100所名校高考模拟金典卷-理科数学(1)

正视图 侧视图
俯视图
2 2
100所名校高考模拟金典卷·数学（一）
一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符
合题目要求的。

1、若集合{}0,1,2,3A =, 集合{}
,1B x x A x A =-∈-∉, 则集合B 的元素个数为（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 2、在复平面内, 复数
2334i
i
-+-（i 为虚数单位）所对应的点位于（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限 3、下列命题中正确的是（ ）
A 、若p ：存在x R ∈, 2
10x x ++<, 则⌝p ：对任意x R ∈, 2
10x x ++<。

B 、若p q ∨为真命题, 则p q ∧为真命题。

C 、“函数()f x 为奇函数”是“()00f =”的充分不必要条件。

D 、命题“若2
320x x -+=, 则1x =”的否命题为真命题。

4、执行如图所示的程序框图, 则输出的S 的值为（ ）
A 、3
B 、6-
C 、10
D 、15-
5、已知变量x,y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-≥⎩
, 则21z x y =+-
的最大值是（ ）
A 、9
B 、8
C 、7
D 、6
6、如图,
某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、 等腰三角形和菱形, 则该几何体的体积为（ ）
A 、
B 、4
C 、
D 、2
7、用1,2,3,4,5,6组成不重复的六位数, 满足1不在左右两端, 2,4,6三个偶数中有且仅有两个偶数相邻, 则这样的六位数的 个数为（ ）
A 、432
B 、288
C 、216
D 、144 8、设0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
, 0,
2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
, 且1sin tan cos β
αβ
+=
, 则（ ）
A 、32
π
αβ-=
B 、22
π
αβ-=
C 、32
π
αβ+=
D 、
22
π
αβ+=
9、已知等边△ABC 中, D 、E 分别是CA 、CB 的中点, 以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e , 则12e e +的值为（ ）
A 、
B 、3
C 、2
D 、
32
10、已知定义在R 上的函数()f x 、()g x 满足()()
x
f x a
g x =（0a >且1a ≠）, ()()()()''f x g x f x g x <, 其中()0g x ≠且()()()()115112f f g g -+=-, 则在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
中, 任取前k 项相加, 和大于6364的概率
为（ ）
A 、
15 B 、35 C 、45 D 、2
5
A
C
B
O E
D
二、填空题：本大题共6小题, 考生作答5小题, 每小题5分, 共25分。

（一）选做题（请考生在11,12,13三题中任选两题作答, 如果全做, 则按前两题计分。

11、已知曲线C
的极坐标方程为ρθ=,
直线的极坐标方程为2cos ρθ= 则它们相交所得的弦长等于 ； 12、如图, AB 是圆O 的直径, 过A 作圆O 的切线, 在切线上取一点C , 使AC =AB ,
连结OC , 与圆O 交于点E , 若圆O 的半径为1, 则AE = ； 13、对任意,x y R ∈, 111x x y y -++-++的最小值为 ； （二）必做题：（14~16题）
14、在2014年3月15日那天, 某市物价部门对市内的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,
5
根据上表可得回归方程 3.2y x a =-+, 则a = ；
15、已知1111ABCD A B C D -为单位正方体, 黑白两只蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行, 每走完一条棱称为
“走完一段”, 白蚂蚁爬行的路线是111AA A D →→L , 黑蚂蚁爬行的路线是1AB BB →→L , 它们都遵循如下规则：爬行的第2i +段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i N +∈）, 设黑白蚂蚁都走完2015段后各停在正方体的某个顶点处, 这时黑白蚂蚁的距离是 ；
16、已知△ABC 内一点O 满足关系230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
, 则::BOC COA AOB S S S V V V = ；
三、解答题：本大题共6小题, 共75分。

解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤。

17、已知向量()sin ,1cos m B B =-u r 与向量()2,0n =r 所成角为3
π
, 其中A 、B 、C 分别是△ABC 的内角。

（1）求角B 的大小；
（2）求sin sin A C +的取值范围。

18、某商家推出一款简单电子游戏, 弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点和中心共
7个点中的三个位置上, 用S 表示这三个球为顶点的三角形的面积。

