北师大版八年级下册数学期末考试试卷含答案

北师大版八年级下册数学期末考试试题
一、单选题
1．下列垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．如果x y <，那么下列不等式正确的是（ ）
A ．22x y <
B ．22x y -<-
C ．11x y ->-
D ．11x y +>+
3．若分式242
x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．-2 B ．0 C ．2 D ．±2
4．如图，在平行四边形ABCD 中，∠A ＝40°，则∠C 大小为( )
A ．40°
B ．80°
C ．140°
D ．180°
5．下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A ．n m ＝11n m ++
B ．22x y x y --＝x ﹣y
C ．b a ＝2
2b a
D ．b a ＝2ab a 6．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A ．x 2＋2x ﹣1
B ．x 2﹣x ＋14
C ．x 2＋xy ＋y 2
D ．9＋x 2﹣3x 7．下列命题不正确的是（ ）
A ．等腰三角形的两底角相等
B ．平行四边形的对角线互相平分
C ．角平分线上的点到角两边的距离相等
D ．三个角分别对应相等的两个三角形全等
8．下列条件不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）
A ．,AD BC A
B CD == B ．,A
C B
D ∠=∠∠=∠
C ．//,AB C
D BC AD = D ．//,AD BC B D ∠=∠
9．如图，一次函数1y kx b =+的图象与直线2y m =相交于点P （-1，3），则关于x 的不等式
0kx b m +->的解集为（ ）
A ．3x >
B ．1x <-
C ．1x >-
D ．3x <
10．如图，已知∠ABC ，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC 的平分线BP ．他这样做的依据是（ ）
A ．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上
B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D ．测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等
二、填空题
11．若一个多边形的每一个外角都等于30，则这个多边形的边数为_________． 12．如图，在∠ABC 中，BC ＝8cm ，D 是BC 的中点，将∠ABC 沿BC 向右平移得∠A′DC′，则点A 平移的距离AA′＝___cm ．
13．计算：223211
a a a +-=--______________． 14．实验初中初二（1）班同学参加社会实践活动，几名同学打算包租一辆车前往，该车的租价为180元，出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了3元车费．设参
加实践活动的学生原有x 人，则可列方程为_______．
15．如图，四边形ABCD 中，∠B ＋∠D ＝180°，AC 平分∠DAB ，CM∠AB 于点M ，若AM ＝4cm ，BC ＝2.5cm ，则四边形ABCD 的周长为_____cm ．
16．如图，∠ABCD 中，∠ABC ＝45°，EF 是BC 的垂直平分线，EB ＝AB ，若BD ＝6，则AB ＝_______．
三、解答题
17．分解因式：
（1） 2242x x -+
（2）22()9()a x y b y x -+-
18．利用数轴求出不等式组的解集．321212
5x x x x <+⎧⎪++⎨>⎪⎩．
19．先化简：（7211a a a +--+）÷2231
a a a +-，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a 的值代入求值．
20．解分式方程：
21133
x x x x -=++
21．如图所示，在平面直角坐标系中，已知∠ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣3，5），B （﹣2，1），C （﹣1，3）．
（1）若∠ABC 经过平移后得到∠A 1B 1C 1，已知点C 1的坐标为（4，0），画出∠A 1B 1C 1； （2）将∠ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到∠A 2B 2C 2，则点A 2的坐标为 ，点C 2的坐标为 ．
（3）点D是平面直角坐标系内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出满足条件的D点坐标．
22．如图，在∠ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F为直线BD上的两个动点（点
E、F始终在∠ABCD的外面），且DE＝1
2OD，BF＝1
2
OB，连接AE、CE、CF、AF．
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形．
（2）若AC＝6，EF＝10，AF＝4，则平行四边形AFCE的周长为．
23．某网店预测一种时尚T恤衫能畅销，用4800元购进这种T恤衫，很快售完，接着又用6600元购进第二批这种T恤衫，第二批T恤衫数量是第一批T恤衫数量的1.5倍，且每件T恤衫的进价第二批比第一批的少5元．
（1）求第一批T恤衫每件的进价是多少元？
（2）若第一批T恤衫的售价是80元/件，老板想让这两批T恤衫售完后的总利润不低于4060元，则第二批T恤衫每件至少要售多少元？（T恤衫的售价为整数元）
24．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8，延长BC到E，使
CE ＝4，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 运动的时间为t 秒(t ＞0)．
（1）当t ＝3时，BP ＝ ；
（2）当t ＝ 时，点P 运动到∠B 的角平分线上；
（3）当0＜t ＜6时，请用含t 的代数式表示∠ABP 的面积S ；
（4）当0＜t ＜6时，直接写出点P 到四边形ABED 相邻两边距离相等时t 的值．
25．如图，四边形ABCD 中，45ABC ADC ∠=∠=︒，将BCD ∆绕点C 顺时针旋转一定角度后，点B 的对应点恰好与点A 重合，得到ACE ∆.
