高三数学考点-数列求和及应用

6．4 数列求和及应用
1．数列求和方法 (1)公式法：
(Ⅰ)等差数列、等比数列前n 项和公式． (Ⅱ)常见数列的前n 项和：
①1＋2＋3＋…＋n ＝
；
②2＋4＋6＋…＋2n ＝
；
③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝
；
④12＋22＋32＋…＋n 2＝
；
⑤13＋23＋33＋…＋n 3
＝
⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)倒序相加：如等差数列前n 项和公式的推导方法．
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{a n }前n 项和公式的推导方法就采用了错位相减法．
(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和． 常见的裂项公式：
①1n （n ＋1）＝
－1
n ＋1
； ②1
（2n －1）（2n ＋1）＝
⎝⎛⎭
⎫12n －1－12n ＋1；
③1
n （n ＋1）（n ＋2）
＝
⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1
（n ＋1）（n ＋2）；
④1a ＋b
＝
(a －b )；
⑤n （n ＋1）！＝
－1
（n ＋1）！
； ⑥C m －
1n
＝ ； ⑦n ·n ！＝ ！－n ！； ⑧a n ＝S n －S n －1(n ≥2)． 2．数列应用题常见模型 (1)单利公式
利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝ . (2)复利公式
利息按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝ .
(3)产值模型
原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x ，总产值y ＝ . (4)递推型
递推型有a n ＋1＝f (a n )与S n ＋1＝f (S n )两类．
(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．
自查自纠
1．(1)①n （n ＋1）2 ②n 2＋n ③n 2 ④n （n ＋1）（2n ＋1）
6
(2)①1n ②12 ③12 ④1a －b ⑤1n ！⑥C m n ＋1－C m
n ⑦(n ＋1) 2．(1)a (1＋xr ) (2)a (1＋r )x (3)N (1＋p )x
数列{1＋2n －
1}的前n 项和为( ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n －1 D ．n ＋2＋2n 解：由题意得a n ＝1＋2
n －1
，所以S n ＝n ＋1－2n
1－2
＝n ＋2n －1.故选C .
若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15
解：记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.故选A . 数列{|2n －7|}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2 B ．n 2－6n ＋18
C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3）n 2－6n ＋18（n ＞3）
D.⎩
⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3）
n 2－6n （n ＞3） 解：设a n ＝2n －7，n ≤3时，a n ＜0；n ＞3时，a n ＞0，a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，且易得{a n }的前n 项和S n
＝n 2
－6n ，所以T n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3），n 2－6n ＋18（n ＞3）.故选C .
数列{a n }满足a n ＝n （n ＋1）2，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 前10项的和为________．
解：1a n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2(1－111)＝2011.故填20
11. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒． 解： 设至少需要n 秒，则1＋2＋22
＋…＋2n －1≥100，即1－2n
1－2≥100，所以n ≥7.故填7.
类型一 基本求和问题
(1)设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －
1)，…的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A ．2n B ．2n －n
C ．2n ＋
1－n D ．2n ＋
1－n －2
(2)求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋1
1＋2＋…＋n ；
(3)设f (x )＝x 21＋x 2
，求：f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)； (4)求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋n
a n .
解：(1)解法一：特殊值法，易知S 1＝1，S 2＝4，只有选项D 适合． 解法二：研究通项a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －
1＝2n －1， 所以S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)
＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋
1－n －2.故选D .
(2)设数列的通项为a n ，则a n ＝2
n （n ＋1）＝2⎝
⎛⎭⎫1n －1n ＋1，
所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.
(3)因为f (x )＝x 21＋x 2
，所以f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1. 令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫
12 016＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)，①
则S ＝f (2 017)＋f (2 016)＋…＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f (12 017
)，② ①＋②得：2S ＝1×4 033＝4 033，所以S ＝4 033
2.
(4)(Ⅰ)当a ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）
2
.
(Ⅱ)当a ≠1时，S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋n
a n ，①
1a S n ＝1a 2＋2a 3＋…＋n －1a n ＋n
a
n ＋1，② 由①－②得⎝⎛⎭⎫1－1a S n ＝1a ＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －n a n ＋1＝1a ⎝⎛
⎭⎫1－1a n 1－1a
－n
a n ＋1
， 所以S n ＝a （a n －1）－n （a －1）
a n （a －1）2.
