(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第五单元《分式与分式方程》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题
1．若关于x 的方程
2033x a x x ++=++有增根，则 a 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5
2．已知关于x 的分式方程
131k x x =+无解，则k 的值为（ ） A ．0 B ．0或-1 C ．-1 D ．0或13 3．下列各分式中是最简分式的是（ ）
A ．2-1-1x x
B ．42x
C ．22-1x x
D ．-11-x x
4．一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个求，若摸到白球的概率为
57
，则盒子中原有的白球的个数为（ ）
A ．10
B ．15
C ．18
D ．20 5．若整数a 使得关于x 的方程3222a x x
-=--的解为非负数，且使得关于y 的一元一次不等式组322222010
y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a 的和为（ ）
A ．23
B ．25
C ．27
D ．28
6．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A ．如果0ab =，那么0a =
B ．253x x x -是最简分式
C ．直角三角形的两个锐角互余
D ．不是对顶角的两个角不相等 7．关于分式2634m n m n
--，下列说法正确的是（ ） A ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B ．分子、分母的中m 扩大2倍，n 不变，分式的值扩大2倍
C ．分子、分母的中n 扩大2倍，m 不变，分式的值不变
D ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变
8．若关于x 的分式方程122x a x -=-的解为非负数，且关于x 的不等式组5x x a ≥⎧⎨>⎩
的解集是5x ≥，则符合条件的整数a 有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 9．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数
法表示为（ ）
A ．50.2510-⨯
B ．60.2510-⨯
C ．72.510-⨯
D ．62.510-⨯ 10．下列各式中，正确的是（ ）
A ．2
2a a b b
= B ．11a a b b +=+ C ．2233a b a ab b = D ．232131a a b b ++=-- 11．下列变形不正确的是（ ） A ．1122x x x x +-=--- B ．
b a a b
c c --+=- C ．a b a b m m
-+-=- D ．22112323x x x x --=--- 12．若分式
12x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≠ B ．2x ≠- C ．2x ≠ D ．x 取任意实数
二、填空题
13．已知方程232a a a -+=，且关于x 的不等式组x a x b ≥⎧⎨≤⎩
只有3个整数解，那么b 的取值范围是_______．
14．已知3m n +=．则分式22
2m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭
的值是_________． 15．世界上最小、最轻的昆虫其质量只有0.000005用科学记数法表示0.000005是______克．
16．计算22
111m m m ---，的正确结果为_____________． 17．要使分式
2x x 1+有意义，那么x 应满足的条件是________ ． 18．已知1112a b -=，则ab a b
-的值是________． 19．用科学记数法表示：-0.00000202=_______．
20．计算：22016011(1)3π-⎛⎫---++= ⎪⎝⎭____；2007200831143⎛⎫⎛⎫⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____．
三、解答题
21．（1）计算： 02202013(3)(1)
2-π-+-+--（） （2）解方程：3231
x x =+-
22．先化简，再求值：2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中 1x =．
23．先化简，再求值：222422244x x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中2x =．
24．某同学化简分式2221211x x x x x x +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭
出现了错误，解答过程如下： 原式＝22222121121x x x x x x x x x x
++÷-÷-+--+ ＝332
222(1)(1)
x x x x x x -+--- ＝2
2
(1)2(1)x x x -+- （1）该同学解答过程从第 步开始错误的．
（2）写出此题正确的解答过程，并从－2＜x ＜3的范围内选取一个你喜欢的x 值代入求值．
25．列分式方程解应用题：
2020年玉林市倡导市民积极参与垃圾分类，某小区购进A 型和B 型两种分类垃圾桶，购买A 型垃圾桶花费了2500元，购买B 型垃圾桶花费了2000元，且购买A 型垃圾桶数量是购买B 型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B 型垃圾桶比购买一个A 型垃圾桶多花30元，求购买一个A 型垃圾桶、一个B 型垃圾桶各需多少元？
26．（1(101320203-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭． （2）先化简，再求值：21211