(1)请求出旋转角的度数；
(2)请判断AE 与BD 的位置关系，并说明理由；
(3)若2AD =，3CD =，试求出四边形ABCD 的对角线BD 的长.
26．思维启迪
（1）如图，∠ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，点在AB 上，AD ＝AC ，AE∠CD 垂足为E ，点F 是BC 中点，则EF 的长度为 ．
思维探索
（2）如图2，等边三角形ABC 的边长为4，AD∠BC 垂足为D ，点E 是AC 的中点，点M 是AD 的中点，点N 是BE 的中点，求MN 的长．
（3）将（2）中的∠CDE 绕C 点旋转，其他条件不变，当点D 落在直线AC 上时，画出图
形，并直接写出MN长．
参考答案
1．B
【分析】
利用中心对称图形的定义进行解答即可．
【详解】
解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A 、由x ＜y 可得：22x y <，故选项成立；
B 、由x ＜y 可得：22x y ->-，故选项不成立；
C 、由x ＜y 可得：11x y -<-，故选项不成立；
D 、由x ＜y 可得：11x y +<+，故选项不成立；
故选A.
【点睛】
本题考查了不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．C
【解析】
【详解】
由题意可知：24020x x ＝⎧-⎨+≠⎩
， 解得：x=2，
故选C.
4．A
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质：对角相等，得出∠C=∠A ．
【详解】
解：∠四边形ABCD 是平行四边形，
∠∠C=∠A=40°，
故选A ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等． 5．D
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质（分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变）逐个判断即可．
【详解】
解：A.
11
n m m n ++≠，故本选项不符合题意； B.22
x y x y --＝()()x y x y x y +--＝x ＋y ，故本选项不符合题意； C.当b ＝﹣2，a ＝1时，22b b a a ≠
，故本选项不符合题意； D.2
b ab a a =，故本选项符合题意； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确理解并运用分式的基本性质．
6．B
【解析】
【分析】
根据能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可．
【详解】
解：A 、x 2＋2x ﹣1不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
B 、x 2﹣x ＋14＝(x ﹣12
)2，能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意； C 、x 2＋xy ＋y 2不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
D 、9＋x 2﹣3x 不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了公式法分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式：()2
222a ab b a b ±+=±． 7．D
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性、平行四边形的性质、角平分线的性质及全等三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、等腰三角形的两底角相等，正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，不符合题意；
D、三个角分别对应相等的两个三角形不一定全等，故错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了判断命题的正误，等腰三角形的性、平行四边形的性质、角平分线的性质及全等三角形的判定，掌握相关的性质定理是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定逐一判断即可．
【详解】