综上所述，
S n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）
2
（a ＝1），a （a n －1）－n （a －1）
a n （a －1）2
（a ≠1）.
【点拨】研究通项公式是数列求和的关键．数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法．
(1)求数列9，99，999，…的前n 项和S n ；
(2)求数列122－1，132－1，142－1，…，1
（n ＋1）2－1的前n 项和；
(3)求sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°的值； (4)已知a n ＝n ＋1
2n ＋1，求{a n }的前n 项和T n .
解：(1)S n ＝9＋99＋999＋…＋99…9n 个 ＝(101－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n －1) ＝(101＋102＋103＋…＋10n )－n
＝10（1－10n ）1－10
－n ＝10n ＋
1－109－n .
(2)因为1（n ＋1）2－1＝1n 2＋2n ＝1
n （n ＋2）
＝12⎝⎛⎭
⎫1
n －1n ＋2， 所以122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1
＝1
2⎝⎛⎭
⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭
⎫3
2－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1
n ＋1＋1n ＋2. (3)令S n ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，① 则S n ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21° ＝cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 289°.②
①与②两边分别相加得2S n ＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 289°＋cos 289°)＝89.
所以S n ＝89
2
.
(4)T n ＝222＋323＋4
24＋…＋n ＋12
n ＋1，①
12T n ＝223＋324＋4
25＋…＋n ＋12n ＋2，② ①－②得
12T n ＝222＋123＋124＋125＋…＋1
2n ＋1－n ＋12
n ＋2 ＝12＋123×⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12
－n ＋12n ＋2＝34－1
2n ＋1－n ＋12
n ＋2， 所以T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋3
2
n ＋1.
类型二 可用数列模型解决的实际问题
用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付________万元．
解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，
故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， …
a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)． 因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列． 故a 10＝121－10＝111(万元)．故填111.
【点拨】将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：①审题，②建模，③求解，④检验，⑤作答．增长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决．
某气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的
维修保养费为n ＋49
10元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资
最少)为止，一共使用了( ) A ．600天
B ．800天
C ．1 000天
D ．1 200天
解：设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为32 000＋
⎝⎛⎭
⎫5＋n 10＋4.9n 2n
＝32 000n ＋n 20＋4.95，当且仅当
32 000
n
＝
n
20
时，取得最小值，此时n ＝800.故选B . 类型三 数列综合问题
(2017·山东)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
b n a n 的前n 项和T n .
解：(1)设{a n }的公比为q .
依题意，a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.
又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .
(2)依题意，S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）
2＝(2n ＋1)b n ＋1.
又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.
令c n ＝b n
a n ，则c n ＝2n ＋12
n .
因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋7
23＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n .
又12T n ＝322＋523＋7
24＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减，得
12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋1
22
＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1
＝32＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －
11－12－2n ＋12
n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1. 所以T n ＝5－2n ＋5
2
n .
【点拨】错位相减法适用于等差数列与等比数列的积数列的求和，写出“S n ”与“qS n ”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”
的表达式．
(2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n ＋1的前n 项和．
解：(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．
两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝2
2n －1
(n ≥2)．
又由题设可得a 1＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2
2n －1
.
(2)记⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n ＋1的前n 项和为S n .
由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n ＋1）（2n －1）＝12n －1－1
2n ＋1.
则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n
2n ＋1.
1．数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用．数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项．通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一．
2．对于一般数列的求和问题，应先观察数列通项的结构特征，再对通项公式进行化简变形，改变原数列的形式，尽可能将其转化为等差数列、等比数列等常见数列，从而达到求和的目的． 3．等差或等比数列的求和直接用公式计算，要注意求和的项数，防止疏漏．
4．最好能记忆一些常见数列的求和公式，如正整数列、正奇数列、正偶数列、正整数的平方构成的数列等． 5．数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型．
6．数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，分q ＝1或q ≠1)等．
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 5＝4－a 3，则S 7＝( ) A ．7 B ．12 C ．14 D ．21
解：由a 5＝4－a 3，得a 5＋a 3＝4＝a 1＋a 7，所以S 7＝7（a 1＋a 7）
2
＝14.故选C .
2．(2016·新余三校联考)数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100
解：根据题意有S 100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.故选D .
