谈谈我的一些数学治学经验--徐利治
论徐利治对数理哲学中无限问题的研究
早 在古 希腊 时代 ， 亚里 士多德 就明确 提 出了实无 限和潜无 限 的区分 ， 认 为实无 限并不 具有 任 并 何 实在 性． 此后 ， 于无 限 的争 论便成 为推 动整个 数学 和数 学哲 学 发展 的一种 内在 根本 动 力 ， 学 对 数 家 和数 学哲学 家也 因此 被划分 成 了实无 限和潜无 限两个 阵 营． 徐利 治 从辩 证 唯 物 主义 的立 场 出发
摘 要 对 无 限 的认 识 是 数 学 哲 学 的 一 个 核 心 问题 ． 徐利 治 对 无 限 进 行 了深 入 研 究 ， 立 了超 穷 过 程 论 ， 据 创 并
此解 决 了 数理 哲 学 中关 于无 限 的许 多 疑 难 问题 ， 数 学 和哲 学 两 方 面 大 大 丰 富 了人 们 对 于 无 限 的 认 识 ． 从 关 键 词 徐 利 治 ； 学 ； 限 ； 穷 过 程 论 ； 续 统 假 设 ； 完 全 定 理 ． 哲 无 超 连 不 中 图分 类 号 Ｇ Ｏ０ ２ ４ 一３
Ａ＆Ｍ 大学 客座 教授 ． 徐利 治教授是 国内首批博 士 生 导师 ， 曾任 国务 院 学位 委员 会 委 员 、 中国数 学
会 组合 与 图论专 业委员 会 主任和 中 国计 算数 学学会 与运筹 学会常 务理事 等职 ． 他创 办 了《 数学 研究
与评论 》 杂志 ， 曾担任《 并 逼近论 及其应 用 》 志 的主编． 杂 徐利治 的研究涉及分析数学 、 组合数学、 计算方法 、 数学基础和数学方法学等众 多领域． 他遵循“ 方法 引路在先 ， 哲学探索在后”的研究 习惯 ， 坚持 以“ 会当凌绝顶 ， 一览众 山小”的眼光重新 审视前人对 于无 限 的论述 ， 把数学实践和哲学思维有机地结合起来 ， 从而具备了大家的风范， 成为了数学家 中非常罕见 的哲 学家． 作为一个数学家 中的哲学家 ， 他的研究兴趣必然会指 向无 限这一人类认识领域 中最根本和最 困难
学习数学方法论感受 体会
学习数学方法论的体会和收获数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。
数学是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就要求对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握，因此，数学研究工作者、数学教师、科技工作者，以及高年级大学生、研究生等都需要知道一些数学方法论。
我国著名数学家、数学方法论的倡导者和带头人徐利治先生指出：“方法沦(methodology)就是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论对象的一门学问……。
数学方法对于数学的发展起着关键性的推动作用，许多比较困难的重大问题的解决，往往取决于数学概念和数学方法上的突破，如历史上古希腊三大尺规作图难题，就是笛卡尔创立解析几何之后，数学家们借助解析几何，采用了RMI(关系——映射——反演)方法，才得到彻底的解决；这又启发了后来的数学家们采用类似的办法解决了欧氏几何与实数理论的相对相容性问题。
又如，代数方程的根式解的问题，也是在伽罗瓦群论思想方法的指导下，才得以圆满解决；不仅如此，群论的思想方法还使得代数学的研究发生了巨大的变革，从古典的局部性研究转向了近代的系统结构整体性的研究。
对数学方法论的早期研究，十七世纪就已经开始了，法国数学家笛卡尔和德国数学家莱布尼兹都曾做过这方面的探讨，并出版过专著，历史上不少著名的大数学家，如欧拉，高斯、庞加莱、希尔伯特等人也曾就数学方法沦的问题发表过许多精辟的见解，但是，对数学方法论进行系统地研究，还是最近几十年间的事，在这方面做了突出的贡献，当首推美国数学家和数学教育家波利亚，最近几十年来．由于现代电子计算机技术已经进入了人工智能和摸拟思维的阶段，就更加促使数学方法论蓬勃发展起来；信息论，控制论、认知科学和人工智能的最新研究成果相继引进了数学方法论的领域。
关于大学数学教学的思考
文 献标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：６ ２ ７ ９ ２ ０ １ — １ — １ １ ７ — ８ ４（ ０ ８）２ １ ０ ０
中 图分 类 号 ： ４ Ｇ６ ２
数学 是人类 社会进步的产物 ， 也是推动社会 发展 的动力之一 。
研敏 汇 ２￣． （ －） ／ １ ３ ２ ３ ｇ 上旬Ｎ
关 于大学数 学教 学的思考
口 陆小军 唐青松
（ 大 学理 学 院 东北
理 能 力和 实践 能 力进 行 了探 索。
辽 宁 ・ 阳 １００） 沈 １０４
摘 要 对 大学数 学教 育存在的 问题进行 了总结 ， 在此基础上 对如何激发 学生的学＞ － ７兴趣 ， 培养学生的思考能力、 逻辑推
巧妙的技巧和广‘ 泛的应 用。 更重要 的是介绍数学的思想 。 怎样才能 提高数学教学的效果呢？本文作者从学生时代步人教学 岗位 ， 切身 体会是需要激发 学习兴趣 ， 提高学生思考问题 的能力 、 辑推理能 逻
力 和实 践 能 力 。
一
、
激 发 学 习兴 趣
介绍实例可 以 学生对定理 的认识更加直观。在讲定理证明时 ， 使 应
学生从优 秀的原著 中学习。大学期 间学生一定要多去 刚书馆 ， 多读
几本好书 ， 从书本 中学 习前 人思考 的科 学方法 ， 博览群书 ， 而开 从 阔视野。只有胸 中有知识 ， 才会有问题可 问， 也才能会思考 问题。
三 、 养逻 辑 推 理 能 力 培
