扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学

扬州市2017-2018学年度第一学期期末检测试题高三数学
2017-2018学年度第一学期期末检测试题
高三数学
2018.2
第一部分
一、 填空题
1. 若集合A ={x |1<x <3}，B ={0,1,2,3}，则A ∩B =___________。

2. 若复数(a −2ⅈ)(1+3ⅈ)是纯虚数，则实数a 的值为__________。

3. 若数据31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的标准差为_________。

4. 为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100
名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图，根据此图估计该校2000名男生中体重在70-80kg 的人数为________。

5. 运行右边的流程图，输出的结果是_________。

6. 从两名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率
为__________。

7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π
3的扇形，则此圆锥的体
积为______。

8. 若实数x ，y 满足{x ≤4
y ≤33x +4y ≥12，则x 2+y 2的取值范围是________。

9. 已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 4,a 3,6a 5成
等差数列，且a 3=3a 22，则S 3=_________。

10. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
x 2a
2−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的渐近
线与圆x 2+y 2−6y +5=0没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是__________。

11. 已知函数f (x )=sⅈn x −x +
1−4x 2x
，则关于x 的不等式f (1−x 2)+f (5x −7)<0的解集为
_________。

12. 已知正ΔABC 的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满
足AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则|CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为_________。

13. 已知函数f (x )={log 12(−x +1)−1,x ∈[−1,k ]
−2|x −1|,x ∈(k,a ]
，若存在实数k 使得该函数的值域为[−2,0]，则实数a 的取值范围是_______。

14. 已知正实数x,y 满足5x 2+4xy −y 2=1，则12x 2+8xy −y 2的最小值为_________。

二、解答题
15.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D,E分别为AB,AC的中点，
(1) 证明：B1C1∥平面A1DE；
(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE。

16.已知在ΔABC中，AB=6,BC=5，且ΔABC的面积为9
(1) 求AC；
)的值。

(2) 当ΔABC为锐角三角形时，求cos(2A+π
6
17. 如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P、Q
、半径为1千米。

为了分别在射线OA和OB上。

经测量得，扇形OPQ的圆心角（即∠POQ）为2π
3
方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA、OB交于M、N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S。

设∠POS=α（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计。

(1) 试将公路MN的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围：
(2) 试确定α的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值。

18. 已知椭圆E 1:
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)，若椭圆E 2:
x 2ma
2+
y 2mb 2
=1(a >b >0,m >1)，则称椭
圆E 2与椭圆E 1“相似”。

(1) 求经过点(√2,1)，且与椭圆E 1:
x 22
+y 2=1“相似”的椭圆E 2的方程；
(2) 若m =4，椭圆E 1的离心率为√2
2
，P 在椭圆E 2上，过P 的直线l 交椭圆E 1于A,B 两点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =
λAB
⃗⃗⃗⃗⃗ ， ①若B 的坐标为(0,2)，且λ=2，求直线l 的方程； ②若直线OP,OA 的斜率之积为−1
2，求实数λ的值。

19. 已知函数f (x )=e x ,g (x )=ax +b,a,b ∈R
(1) 若g (−1)=0，且函数g (x )的图像是函数f (x )图像的一条切线，求实数a 的值； (2) 若不等式f (x )>x 2+m 对任意x ∈(0,+∞)恒成立，求实数m 的取值范围；
(3) 若对任意实数a ，函数F (x )=f (x )−g (x )在(0,+∞)上总有零点，求实数b 的取值范围。

20. 已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n 2+a n ，数列{b n }满足b 1=1
2，
2b n+1=b n +
b n a n。

(1) 求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2) 设数列{c n }满足c n =
b n+2S n
，求和c 1+c 2+⋯+c n ；
(3)是否存在正整数p,q,r (p <q <r )，使得b P ,b q ,b Γ成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p,q,r ，若不存在，请说明理由。

2017-2018学年度第一学期期末检测试题
高三数学
2018.2
第二部分（加试部分）
21.B ．已知x,yϵR ，若点M (1,1)在矩阵A =[
2
x
3y
]对应变换作用下得到点N (3,5)，求矩阵A 的逆矩阵A −1。

C ．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是：{
x =m +√22
t
y =
√22t
（t 是参数，m 是常数）。

以O 为
极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6cos θ。

(1) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2) 若直线l 与曲线C 相交于P,Q 两点，且|PQ |=2，求实数m 的值。

22. 扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习，每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所。

(1) 求6名大学生至少有1名被分配到甲校学习的概率；
(2) 设X,Y 分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数，记ξ=|X −Y |，求随机变量ξ的分布列和数学期望值E (ξ)。

23. 二进制规定：每个二进制数由若干个0、1组成，且最高位数字必须为1.若在二进制中，S n 是所有n 位二进制数构成的集合，对于a n ,b n ∈S n ，M (a n ,b n )表示a n 和b n 对应位置上数字不同的位置个数。