解：A．由AD=BC，AB=CD可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形知四边形ABCD 是平行四边形，此选项不符合题意；
B．由∠A=∠C，∠B=∠D可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形知四边形ABCD 是平行四边形，此选项不符合题意；
C．由AB∠CD，BC=AD不能判定四边形ABCD是平行四边形，此选项符合题意；
D．由AD∠BC知∠A+∠B=180°，结合∠B=∠D知∠A+∠D=180°，
所以AB∠CD，
此时可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形知四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．9．B
【解析】
【分析】
把点P （-1，3）与点（0，1）求出一次函数1y kx b =+与2y m =的解析式，然后利用解不等式的方法求解即可；也可以通过观察图象，比较函数值大小来确定x 的的取值范围．
【详解】
解法一：依据题意有点P （-1，3）与点（0，1）在一次函数1y kx b =+的图象上， ∠13b x b
=⎧⎨=-+⎩， 解得12b k =⎧⎨=-⎩
， 点P （-1，3）在直线2y m =的图象上，
∠m=3，
∠0kx b m +->即为220x -->，解得1x <-．
解法二：∠0kx b m +->，
∠kx b m +>，
∠1y kx b =+，2y m =，
∠12y y >，即一次函数1y kx b =+的图象在直线2y m =的上面部分，
观察图象，这部分图象对应的x 的取值范围是：1x <-．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键．
10．A
【解析】
【分析】
根据角平分线判定得出BP 平分∠DPE ，根据平行线的性质推出∠DBP ＝∠EBP ，即可得出答案．
【详解】
解：∠∠M ＝∠N ＝90°，BM ＝BN ，
∠BP 平分∠DPE ，
∠∠DPB ＝∠EPB ，
∠DP∠BC，PE∠BD，
∠∠DPB＝∠PBE，∠EPB＝∠DBP，
∠∠DBP＝∠EBC，
即在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的判定，平行线的性质的应用，注意：角的内部到角的两边距离相等得点在角的平分线上．
11．12
【解析】
【分析】
多边形的外角和为360°，而多边形的每一个外角都等于30°，由此做除法得出多边形的边数．【详解】
解：∠360°÷30°=12，
∠这个多边形为十二边形，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了多边形的外角，关键是明确多边形的外角和为360°．
12．4
【解析】
【分析】
利用平移的性质（平移前后两图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点；连接各组对应点的线段平行且相等）解决问题即可．
【详解】
解：∠D 是BC 的中点，
∠BD ＝1
2BC ＝4(cm)，
由平移的性质可知，AA′∠BD ，AA′＝BD ，
∠AA′＝4(cm)，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
13．1
1a a -+
【解析】
【分析】
先通分，再进行分式的加减即可得到答案．
【详解】 解：2232
11a a a +---
=()()()
()()22131111a a a a a a ++-+-+-
=()()2322
11a a a a +--+-
=()
()()2
111a a a -+- =1
1a a -+ 故答案为：1
1a a -+．
【点睛】
此题考查的是分式的加减运算，掌握其运算法则是解决此题关键．
14．180
180
32x x -=+
【解析】
【分析】
设原参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：180
x
元，出发时每名同
学分担的车费为：180
x2
+
，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系．
【详解】
解：设原参加游览的同学共x人，
根据题意得：180180
3 x x2
-=
+
，
故答案为：180180
3 x x2
-=
+
．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
15．13
【解析】
【分析】
过C作CE∠AD的延长线于点E，由条件可证∠AEC∠∠AMC，得到AE＝AM．证明