x x ++-，其中2021x =．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x+3=0，求出x 的值，代入整式方程求出a 的值即可．
【详解】
解：分式方程去分母得：20x a ++=，
由分式方程有增根，得到x+3=0，即x=-3，
把x=-3代入整式方程得：320a -++=，解得1a =
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的增根，牢牢掌握增根的概念是解答本题的重难点．
2．D
解析：D
【分析】
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出k 的值即可．
【详解】
解：分式方程去分母得：33x kx k =+ ，即 ()313k x k -=- ，
当310k -=，即 13
k =
时，方程无解； 当x=-1时，-3k+1=-3k ，此时k 无解；
当x=0时，0=-3k ，k=0，方程无解； 综上，k 的值为0或
13 ． 故答案为：D ．
【点睛】
本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 3．C
解析：C
【分析】
根据最简分式的定义即可求出答案．
【详解】
解：A 、211()1
11)(11x x x x x x -==+--+-，故选项A 不是最简分式，不符合题意； B 、
42=2x x
，故选项B 不是最简分式，不符合题意； C 、22-1
x x ，是最简二次根式，符合题意； D 、1111(1)x x x x --==----，故选项D 不是最简分式，不符合题意． 故选：C ．
【点睛】
本题考查最简分式，解的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型． 4．D
解析：D
【分析】
设原来有x 个白球，则白球数为（5+x ）个，总数为（10+x+5）个，根据概率建立方程求解即可．
【详解】
设原来有x 个白球，则白球数为（5+x ）个，总数为（10+x+5）个， 根据题意，得551057
x x +=++， 解得x=20，且x=20是所列方程的根，
故选D ．
【点睛】
本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率的意义，巧妙引入未知数建立方程求解是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
表示出不等式组的解集，由不等式至少有3个整数解确定出a 的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a 的值，进而求出之和．
【详解】 解：322222010
y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩， 不等式组整理得：2y y a -⎧⎨≤⎩
＞， 由不等式组至少有3个整数解，得到-2＜y≤a ，
解得：a≥1，即整数a=1，2，3，4，5，6，…，
3222a x x
-=--， 去分母得：2（x-2）-3=-a ，
解得：x=
72a -， ∵72a -≥0，且72
a -≠2， ∴a≤7，且a≠3，
由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a 为1，2，4，5，6，7， 之和为1+2+4+5+6+7=25．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．C
解析：C
【分析】
根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．
【详解】
解：A. 如果 ab=0，那么a=0或b=0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意； B. ()2555==333x x x x x x x ---，故253x x x
-不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意；
C. 直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D. 不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉教材中的性质定理．
7．D
解析：D
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：A 、22262(26)26=23242(34)34m n m n m n m n m n m n
⨯-⨯⨯--=⨯-⨯⨯--，故分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意；
B 、
22623=23432m n m n m n m n
⨯--⨯--，故分子、分母的中m 扩大2倍，n 不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意； C 、
226212=32438m n m n m n m n
-⨯--⨯-，故分子、分母的中n 扩大2倍，m 不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意； D 、22262(26)26=23242(34)34m n m n m n m n m n m n
⨯-⨯⨯--=⨯-⨯⨯--，故分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变，此说法正确，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 8．C
解析：C
【分析】
解分式方程的得出x=2a-2，根据解为非负数得出2a-2≥0，且2a-2≠2，据此求出解得a≥1且
a≠2；解不等式组两个不等式，根据解集得出a＜5；综合以上两点得出整数a的值，从而得出答案．
【详解】
解：分式方程
1
22
x a
x
-
=
-
，
去分母，得：2（x-a）=x-2，解得：x=2a-2，
∵分式方程的解为非负数，∴2a-2≥0，且2a-2≠2，
解得a≥1且a≠2，
∵不等式组
5
x
x a
≥
⎧
⎨
>
⎩
的解集是x≥5，
∴1≤a＜5，且a≠2，