数学是一门建立在公理体系基础上 ，其结论需加 以严格 证明 的科学。数学推理 的严格性和数学结论 的确定性是大家所共知的。 学 习数学 时 ， 无论是 概念 的学 习 、 定理的证 明或习题的解答 ， 都离
数学方法论的倡导者--数学名师徐利治
数学方法论的倡导者—数学名师徐利治◎上海市城市科技学校邵红能2019年3月11日，著名数学家徐利治在北京逝世，享年99岁。
他是 一位数学家，喜欢哲学。
对物质世界的洞察,让徐利治对数学有着精深的 理解。
徐利治是中国组合数学研究的倡导者，组建了全国组合数学研究 会，培养了一批组合数学人才。
他大力推动数学方法论的研究，其著作对 中国数学教育的改革和发展具有深远影响。
在渐进分析、逼近论方面取 得重要成果，被国际数学界誉为“徐氏渐进公式”、“徐氏逼近”。
徐利治(1920.923 ~20丨93.11)，原名徐泉涌，江苏省张家港人, 著名数学家、数学教育家，中共 党员，大连理工大学教授、博士 生导师，其主要研究领域是分析学、计算数学和组合数学等。
徐 利治致力于分析数学领域的研究，在多维渐近积分、无界函数逼近以及高维边界型求积法等方面获众多成果，并在我国倡导 数学方法论的研究。
其代表作品为《渐近积分和积分逼近》、《高维的数值积分》和《数学方法论选讲》等。
徐利治已发表170多篇学术论文、十余部数学与数学方法论专著，并指导20多位博士研究生，包括2位菲律宾博士研究生61945年，徐利治毕业于西南联合大学。
1946年，加入中国共产党。
1949年，先后在英国亚贝丁大学、剑桥大学学习。
1951年回国，历任清华大学副教授，吉林大学教授、教务长，华中工学院数学系教授、系主任，大连工学院教授、应用数学研究所所长。
1985年，徐利治获国家教委科技进步奖二等奖。
1988年，担任中国组合数学研究会第一任理事长。
徐利治多次在国际学术会议上作主题报告，多次受邀在美国斯坦福大学、西点军校、德国亚琛工业大学等著名大学和青年教师45机构作学术演讲。
2015年，他获 得中共中央、国务院、中央军委 颁发的“中国人民抗战胜利70 周年”纪念章。
1出生木匠家庭，求学西南联大徐利治1920年9月23日出生于江苏省沙洲县(现为张家 港市）东莱乡一个普通木匠家庭。
数学名家的启发
在 中学与 大学教 学 中， 我 特 别 强调 “ 对 应” （ 包括 “ 关 系对 应 ” ） 的 概 念 是 数 学 中 最 最 重 要
的核 心 思 想（ 例如 ， 数 、 量 对应 ， 坐标 与 位 置 点 的对 应 ， 函数 关 系 ， 映 射 变换 关 系， 曲 线 轨 迹 与
中的发 明 心理 学》 ） ， 二是 审美 意识 的 恒 久保 持 有 助 于 健 康 长 寿． 数 学界 有 不 少例 子 ， 我 个 人
也很 有 体会 （ 作 此 演讲 时徐 先 生 已是 ９ ３岁 ， 但 思维敏 捷 ， 精 神 饱 满） ． 我 相信 ， 怀 有“ 审 美意识 ” 从 事 与 数 学 有 关 的任 何 工作 ， 都是 有 利 于健 康 长 幸邀 请 到我 国著 名 数学 家 、 教 育 家徐 利 治教 授 发表 主 题 为“ 数 学 文化 教养 对 人
生 的作 用 ” 的精 彩 演讲 ， 其 中徐 老 先 生谈 到 他个 人 的一 段 经历 ， 编 者 觉 得 对广 大 师 生尤 有 切 近 的助 益 ， 特 单独 刊 出与 大家 共 享．
我看 重做 题 ， 而题 量较 少 ， 并 且不 看 重考试 ． 所 以学生跟 我 学数 学并 不 感到 压 力和 负担 ．
而有 些 学 生还 很 快 能对数 学产 生兴趣 ． 事 实上 兴趣 能 帮助 获得 文化 教 养．
对数 学题 材 ， 我 一贯 坚持 “ 化繁 为 简、 化难 为 易” ． 面对例 习题 ， 总 是鼓 励 学 生要 努 力 学会 “ 化 简” 的本 事 ， 并且还 鼓 励 他 们 要 按 个 人 兴 趣 去 选 读 课 外 读 物 （ 例 如 数 学小 丛 书或 参 考 书
我 乐愿谈 一 点我从 事数 学教 学与教 育 的个 人 经历 、 经验 与体 会 ， 供 有 兴趣 者参 考．
徐利治与数学方法论
“ 徐利 治所 倡导 的数 学 方 法 论 研 究 被看 作 是 促 进 我国 ２ 纪 ８ ０世 ０年代 数 学教 育研 究深 入发 展 的最 为重 要 的三 大动力 因素 之 一”． 得 一 提 的是 ， 值 分
别于 ２ ０世 纪 ５ Ｏ年代 和 ８ ０年 代 出版 的《 学 分析 数
较重 要的 贡献 ． 警事实 上 ， 许 多 出 色 的数 学 成果 他
正是 应用 ＲＭＪ方法 的典范 （ 比如 沟通 连续 与 离散 的普遍 反演定 理） 这 同时也 充 分揭 示 了“ 过 ‘ ， 通 做
数学’ 的途 径去 搞 数 学 方法 论 研 究 ”的思 想 具有
以对 数 学 抽象 法 则 的定 性 分析 为 基 础 ， 利 徐
治开创 了对数 学抽 象 的定量研 究 ． 体地说 ， 提 具 他
强大的生命力． 徐利治凭 借其卓越的洞察力预测
了Ｒ ＭＪ方法 的应 用 前 景 ． 指 出 ， 对 各 种 已发 他 针 现的很 有价值 的 Ｒ ＭＪ方法 可解 问题类 ， 去设计 便
于应 用 的 Ｒ Ｍ１解 算机 ， 一项 极 有 意 义 的工作 ， 是
会 常务 理事 等职． 他创 办 了《 学研 究 与 评 论 》杂 数
志 ， 曾担任 多 家 有重 要 影 响 刊物 的主 编 或 名誉 并
主编．
徐 利治 的研究 涉 及分 析数 学 、 合数 学 、 组 计算
方法 、 数学基 础 和数 学方 法学 等众 多领 域． 辩证 唯 物 观点 和唯 物数学 史观是 他 进行 数 学研 究和 数学 方 法论研 究 的基本 指 导原则． 他认 为 “ 有方 法 和 没 史学 观点 ， 不 能很好 地 理解 数学 ， 就 更难 以说 得 上