∠ECD∠∠MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．
【详解】
解：如图，过C作CE∠AD的延长线于点E，
∠AC平分∠BAD，
∠∠EAC＝∠MAC，
∠CE∠AD，CM∠AB，
∠∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，
在Rt∠AEC和Rt∠AMC中，
AC=AC，CE=CM，
∠Rt∠AEC∠Rt∠AMC（HL），
∠AE＝AM＝4cm，
∠∠ADC ＋∠B ＝180°，∠ADC ＋∠EDC ＝180°，
∠∠EDC ＝∠MBC ，
在∠EDC 和∠MBC 中，
DEC CMB EDC MBC CE CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∠∠EDC∠∠MBC （AAS ），
∠ED ＝BM ，BC ＝CD ＝2.5cm ，
∠四边形ABCD 的周长为AB ＋AD ＋BC ＋CD ＝AM ＋BM ＋AE ﹣DE ＋2BC ＝2AM ＋2BC ＝8＋5＝13（cm ），
故答案为：13．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，掌握常用的判定方法是解题的关键．
16．
3
【解析】
【分析】
连接CE ，过C 作CG∠DE 于G ，由线段垂直平分线的性质得EB ＝EC ，则∠EBC ＝∠ECB ，再证EC ＝CD ，则∠CED ＝∠CDE ，设∠EBC ＝∠ECB ＝α，则∠CDE ＝∠CED ＝∠EBC ＋∠ECB ＝2α，然后由三角形内角和定理求出α＝15°，则∠CDE ＝∠CED ＝30°，设AB ＝EB ＝EC ＝CD ＝x ，则DE ＝BD ﹣EB ＝6﹣x ，最后由含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质得EG
，EG ＝12DE ＝12（6﹣x ）
＝12（6﹣x ），解方程即可． 【详解】
解：连接CE ，过C 作CG∠DE 于G ，如图所示：
∠四边形ABCD 是平行四边形，
∠AB ＝CD ，AB∠CD ，
∠∠ABC ＋∠BCD ＝180°，
∠∠BCD ＝180°﹣45°＝135°，
∠EF 是BC 的垂直平分线，
∠EB ＝EC ，
∠∠EBC ＝∠ECB ，
∠EB ＝AB ，
∠EC ＝CD ，
∠∠CED ＝∠CDE ，
设∠EBC ＝∠ECB ＝α，则∠CDE ＝∠CED ＝∠EBC ＋∠ECB ＝2α，
在∠BCD 中，∠DBC ＋∠CDB ＝180°﹣135°＝45°，
即α＋2α＝45°，
解得：α＝15°，
∠∠CDE ＝∠CED ＝30°，
设AB ＝EB ＝EC ＝CD ＝x ，则DE ＝BD ﹣EB ＝6﹣x ，
∠CG∠DE ，
∠CG ＝1
2EC ＝1
2
x ，EG ， 又∠EC ＝DC ，CG∠DE ，
∠EG ＝DG ＝12DE ＝12
（6﹣x ），
＝12（6﹣x ），
解得：x ＝3，
即AB ＝3，
故答案为：
3.
【点睛】
此题主要考查了平行四边形、直角三角形以及等腰三角形的有关性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
17．（1）22(1)x -；（2）()(3)(3)x y a b a b -+-
【解析】
【分析】
（1）先提公因式，再由完全平方公式进行因式分解，即可得到答案；
（2）先整理，然后提公因式，再由平方差公式进行分解因式，即可得到答案．
解：（1）2242x x -+
=22(21)x x -+
=22(1)x -；
（2）22()9()a x y b y x -+-
=22()9()a x y b x y ---
=22()(9)x y a b --
=()(3)(3)x y a b a b -+-．
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法进行解题． 18．﹣3＜x ＜1
【解析】
【分析】
先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
【详解】 解：3212125x x x x <+⎧⎪⎨++>⎪⎩
①②，
解不等式∠得：x ＜1，
解不等式∠得：x ＞﹣3，
在数轴上表示不等式∠、∠的解集，得：
，
∠不等式组的解集是：﹣3＜x ＜1．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
19．3a a
+；12-． 【解析】
先把括号内的两项通分后利用同分母分式的加减法法则进行计算，同时把除法转化为乘法，最后约分化成最简分式，根据分式有意义的条件选择一个a 值代入求值即可．
【详解】 解：22723
111a a a
