简谐运动的回复力和能量+示范教案

简谐运动的回复力和能量
教学目标
(1)会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。

(2)认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。

(3)会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。

教学重难点
教学重点
(1)理解回复力的概念。

(2)位移、速度、回复力和加速度的变化规律。

(3)简谐运动中动能和势能的变化。

教学难点
从回复力角度证明物体的运动是简谐运动。

教学准备
水平弹簧振子，多媒体课件
教学过程
新课引入
教师设问：当我们把弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动。

小球的受力满足什么特点才会做这种运动呢？
根据牛顿运动定律，可以作出以下判断：做简谐运动的物体偏离平衡位置向一侧运动时，一定有一个力迫使物体的运动速度逐渐减小直到减为0，然后物体在这个力的作用下，运动速度又由0逐渐增大并回到平衡位置；物体由于惯性，到达平衡位置后会继续向另一侧运动，这个力迫使它再一次回到平衡位置；正是在这个力的作用下，物体在平衡位置附近做往复运动。

我们把这样的力称为回复力。

讲授新课
一、简谐运动的回复力
教师活动：做简谐运动的物体受到的回复力有什么特点？下面我们以弹簧振子做简谐运动为例进行分析。

如图1甲，当小球在O 点(平衡位置)时，所受的合力为0；在O 点右侧任意选择一个位置P ，无论小球向右运动还是向左运动，小球在P 点相对平衡位置的位移都为x ，受到的弹簧弹力如图1乙所示。

从图中可以看出，迫使小球回到平衡位置的回复力应该是由弹簧弹力提供的，回复力大小为F =kx (k 为弹簧的劲度系数)，方向指向平衡位置。

同样道理，当小球在O 点左侧某一位置Q 时，迫使小球回到平衡位置的回复力还是由弹簧弹力提供，大小仍为F =kx (如图1丙所示)，方向指向平衡位置。

从上面的分析可以看出，弹簧对小球的弹力是小球做简谐运动的回复力，
(1)回复力的特点：大小与小球相对平衡位置的位移成正比，方向与位移方向相反。

(2)回复力来源：回复力可以是某一个力，或几个力的合力,或者某个力的分力。

如水平弹簧振子的回复力是弹簧对小球的弹力；竖直弹簧振子的回复力是小球所受弹簧弹力和重力的合力；下节要讲的单摆的回复力是重力的一个分力。

(3)回复力公式：F = -kx ，式中“-”号表示F 与x 反向。

(根据牛顿第二定律得，F kx
a m m
=
=-，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小图1 简谐运动的回复力
O 甲
乙
丙
x
P Q
也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。

)
理论上可以证明，如果物体所受的力具有F =-kx 的形式，物体就做简谐运动。

也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置的位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

4.两种判断物体是否做简谐运动的方法：
(1)x -t 图像为正弦曲线 (2)F -x 满足F =-kx 的形式
判断竖直方向的弹簧振子的振动是不是简谐运动？ 规定向下为正方向，平衡位置处
mg =kx 0
振子在B 点受到的弹力为：
F '=k (x 0+x )
振子的回复力为
F =mg -F ' =kx 0-k (x 0+x ) =-kx
所以说明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动。

二、简谐运动的能量
1. 简谐运动的运动学特点
A O
B
(1)当物体从最大位移处向平衡位置运动时，由于v与a的方向一致，物体做加速度越来越小的加速运动。

(2)当物体从平衡位置向最大位移处运动时，由于v与a的方向相反，物体做加速度越来越大的减速运动。

所以简谐运动是变加速运动。

2.简谐运动的能量
教师设问：弹簧振子中小球的速度在不断变化，因而它的动能在不断变化；弹簧的伸长量或压缩量在不断变化，因而它的势能也在不断变化。

弹簧振子的能量变化有什么规律呢？
弹簧振子的势能与弹簧的伸长量有关，而伸长量等于振子位移的大小；动能与小球的速度有关。

请在下表中填出图1中的弹簧振子在各位置的能量。

某量为最大值、最小值用“最大”和“最小”表示，某量为零用数字“0”表示，增加和减少分别用“↑”和“↓”表示(假设P、Q为最大位移处)。

沿水平方向振动的弹簧振子的势能为弹性势能，其大小取决于弹簧的形变量。

小球运动远离平衡位置时，势能会增大。

与此同时，小球的速度减小，动能减小。

小球到达最大位置时，动能为0，势能最大。

小球通过平衡位置时，动能最大，势能为0。

3.关于简谐运动能量的理解：
(1)若不考虑阻力，弹簧振子在振动过程中只有弹力(或重力)做功，故在任意时刻的动能
与势能之和不变，即机械能守恒。

(2)势能可以是重力势能，可以是弹性势能，也可以是重力势能和弹性势能之和(如沿竖直方向振动的弹簧振子)，我们规定以平衡位置为零势能位置。

(3)实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的模型。

(4)当小球运动到最大位移时，动能为0，弹性势能最大，系统的机械能等于最大弹性势能。

对于弹簧劲度系数和小球质量都是一定的系统，振幅越大，机械能越大。

典题剖析
例1 弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( ) A．振子所受的回复力逐渐增大B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小D．振子的加速度逐渐减小
答案：D
解析：振子位移特指由平衡位置指向振动物体所在位置的位移，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，而回复力与位移的大小成正比，故回复力也减小，所以A、B错误；由牛顿
第二定律a=F
m
得，加速度也减小，物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故
物体的速度逐渐增大，所以C错误，D正确。

例2 (多选)如下图所示，一弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M，若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对运动而一起运动，下列叙述正确的是( )
A. 振幅不变
B. 振幅减小
C. 最大动能不变
D. 最大动能减小
答案：AC
解析：振子运动到B点时速度恰为0，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变．因此选项A正确，B错误．由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误。

例3 (多选)在物体做简谐运动的过程中，t1、t2两时刻物体分别处在关于平衡位置对称的两点，则从t1至t2这段时间物体的( )
m
A．t1、t2两时刻动能一定相同
B．t1、t2两时刻势能一定相同
C．速度一定先增大，后减小
D．加速度可能先增大，后减小，再增大
答案：ABD
解析：由对称性可知，物体分别处在关于平衡位置对称的两点，速度大小相同，动能相等，A正确．由机械能守恒知势能也一定相等，B正确。

如果t1时刻物体向最大位移处运动，再回到该点后向t2时刻的位置运动，则速度是先减小再增大再减小，位移先增大再减小再增大，加速度先增大再减小再增大，故C错，D正确。

例4 (多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是( )
A．在第1 s内，质点速度逐渐增大
B．在第2 s内，质点速度逐渐增大
C．在第3 s内，动能转化为势能
D．在第4 s内，动能转化为势能
答案：BC
解析：质点在第1 s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A 错误；在第2 s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3 s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，势能转化为动能，所以选项D错误。

课堂小结。