走近数学大师,感悟数学文化
不 到这种可靠性 的。 ” 在 数学 中 ， 每一个公 式 、 定 理都要 严格地从逻辑上 加 以证 明才 能够确 立 。数学 的推理步骤要严 格遵守 形式逻 辑 的 各 种法则 ， 以保 证 在从 前 提到 结论 的推导 过 程中， 每 一个 步骤在逻辑 上都是 准确无误 的。
某种程度的可靠性 ， 没有 数学 ， 这 些科学 是达
映的是组成某种事物 或对象 的两个部 分的对 等性 ， 体现 了 自然界 的和谐性 ， 是统一性 的特 殊表现 。几何 图形 的对称美是 对数学对 称美 最通俗直观 的解 释。数学 的内在美有 学 的 和谐和严谨 的美 。数 量 的和谐 、 空 间的协调 ， 体现 了数学 的和谐美 ； 严密 的数 学推理 、 准确 的数学定义 、 数学结 构系统 的纯粹完备 等 ， 体
报告 ， 令 大家赞 叹、 敬佩不 已。 笔者对徐利 治教授 的仰 慕 ， 是从 ３ ５年前
还 在大学读 书时开始 的。徐利 治教授是 国内
首先提出数学 方法 论 研究 ， 并在 数学 方 法论
江苏省泰州 中学举 办 了首届 “ 数学 文 化素 质 教育论 坛” 暨数 学文 化节 。我有幸 参 加 了本 次活动 ， 近距 离接触 了著名数 学家 、 数学 教育
（ 二） 求 美
说道 ： “ 兴趣 使人 忘却 疲 劳 ， 志趣使 人 坚毅 持
久， 乐趣使人精神充 实 。三趣 皆备 ， 治学必 有 所成 。 ” 教育 心理 学研究 表 明 ： 一个 人 只要 体 验一次成功 的欣 慰 ， 便 会 激起 无休 止 的追 求
成功的意念和力量 。
大学） 教授 、 数学 系系主任 ， 大连 工学院 （ 大连
理工大学） 教授 、 应用数学研究所所 长。６ Ｏ多
浅谈数学之美
浅谈数学之美一、数学美的含义我国著名数学家徐利治指出：“数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性，统一性，结构系统的协调性，对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性与普遍性，还有数学中的奇异性都是数学美的具体内容。
因此我们可以把数学的美分为结构美、方法美、语言美、逻辑美、非逻辑美、创造美、形态美、内在美、严谨美与应用美。
”数学的结构美是一种内在的美，来自各部分的和谐秩序，给人以美的感受。
数学的方法美是指数学证明方法与思维方法在解决问题时体现出来的美妙以及使人感到愉快的美感并激发兴趣。
数学的语言是—种特殊的语言，它是借助数字符号把数字内容扼要地表现出来，具有准确性、概括性、有序性、简单性、通用性。
数学中的逻辑推理是根据所学过的知识来推导出未知的，无论由已知推向结果还是结果反推已知，一步一步的推理，一环扣一环的演绎，都是数学严谨的逻辑美，都给人以破案的神秘感。
数学的非逻辑美是一些自然界现实所概括的一些公理定义，如两点确定一条直线，SAS等等，并用它们来证明一些问题。
数学的创造美中，不断地由一问题转向别的问题，进而探索发展为一门新的数学分支，如开始只有正数，后来有了负数，再后来扩大到了复数。
数学的形态美是指数学美的内容的外部表现形态，即“在数学理论、图形之中，或者数字理论和图形的相互关系中，表现这些关系的定理和公式，所呈现出来的简单、整齐、对称和谐的美”。
数学内在美是指数学美的内容诸要素的内部组织结构。
数学的应用美是不同的人应用相同的数学概念和方法研究不同的事物，不相同的事物又都服从于同一数学规律。
如正多边形镶嵌成的地板图案，各种几何体造型的建筑物，如悉尼大歌剧院。
二、数学美的特征随着社会历史的发展，数学美的概念在不断的变化和发展，但数学美的内容和基本特征具有相对稳定性，概括起来数学美的主要特征为：和谐性、简洁性和奇异性。
1.和谐性是指数学内容的部分与部分，部分与整体之间的和谐、协调。
如欧几里德的《几何原本》从少量的几个定义、公理、公设出发，按照逻辑规划，推论出467个定理。
徐利治的数学人生
徐利治的数学人生写在徐利治先生90寿辰之际暨庆祝《徐利治论文集》出版来源：宣传部新闻中心日期：2010-07-29 07:28 点击：次他是我校建校60周年功勋教师，他是一位数学家，同时喜欢哲学，认为自己是“修正了的现代柏拉图主义者”；对物质世界的洞察，让他对数学有着精深的理解，对这个充满无穷奥秘的数学王国付出一生去追求，90高龄仍徜徉其中不乏建树。
他的精彩伴随着茅以升、华罗庚、陈省身、许宝騄、匡亚明等科学家的教诲和帮助，跟随着那个时代数学家段学复、钟开莱、爱尔迪希等同台共舞、竞相数学发明，还有与唐敖庆、朱九思、何东昌等老同志相识相知的过往经历，让他的人生显得尤为不凡；也正因为他的不凡，得以为我校数学学科大幅度向前迈进作出历史性贡献。
君子协议1978年在吉林大学任教的徐利治到大连参加东北三省运筹学学术会议，我校领导得知此事决定会见徐利治；于是责成应用数学系青年教师张鸿庆把徐利治从招待所接到校长办公室，学校领导屈伯川、钱令希和雷天岳在谈话中表达了学校希望徐利治来校工作的想法。
徐利治回忆说，与学校领导一席谈话很愉快，他们都是有卓识远见的人，他们的“没有一流的理科，就没有一流的工科”的思想，令人感到学校领导既懂教育，且抱有要大力发展数学学科的决心，所以欣然接受了他们的邀请。
这件事马上让吉林大学校长、著名理论化学家唐敖庆获悉，他带着数学系主任和党委副书记赶到辽宁兴城温泉疗养院，看望在那儿度假的徐利治。
唐敖庆真诚挽留徐利治，最后商定了五年之内徐利治工作关系不能调离吉大的“君子协定”。