a a a ++⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭
=()()()
()()()()
()712111113a a a a a a a a a ++--+-⋅-++
=()269
3a a a a +++
=()
()2
33a a a ++ =3
a a +
当a=-3、-1、1、0时，原式没有意义，舍去，
当a=-2时，原式=231
22-+=--．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的基本性质及分式有意义的条件是解题关键．
20．3
2x =-
【解析】
【分析】
先将分式方程化为整式方程，然后解整式方程并验根即可．
【详解】
解：方程两边都乘以()31x +，得：
()3312x x x -+=， 解得：3
2x =-， 经检验，3
2x =-是原方程的解．
【点睛】
此题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．
21．（1）见解析；（2）（5，3），（3，1）；（3）（﹣4，3），（﹣2，7），（0，1）．
【解析】
【分析】
（1）利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 2，B 2，C 2即可．
（3）根据平行四边形的判定画出图形，可得结论．
【详解】
解：（1）∠C （﹣1，3），C 1的坐标为（4，0）
∠∠ABC 向右平移了五个单位，向下平移了三个单位，
∠A 1（2，2），B 1（3，-2），C 1（4，0）
如图，∠A 1B 1C 1即为所求．
（2）如图，∠A 2B 2C 2即为所求，点A 2的坐标为（5，3），点C 2的坐标为（3，1）． 故答案为：（5，3），（3，1）．
（3）分别过、、A B C 作BC AC AB 、、的平行线，分别相交于点D D D '''、、，如上图所示，
∠A （﹣3，5），C （﹣1，3）
∠点B 向左移动两个单位，向上移动两个单位，可得点D
又∠B （﹣2，1），
∠D 点坐标为（﹣4，3），
同理可以求得1)(0D '，
，27)(D ''﹣， 满足条件的D 点坐标（﹣4，3），（﹣2，7），（0，1）．
故答案为：（﹣4，3），（﹣2，7），（0，1）．
【点睛】
此题主要考查了图形的变换，涉及了平移变换、旋转变换以及平行四边形的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）8＋
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质得OA ＝OC ，OB ＝OD ．再证OE ＝OF ，即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理证明∠AOF 是直角三角形，∠OAF ＝90°，再由勾股定理得CF ＝
【详解】
（1）证明：∠四边形ABCD 是平行四边形，
∠OA ＝OC ，OB ＝OD ．
∠DE ＝12OD ，BF ＝1
2
OB ， ∠DE ＝BF ，
∠OD ＋DE ＝OB ＋BF ，
即OE ＝OF ，
∠四边形AFCE 为平行四边形；
（2）解：如图所示：
由（1）得：OA ＝OC ＝12AC ＝3，OE ＝OF ＝12EF ＝5，
∠AF ＝4，
∠OA 2＋AF 2＝OF 2，
∠∠AOF是直角三角形，∠OAF＝90°，
∠CF
∠四边形AFCE是平行四边形，
∠CE＝AF＝4，AE＝CF＝
∠平行四边形AFCE的周长＝2（AF＋CF）＝8＋
故答案为：8＋
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理和勾股定理逆定理的应用；熟练掌握平行四边形的判定和性质及勾股定理及逆定理是解题的关键．
23．（1）60元；（2）76元
【解析】
【分析】
（1）已知金额设出进价，表示出数量，根据数量关系列出方程；
（2）在（1）的基础上，根据求出的两次进价求出两次进货数量，列出关于总利润的不等式．【详解】
解：（1）设第一批T恤衫每件的进价为x元，根据题意
得：48006600
1.5
5
x x
⨯=
-
，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，
答：第一批T恤衫的进价为60元．
（2）设第二批T恤衫的售价为y元，根据题意，得。

()()480066008060605406060
605y -⨯+--⨯≥⎡⎤⎣⎦-， 解得：y≥75.5，
∠T 恤衫的售价为整数元，
∠第二批T 恤的售价至少为76元，
答：第二批T 恤的售价至少为76元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确读懂题意并列出式子是解题的关键．
