新高考数学题型归纳,第一章 集合与简易逻辑

第一章集合与简易逻辑
第一节
集合
题型1、元素与集合的关系
元素与集合的关系：属于和不属于。

常用数集的表示：C —复数集；R —实数集；Q —有理数集；Z —整数集；N —自然数集；N+或N*—正整数集。

1、【多选】下列关系中正确的是（
）
A.{}102，
∉-B.
(){}
2|42x y x =∈，C.R ∈πD.Φ
∈02、【2022·全国乙卷】设集合{}54321，，，，=U ，集合M 满足{
}31，=M C U ，则（）
A.
M ∈2B.M ∈3C.M ∉4D.
M
∉53、【2018·北京】已知集合(){}241|≤-+≥-=ay x y ax y x y x A ，＞，，，则（
）
A ．()A R a ∈∈∀12，，
B ．()A
R a ∉∈∀12，，C ．当且仅当0＜a 时，()A ∉12，D ．当且仅当2
3
≤
a 时，()A ∉12，4、若集合{
}
2024||≤∈=x N x x P ，45=a ，则（
）
A.P a ∈
B.{}P a ∈
C.
{}P
a ⊆D.P
a ∉
题型2、集合相等
集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。

集合相等，集合中元素完全相同，集合中元素之和相等，集合中元素之积相等。

1、若},,0{},,1{2b a a a
b a +=，求20242024
b a
+的值.【答案：1】
2、已知集合，
，且B A },,0{B },,,{A ==-=y x y x xy x 求实数x 与y 的值.【答案：x=y=-1】3、设R b a ∈,,集合b}a
b {0a}b a {1，，，，=+,则=-a b （）【答案：C 】
A.
1B.-1C.2D.
-2
4、
【2014·福建】若}2,1,0{},,{=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ；②2=b ；③0≠c 有且只有一个正确，求c b a ++10100的值.
5、集合},2,0{a A =，},1{2
a B =.若}16,4,210{，，=B A 则a 的值为（）【答案：D 】
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
题型3、集合之间的基本关系
集合与集合之间的关系：①包含关系，②相等关系，③真子集关系。

规定：空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集；一个集合是它自己的子集。

若集合有n 个元素，则该集合有n
2个子集，有12-n
个真子集，有22-n
个非空真子集。

3.1.集合关系判断问题
1、【2002·全国卷】设集合},2
1
4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（）【B 】
A.N M =
B.N M ⊂
C.N
M ⊃D.
∅
=N M 2、设集合⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤--=023|x x x M ，集合N={}01)4(|≤-⋅-）（
x x x ，则M 与N 的关系是（）【答案：D 】
A.
N
M =B.N M ∈C.N M ⊃D.
N
M ⊂3、已知{}
x y R y M =∈=|，N={
}2
|m x R x =∈，则下列关系中正确的是（
）【答案：B 】
A.N M
⊃B.N M =C.N M ≠D.
N
M ⊂4、集合{}{}{}Z m m z z S Z l l y y P Z k k x x M ∈+==∈+==∈-==,16|,,13|,,23|之间的关系是（C ）A.M P S ⊂⊂B.M P S ⊂=C.M P S =⊂D.
M
P S =⊃5、
【2021·全国乙卷】集合{}{}Z t n t t T Z n n s s S ∈+==∈+==,14|,,12|，则=T S （）
A.
ΦB.S C.T D.Z
3.2.已知集合间的关系，求参数的取值范围（含参集合）
1、已知集合{}
1|2
==x x P ，集合{}1|==ax x Q ，若P Q ⊆,那么a 的值为。

2、设{}{}0|,21|<-=<<=a x x B x x A ，若B A ⊂，则a 的取值范围是。

3、已知{}{}31|,21|≤≤=<<+=x x B k x k x A ，且B A ⊆,求实数k 的取值范围。

4、若集合{}
{}01|06|2
=+==-+=mx x B x x x A ，，且A B ⊂，求实数m 的值．
5、【2017·全国卷2】已知集合{}421，，=A ，{}
04|2
=+-=m x x x B ，若{}1=B A 则=B （
）
A.{}31-，
B.{}01，
C.{}31，
D.{}
51，6、
【2020全国卷1】已知集合{}
04|2
≤-=x x A ，{}02|≤+=a x x B ，若{}12|≤≤-=x x B A 则=a （）A.-4B.-2C.2D.4
3.3.集合中元素个数问题、子集个数问题
1、集合{
}
R a a x x x M ∈=+--=,023|2
2的子集的个数为。