1982年唐敖庆调离吉林大学，任全国科学基金委员会主任，这个“君子协定”也就自动解除。
学校原党委书记林安西在2007年7月13日学校人才队伍建设工作会议上，讲述学校历来就有延揽汇聚人才的优良传统时，回忆1983年，他担任学校领导后做的第一件事就是受学校委托亲自到吉林把徐利治的工作关系调回学校。
1979年，春回大地、万象更新；饱受“追加右派”、“摘帽右派”打压的59岁的徐利治同样在大工迎来了他科学事业的第二个春天。
用数学之美激发学习兴趣
用数学之美激发学习兴趣摘要】本文叙述了在数学教学中，通过展示数学材料中的美，培养学生的审美情趣，陶冶学生的思想情操，并通过用美的观点审视问题，解决问题，激发学生持久不衷的学习热情，提高数学教学质量。
【关键词】数学教学兴趣本文为苏州市“十三·五”教育科研课题《挖掘数学之美，提高学习之趣》研究阶段性成果，立项编号Sjh【189】著名教育家徐利治告诫我们：“学生的学习应该是主动的，富有美感的智力活动，兴趣和美学价值是学习的最佳刺激，强烈的心智活动带来美的愉悦和享受是推动学习的最佳动力”。
作为青春年少，向往美好明天，憧憬美好未来的学生们，注重美的教育尤为重要。
数学作为人类文明和智慧的结晶，它的美无处不在，不仅以绚丽多姿的结构形式给人以美的感受，而且以灵活多变的数学方法独具美的活力。
数学美是数学科学本质力量的感性和理性的显现，是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现。
它是一种真实的美，是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。
数学美是客观存在的，哪里有数，哪里就有美。
数学美不仅有形式的和谐统一美，而且有内容的严谨深刻美；不仅有逻辑抽象美，而且有创造应用美；不仅有公式理论的概括简洁美，而且有命题的准确清晰美。
就此谈谈本人的点滴体会：一、展现对称美、增强数学魅力对称是最能给人以美感的一种形式。
德国数学家魏尔说：“美和对称紧密相关。
”数学中有着各种各样的对称。
从几何图形看，有中心对称形、轴对称形、面对称形和转动对称形等。
对称图形虽然千变万化，种类繁多，但他在平面上的种类只有十七种。
例如，行列式就被人们称做“美丽的花园”，它的每一条边都可以扩展。
一个三阶行列式是由九个元素按三行三列所排列成的正方形，即使不懂数学的人也能感受到其排列整齐和处处对称，领略到它的形式之美。
二、体会协同美、知识融会贯通数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般的思维规律认识数学规律的过程。
数学思维的协同美大体上可从以下两个方面表现出来。
数学分析的方法及例题选讲--分析学的思想、方法与技巧--徐利治
数学分析的⽅法及例题选讲--分析学的思想、⽅法与技巧--徐利治1.(分部求和法)设s k=a1+a2+⋯+a n(k=1,2,3,…),则n∑k=1a k b k=n−1∑k=1s k(b k−b k+1)+s n b n.证明：只要将a1=s1,a k=s k−s k−1(k=2,3,…)代⼊等式的左边，就可以看出等式是成⽴的.2.设s n=a1+a2+⋯+a n→s(n→∞)n∑k=1a k b k=sb1+(s n−s)b n−n−1∑k=1(s k−s)(b k+1−b k).提⽰：上⾯左边出现的s实际是可以消去的.3.(Abel引理)若对于⼀切n=1,2,3,…⽽⾔，b1⩾b2⩾⋯⩾b n⩾0,m⩽a1+a2+⋯+a n⩽M.则有b1m⩽a1b1+a2b2+⋯+a n b n⩽b1M.证明：应⽤命题1，并注意m⩽s k⩽M,b k−b k+1⩾0,便得到n∑k=1a k b k⩽n∑k=1M(b k−b k+1)+Mb n=Mb1,n ∑k=1⩾n∑k=1m(b k−b k+1)+mb n=mb1.4. [Abel]设对⼀切n⽽⾔,f n⩾f n+1⩾0.⼜设A=\mathrm{max}(\verb"|"a_1\verb"|",\verb"|"a_1\verb"|"+\verb"|"a_2\verb"|",\dots,\verb"|"a_1\verb"|"+\verb"|"a_2\verb"|"+\dots+\verb"|"a_n\verb"|").则得\verb"|"\sum_{n+1}^ma_nf_n\verb"|"\leqslant Af_1.证明：设s_m=\sum_{n=1}^m\verb"|"a_n\verb"|",由分部求和法有\verb"|"\sum_{n+1}^ma_nf_n\verb"|"\leqslant \sum_{n=1}^m\verb"|"a_n\verb"|"f_n=\sum_{n=1}^{m-1}s_n(f_n-f_{n+1})+s_mf_m\leqslant \sum_{n=1}^{m-1}A(b_n-b_{n+1})+Af_m=Af_1.5. 设a_1,a_2,\dots,w_1,w_2,\dots为任意实数或复数.⼜设A代表加式\verb"|" \sum_{n=1}^pa_n\verb"|",(p=1,2,\dots,m)中的最⼤值，则得\verb"|"\sum_{n=1}^ma_nw_n\verb"|"\leqslant A\{\sum_{n=1}^{m-1}\verb"|"w_{n+1}-w_n\verb"|"+\verb"|"w_m\verb"|"\}.6. [克朗内克]设\phi(n)>0,\phi(n)\uparrow \infty(n\rightarrow \infty).⼜设\sum a_n为收敛.则有\sum_{k=1}^na_k\phi(k)=o(\phi(n))(n\rightarrow \infty).