备战2014高考数学真题集锦：《求曲线方程》

【两年真题重温】
1.【2011⋅新课标全国理，14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F
在x 轴上，．过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，且△2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 ．
2.【2010 新课标全国理，12】已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为
(A) 22136x y -= (B) 22
145x y -=
(C) 22
163x y -=
(D) 22
154
x y -=
- 2 -
3.【2012 新课标全国】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162
=的准线交于,A B
两点，AB =则C 的实轴长为（ ）
()
A ()B
()C 4 ()D 8
.
【命题意图猜想】
1.求曲线方程，分为三类，一是求椭圆的方程，二是求双曲线的方程，三是求抛物线的方程，新课标对双曲线的要求降低，故求双曲线方程一般比较基础，难度较低.在2011年高考中结合椭圆的定义和几何性质考查了椭圆的方程，2010年高考中结合直线与双曲线的位置关系考查了双曲线的方程，并且均为理科的题目，文科没有单独设计小题，而是体现在解答题中;2012年将双曲线和抛物线相结合求解双曲线的方程，试题难度中档，达到一箭双雕的作用.猜想，在2012年高考中可能出现以抛物线的几何性质为背景考查抛物线的方程.
2.从近几年的高考试题来看，椭圆的定义，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，求椭圆的标准方程是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中等偏高，部分解答题为较难题目．客观题主要考查对椭圆的基本概念与性质的理解及应用；主观题考查较为全面，在考查对椭圆基本概念与性质的理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力、运算能力以及数形结合思想．预测2013年高考仍将以椭圆的定义，性质和直线与椭圆的位置关系为主要考点，重点考查运算能力与逻辑推理能力．
3.从近几年的高考试题来看，双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏高，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想．预测2013年高考仍将以双曲线的定义及几何性质为主要考查点，重点考查学生的运算能力、逻辑推理能力．
4.通过分析近几年的高考试题可以看出，一方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识，另一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系的综合问题，着力于数学思想方法及数学语言的考查，题目的运算量一般不是很大，属于中档题．预测2013年高考仍将以抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系为主要考点，考查学生的数学思想方法的运用及运算能力．
【最新考纲解读】
(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． (2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质． (4)了解圆锥曲线的简单应用． (5)理解数形结合的思想．
【回归课本整合】
1. 椭圆的标准方程：
（1）焦点在x 轴上：122
22=+b
y a x （0a b >>）；
（2）焦点在y 轴上：22
22b
x a y +＝1（0a b >>）.
注意：焦点的位置由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

在判断一个方程是不是椭圆方程时，一定明确限制条件0a b >>，因为0a b =>时方程表示的圆.
（3）当椭圆的焦点位置不明确而无法确定是哪种标准方程时，可设方程为22
1
x y m n
+=（,0m n >）
可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为22
1mx ny +=（0m >,0n >）.
注意：当椭圆的焦点位置不明确时，利用椭圆方程求参数的值时，需要分类讨论. 2. 双曲线的标准方程：
可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为22
1mx ny +=（0mn <）.
注意：当双曲线的焦点位置不明确时，利用双曲线方程求参数的值时，需要分类讨论. 3.抛物线的方程
(1) 焦点坐标在x 轴上：开口向右时2
2(0)y px p =>，开口向左时2
2(0)y px p =->； (2)焦点坐标在y 轴上：开口向上时2
2(0)x py p =>，开口向下时2
2(0)x py p =->； (3)不清楚开口方向的抛物线设法：焦点在x 轴上，2
(0)y mx m =≠；焦点在y 轴上，
2(0)x my m =≠.
- 4 -
【方法技巧提炼】
【考场经验分享】
1．判断两种椭圆标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小，若x 2的分母比y 2的分母大，则焦点在x 轴上，若x 2的分母比y 2的分母小，则焦点在y 轴上．
2．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2. 3．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．
4.本热点的位置一般体现两类，一是前5道中，试题基础，难度较低，需仔细把握得全分；二是出现压轴的填空或选择题得位置，综合性比较强，常常与其它知识联系到到一起，如果从正面计算感觉困难，可采取迂回策略，选择题中可根据备选答案进行验证，达到排除目的.如果基础较差，可适当放弃，不易花费过多的时间.
【新题预测演练】
1.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】与椭圆:
C 22
11612
y
x +=共焦点 且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A ．22
13y x -= B ．22
21y x -=C ．22122y x -= D ．2213
y x -=
2.【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试】
已知双曲22
212
x y a -＝1的离心率为2，则该双曲线的实轴长为
（A ）2 （B ）4
3.【安徽省2013届高三开年第一考文】双曲线2
213
x y -=的右焦点和抛物线22y px =的焦
点相同，则p=（ ）
A ．2
B ．4
C
D ．
4.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】若圆22
490x y x +--=与y 轴的两个交点A 、B 都在双曲线上，且A 、B 两个恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）
A ．221972x y -=
B ．221972y x -=
C ．2211681x y -=
D ．2218116
y x -=
5.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】若双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的一
个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
1
4
，则该双曲线的渐近线方程是
A. 20x y ±=
B. 20x y ±=
C. 0x ±=
D.
0y ±=
-
6 -
6.
【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】若点O 和点F （-2,0）分别是双曲线22
21
x y a
-=（0a >）的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ∙的取值范围为
A.[3-，+∞）
B.[3+∞）
C.[-
74,+∞） D.[7
4
,+ ∞）
7.【北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考】
设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点
P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近
线方程为
A ．340x y ±=
B ．350x y ±=
C ．540x y ±=
D ．430x y ±=
8.【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】直线l 过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点，且 交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知BF CB AF 3,4||==,则=p （ ）
A ． 2
B ．
34 C ． 3
8
D ． 4
9.【2013年山东省日照高三一模模拟考试】已知双曲线22
221x y a b
-=的一个焦点与圆
22100x y x +-= A.22
1520x y -=
B.2212520x y -=
C.
22
1205
x y -=
D.
22
12025
x y -=
10.【山东省济宁
市2013届高三上学期期末考试】抛物线2
4y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 A.78
B.
1516
C.
34
D.0
-
8 -
11.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】已知F 是抛物线C ：2
2(0)y px p =>的焦点，过点R （2,1）的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且||||,||||5RA RB FA FB =+=,则直线l 的斜率为（ ） A.
32 B.1 C.2 D. 1
2
12.【上海市杨浦2013届高三
一模】(理、文)若F 1、F 2为双曲线C : 124
2
=-y x 的左、右焦
点，点在双曲线C 上，∠F 1PF 2=60︒，则P 到x 轴的距离为 (
)
(A)
5
5
(B)
5
15 (C)5152 (D)
20
15
13.【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】以抛物线x y 82
=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以x y 3±=为渐近线的双曲线方程是___________________
14.【2013年山东省临沂市高三教学质量检测考试】已知双曲线22
19x y a
-=的右焦点为
0)，则该双曲线的渐近线方程为 ·
1
5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知双曲线22
2
21x y a b -=的一个焦点与抛线
线
2
y =
为 ．
31e a b =
=⇒=⇒=．
16.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】若抛物线2
2y
x =上的一点M 到坐标原点O
，则点M 到该
抛物线焦点的距离为
____ .
17.【广东省惠州市2013届高三第三次调研考试】
已知双曲线
22
22
1
x y
a b
-=
的一个焦点与抛线线2y=的焦点重合，
且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为．
31
e a b
==⇒=⇒=．
18.【2013届河北省重点中学联合考试】如右图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：
2
22
()
24
p p
x y
-+=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，
B，C，D四点，则AB CD
∙的值为＿＿＿＿
- 10 -。