则整数a的值为1、3、4共3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出a的取值范围．
9．D
解析：D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
0.0000025=6
2.510-
⨯，
故选：D．
【点睛】
此题考查了科学记数法，注意n的值的确定方法：当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
10．C
解析：C
【分析】
利用分式的基本性质变形化简得出答案．
【详解】
A．
2
2
a a
b b
=，从左边到右边是分子和分母同时平方，不一定相等，故错误；
B．
1
1
a a
b b
+
=
+
，从左边到右边分子和分母同时减1，不一定相等，故错误；
C．
2
2
33
a b a
ab b
=，从左边到右边分子和分母同时除以ab，分式的值不变，故正确；
D．
232
131
a a
b b
++
=
--
，从左边到右边分子和分母的部分同时乘以3，不一定相等，故错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查分式的性质．熟记分式的性质是解题关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
11．A
解析：A
【分析】
答题首先清楚分式的基本性质，然后对各选项进行判断．
【详解】
解：A、
11
22
x x
x x
+--
=-
--
，故A不正确；
B、
b a a b
c c
--+
=
-
，故B正确；
C、
a b a b
m m
-+-
=
-
，故C正确；
D、
22
11
2323
x x
x x
--
=-
--
，故D正确．
故答案为：A．
【点睛】
本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
根据分式有意义的基本条件计算即可．
【详解】
∵分式1
2
x-
有意义，
∴x-2≠0，
∴2
x≠，
故选C．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，熟记有意义的条件，熟练转化成不等式是解题的关键．二、填空题
13．3≤b ＜4【分析】首先解分式方程求得a 的值然后根据不等式组的解集确定x 的范围再根据只有3个整数解确定b 的范围【详解】解：解方程两边同时乘以a 得：2-a ＋2a=3解得：a=1∴关于x 的不等式组则解集是
解析：3≤b ＜4
【分析】
首先解分式方程求得a 的值，然后根据不等式组的解集确定x 的范围，再根据只有3个整数解，确定b 的范围．
【详解】 解：解方程232a a a
-+=， 两边同时乘以a 得：2-a ＋2a=3，
解得：a=1，
∴关于x 的不等式组x a x b
≥⎧⎨
≤⎩， 则解集是1≤x≤b ，
∵不等式组只有3个整数解，则整数解是1，2，3，
∴3≤b ＜4．
故答案是：3≤b ＜4．
【点睛】
此题考查的是一元一次不等式组的解法和解分式方程，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 14．【分析】根据分式运算法则即可求出答案【详解】解：===当m+n=-3时原式=故答案为：【点睛】本题考查分式解题的关键是熟练运用分式的运算法则本题属于基础题型 解析：13
【分析】
根据分式运算法则即可求出答案．
【详解】 解：22
2m n m n n m m ⎛⎫+--÷- ⎪⎝⎭
=22(2)m n m mn n m m
+-++÷ =2
()m n m m m n +⋅-+ =1m n
-+， 当m+n=-3时，
原式=13
故答案为：
13 【点睛】
本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
15．5×10-6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10-n 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：
解析：5×10-6．
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.000005=5×10-6，
故答案是：5×10-6．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
16．【分析】根据分式的加减法运算法则平方差公式因式分解计算即可解答
【详解】解：===故答案为：【点睛】本题考查分式的加减运算平方差公式因式分解熟记公式掌握分式的加减运算法则是解答的关键 解析：11
m - 【分析】
根据分式的加减法运算法则、平方差公式因式分解计算即可解答．
【详解】 解：
22111m m m --- =22111
m m m +-- =1(1)(1)
m m m ++- =11m -，
故答案为：
11
m -． 【点睛】 本题考查分式的加减运算、平方差公式因式分解，熟记公式，掌握分式的加减运算法则是解答的关键．
17．【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案【详解】由题意得：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零
解析：1x ≠-
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
【详解】
由题意得：10x +≠，
解得：1x ≠-，
故答案为：1x ≠-．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 18．－2【分析】先把所给等式的左边通分再相减可得再利用比例性质可得再利用等式性质易求的值【详解】解：∵∴∴即∴故答案为：-2【点睛】本题考查了分式的加减法代数式求值解题的关键是通分得出是解题关键
解析：－2
【分析】 先把所给等式的左边通分，再相减，可得12
b a ab -=，再利用比例性质可得()2ab a b =--，再利用等式性质易求
ab a b -的值. 【详解】
解：∵
1112a b -=， ∴12
b a ab -=， ∴()2ab b a =-，即()2ab a b =--， ∴
2ab a b
=--. 故答案为：-2.
