人教版数学高一必修2学案两条直线平行与垂直的判定

3.1.2两条直线平行与垂直的判定
基础梳理
1．两条直线平行的判定．
两条不重合的直线平行的条件是(斜率都存在)：它们的斜率相等．即：α1＝α2⇔l1∥l2⇔k1＝k2.
上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．
例如：已知两不重合直线的倾斜角都为0°，则这两直线平行．
已知两不重合直线的倾斜角都为90°，则这两直线平行．
2．两条直线垂直的判定．
探究两直线l1，l2垂直时，它们的斜率k1，k2的关系．
(1)l1，l2的倾斜角α1＝90°，α2＝0°时，斜率k1不存在；k2＝0，此时两直线垂直．
(2)两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1.反之亦然，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1．
例如：已知直线l1的斜率为3，l2的斜率为－1
3，则l1⊥l2.
►思考应用
1．当两条直线的斜率相等时，两条直线一定平行吗？
解析：一定，课本说“两条直线时，一般是指两条不重合的直线”．2．当直线l1⊥l2时，它们的倾斜角α1，α2的关系是什么(α1<α2)? 解析：α2＝90°＋α1.
自测自评
1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(B)
A．－3 B．3 C．－1
3D.
1
3
2．过点A(1，2)和B(－3，2)的直线与直线y＝0的位置关系是(B) A．相交B．平行C．重合D．垂直
3．直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(D) A. 3 B．－ 3
C.
3
3D．－
3
3
4．经过点(m，3)和(－2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是2．
题型一两条直线平行与垂直的关系
(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－a
3
，题型二两直线平行与垂直的应用
基础达标
1．下列命题
①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.
其中正确的为(B )
A ．①②③④
B ．①③
C ．②④
D ．以上全错
2．给定三点A(1，0)、B(－1，0)、C(1，2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点(A )
A ．(0，1)
B ．(0，0)
C ．(－1，0)
D ．(0，－1)
解析：∵k BC ＝2－0
1－（－1）
＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.
又∵k ＝1－00－1
＝－1， ∴直线过点(0，1)．
3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝(A )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．1
4．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS.
正确的个数是(C )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由斜率公式知
k PQ ＝－4－26＋4＝－35，
k SR ＝12－62－12＝－35，
k PS ＝12－2
2＋4＝53，
k QS ＝12＋42－6＝－4·k PR ＝6－212＋4＝14，
∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS.而k PS ≠k QS ，
所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C .
5．下列各对直线不互相垂直的是(C )
A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，3)
B ．l 1的斜率为－23，l 2过点A(1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，－12
C ．l 1的倾斜角为30°，l 2过点P(3，3)，Q(4，23)
D ．l 1过点M(1，0)，N(4，－5)，l 2过点A(－6，0)，S(－1，
3)
6．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是(D )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．以A 为直角顶点的直角三角形
D ．以B 为直角顶点的直角三角形
7．确定l 1与l 2的位置关系(填“∥”或“⊥”)
(1)l 1过点A(2，3)，B(－1，0)，l 2过点P(1，0)且斜率为1，则l 1________l 2.
(2)l 1过点C(3，1)，D(－2，0)，l 2过点M(1，－4)且斜率为－5，则l 1________l 2.
解析：(1)∵kl 1＝3－02＋1
＝1，∴l 1∥l 2. (2)kl 1＝15
，∴kl 1·kl 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 答案：(1)∥ (2)⊥ 巩固提升
8．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________．
解析：由根与系数的关系可知
k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2
， 则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b 2
＝－1，解得b ＝2； 当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34
， 解得b ＝－2k 1·k 2＝－98
. 答案：2 －98
9．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角
三角形，求m 的值．
解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，
∴k AC ·k AB ＝－1，
即m ＋1
2－5·1＋1
1－5＝－1，得m ＝－7；
若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，
∴k AB ·k BC ＝－1，
即－12·m －1
2－1＝－1，得m ＝3；
若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，
∴k AC ·k BC ＝－1，
即m ＋1
－3·m －1
2－1＝－1，得m ＝±2.
综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.
10．已知四边形MNPQ 的顶点M(1，1)，N(3，－1)，
P(4，0)，Q(2，
2)，求证：四边形MNPQ 为矩形．
证明：∵k MN ＝1＋11－3＝－1，k PQ ＝2－0
2－4＝－1，
∴MN ∥PQ.
又∵k MQ ＝2－12－1＝1，k NP ＝0＋1
4－3＝1，MQ ∥NP ，
∴四边形MNPQ 为平行四边形．
又∵k MN·k MQ＝－1，∴MN⊥MQ.
∴四边形MNPQ为矩形．
1．对垂直与平行关系的理解应注意，当两直线的斜率相等时，并不一定两直线平行，还要注意判断一下两直线是否重合．
2．无论是判断两条直线平行还是垂直，都需注意对特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．
3．利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标求出各边斜率，再根据斜率判断各边所在直线的位置关系，进而得知形状．在求斜率、求点的坐标等问题时经常用到这两类关系．。