3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1f （n ）(n ∈N *)的前n 项和是( )
A.n n ＋1
B.n ＋2n ＋1
C.n
n －1
D.n ＋1n
解：由f ′(x )＝mx m －
1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x ，则1f （n ）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1
.所以S n ＝1－
12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选A . 4．已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )
A ．25
B ．50
C ．100
D ．不存在
解：由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，所以a 6·a 15≤
⎝⎛⎭⎫a 6＋a 1522＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.故选A .
5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a 5a 3 B.S 5
S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n
解：数列{a n }为等比数列，由8a 2＋a 5＝0，知8a 2＋a 2q 3
＝0，因为a 2≠0，所以q ＝－2，a 5a 3＝q 2＝4；S 5S 3＝
1－q 5
1－q 3
＝113；a n ＋1
a n ＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋
11－q n ，其值与n 有关．故选D . 6．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n
年的累计产量为f (n )＝1
2n (n ＋1)(2n ＋1)(单位：t)，但如果年产量超过150 t ，将会给环境造成危害．为保护环境，
环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( ) A ．5年 B ．6年 C ．7年 D ．8年
解：由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2.当n ＝1时也适合，据题意令a n ≥150⇒n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．故选C .
7．已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋n
n ，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1 的前n 项和为________．
解：a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋1
2
，
1a n a n ＋1＝4
（n ＋1）（n ＋2）＝4⎝
⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2，
所求的前n 项和为4(12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2)＝4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋2＝2n n ＋2.故填2n
n ＋2
.
8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为________．
解：当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，又a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，两式相减，得a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2)．又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009.故填1 009.
9．已知等差数列{a n }满足：a n ＋1>a n (n ∈N *)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a n ＋2log 2b n ＝－1.
(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
解：(1)设d 为等差数列{a n }的公差，且d >0，
由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1，1，3成等比数列，得(2＋d )2＝2(4＋2d )， d >0，所以d ＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又因为a n ＋2log 2b n ＝－1，所以log 2b n ＝－n ，即b n ＝1
2
n .
(2)T n ＝121＋322＋5
23＋…＋2n －12
n ①，
12T n ＝122＋323＋5
24＋…＋2n －12
n ＋1②， ①－②，得
12T n ＝1
2
＋2⎝⎛⎭⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n －12n ＋1. 所以T n ＝1＋1－12n －1
1－12－2n －12n ＝3－1
2n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n .
10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .
解：(1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，
且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－8
3＝－2.
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.
即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. 所以当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ； 当n ≥6时，
S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |
＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×20＝n 2－9n ＋40，
所以S n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，n ≤5，
n 2－9n ＋40，n ≥6.
已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．
(1)求q 的值和{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a 2n
a 2n －1
，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．
解：(1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3， 所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2， 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2
k －1
＝2n －12
，
当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2
，
所以{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1
2，n 为奇数，
2n 2，n 为偶数.
(2)b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n
2n －1，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则
S n ＝1＋221＋322＋…＋n
2
n －1.
所以12S n ＝121＋222＋323＋…＋n 2
n .
两式相减得12S n ＝1＋121＋122＋123＋…＋12n －1－n
2n
＝1－12n
1－12
－n 2n ＝2－n ＋22n .
所以S n ＝4－n ＋2
2n －1.
1．数列{a n }的通项公式为a n ＝
1n ＋n ＋1
，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝( )
A ．25
B ．576
C ．624
D ．625
解：a n ＝n ＋1－n ，所以S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，令S n ＝24得n ＝624.故选C .
2．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．40
解：由题意知，a 1＋a 2 019＝a 2＋a 2 018＝2a 1 010＝10，所以a 2＋a 1 010＋a 2 018＝3a 1 010＝15.故选B . 3．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，那么数列{b n }的前10项和等于( ) A ．130 B ．120 C ．55 D ．50
解：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，故{a n }是首项、公比均为2的等比数列．故a n ＝2·2n －
1＝2n ，b n ＝log 22n ＝n .所以b 1
＋b 2＋…＋b 10＝1＋2＋3＋…＋10＝1＋10
2×10＝55.故选C .