【点睛】 本题考查了分式的加减法，代数式求值，解题的关键是通分，得出12
b a ab -=是解题关键.
19．02×10-6【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10-n 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解
解析：02×10-6
【分析】
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：用科学记数法表示-0.00000202为 2.02×10-6．
故答案为：2.02×10-6．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
20．【分析】根据负指数幂以及零指数幂即可得出第一个算式的值利用积的乘方的逆运算即可得出第二个算式的值【详解】解：故答案为：；【点睛】本题主要考查的是负指数幂零指数幂以及积的乘方的逆运算掌握的这三个知识点 解析：9-
43 【分析】
根据负指数幂以及零指数幂即可得出第一个算式的值，利用积的乘方的逆运算即可得出第二个算式的值．
【详解】 解：22016011(1)3π-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭
191=--+
9=-，
2007200831143⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2007344=433⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2007200731111433⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⨯⎭⎭
()20074=13⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭
413⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭
43
= 故答案为：9-；
43． 【点睛】
本题主要考查的是负指数幂、零指数幂以及积的乘方的逆运算，掌握的这三个知识点是解题的关键．
三、解答题
21．（1）1；（2）9x =
【分析】
（1）根据绝对值的性质、零指数幂、负整数次幂和有理数的乘方进行计算即可； （2）把分式方程化成整式方程求解，最后验根．
【详解】
解：（1）原式=31411=+-+=；
（2）3231
x x =+- 去分母得：()()3123x x -=+，
去括号得：3326x x -=+，
移项、合并得：x =9，
检验：把x =9代入方程，各分母都不为0，
∴x =9是方程的解．
【点睛】
本题考查实数的运算、解分式方程，解题的关键是掌握实数的相关性质和解分式方程的方法．
22．11x +，2
【分析】
根据分式的运算法则先进行化简，然后代入1x =
计算即可．
【详解】 原式22121111x x x x x x x -++⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭
，
()()()211111x x x x +-=
⨯-+ 11
x =+
当1x =时，原式
2
==． 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
23．2x --；
【分析】
首先把括号里进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后代值计算．
【详解】 解：222422244
x x x x x x x --⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭ =222244(2)22x x x x x x
--+++- =222(2)(2)22x x x x x x --++- =2x --
当2x =时，原式=2)2=--
【点睛】
本题是分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
24．（1）一 ；（2）解答过程见解析，当2x =时，原式＝4．
【分析】
（1）根据除法没有分配律，判断即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：（1）该同学解答过程从第一步开始错误的；
故答案为：一；
（2）2221211x x x x x x +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭
2(1)2(1)(1)(1)
x x x x x x x +--=÷-- 2(1)(1)(1)1
x x x x x x +-=⋅-+
2
1
x x =-， 要使原式有意义，1x ≠，0，1-，
则当2x =时，原式2
2421
==-． 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．一个A 型垃圾桶需50元，一个B 型垃圾桶需80元
【分析】
设一个A 型垃圾桶需x 元，则一个B 型垃圾桶需（x+30）元，根据购买A 型垃圾桶数量是购买B 品牌足球数量的2倍列出方程解答即可．
【详解】
解：设购买一个A 型垃圾桶需x 元，则一个B 型垃圾桶需()30x +元 由题意得：25002000230
x x =⨯+， 解得：50x =，
经检验：50x =是原方程的解，且符合题意，
则：3080x +=，
答：购买一个A 型垃圾桶需50元，一个B 型垃圾桶需80元．
【点睛】
此题考查了分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系列出方程是解决问题的关键． 26．（1）-1；（2）
11x -；12020
【分析】
（1）根据绝对值化简、负指数幂和零指数幂计算即可；
（2）先化简分式，再代入求解即可；
【详解】
（1）解：原式331=--， 1=-；
（2）解：原式221211
x x x -=
+-- 1(1)(1)x x x +=+- 11
x =-， 当2021x =时，原式11202112020=
=-； 【点睛】
本题主要考查了实数的混合运算和分式化简求值，准确计算是解题的关键．。