24．（1）6；（2）8；（3）S ＝(04)
6)t t ⎧<≤⎪⎨<<⎪⎩
；（4）t ＝2或46t ≤< 【解析】
【分析】
（1）根据动点P 的运动速度，即可表示出BP 的长度，再将t ＝3代入即可求出BP 的长度； （2）根据两组对边分别相等可先求证四边形ABCD 是平行四边形，再根据角平分线的性质得到等腰∠ABP ，从而可以求解；
（3）根据题意分两种情况讨论：∠当点P 在BC 上运动时，∠当点P 在CD 上运动时，分别用含t 的代数式表示∠ABP 的面积S 即可；
（4）当0＜t ＜6时，点P 在BC 、CD 边上运动，结合角平分线的性质和等边三角形的判定和性质分析求解．
【详解】
解：（1）∠动点P 的运动速度为2单位/秒，
∠BP ＝2t ，
∠当t ＝3时，
BP ＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）∠AB ＝CD ，AD ＝BC ，
∠四边形ABCD 是平行四边形，
∠AD//BC ，
∠∠AFB ＝∠CBF ，
如图1，作∠ABC 的角平分线交AD 于F ，
∠∠ABF ＝∠FBC ，
∠∠ABF ＝∠AFB ，
∠AF ＝AB ＝4，
∠DF ＝8﹣4＝4，
∠点P 运动到∠ABC 的角平分线上时，
BC ＋DC ＋DF ＝8＋4＋4＝16，
∠t ＝16÷2＝8，
∠当t ＝8时，点P 运动到∠ABC 的角平分线上；
故答案为：8；
（3）∠BC ＋CD ＝8＋4＝12
∠当0＜t ＜6时，点P 在BC 上和CD 上，
分两种情况讨论：
∠当点P 在BC 上运动时，04t <≤ ，
过点A 作AM∠BE ，
∠∠B ＝60°，
∠在Rt∠ABM 中，∠BAM ＝30°，
∠BM ＝1
2AB ＝3，
AM ==
此时，S ＝S ∠ABP ＝12×BP×AM ＝1
2×2t×04t <≤)；
∠当点P 在CD 上运动时，4＜t ＜6，如图，
∠ABP 的面积为定值，且等于平行四边形ABCD 面积的一半，
此时，S ＝S ∠ABP ＝12×BC×AM ＝1
2×8×＜t ＜6)；
综上，S ＝(04)
6)t t ⎧<≤⎪⎨<<⎪⎩； （4）∠当点P 运动到∠BAD 的角平分线上时，
连接AP ，过点P 作PM∠AB ，PN∠AD ，
此时PM ＝PN ，即点P 到四边形ABED 相邻两边AB 和AD 的距离相等，
∠AD∠BC ，
∠∠DAP ＝∠APB ，
又∠AP 平分∠BAD ，
∠∠BAP ＝∠DAP ，
∠∠BAP ＝∠APB ，
∠BP ＝2t ＝BA ＝4，
解得：t ＝2，
∠当点P 与运动到CD 边上时，过点P 作PM∠AD ，PN∠DE ，
在平行四边形ABCD 中，AB∠CD ，∠B ＝∠ADC ＝60°，
∠∠DCE ＝∠B ＝60°，
又∠CD ＝CE ＝4，
∠∠CDE 是等边三角形，
∠∠CDE ＝60°，
∠∠ADC ＝∠CDE ，即CD 平分∠ADE ，
∠当4≤t ＜6时，点P 在∠ADC 的角平分线上运动，
此时，点P 到四边形ABED 相邻两边AD 和DE 的距离相等．
综上：t ＝2或46t ≤< 时，点P 到四边形ABED 相邻两边距离相等．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，三角形的面积，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，30°所对的直角边是斜边的一半，掌握相关性质定理，分段分析，利用数形结合思想是解题关键．
25
．(1)旋转角的度数为90︒ ； (2)AE BD ⊥，理由见解析；(3)BD =
【解析】
【分析】
(1)根据旋转的性质可得：AC=BC,从而得到ABC BAC ∠=∠，再由三角形内角和得到∠ACB ＝90︒，即为旋转的角度;
(2)由旋转的性质可得BCD ACE ∆∆≌，从而得到DBC EAC ∠=∠，由对顶角相等得BMC AMN ∠=∠，从而得到90AND ∠=︒，即可得出结论;
(3) 连接DE ,先证明∠CDE 是等腰直角三角形，再在Rt∠ADE 中，求出AE 即可解决问题．
【详解】
(1)∠将BCD ∆绕点C 顺时针旋转得到ACE ∆
∠BCD ACE ∆∆≌
∠AC BC =，
又∠45ABC ∠=︒，
∠45ABC BAC ∠=∠=︒，
∠90ACB ∠=︒
故旋转角的度数为90︒
(2)AE BD ⊥.理由如下：
在Rt BCM ∆中，90BCM ∠=︒
∠90MBC BMC ∠+∠=︒
∠BCD ACE ∆∆≌
∠DBC EAC ∠=∠
即MBC NAM ∠=∠
又∠BMC AMN ∠=∠
∠90AMN CAE ∠+∠=︒
∠90AND ∠=︒
∠AE BD ⊥.