4．已知数列{a n }中的前n 项和S n ＝n (n －9)，第k 项满足7＜a k ＜10，则k 等于( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
解：当k ≥2时，a k ＝S k －S k －1＝k 2－9k －(k －1)2＋9(k －1)＝2k －10，k ＝1时也适合． 由7<a k <10，得7<2k －10<10，
所以17
2
<k <10，所以k ＝9.故选C .
5．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2 018的值为 ( ) A.2 0152 016 B.2 0162 017 C.2 0172 018 D.2 0182 019
解：直线与x 轴交于⎝⎛⎭⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，2n ＋1，
所以S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
.
所以原式＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12 018－12 019 ＝1－12019＝2018
2019.故选D .
6．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．－100 C ．100 D ．10 200
解：因为a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)]＋[f (2)＋f (3)]＋…＋[f (100)＋f (101)]＝(－12＋22)＋(22－32)＋…＋(1002－1012)＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)，共100项，故所求为－2×50＝－100.故选B .
7．(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝63
4，则a 8＝________.
解：当q ＝1时，显然不符合题意；
当q ≠1时，⎩
⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝7
4，a 1（1－q 6）1－q
＝634，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，
q ＝2，
则a 8＝1
4
×27＝32.故填32.
8．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．
解：设该等比数列的公比为q ，则q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝12
，可得a 1＋14a 1＝10，得a 1＝8，所以a n ＝8·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －4.
所以a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫12－3－2－1＋0＋…＋（n －4）＝⎝⎛⎭⎫12n 2
－7n
2，易知当n ＝3或n ＝4时，12
(n 2－7n )取得最小值－6，故a 1a 2…
a n 的最大值为⎝⎛⎭⎫
12－6＝64.故填64.
9．在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q ，且b 2＋S 2
＝12，q ＝S 2
b 2.
(1)求a n 与b n ；
(2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜2
3.
解：(1)设数列{a n }的公差为d .
因为⎩⎪⎨⎪
⎧b 2＋S 2＝12，
q ＝S 2
b 2， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋d
q .
解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3.
故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －
1. (2)证明：因为S n ＝n （3＋3n ）
2
，
所以1S n ＝2n （3＋3n ）＝23⎝⎛⎭
⎫1
n －1n ＋1.
故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2
3[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝
23⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.
因为n ≥1，所以0＜1n ＋1≤1
2
，
所以12≤1－1n ＋1
＜1，
所以13≤23⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＜2
3，
即13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜23
. 10．(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋
1
（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n .
解：(1)因为数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，
所以a 1＝11，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋8n －3(n －1)2－8(n －1)＝6n ＋5， 又a n ＝6n ＋5对n ＝1也成立，所以a n ＝6n ＋5.
又因为{b n }是等差数列，设公差为d ，则a n ＝b n ＋b n ＋1＝2b n ＋d .
当n ＝1时，2b 1＝11－d ；当n ＝2时，2b 2＝17－d ，解得d ＝3，
所以数列{b n }的通项公式为b n ＝a n －d
2
＝3n ＋1.
(2)由c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ＝（6n ＋6）n ＋
1
（3n ＋3）n ＝(3n ＋3)·2n ＋1
， 于是T n ＝6×22＋9×23＋12×24＋…＋(3n ＋3)×2n ＋
1， 两边同乘以2，得
2T n ＝6×23＋9×24＋…＋(3n )×2n ＋
1＋(3n ＋3)×2n ＋2， 两式相减，得
－T n ＝6×22＋3×23＋3×24＋…＋3×2n ＋
1－(3n ＋3)×2n ＋
2
＝3×22
＋3×22（1－2n ）1－2－(3n ＋3)×2n ＋2，
所以T n ＝－12＋3×22(1－2n )＋(3n ＋3)×2n ＋
2＝3n ·2n ＋
2.
已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n
2a n ＋1
，n ∈N *.
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n －1为等比数列．
(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t －1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．
解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋2
3
，
所以1a n ＋1
－1＝13⎝⎛⎭⎫1
a n －1. 因为a 1＝35，所以1a 1－1＝2
3，
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为1
3的等比数列．
(2)由(1)知，1a n －1＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2
3n ，
所以a n ＝3
n 3n ＋2.
假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，（a s －1）2＝（a m －1）（a t －1）.