2、满足{}{}6,5,4,3,2,13,2,1⊂⊂M 的集合M 的个数是（）
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
3、定义集合的一种运算“*”满足：{}B y A x y x xy B A ∈∈+==,),(|*ωω，若集合{}{}3,2,1,0==B A ，则B A *的子集的个数是（）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．324、【2018·全国卷2】已知集合(){}
Z y Z x y x y x A ∈∈≤+=，，，3|2
2
，则A 集合中元素个数为（
）
A ．9
B ．8
C ．5
D ．45、【2017·全国卷3】已知集合(){}
1|2
2
=+=y x y x A ，，(){}x y y x B ==|，则B A 中元素个数为（
）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．06、【2009·全国卷3】已知集合(){}
1|2
2
=+=y x y x A ，，(){
}2
|x
y y x B ==，则B A 中元素个数为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7、【2010·湖北】已知集合()⎭⎬⎫⎩
⎨⎧=+=1164|22y x y x A ，，(){}
x y y x B 3|==，，则集合B A 的子集个数
为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
题型4、集合的运算
集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集。

集合的运算常借助数轴和韦恩图等工具。

集合的运算应注意集合元素属性的理解。

4.1.交集、并集、补集：
1、【2019·全国卷1】已知集合{}7654321，，，，，，=U ，{}5432，，，=A ，{}7632，，，=B ,则=A C B U （）
A.{}61，
B.{}71，
C.{}76，
D.{}
761，，2、【2020·天津】已知集合{}3210123，，，，，，---=U ，{}2101，，，-=A ，{}3203，，，-=B ,则=B C A U （）A.{}33，-B.{}20，C.{}11，-D.{}
31123，，，，---3、【2016·全国2】已知集合{}321，，=A ，()(){}Z x x x x B ∈-+=，＜021|,则=B A （）
A.{}1
B.{}21，
C.{}3210，，，
D.{}
32101，，，，-
4.2.集合元素属性的理解：
集合分类：①按元素个数分为有限集、无限集和空集；②按元素属性分为数集、点集和其他元素。

1、已知集合(){}64|,=+=y x y x M ，(){}723|,=+=y x y x P ，则P M 等于（）
A.()21，
B.{}{}21
C.{}21，
D.(){}
21，2、设集合{}110,|-≤≤-∈=x Z x x A ，{}5||,|≤∈=x Z x x B ，则B A 中元素的个数为（）
A ．11
B ．10
C ．16
D ．15
3、设集合(){}13|,-==x y y x U ，()⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧=--=312|
,x y y x A ，则A C U =。

4、【2010·全国卷】设集合(){}R y R x y x I ∈∈=，|,，()⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
=--=123|,x y y x M ，(){}1|,+≠=x y y x N ，那么N C M C I I =。

A.Φ
B.(){}32，
C.()
32，D.(){}
1|+=x y y x ，
1、已知集合{}31|＜＜x x A -=，Φ=B A ，R B A = ，求集合B ．
2、已知集合{}41|＜x x A ≤=，{}a x x B ＜|=；若B A ⊂，求实数a 的取值集合．
3、设集合{}110|-≤-∈=＜，x Z x x A ，{}5|||≤∈=x Z x x A ，，则B A 中元素的个数为（）
A ．11
B ．10
C ．16
D ．15
4、已知集合},0{>=x x A }21{<<-=x x B ，则=B A （）
A ．}1{->x x B.}2{<x x C.}20{<<x x D.}
21{<<-x x
1、【2013·山东】已知集合B A 、均为全集{}4321，，，=U 的子集，且(){}4=B A C U ，{}21，=B 则
=B C A U （）
A.{}3
B.{}4
C.{}43，
D.Φ
2、学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人，只参加游泳一项比赛的有多少人？
3、
【2020·新课标】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%
4、
【2019·新课标全国三】《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8
第二节
命题
题型5、充分条件、必要条件、充要条件
如果命题“若p 则q ”是真命题（记作p ⇒q ）,则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件。