规定：当三球共线时, S =0；当S 最大时, 中一等奖, 当S 最小时, 中二等奖, （1）求甲一次游戏中能中奖的概率；
（2）设这个正六边形的面积是6, 求一次游戏中随机变量S
19、已知正数数列{}n a 满足()()
2
2210n n a n n a n n -+--+=（n N +∈）
, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 且满足11b =, 21n n S b =+（n N +∈）。

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()21n n
n
n b c a +=
, 数列{}n c 的前n 项和为n T , 求证：21n T <。

20、 如图, 在四棱锥P -ABCD 中, PA ⊥平面AB ⊥CD , AC ⊥AD , AB ⊥BC , ∠BAC =45°,
PA =AD =2, AC =1。

（1）求二面角A -PC -D 的正弦值； （2）设E 为棱PA 上的点, 满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°, 求AE 的长。

A C
B D P
21、设椭圆1C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右焦点分别为12,F F , 下顶点为A , 线段OA 的中点为B
（O 为坐标原点）, 如图, 若抛物线2C ：2
1y x =-与y 轴的交点为B , 且经过点12,F F 。

（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设40,5M ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭, N 为抛物线2C 上一动点, 过点N 的切线交椭圆于P 、Q 两点, 求△MPQ 面积的最大值。

22、已知函数()1ln f x x x
=+。

（1）求曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程； （2）若()()21
2g x f x ax x x
=-+-有两个不同的极值点, 其极小值为M , 试比较2M 与3-的大小, 并说明理由；
（3）设2q p >>, 求证：当(),x p q ∈时,
()()()()
f x f p f x f q x p x q
-->--。

O
A
B
C
B 1
C 1
100所名校高考模拟金典卷·数学（一）
参 考 答 案
1—10：ABDCB CBBAD
11、3；
121； 13、3； 14、40；
15； 16、1:2:3。

15、【解析】由题意, 白蚂蚁爬行路线为111111AA A D D C C C CB BA →→→→→, 即过6段后又回到起点, 可以看作以6为周期, 由于201533565=⨯+, 白蚂蚁爬完2015段后回到B 点； 同理,
黑蚂蚁爬完2015段后回到D 。

16、【解析】延长OB 至1B , 使1BB OB =；延长OC 至1C , 使12CC OC =；
连结1111,,AB AC B C , 如图所示, 则12OB OB =u u u r u u u r , 13OC OC =u u u u r u u u r
,
由条件得110OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u u r r
, 所以O 点是△11AB C 的重心,
从而11111
3
B O
C C OA AOB S S S S ===V V V （其中S 表示11AB C V 的面积）,
所以19COA S S =V , 16AOB S S =V , 1111111
22318
BOC B OC B OC S S S S ==⨯=V V V , 因此111
::::1:2:31896
BOC COA AOB S S S ==V V V 。

17、已知向量()sin ,1cos m B B =-u r 与向量()2,0n =r 所成角为3
π
, 其中A 、B 、C 分别是△ABC 的内角。

（1）求角B 的大小；
（2）求sin sin A C +的取值范围。

【解析】（1）因为()sin ,1cos m B B =-u r 与向量()2,0n =r 所成角为3
π
,
所以1cos sin B B -=
, 即
tan 2
B
=；
又0B π<<, 所以有23B π=, 于是23
B π
=； (6)
分
（
2）由（1）得1
sin sin sin sin sin 32
2A C A A A A π⎛⎫+=+-=+
⎪⎝⎭sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,
而03A π<<, 所以2333A πππ<+<,
从而sin 3A π⎤⎛
⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦。

故sin
sin A C +的取值范围为⎤
⎥⎝⎦。

………………………………12分
18、某商家推出一款简单电子游戏, 弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点和中心共7个点中的三个位置上, 用S 表示这三个球为顶点的三角形的面积。