由a n ＝3n
3n ＋2
与(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1)，
得⎝⎛⎭⎫3s 3s ＋2－12
＝⎝⎛⎭⎫3m 3m ＋2－1⎝⎛⎭⎫3t 3t ＋2－1， 即3m ＋
t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s . 因为m ＋t ＝2s ，所以3m ＋3t ＝2×3s .
又3m ＋3t ≥23m ＋
t ＝2×3s ，当且仅当m ＝t 时，等号成立， 这与m ，s ，t 互不相等矛盾，
所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6
解：由等差数列的性质知a 2，a 4，a 6成等差数列，所以a 2＋a 6＝2a 4，所以a 6＝2a 4－a 2＝0.故选B . 2．已知数列{a n }为2，0，2，0，…，则下列各项不可以作为数列{a n }通项公式的是( )
A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1
B ．a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数
C ．a n ＝1－cos n π
D ．a n ＝2sin
n π
2
解：若a n ＝2sin n π2，则a 1＝2sin π2＝2，a 2＝2sinπ＝0，a 3＝2sin 3π
2
＝－2，不符合题意．故选D .
3．在数列{a n }中，“对任意的n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n ＋2”是“数列{a n }为等比数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
解：若a n ＝0，满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2，但{a n }不是等比数列．故选B .
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为a n 的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )
A.172
B.19
2
C ．10
D ．12 解： 因为公差d ＝1，S 8＝4S 4，所以8a 1＋12×8×7＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝19
2.故选
B .
5．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1)
C.n （n ＋1）2
D.n （n －1）2
解：因为d ＝2，a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2a 8，即(a 2＋2d )2＝a 2(a 2＋6d )，解得a 2＝4，a 1
＝2.所以利用等差数列的求和公式可求得S n ＝n (n ＋1)．故选A .
6．(2016·江西八校联考)数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5(p ，q ∈N *)，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5 D ．20
解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式，所以a n ＝4n ＋1，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.故选D .
7．已知公差不为零的等差数列{a n }与公比为q 的等比数列{b n }有相同的首项，同时满足a 1，a 4，b 3成等比数列，b 1，a 3，b 3成等差数列，则q 2＝( ) A.14 B.16 C.19 D.18
解：设数列的首项为a ，等差数列{a n }的公差为d ，⎩⎪⎨⎪⎧2a 3＝b 1＋b 3，a 24＝a 1·b 3， 将a ，d ，q 代入得⎩
⎪⎨⎪⎧2（a ＋2d ）＝a ＋aq 2， ①
（a ＋3d ）2＝a ·aq 2， ② 化简得(a ＋3d )2＝a (a ＋4d )，解得a ＝－92d (d ≠0)，代入①式得q 2＝1
9.故选C .
8．执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )
A.37
B.67
C.89
D.49
解：第一次循环后S ＝11×3＝13，i ＝2；第二次循环后S ＝11×3＋13×5＝1
2×⎝
⎛⎭⎫1－13＋13－15＝25，i ＝3；第三次循环后S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12×(1－13＋13－15＋15－17)＝37，此时i ＝4>3，退出循环，输出结果S ＝3
7.故选A .
9．设曲线y ＝x n ＋
1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝( )
A ．lg2 018
B ．lg2 017
C ．－lg2 018
D ．－lg2 017
解：因为y ′＝(n ＋1)x n ，所以曲线y ＝x n ＋
1在点(1，1)处的切线斜率为n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，
令y ＝0，得x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.则a n ＝lg x n ＝lg n n ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝lg ⎝⎛⎭⎫12×23×…×2 0172 018＝lg 12 018＝－lg2 018.故选C .
10．已知在数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．[－2，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．[－3，＋∞)
解：由题意可知a n ＋1>a n 对任意正整数n 恒成立，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn 对任意正整数n 恒成立，即λ>－
2n －1对任意正整数n 恒成立，故λ>－3.另解，由对称轴－λ2＜3
2
求解．故选C .