从逻辑推理关系上看：
①若p ⇒q 且q 推不出p ，则p 是q 的充分不必要条件；②若p 推不出q 且q ⇒p,则p 是q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；
④若p 推不出q ，q 也推不出p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件。

从集合与集合的关系上看：两个集合存在包含关系，小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。

5.1.充分条件、必要条件、充要条件的判断：
1、“2=x ”是“0)2)(1(=--x x ”的（）【答案：A 】
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.
非充分非必要条件
2、【2021·浙江】已知非零向量c b a ，，
，则“c b c a ··=”是“b a =”的（）
A.
充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件
D.
非充分非必要条件
3、
【2022·浙江】设R x ∈,则“1sin =x ”是“0cos =x ”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.非充分非必要条件
4、
【2022·北京】设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0N n ＞时，0＞n a ”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.
非充分非必要条件
5.2.求解充分条件、必要条件、充要条件中参数的范围：
1、已知集合{}{}
0)1(|2|1||2＜，＜a x a x x S x x P +++=-=若“P x ∈”的充要条件是“S x ∈”，求a 的值．【答案：-3】
2、已知命题⎩⎨⎧≤-≥+0
1002:x x p ，命题011:＞，m m x m q +≤≤-，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围是.
【答案：m≥9.】3、（1）是否存在实数m ，使得02＜m x +是0)1)(3(＞+-x x 的充分条件？
（2）是否存在实数m ，使得02＜m x +是0)1)(3(＞+-x x 的必要条件？
【答案：】（1）2≥m ，（2）不存在实数m 时，使02＜m x +是0)1)(3(＞+-x x 的必要条件．4、已知1:121:+≤≤≤≤a x a q x p ，，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．【答案：]2
10[，】5、
【2022·山东师大附中模拟】已知121:1|:|≥--x q a x p ，＜，若q 的必要不充分条件是p ，则实数a 的取值范围是（
）
A.(]
3，∞-B.[]
32，C.(]
32，D.()32，
题型6、含有量词命题的否定
含有量词命题的否定：先改变量词，再否定结论。

1、命题R x ∈∃0，01020≤++x x 的否定是。

2、已知命题0)))(()((,,:121221≥--∈∀x x x f x f R x x p ，则p ⌝是。

3、【2011·安徽】命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（
）【答案：D 】A.所有不能被整除的数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
4、0ln ,＞x R x ∈∀的否定是。

5、
【2022·开封模拟】0||,≥+∈∀x x R x 的否定是（）
A.0
||,＜x x R x +∈∀B.0
||,≠+∈∀x x R x C.0
||,＜x x R x +∈∃D.0||,≥+∈∃x x R x 6、【2015·全国卷1】n n N n 2,2＞∈∃的否定是（
）A.n n N n 2
,2＞∈∀B.n n N n 2
,2≤∈∃C.n n N n 2
,2≤∈∀D.n
n N n 2,2=∈∃
题型7、结合含有量词命题的真假，求参数的取值范围 全称命题和存在性命题含参数问题，通常转换为求最值的问题。

1、【2015·山东】若“m x x ≤⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈∀tan 40，，π”是真命题，则实数m 的最小值是。

2、【2022·安徽亳州模拟】命题024,:0200＜+-∈∃x ax R x p ；若p 是假命题，则实数a 的取值范围是（
）A.(]
2，∞-B.[)
∞+，2C.[]
2,2-D.(][)
∞+-∞-，，22 3、已知()()()32++-=m x m x m x f ，()22-=x x g 。

若同时满足条件：①0)(＜，x f R x ∈∀或()0＜x g ；
②()()()04＜，，x g x f x -∞-∈∃。

则实数m 的取值范围是。