证明：本题可⽤分部求和法（命题2）来证.令N表任⼀固定的正整数⽽n>N+2.按假设，s_n-s=o(1)(n\rightarrow \infty),显然可书\sum_{k=1}^na_k\phi(k)=(s_n-s)\phi(n)+s\phi(1)-\sum_{k=1}^{n-1}(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}=o(\phi(n))+O(1)-\sum_{k=1}^N(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}-\sum_{N+1}^{n-1}(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}.故对于任⼀固定N⽽⾔，我们有\verb"|"\sum_{k=1}^na_k\phi(k)\verb"|"\leqslant o(\phi(n))+O(1)+O(1)+\varepsilon_N\sum_{N+1}^{n-1}\{\phi{k+1}-\phi(k)\},(n\rightarrow \infty)此处\varepsilon_N\rightarrow 0(N\rightarrow \infty),因此对于任意预先给定的\varepsilon>0(不论如何⼩),总可选N充分⼤，使得\verb"|"\sum_{k=1}^na_k\phi(k)\verb"|"\leqslant o(\phi(n))+\varepsilon_N\phi(n)\leqslant o(\phi(n))+\varepsilon\phi(n).由于上式左端与\varepsilon并⽆关系，⾃然可令\varepsilon\rightarrow 0.故命题得证.Loading [MathJax]/extensions/TeX/verb.js。
浅谈数学直觉思维的培养
浅谈数学直觉思维的培养一个人的数学思维、判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。
徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。
”数学直觉可以通过训练提高。
一、扎实的基础是产生直觉的源泉直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础的。
若没有深厚的功底，就不会迸发出思维的火花。
二、渗透数学的哲学观点及审美观念直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事物的本质。
这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。
例如：（a+b）2=a2+2ab+b2，即使没有学过完全平方公式，也可以运用对称的观点判断结论的真伪。
美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强。
三、重视解题教学教学中选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直觉思维。
例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出符合题意的答案，省略解题过程，容许合理的猜想，因此有利于直觉思维的发展。
实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。
开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因、由因索果，提出猜想。
由于答案具有发散性，因此有利于直觉思维能力的培养。
四、设置直觉思维的意境和动机诱导这就要求教师转变教学观念，把主动权还给学生。
对于学生的大胆设想给予充分的肯定，对其合理成分及时给予鼓励、爱护，扶植学生的自发性直觉思维，以免挫伤学生直觉思维的积极性和悟性。
教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
“跟着感觉走”是教师经常讲的一句话，其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽，只不过没有把它上升为一种思维观念。
教师应该把直觉思维冠冕堂皇地在课堂教学中明确地提出，制定相应的活动策略，从整体上分析问题的特征；重视数学思维方法的教学，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有裨益。
借助前辈帮助后辈的事例
借助前辈帮助后辈的事例
当我从媒体上获知99岁的我国著名数学家、数学教育家徐利治教授仙逝的消息，尽管徐先生是高龄离世，但悲痛的心情仍然久久难以排遣。
作为抗战时期西南联大的毕业生，这是一位自20世纪三十年代起亲历我国数学事业发展的当事人。
上世纪九十年代，有两件事让我至今记忆犹新，感动不已。
一是我写了一篇“数学思维与数学美”的论文，因为徐先生是这方面的专家权威，我把论文的初稿寄给了他，请他审阅。
一周后，便收到了徐先生写在原稿上的意见和建议，加起来足有二页纸，其深厚的学术功底、严谨的治学态度令人肃然起敬。
可惜由于搬家的原因，此原稿已遗失，实乃憾事一桩。
不过，使人欣慰的是此文几经修改润色，后被山西的全国核心期刊《教学与管理》录用并全文发表。
二是我于1992年初，联系好了出版社，准备把自己发表过的数十篇论文结集出版。