11．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n ，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形形状，
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
……
记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10，12)＝( )
A.⎝⎛⎭⎫1393
B.⎝⎛⎭⎫1392
C.⎝⎛⎭⎫1394
D.⎝⎛⎭⎫13112
解：前9行一共有1＋3＋5＋…＋17＝81个数，而A (10，12)表示第10行的第12个数，所以n ＝93，即A (10，
12)＝a 93＝⎝⎛⎭⎫1393.故选A . 12．设a n ＝1n sin n π
25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )
A ．25
B ．50
C ．75
D ．100
解：当1≤n ≤24时，a n ＞0，当26≤n ≤49时，a n ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，a n ＞0，当76≤n ≤99时，a n ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，所以当1≤n ≤100时，均有S n ＞0.故选D .
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2017·北京)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2
b 2
＝________.
解：－1＋3d ＝－q 3＝8⇒d ＝3，q ＝－2⇒a 2
b 2＝－1＋3－1×（－2）＝1.故填1.
14．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 解：因为{a n }为等比数列，设公比为q . ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1， ①a 1－a 1q 2＝－3， ②
显然q ≠1，a 1≠0， ②
①
得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.故填－8.
15．(2015·武汉调研)《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺．
解：设每天增加的数量为x 尺，
则5×30＋30×（30－1）x 2＝390，所以x ＝1629.故填16
29
.
16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解：因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ，
两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1，
所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1
a n ＋1＝2.
又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，
所以a 2＝3，所以a 2＋1
a 1＋1＝2，
所以a n ＋1＝2×2n －
1＝2n ， 所以a n ＝2n －1.故填2n －1.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝4a n －3(n ∈N *)，求a n . 解：S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3，
两式相减，得a n a n －1＝4
3.
又a 1＝4a 1－3，所以a 1＝1，所以a n ＝⎝⎛⎭
⎫
43n －1
.
18．(12分)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.
(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n
2
；
(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．
解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝1
3
n ，
S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13
＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n 2.
(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n （n ＋1）
2.
19．(12分)(2016·北京)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝ a n ＋ b n ，求数列{c n }的前n 项和．
解：(1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝9
3
＝3，
所以b 1＝b 2
q ＝1，b 4＝b 3q ＝27.
设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，
所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －
1. 因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －
1. 从而数列{c n }的前n 项和
S n ＝1＋3＋…＋()2n －1＋1＋3＋…＋3n －
1 ＝n ()1＋2n －12＋1－3n 1－3
＝n 2＋3n －12.
20．(12分)已知数列{a n }与{b n }，若a 1＝3且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n .
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1b n b n ＋1的前n 项和T n .
解：(1)由题意知{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 所以a n ＝2n ＋1. 当n ＝1时，b 1＝S 1＝4；
当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n ＋1)－[(n －1)2＋2(n －1)＋1]＝2n ＋1，对b 1＝4不成立．
所以数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.
(2)由(1)知当n ＝1时，T 1＝1b 1b 2＝1
20
.
当n ≥2时， 1b n b n ＋1＝1
（2n ＋1）（2n ＋3）
＝12⎝⎛⎭
⎫1
2n ＋1－12n ＋3， 所以T n ＝120＋12[⎝⎛⎭⎫15－17＋⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋(12n ＋1－12n ＋3
)]＝120＋12⎝⎛⎭⎫15－12n ＋3＝120＋n －110n ＋15＝
6n －120（2n ＋3）. 当n ＝1时仍成立，所以T n ＝6n －1
20（2n ＋3）.
21．(12分)(2017·天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．
解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2.所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，②
联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.
所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，
由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －
1，有a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ， 故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，
4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋
1， 上述两式相减，得
－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋
1 ＝12×（1－4n ）1－4－4－(3n －1)×4n ＋1
＝－(3n －2)×4n ＋
1－8.
得T n ＝3n －23×4n ＋1＋8
3
.
所以，数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋8
3
.
22．(12分)(2017·山东)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.
(1)求数列{x n }的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋
1，求由该折线与直线
y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .
解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知q >0.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，
x 1q 2－x 1q ＝2， 所以3q 2－5q －2＝0，
因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1， 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －
1.
(2)过P 1，P 2，P 3，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n ＋1， 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －
1＝2n －
1.
记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n . 由题意b n ＝（n ＋n ＋1）2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －
2，
所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝3×2－
1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －
3＋(2n ＋1)×2n －
2① 又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －
2＋(2n ＋1)×2n －
1，② ①－②得
－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －
1
＝32＋2（1－2n －
1）1－2
－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝（2n －1）×2n ＋1
2
.。