北师大版数学八年级上册5.8 三元一次方程组课件

②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1， 4a＋b=10.
探究新知
a＋b=1，
4a＋b=10.
解这个方程组，得
a=3， b=-2.
把
a=3， b=-2
代入①，得
c=-5,
因此
a=3， b=-2，
c=-5.
巩固练习
变式训练 已知
x 1
y
2
是方程组
①与④组成方程组 11x 10z 35 一次方程组.
解这个方程组，得
x 5 z -2
探究新知
解三元一次方程组
3x 4z 7， ① 2x 3y z 9， ② 5x 9 y 7z 8．③
你还有其它解 法吗？试一试， 并与这种解法 进行比较.
把
x＝5，z＝-2
代入②，得
y
1 3
x 5，
2x y z 20. ③
的“消元”,把“三 元”化成“二元”.
解：由方程②得x=y+1④,把④分别代入①③得
2y+z=22 ⑤, 3y-z=18 ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 把y=8代入④，得x=9. x=9,
y 8, z 6.
所以原方程的解是 y=8,
z=6.
探究新知
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或 “加减”进行 消元 ，把 “三元” 转化为 “二元” ， 使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再 转化为解 一元一次方程 .
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元 一次方程组的解.
三元一次方程组必须满足的三个条件： 1.共含有三个不相同的未知数. 2.未知数的项的次数都是1. 3.共有三个一次方程.
探究新知
素养考点 1 三元一次方程组的判断
例 下列是三元一次方程组的是( D )
2x 5
A.
x
2
y
7
第二个方程 含有未知数B.
求每一个一次方程都含有三个未知数．
探究新知 知识点 2 三元一次方程组的解法
怎样解三元一次方程组呢？
x y z 23, ①
x
y
1,
②
2x y z 20. ③
能不能像以前一样“消元”， 把“三元”化成“二元”呢？
探究新知
x y z 23, ①
例
解方程组
x
y
1,
② 类似二元一次方程组
4 x
-
y
z
x - 2y 3z
2 9
x
y
z
6
的项的次数 不是1
y
-3
x y z 7
C.
xyz
1
x y 2
D.
y
z
1
x 3y第 4二个方程含
x z 9
有未知数的项
的次数不是1
第一个方程不是 整式方程
三个方程都是一 次方程,且该方程 组中一共含有三 个未知数,故是三
元一次方程组
是三元一次方程组，类比二元一次方程组，三元
一次方程组中的方程不一定每个方程都要含有3个未 知数，只要是一共含有三个未知数的三个一次方程所
组成一组方程，就是三元一次方程组.
4．你能得出什么是三元一次方程组的解？
三元一次方程组中各个方程的公共解.
探究新知
由此，我们得出三元一次方程组及其解的定义:
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．
探究新知
观察方程x+y+z=23 和2x+y-z=20 1．它们有什么共同特点？
它们都含有三个未知数，并且所含未知 数的项的次数都是1； 2．类比二元一次方程，你能说出这两个方 程是什么方程吗？
是三元一次方程；
探究新知
x y z 23
3．那么方程组
x
y
1
应该叫做什么方程组呢？
2x y z 20
的铁、钙和维生素的量（单位）
食物 铁
钙 维生素
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5
探究新知
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出 方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿
营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单 位的维生素，得方程组
z 8.
答：原三位数是368.
课堂小结
三元一次方程组的概念
三元一次方程组
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的应用
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
亲爱的读者： 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一 样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。
水稻
4人
1万元
棉花
8人
1万元
蔬菜
5人
2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排三种农作
物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金
正好够用?
巩固练习
解:设安排x公顷种水稻,y公顷种棉花,z公顷种蔬菜.
依题意,得
x y z 51 4x 8y 5z 300 x y 2z 67
A.6种
B.5种
C.4种
D.3种
解析：设分别购买学习用品的数量为x,y,z.由题意
2x 4y 6z 56 0.5x 0.5y 0.5z 56 50
得 x 2y 3z 28 x y z 12
,
即
①-②得:y+2z=16,所以y=16-2z③,所以满足x、y、z
之间关系的取值可以是:当y=2时,z=7,x=3.当y=4时,z=6,x=2.