(3)如图，连接DE ，
由旋转图形的性质可知
,CD CE BD AE ==，旋转角90DCE ∠=︒
∠45EDC CED ∠=∠=︒
∠3CD =，
∠3CE =
在Rt DCE ∆中，90DCE ∠=︒
∠
DE ==
∠45ADC ∠=︒
∠90ADE ADC EDC ∠=∠+∠=︒
在Rt ADE ∆中，90ADE ∠=︒
∠
EA =
∠
BD
【点睛】
考查旋转变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.
26．（1）1；（2）1；（3
．
【解析】
【分析】
（1）可证出EF是∠BCD的中位线，从而有EF＝1
2
BD＝1；
（2）取AB中点F，连接MF，NF，证明出∠MNF是等边三角形，从而MN＝MF＝1；（3）分两种情况：当点D在线段AC上时，取AE的中点F，取BC的中点G，证出∠MNF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出MN，当点D在AC延长线上时，连接AE，取AE 的中点F，证出∠MFN﹣120°，再过点N作NG∠MF于G，解直角三角形即可．
【详解】
解：（1）∠AD＝AC，AE∠CD，
∠DE＝CE，
∠点E是CD的中点，
∠点F是BC中点，
∠EF是∠BCD的中位线，
∠EF＝1
2
BD＝1.
故答案为：1；
（2）如图2，取AB中点F，连接MF，NF，
∠点M是AD的中点，点F是AB的中点，∠MF是∠ABD的中位线，
∠MF∠BD，MF＝1
2 BD，
∠∠AFM＝∠ABD＝60°，
∠点N是BE的中点，F是AB的中点，∠NF是∠ABE的中位线，
∠NF∠AE，NF＝1
2 AE，
∠∠BFN＝∠BAC＝60°，
∠BD＝AE，
∠MF＝FN，
∠∠NFM＝180°﹣∠BFN﹣∠AFM＝60°，∠∠MNF是等边三角形，
∠MN＝FN＝1
2 AE，
∠AE＝2，
∠MN＝1；
（3）如图，当点D在线段AC上时，取AE的中点F，取BC的中点G，连接MF、DF、NG、FN，
∠∠DCE＝∠BAC＝60°，
∠AB∠CE，
∠DF是∠ACE的中位线，FN是∠ABE的中位线，DG是∠ABC的中位线，
∠DF∠CE，FN∠AB，DG∠AB，NG∠CE，
∠点F、D、N、G四点共线，
∠DG＝FN＝2，DF＝1，MF＝1，
∠DM＝DF＝DN＝1，
∠∠DMN＝∠DNM，∠MDF＝∠DFM，
∠∠DMN＋∠DNM＋∠MDF＋∠DFM＝180°，
∠∠NMF＝90°，
在Rt∠MNF中，由勾股定理得：
MN
=
当点D在AC延长线上时，连接AE，取AE的中点F，连接FM，FN，过点N作NG∠MF 于G，
同理FM ＝1，FN ＝2，
∠∠EFN ＝∠BAE ，
∠∠NFM ＝60°＋∠EFM ＝∠BAE ＋∠EAC ＋60°＝120°，
∠∠NFG ＝60°，
∠FG
＝11
2
NF =，NG = ∠GM ＝2，
在Rt∠MNG 中，由勾股定理得：
MN
2GM +=
综上所述：MN
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理、勾股定理等知识，构造出三角形中位线来解决问题是解题的关键．。