数学分析(III)教学大纲

《数学分析》教学大纲
一、课程性质、地位和作用
《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础课和核心必修课。

本课程理论严谨、系统性强。

通过本课程的学习，要使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。

要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，具备熟练的运算能力和技巧，提高建立数学模型，并应用微积分学这一工具解决实际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基础。

二、课程教学对象、目的和要求
本课程适用于数学与应用数学、信息与计算科学等本科专业。

课程教学目的、要求：
了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的历史背景及数学思想。

掌握微积分学的基本理论，方法和技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。

能较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。

1、重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展。

在教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景。

2、重视相关知识的整合，将一元函数与多元函数的极限，连续及求导(微分)
整合，将不定积分与定积分的计算方法整合，将重积分和线面积分整合，
将反常级数与反常积分的收敛性整合，将函数列，函数项级数和含参
量反常积分的一致收敛性整合。

3、除体现本课程严格的逻辑体系外，要反映现代数学的发展趋势，吸收
和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法。

4、为了提高学生的数学修养，应重视基本定理的论证。

用ε-δ的思想贯穿于极限的存在性，定积分的存在性，(一致)收敛性及(一致)连续性等理论的论证中。

5、以课堂教学为主，重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用。

6、重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作用。

三、相关课程及关系
本课程在大学本科第一、二、三学期开设，是数学与应用数学、信息与计算科学等本科专业的最重要的专业基础课，是所有后继专业课程（如：微分方程、概率论与数理统计、复变函数、实变函数、泛函分析、计算方法、微分方程数值解等等）的基础。

同时所培养的逻辑思维能力与推理论证能力对学好自然辩证法等课程也具有重大意义。

四、课程内容及学时分配
数学分析(III)（80学时）
第十二章多元函数的微分学（28学时）
掌握多元函数的偏导数，可微性和微分的概念，掌握可微性的必要条件和充分条件，了解可微性的几何意义。

掌握多元复合函数的求导法则，复合函数的全微分和复合函数的一阶(全)微分的不变性。

会求方向导数和梯度。

了解多元函数的高阶偏导数和Taylor公式及中值定理。

掌握多元函数的绝对极值的求法和最大(小)值的求法。

了解隐函数的概念，隐函数的存在性唯一性定理和可微性定理。

了解隐函数组的概念，隐函数组存在性唯一性及可微性定理。

了解反函数组及反函数组定理。

会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面以及曲面的切平面与法线。

掌握多元函数的极值和条件极值的概念，了解最小二乘法，掌握求无条件极值和用Lagrange乘数法求多元函数的条件极值。

第十三章重积分（18学时）
熟练掌握二重积分的定义和几何意义，以及在直角坐标系下的计算方法。

掌握二重积分的变量替换法，熟练掌握极坐标系下的二重积分的计算方法。

掌握三重积分的概念，性质和换元法：柱面坐标变换和球坐标变换。

会应用重积分求曲面面积和解一些物理问题。

第十四章曲线积分与曲面积分（12学时）
掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算方法。

掌握第二型曲线积分的定义，性质和计算方法。

掌握第一型曲面积分的概念和计算方法。

掌握第二型曲面积分的概念和计算方法。

了解Gauss公式和Stokes公式熟练。

掌握Green公式及曲线积分与路径的无关性。

第十五章含参量积分（12学时）
掌握含参量正常积分的概念和性质：连续性，可微性，可积性与积分限的可交换性。

了解含参量反常积分的概念，一致收敛性及判别法： Cauchy准则，Weierstrass判别法， Dirichlet判别法与Abel判别法。

了解含参量反常积分的性质：连续性，可微性，可积性与积分限的可交换性。

知道Euler积分：Γ函数和B函数的定义，性质及两种函数的关系。

第十六章 Fourier级数（10学时）
理解Fourier级数的概念及收敛定理，会求一些函数的Fourier级数展开式。

会将周期为2l 的函数展开成Fourier级数。

会将一些函数展开成正弦级数或余弦级数。

了解收敛定理的证明。

五、实践教学环节
本课程无单独的实践环节，课程重点在于理论知识的讲授。

六、作业（习题）要求
要求每两个学时后布置相应的作业，作业量以学生在两小时左右完成为宜。

七、考核
本科课程采用闭卷考试，内容包括教学大纲所列全部内容，以大纲所列重点为主。

八、教材与主要参考书
(一)推荐使用教材：
【1】复旦大学数学系陈纪修、於崇华、金路等编《数学分析》（上、下册）（第二版）高等教育出版社， 2004年。

（二）主要参考书目：
【1】邓东皋、尹小玲编著《数学分析》（上、下册）（第二版）高等教育出版社， 2005年。

【2】吉米多维奇著李荣栋译《数学分析习题集》人民教育出版社，19 62年。

【3】刘玉琏等《数学分析讲义学习辅导》高等教育出版社， 2003.12。

【4】李承家《数学分析》西北工业大学出版社，2003.12。

【5】欧阳光忠《数学分析》复旦大学出版社， 2003.06。

【6】常庚哲、史济怀《数学分析教程》高等教育出版社，2003.05。

【7】谢惠民等《数学分析习题课讲义》高等教育出版社，2003.01。

【8】周民强《数学分析》上海科学技术出版社， 2003.01。

【9】林源渠方企勤《数学分析解题指南》北京大学出版社，2009年。