B.3
C.4
D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加
得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
课堂检测
基础巩固题
3.解方程组
x＋y－z＝11， ① y＋z－x＝5， ② z＋x－y＝1. ③
则x＝__6___，y＝___8___，z＝___3____.
解析：通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x 即可.
课堂检测
能力提升题
若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，
求a，b，c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
a b 1 0,
可得方程组 b 2a c 0,
2c b 0. a 3,
解得 b 4,
c 2.
课堂检测
拓广探索题
一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 3 ，百位上
巩固练习
变式训练
下列方程组不是三元一次方程组的是( D )
x1
A.
x
y
2
x z 10
x y 10
C.
x
z
2
y z 15
x3y 2z 1
B. 2x y 4z 0
3x 2y z 3
x yz 1
D. x 3y 4z 7
xyz 12
提示： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要
北师大版 数学 八年级 上册
5.8 三元一次方程组
导入新知
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法 消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入 二元一次方程组 消元
加减 化二元为一元
一元一次方程 化归转化思想
思考 若含有3个未知数的方程组如何求解？
素养目标
3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的 解法. 2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中 进一步体会“消元”思想.
课堂检测
基础巩固题
1.方程
2x 1 0, y
，
3x＋y-z＝0,2x＋xy＝1, x＋5y－2z＝0 B
x2－x＋1＝0中，三元一次方程的个数是 ( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
课堂检测
基础巩固题
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为
（D ）
A.2
z 3
ax by 2 by cz 3 cx az 7
的解,则a+b+c的值是___3_________.
探究新知
素养考点 2 利用三元一次方程组解答实际问题 例2 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应 包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营
养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、 C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含
三元一次 消元 二元一次 消元 一元一次
方程组
方程组
方程
探究新知
解三元一次方程组
3x 4z 7， ① 2x 3y z 9， ② 5x 9 y 7z 8．③
分析：方程①中 只含x, z, 因此,可 以由②③消去y, 得到一个只含x,
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35④ z的方程, 与方程 3x 4z 7 ①组成一个二元
1. 了解三元一次方程组的有关概念.
探究新知 知识点 1 三元一次方程（组）及其解的概念 已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲
数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
提出问题 1．题目中有几个条件？ 2．问题中有几个未知量？ 3．根据等量关系你能列出方程组吗？
探究新知
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我
因此，三元一次方程组的解为
y
1， 3
z -2．
探究新知
素养考点 1 三元一次方程组求字母的值 例1 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;
当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
4
的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上
的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.
由题意，得
y
3 4
z,
x y z 1,
100z 10 y x 100x 10 y z 495.
x 3,
解得： y 6,
④
35z 70.
⑥
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
巩固练习
变式训练
某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻,棉花和蔬菜,
已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金
如下表:
农作物品种入资金
5x 5y 10z 35, ① 20x 10y 10z 70, ② 5x 15y 5z 35. ③
探究新知
(2)②-①×4,③-①,得
5x 5y 10z 35, ① 10y 30z 70, ④
10y 5z 0.
⑤
⑤+④,得
5x 5y 10z 35,
①
10
y
30z
70,
x 15
解得：
y
20
z 16
答:安排15公顷种水稻,20公顷种棉花,16公顷种蔬菜.
连接中考
(2019·黑龙江模拟)小明妈妈到文具店购买三种学习用品,其单价
分别为2元、4元、6元,购买这些学习用品需要56元,经过协商最 后以每种单价均下调0.5元成交,结果只用了50元就买下了这些学
习用品,则小明妈妈的购买方法有(D )
们自然会想到设甲数、乙数、丙数分别是x、y、 z， 根据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=23,x-y=1,2x+y-z=20
类似于二元一次方程组，可以得到下边的方程组：
x y z 23
x
y
1
2x y z 20
思考 这个方程组和前面学过 的二元一次方程组有什么区 别和联系，又如何求解？