为此，我利用去大连工学院（现大连理工大学）开会的机会，专程到徐先生家里拜访，提出了为我的论文集题写书名的要求，徐先生非常乐意的接受了，并马上让师母拿来笔墨，当场题写，横、竖各写了一幅，让责任编辑选，题字的原稿均留在了出版社。
不仅如此，徐先生还送了一本他的力作《数学方法论选讲》，并专门解释这个“君”是没有大小之分的，其在不经意间对小辈的尊重，既不同流俗，更让人感动。
两件事虽小，但对我来说，委实是感慨万千：徐先生对我这个当时还是小年轻的厚爱、关
心和无私帮助，带给我的已不能简单的用“感动”两个字来形容，而是成了我在专业发展道路上不懈努力的一种动力。
这真是我的肺腑之言！。
《数学家徐利治的故事》读后感1000字
读《数学家徐利治的故事》有感新城小学43陈签锹今天，我读了《数学家徐利治的故事》，知道了徐老先生在数学上为祖国做出了贡献，他写的许多论文在国际上引起了反响，他还培养出一批成材的学生。
徐老先生为什么能成为数学家?为什么能做出这样大的贡献?原因之一，就是他小时候不怕困难，刻苦学习。
文章里写道:“他在读书时常把伯父给他的午饭钱省下来，用来买书和买练习本，为了节省用纸，他常用手指在睡觉的凉席上练字，夜深人静，同学们早已进入甜蜜的梦乡，徐利治却来到走廊，在灯光下认真地学习。
白天，他泡在图书馆里用馒头、白开水充饥……”可以看出，徐老先生小时候学习条件很不好，连买书、买练习本的钱都缺乏，只好节省午饭钱，然而，他勤奋学习，并不因学习条件差而气馁。
在我们这时代，家庭生活比较富裕，很多家只有一个孩子，零花钱比较多，这些钱我们不是去打电子游戏，就是去买好吃的。
平时，也很浪费，一张纸不是写几个字就扔了，就是折纸飞机玩，一点也不知道节剩在学习上，现在很多同学都不认真学习，学习目的不明确，我也是这样，做题稍微遇到一点困难就气馁了。
我们的学习态度和徐老先生那种废寝忘食的学习精神相比，真有十万八千里的差距。
从今以后，我要用徐老先生的学习精神来鞭策自己，努力学习，将来为社会主义现代化建设贡献一份力量。
今天，我读了《数学家徐利治的故事》，知道了徐老先生在数学上为祖国做出了贡献，他写的许多论文在国际上引起了反响，他还培养出一批成材的学生。
徐老先生为什么能成为数学家?为什么能做出这样大的贡献?原因之一，就是他小时候不怕困难，刻苦学习。
文章里写道:“他在读书时常把伯父给他的午饭钱省下来，用来买书和买练习本，为了节省用纸，他常用手指在睡觉的凉席上练字，夜深人静，同学们早已进入甜蜜的梦乡，徐利治却来到走廊，在灯光下认真地学习。
白天，他泡在图书馆里用馒头、白开水充饥……”可以看出，徐老先生小时候学习条件很不好，连买书、买练习本的钱都缺乏，只好节省午饭钱，然而，他勤奋学习，并不因学习条件差而气馁。
徐利治 兴趣、志趣、乐趣
兴趣、志趣、乐趣——让数学为自己的成长发展服务-----徐利治先生本科生报告会纪实2009年5月21日晚6：30，掌声雷动，90岁高龄的我国著名数学家、华罗庚先生的助手徐利治先生应邀在苏州大学东教楼109为数学科学学院的同学们带来了题为《怎样让数学为自己的成长发展服务》的专题报告会。
首先，徐老列出了数学的三大功能：1、文化教育功能；2、技术教育功能；3、锻炼学习方法的功能，然后就这三大点进行了全面的扩充：他形容数学是一门能够修造人的灵魂并加以进化的科学，人们可以用数学语言表达各种问题，如可以用数学模型解决医学上的种种问题等；他还将数学与文学（如红楼梦、诗词）进行了比较，特别强调数学和文理学有不可分割的联系，提出理科的同学们应该加强自身在文、史、哲方面的修养，就像数学家Gauss一样注重文学方面的学习；随后，今年已有90岁高龄的徐老还谈到了自己的数学养生之道，认为学习数学能使人保持健康的体魄、敏捷的思维。
在徐老生动幽默的演讲中50分钟不知不觉就过去了，接下来是同学们自由提问的时间，大家争先恐后，连珠炮般的问题和徐老的精妙回答再次使报告达到了高潮。
最后，徐老赠送了大家三句话：兴趣使人忘却疲劳，志趣使人坚毅持久，乐趣使人精神充实，三“趣”具备，便能成为后辈的明镜。
徐老的精彩演讲使90分钟如白驹过隙，报告会现场座无虚席，同学们普遍反映受益匪浅，不仅更加明确了数学对于自身的成长的作用，而且对徐老一直以来对数学的热情表示由衷的敬佩，并表示将向徐老学习，献身数学、热爱数学、成就于数学。
徐利治教授做客一女中开论坛来源：无锡市第一女子中学作者：匡晓锋日期：2009年9月28日已经有210位读者读过此文9月27日，又一位学术大家做客女中讲坛，给女中学生奉上一堂精彩的讲座：数学学法科学报告会。
这位学术大家就是曾先后在清华大学、东北人大和大连理工大学任教的著名数学家徐利治教授。
徐利治教授是数学大师华罗庚亲密的助手和学生，在诸多数学领域都有建树，他也是新中国最早提出数学方法论的数学家。
数学家的文学修养
数学家的文学修养
数学家的文学修养
著名数学家徐利治先生把自己的治学经验概括为：培养兴趣、追求简易、重视直观、学会抽象、不怕计算等五个方面。
最近他在南京讲学时又特意补上一条──喜爱文学，并谆谆教导后学，不可忽视文学修养。
在不少人看来，数学和文学似乎是磁铁的两极，前者靠理性思维，后者属形象思维，两者互相排斥。
然而历史上许多大数学家都有较好的文学修养，笛卡尔对诗歌情有独钟，认为“诗是激情和想象力的产物”，诗人靠想象力让知识的种子迸发火花。
为马克思所敬仰的数学家莱布尼兹，从小对诗歌和历史怀有浓厚的兴趣。
他充分利用家中藏书，博古通今，为后来在哲学、数学等一系列学科取得开创性成果打下坚实基础。
数学王子高斯在哥廷根大学就读期间，最喜好的两门学科是数学和语言，并终生保持对它们的爱好。
他大学一年级从图书馆所借阅的25本书中，人文学科类就占了20本。
正当作数学家还是语言学家的念头在脑中徘徊时，19岁的高斯成功地解决了正17边形的尺规作图问题，从而坚定了从事教学研究的信念。
