保险；若E[U(Y)]在S取得特定值时达到最大，
在该点有：
(1)
S
U'(Apx)f(x)dx
0
U'(ApS)[1(1)
f(x)dx]
S
（2-17）
即若E[U(Y)]在某个有限值S处有极值点，则该点一定
是最大值点。在S的最优解是有限值的情况下，对（2-17）
式求微分，进一步得到：
dS1{(1)
S
U''(Apx)f(x)dx}
dA D
0
U''(ApS)[1(1)
f(x)dx]}
S
（2-18）
E ( U 1 ) 0 .3 * U ( 5 0 ) 0 .7 * U ( 2 0 0 )
如果一家保险公司以公平保费提供保险，即收取的保费 为45，在发生火灾时进行全额赔付，消费者在购买保险后， 无论发生火灾还是不发生火灾，最终财富效用都为：
E ( U 2 ) 1 .0 * U ( 2 0 0 4 5 ) U ( 1 5 5 )
E ( U ) = ( 1 - p ) * U [ w 0 - p ( 1 + ) A ] + p * U [ w 0 - p ( 1 + ) A + A - L ] （2-3）
根据最优条件，对（2-3）式求一阶导数，令其为零， 可得：
E Ap(1p)(1)U'(w 0p(1)A)p[1p(1)]U'(w 0p(1)AAL) (1)(1p)U'(w 0p(1)A)[1p(1)]U'(w 0p(1)AAL) （2-4）
T(OC)
E(TAX)
T(OB) T(OA)
O
A
B
C
图2-3 企业购买保险的税收效应
2.专业化优势
保险公司的优势在于理赔及防灾防损的专业性。保险公 司分布广泛的理赔网络及专业人才使其能够在企业出现损失 后较快地完成理赔，从而能够使企业尽早恢复生产。专业化 的防灾防损技术也可以帮助企业降低发生损失的概率，而从 间接提高了企业的生产效益。
❖ 从期望效用角度探讨个人和企业的保险需求。
（一） 个人的保险需求
1.个人购买保险的原因 假设一个风险厌恶的消费者初始财富为200，其中房屋的 价值是150，若房屋遭遇火灾后被完全烧毁，则消费者灾后 的财富变为50。假设发生火灾的可能性为0.3，则损失的期 望值为45(0.3*150)。该消费者在没有购买保险的情况下，其 期望效用是：
❖ 绝对风险厌恶函数不变，最优保险购买量不随财富增加而 变化。
证明：绝对风险厌恶函数递增时，投保人的最优保险购买量 随着财富的增加而增加，即保险为正常品（其他部分证明方 法类似）。
L ——风险资产
A ——无风险资产 C ——保险保额
p ——费率
X ——损失X C X ——实际赔付
L
Y ——最终财富
第二章 保险需求：基础理论
学习目的
通过本章学习，熟悉保险需求模型，学会分 析保险需求模型中的收入效应和替代效应，了解 保险需求模型的一些扩展形式；了解保险风险分 散的机制，掌握帕累托最优保单的分析方法，学 会分析再保险市场价格及保险市场的均衡。
第一节 保险需求模型
一、简单保险需求模型
❖保险作为一种商品， 可以给个人消费者带来效用， 但由于保险金的给付是不确定的， 因此保险消费 的效用是一种期望效用。
（二）收入效应与替代效应的图形分析
有
损 失
I2
发 生
l I1
45
时
的
财
富
总效应
收入效应
L
E
B
替代效应 DC
O
P
A
MN
无损失发生时的财富
图2-4 保险的替代效用与收入效应
1.替代效应
保险商品的替代效应是指保险价格的变化所引起 的购买保险与不购买保险的相互替代引起的保险 购买量的变化。
当保险价格下降时，投保人的实际财富发生变化， 为单纯考察替代效应，引入在消费者理论中使用 的补偿预算线，使得投保人的实际财富保持不变。 也就是说，保险价格下降使得投保人的实际财富 增加时，假设可以取走一部分财富，使投保人的 实际财富保持不变，维持在原有的效用水平上。
效用
U(200)
E (U 1 )
D
B
E C
U(50)
A
50
155
200
财富
图2-1 消费者购买保险的效用比较
假设一个消费者具有 i 项风险资产A１，… ，Ai，面 临风险的概率分别为P１，… ，Pi，在购买保险的情况下 ，消费者期望效用为：
U (P 1 A 1 ,...,P iA i) U [E (A )]