规定：当三球共线时, S =0；当S 最大时, 中一等奖, 当S 最小时, 中二等奖, （1）求甲一次游戏中能中奖的概率；
（2）设这个正六边形的面积是6, 求一次游戏中随机变量S 【解析】（1）在一次游戏中, 三个小球的落点所有可能的结果共有3
735C =种, 其中中一等奖的情况有2种, 中二等奖的情况有3种, 于是若记“一次游戏中能中奖”为事件A,
则事件A 发生的概率为()3
7231
7
P A C +=
=。

…………………5分 （2）依题意, S 的所有可能取值有0,1,2,3, 且()3035P S ==, ()18135P S ==, ()12
235
P S ==,
()2
3
P S ==
, 于是S 的分布列为 分
所以31812248
01233535353535
ES =⨯+⨯+⨯+⨯=。

…………………12分
19、已知正数数列{}n a 满足()()
2
2210n n a n n a n n -+--+=（n N +∈）
, 数列{}n b 的前n 项和为n S , 且满足11b =, 21n n S b =+（n N +∈）。

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()21n n n
n b c a +=
, 数列
{}n c 的前n 项和为n T , 求证：21n T <。

【解析】（1）对于数列{}n a , 由()()
22210n n a n n a n n -+--+=可得()(
)210n n a a n n ⎡⎤+-+=⎣
⎦
,
由于数列{}n a 为正数数列, 所以2
n a n n =+； …………………3分
对数列{}n b 来说, 由21n n S b =+, 可得1121n n S b ++=+, 两式相减, 整理得1
1n n
b b +=-（非零常数）, 所以数列{}n b 是一个等比数列, 且公比为1-； 又11b =, 所以()1
1n n b -=-。

…………………6分
（2）由（1）知()21n
n n
n b c a +=
()
()1
2111n n n n -+=-+=()11
111n n n -⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭
, …………………8分
所以当n 为奇数时, 11111111122
n n c c n n n n n n +⎛⎫⎛⎫+=+-+=-
⎪ ⎪
++++⎝⎭⎝⎭； …………………10分 故21234212n n n T c c c c c c -=++++++L
=1111
11111335212121n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-< ⎪
⎪ ⎪
-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L 。

…………………12分
20、 如图, 在四棱锥P -ABCD 中, PA ⊥平面AB ⊥CD , AC ⊥AD , AB ⊥BC , ∠BAC =45°, PA =AD =2, AC =1。

（1）求二面角A -PC -D 的正弦值；
（2）设E 为棱PA 上的点, 满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°, 求AE 的长。

【解析】（1）依题设, 可以以A 为坐标原点, AD 、AC 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A-xyz , 如图所示。

则
有
()
2,0,0D ,
()
0,1,0C ,
11,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
,
()0,0,2P ；…………………4分
于是()0,1,2PC =-u u u r , ()2,1,0CD =-u u u r , 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =r
, 则由0
n PC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r
r u u u r
可得2020y z x y -=⎧⎨-=⎩22y z y x =⎧⇒⎨=⎩, 取1z =, 即得()1,2,1n =r ； 又平面PAC 的法向量为()2,0,0AD =u u u r （当然可用x 轴的方向向量()1,0,0i =r ）,
所以cos ,AD n AD n AD n
⋅<>==
⋅u u u r r
u u u r r u u u r r
若设二面角A -PC -D 的大小为θ,
则sin θ==。

…………………8分
（2）设AE h =[]0,2∈, 则()0,0,AE h =u u u r , 11,,22BE h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
u u u r , ()2,1,0CD =-u u u r
,
则依题设知cos ,BE CD BE CD BE CD ⋅<>==
=⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ,
解得h =。