继高斯之后的伟大数学家柯西从小喜爱数学，当一个念头闪过脑海时，他常会中断其他事，在本上算数画图。
他的数学天赋被数学家拉普拉斯和拉格朗日发现。
据说拉格朗日曾预言柯西将成为了不起的大数学家，并告诫其父不要让孩子过早接触数学，以免误人歧途，成为“不知道怎样使
数学和文学是相通的。
学习数学的人要注重文学修养，有志于数学的年轻人尤其不要忽视这一点。
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标题: 谈谈我的一些数学治学经验--徐利治(zz)发信站: 碧海青天 (Mon May 5 19:57:29 2003), 转信我出生在长江之滨，很喜欢苏拭的诗句：“叹人生之须臾，羡长江之永流。
”看来这诗句隐含有劝人珍惜年华、努力向上之意。
我们知道，在正常情况下，一般从事数学职业者在人世间还算是比较长寿的。
例如从数学史书上可以看到，19世纪至20世纪的众多数学家的平均寿命都在“古稀年令”之上。
迄至2000年我也将有55年的数学教学工龄了。
所以这篇谈话，真可说是“老生漫谈”了。
积半个世纪的数学教学与科研工作经历，我的个人经验可概括为五句话：一是培养兴趣，二是追求简易，三是重视直观，四是学会抽象，五是不伯计算。
最后要说的是，数十年来使我真正体验到了两条客观规律，即“兴趣与能力的同步发展规律”和“教、学、研互相促进的规律”。
我认为这些规律理应成为现代认知心理学和科学方法论中值得探讨的规律。
下面就让我来谈谈个人的一些经验与体会。
1 培养兴趣我把培养兴趣置于首要地位，因为众所周知，兴趣有助于集中注意、活跃思想，并能助长克服困难的勇气和毅力。
要想有成效地学习和研究数学尤其非要有兴趣不可。
记得我上初级小学时，对算术一点兴趣也没有，速算测试成绩也较差。
到了高小阶段，有一阵忽然对“鸡兔同笼”等问题产生了好奇心。
有一天我伯父把听来的一个“怪题”来考我：“100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个。
问有多少个大和尚和小和尚?”我利用学到了的鸡兔同笼问题的推理方式，居然得出了有25个大和尚与75个小和尚的正确答案，伯父很是赞许。
自此以后，我就特别喜欢求解算术应用题，开始学到了用算式表达事物间简单数量关系的能力。
这种能力其实也可以看作是最低层次的“数学建模能力”。
后来我读了师范学校，买到一本陈文翻译的《查理斯密斯大代数》；对书中的级数与连分式、排列与组合、或然率论、初等数论和方程式论最感兴趣。
还作了一些难题和怪题，很党高兴而自豪。
与此同时我还津津有味地读了一本引人入胜的《数学家的故事》(章克标著，开明书局出版)。
就这样，我就开始热爱起数学来了。
但当年丝毫也不敢设想成年后能靠搞数学来吃饭。
直到后来有机会进了西南联合大学，才把尔后搞数学职业选择成为自己的人生道路。
上述的个人经历，使我明确地认识到，兴趣和才能是互相促进的。
而兴趣的培养和发展，其最有效的途径就是要多读些富于启发性的数学史书和数学家故事，还要经常保持做些有趣题目的习惯。
我认为成功的数学教师，应该经常能向他或她的学生们讲讲数学家的有趣故事，还要能做到象乔治·波利亚(G..Polya)所主张的，“好的数学教师要保持做题的好胃口。
”我想，时至今日谁也不会主张在小学和中学里多搞些难题和怪题，特别不应把难题怪题用作考试题目。
但是为了激发青少年的好奇心和兴趣，也为了帮助他们增长智慧和才能，在教学中有选择地采用少量有趣怪题(例如著名的“鸡兔同笼问题”等)也是未尝不可的。
2 追求简易1948年我在清华大学做助教时期，有一次听完陈省身先生的讲演后，记得他曾向我们几位青年教师介绍了欧洲一位数学大师的一句名言：“数学以简易性为目标” (Mathematicsis for simplicity)。
当年我对这句名言体会不深，主要是对“简易”这个词的真实涵义理解不透。
那时候我讲授初等微积分课程，逐渐领悟到作为微积分核心基石的“微积分基本定理”一牛顿莱布尼兹公式在原理上是十分简明的，在方法上又是易于操作的。
这样，既简明又易于操作的公式不正是表明“简易性”的特征吗?后来我又读了一些有关“微积分发明史”的资料，得知17世纪60年代前，人们为了处理各种各样的无穷小量求和问题，曾走过了漫长而艰辛的道路。
而牛顿莱布尼兹公式的提出，才把许多复杂艰难问题的求解过程，统一于一条简易的基本定理。
这也说明，微积分的创立正是以“简易性”目标的实现为标志。
有位朋友告诉我，中国古代的《易经》上已对”简易”一词作了很好的解释：“简则易知，易则易从”。
意思是说，简单的原理易于明白，容易操作的东西便于应用。
事实上，数学上许多有价值的理论和方法，以及重要的定理与公式，基本上都是具有简易性的科学成果，而简易性或者简单性也是数学美的特征。
在我长期的数学工作实践中，我总是不忘记对简易性成果的追求。
一般说来，我感兴趣的问题，我总是希望努力把它简化到不能再简单的程度。
然后对简化了的问题再努力寻找其简易解答。
这些努力未必总是成功。
如果失败了，则凭着我对问题的浓厚兴趣，我还将另觅小路，继续前进。
在我指导青年学生作科学研究时，我也总是强调首先要学会化难为易、化繁为简的本事，当他们取得了简易性的数学结果，如果真是优美而有用，我就会以“漂亮成果”一词作为赞许。
对待数学教学，包括编教材和讲课，我也一贯喜欢以追求“简易”为目标。
这一点，多半是受了我大学时代老师华罗庚先生的影响。
记得在我大学中业后担任华先生助教时期，他曾告诉我下述观点：“高水平的教师就能把复杂的东西讲简单，把难的东西讲容易。
反之，如果把简单的东西讲复杂了，把容易的东西讲难了，那就是低水平的表现。
”有时候，我也曾听说过有些数学教师为了在学生面前卖弄学问，故意把容易的东西讲难了，把简单的东西讲复杂了。
上述华罗庚先生的教学法观点实际是和乔治·波利亚的数学思想不约而同的。
我个人认为，今后全国大、中、小数学教学的改革事项中，无论是教材内容改革或教学方法改革，应和数学发展的总的目标要求相一致，即必须以“追求简易”为目标。
3 重视直观无论是从事数学教学或研究，我是喜欢直观的。
学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和证法的直观思路弄明白了，我才认为真正懂了。
例如，当年我以好奇的心情学习维尔斯特拉斯(Weierstrass)著名的连续而处处不可微的函数时，经过一阵耐心的精微的思考之后，我才真正弄明白了函数结构设计的直观背景和证法的基本思路。
由此类似思路，还不难构造出任意多的具有不同形式的连续不可微函数例子。
在科学研究中，我也常常借助于由经验获得的直观能力。
以猜测的方式去探索某些可能取得的成果。
当然，失败的经验也是很多的。
这里我乐于谈一个我取得成功的例子。
1964年我吉林大学任教期间，一度对超越方程求实恨问题发生了兴趣。
研究目标是希望能找到无估算初值的”大范围收敛迭代法”。
我们知道求解高次代数方程的实根已有这种性能的迭代法，即著名的拉盖耳(Laguerre)迭代过程。
我联想到欧拉(E uler)在寻求著名的级数和1+1/4+1/9+1/16....=pi^2/6时，曾经把正弦函数的幂级数展开式大胆地看成为无限次多项式，从而通过类比法得到了正弦函数的因式分解的无穷乘积公式。
最后他把乘积展开后与幂级数二次幂比较系数。
便成功地解决雅谷·柏努利(Bernuoulli)的级数求和难题。
即求得了级数1+1/4+1/9+1/16.. ..。
欧拉的思想方法给我的重要启示是，一定条件下幂级数可以看作是次数为无穷大的代数多项式。
这使我联想到拉盖耳迭代公式中的参数n(即所论代数方程的次数)应能令它趋向于∞而获得适用于超越方程的迭代方法。
再由观察立即看出时拉氏公式仍继续保持合理意义，而且形式更简化了。
这样，我便猜到了一个可用以求解超越方程的大范围收敛迭代法。
最后，应用整函数论里的阿达玛(Hadamard)因式定理。
果然证明了上述方法的大范围收敛性。
(此项结果发表于1973年美国数学会通讯摘要栏)。
n→∞上述研究给予我的深刻印象是，由类比联想引发的直观与猜想有时真能成为发现新成果的源泉。
因此，在以往20多年里我始终热心地提倡数学工作者和数学教师们，值得花足够的时间去研读乔治·波利亚的二本名著，即《数学中的归纳与类比》，《数学的发现》与《数学中的合情推理》。
一般英文辞典中，常把intuition译作直觉、直观，足见直观与直觉两词的涵义会有不少相通或相同之处。
但在数学中，我宁愿把“直观”一词解释为借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识。
例如，借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，即可称之为“几何直观”。
我在本文中要强调的观点是，有作为的数学工作者与教师都应重视数学直观能力的培养与训练。
4 学会抽象我们知道，许多现代数学家都倾向于承认数学是研究模式的科学。
关于模式的原始观念可追溯到古代的柏拉图。
我们个人也相信数学是以理想的量化模式作为研究对象的。
这里，所谓的量化模式或称为数学模式是泛指反映安全观事物关系（包括空间形式与数量关系）的纯粹形式结构。
这种纯粹形式结构必须是科学抽象的产物。
所以理应具有概念上的精确性，简易性，逻辑可演绎性与普适性。
例如，自然数1,2，…，是反映了离散事物顺序计数的数学模式。
微积分学是反映变量计算规律的一个大型数学模式。
当然，数学中的每一条公理，定理，公式，典型的计算方法或者程序，以至于成型的推理法则（如数学归纳法，超穷归纳法以及康托尔，希尔伯特对角线论证法等），也都是或大或小的数学模式。
前面第二节，我们已谈论到数学是以追求简易性为目标的。
可是数学模式的简易性要求正是由概念方法上的统一性与概括性(普遍性)来体现的，而这又必须通过抽象过程来实现。
换句话说，抽象是达到数学模式简易性目标的必要手段和过程。
因此，时刻要与数学模式打交道的数学工作者与青年教师都有必要及早领会和学会数学抽象的方法及技巧。
其实，只要仔细考察分析数学上一些较典型的抽象定理和它们众多的具体持例，都会发现它们是从特殊到一般、从具体到袖象的产物。
我自己就是遵循这样一条观察分析的学习途径去获得数学袖象的基本技能的。
一般说来，数学袖象包含有四个步骤，即（1）观察实例，(2)抓住共性，(3)提出慨念，(4)构筑系统或框架(理论)。
下面作为解释四个步骤的例证，我就来谈谈当年我是如何想到去提出“关系(Retation)映射(Mapping)反演(Inversion)原则”的。
这原则也是一种普遍方法，可简称为RMI原则或RMI方法。
最近十多年来，看来国内研究方法论的学者的一些论著中，都已认可和使用了这一名称。
那是在1980年左右，我曾在国内三所大学讲授过“数学方法论”，很喜欢向学生们介绍“哥尼斯堡七桥问题”、“斐波那奇数列计算问题”、“拉普拉斯变换求解微分方程”衫等题的思想方法。
在准备讲稿时，我很自然地意识到这些问题虽然形貌各异，但解决问题的核心思想却是相同的。
即都是利用了某些（包括广义的）映射与逆变换概念。
进一步的联想，还使我想到了诸如初等数学中的对数方法，解析几何方法，概率论中的特征函数方法，组合分析中的发生函数方法，偏微分方程论中的狄利克雷原理，甚至庞卡莱与克莱因在欧氏平面上构筑非欧几何模型的思想方法。