故AE
…………………12分 22、已知函数()1
ln f x x x
=+。

（1）求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；
（2）若()()21
2g x f x ax x x
=-+-有两个不同的极值点, 其极小值为M , 试比较2M 与3-的大小, 并说明理由；
（3）设2q p >>, 求证：当(),x p q ∈时,
()()()()
f x f p f x f q x p x q
-->--。

【解析】（1）易知()211'f x x x =-, 所以()111
'2244
f =-=；
又()12ln 22f =+, 所以曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()11ln 2224y x ⎛
⎫-+=- ⎪⎝
⎭,
即44ln 20x y -+=； ……………………………4分
（2）由题设知()2
2ln g x ax x x =-+, ()21221
'22ax x g x ax x x
-+=-+=（0x >）；
因为()g x 有两个不同的极值点, 所以()'0g x =有两个不相等的实根12,x x （12x x <）,
即2
2210ax x -+=有两个不相等的正根12,x x （12x x <）,
于是有121248010102a x x a x x a ⎧
⎪∆=->⎪
⎪
+=>⎨⎪
⎪=>⎪⎩
, 解得102a <<； ……………………………6分
相应的, ()g x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增,
于是()g x 的极小值()2
22222ln M g x ax x x ==-+,
又因为()2'0g x =⇒2
222210ax x -+=,
且212x a
+=
()1,∈+∞,
所以221
ln 2
M x x =--
（21x >）。

由于()2222
11
'10x M x x x -=-=<, 所以()2M x 在()1,+∞上单调递减, 从而()()23
12
M x M <=-, 故23M <-。

……………………………9分
（3）先证明：当(),x p q ∈时,
()()
()'f x f p f x x p
->-； 即证
211ln ln 1
x p x x p x p x +--
->-, 只需证221ln ln 10p p x p x x p
++---->；………（*）
事实上, 设()x ϕ=221
ln ln 1p p x p x x p
++----（p x q <<）, 则()'x ϕ=
()()3
20x x p x
-->, 所以
()x ϕ在(),p q 内递增,
所以有()()0x p ϕϕ>=, 即（*）成立, 从而
()()
()'f x f p f x x p
->-成立。

………………………12分
同理可证：当(),x p q ∈时, ()()
()'f x f q f x x q
-<-；
综上即得当(),x p q ∈时, ()()()()
f x f p f x f q x p x q
-->--。

…………………………………………13分
21、设椭圆1C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右焦点分别为12,F F , 下顶点为A , 线段OA 的中点为B
（O 为坐标原点）, 如图, 若抛物线2C ：2
1y x =-与y 轴的交点为B , 且经过点。

（1）求椭圆1C 的方程； （2）设40,5M ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
, N 为抛物线2C 上一动点, 过点N 切线交椭圆于P 、Q 两点, 求△MPQ 面积的最大值。

【解析】由题意可知()0,1B -, 则()0,2A -, 故2b =； 在抛物线方程2
1y x =-中令0y =, 得1x =±, 则()11,0F -, ()21,0F , 故1c =； 于是2
2
2
5a b c =+=,
从而椭圆1C 的方程为22
154
x y +=。

…………………4分 （2）设()2
,1N t t -, 由21y x =-得'2y x =,
于是直线PQ 的方程为()
()212y t t x t --=-, 即2
21y tx t =--； …………………6分
将其代入椭圆方程整理得()()()2
2
2
2
2
41520151200t x t t x t +-+++-=； ……………………7分 首先, ()()()()2
2
2
22
42
400180151480183t t t t t ⎡⎤∆=+-++-=-++⎢⎥⎣⎦
0>；
然后, 若设交点P 、Q 的横坐标分别为12,x x , 则()
2
12
2
5115t t x x t
++=
+,
()2
2122
5120
15t x x t +-=
+。

…………9分
故
PQ =
=
；
设点M 到直线PQ 的距离为d ,
则d =
=
,
所以△MPQ 的面积
21
1122t S PQ d +
=⋅=
=
=
≤=。

当2
9t =即3t =±时取到等号, 经检验此时0∆>, 满足题意。

故△MPQ ……………………………13分。