例如当a 3=100,b 3=101时M (a 3,b 3)=1，当a 3=100,b 3=111时M (a 3,b 3)=2，
(1) 令a5=10000，求所有满足b5∈S5，且M(a5,b5)=2的b5的个数；
又B
(0,)π∈，所以24
cos 1sin 5
B B =-=±
， ………3分 当cos B =
45
时，
224
2cos 3625265135
AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯
=………5分 当cos B =45-
时，22
42cos 36252651095
AC AB BC AB BC B =+-⋅=++⨯⨯⨯=所以
13AC =109
.………7分
注：少一解的扣3分
⑵ 由ABC ∆为锐角三角形得B 为锐角，所以AB =6，AC 13BC =5，
所以cos 261313
A =
=⨯⨯
又
(0,)A π∈，所以2sin 1cos 13
A A =-=
， ………9分 所以3212sin 22
131313A ，22
235
cos 2(
)()13
1313A ， ………12分 所以5312
cos(2)cos 2cos
sin 2sin
6
6
6
26A
A A
.………14分
17. 解：⑴因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN . 在RT OSM 中，因为OS =1，∠MOS=α，所以SM =tan α， 在RT
OSN 中，∠NOS=
23
π
α-，所以SN=2tan(
)3
π
α-， 所以223(tan tan tan()33tan 1
MN πααα=+-=
-， .………4分 其中
6
2
π
π
α<<
..………6分
⑵ 因为
6
2
π
π
α<<
，所以
310α->，
令310t
α=->，则3
tan (1)3
t α=
+， 所以34
2)3MN
t t
=
++， . .………8分 由基本不等式得34
(22)23MN t t
≥
⨯=， ………10分
当且仅当4
t t
=
即2t =时取“=” . .………12分 此时tan 3α=6
2
π
π
α<<
，故3
π
α=
. . .………13分
答：⑴223(tan tan tan()33tan 1
MN πααα=+-=
-，其中62ππα<<
⑵当3
π
α
=
时，MN 长度的最小值为23 .. .………14分
注：第⑵问中最小值对但定义域不对的扣2分
18．解：⑴设椭圆2E 的方程为
22
12x y m m
+=，代入点(2,1)得2m =， 所以椭圆2E 的方程为22
142
x y += ………3分 ⑵因为椭圆1E 的离心率为
2
2
，故2
22a
b =，所以椭圆2221:22E x y b +=
又椭圆2E 与椭圆1E “相似”，且4m =，所以椭圆2221:28E x y b +=，
设
112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，
①方法一：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，将直线:2l y kx =+，
代入椭圆2
21:28E x
y +=得22(12)80k x kx ++=，
解得122
8,012k x x k -==+，故2
122
24,212k y y k -==+， 所以2
22
824(,)1212k k A k k --++ ………5分 又2AP AB =，即B 为AP 中点，所以2
228212(
,)1212k k P k k +++， ………6分 代入椭圆2
2
2:232E x y +=得222
22
8212(
)2()321212k k k k ++=++， 即4
220430k
k +-=，即22(103)(21)0k k -+=，所以30
k =所以直线l 的方程为30
210
y x =±
+ ………8分 方法二：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，222:232E x y +=
设
(,),(0,2)A x y B ，则(,4)P x y --，
代入椭圆得2222
282(4)32
x y x y ⎧+=⎪
⎨+-=⎪⎩，解得12y =，故30
x = ………6分 所以30k
= 所以直线l 的方程为
30
2y x =+ ………8分 ②方法一： 由题意得2
2222222
20
0112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=，
01011
2
y y x x ⋅=-，即010120x x y y +=， AP AB λ=，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得01201
2(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧
=⎪⎪⎨
+-⎪=⎪⎩
………12分 所以22201
01
(1)(1)()2(
)2x x y y b λλλ
λ
+-+-+=
则2
222
22220
01100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=
22
2222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=
所以2
22228(1)22b
b b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以5
2
λ=
.………16分 方法二：不妨设点P 在第一象限，设直线:(0)OP y kx k =>，代入椭圆2222:28E x y b +=，
解得0
2
2212b x k
=
+02
2212bk y k
=
+
直线,OP OA 的斜率之积为12
-
，则直线1
:2OA y x k =-，代入椭圆2221:22E x y b +=， 解得1
2
12x k
=+12
12y k
=
+AP AB λ=，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧
=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩
，
所以22201
01
(1)(1)()2(
)2x x y y b λλλ
λ
+-+-+=
则2
222
22220
01100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=
22
2222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=
所以
222222
2
2
2
222282(1)(
((1)2212121212b bk b b b k k k k λλλ+-++-⋅=++++，
即2
22228(1)22b
b b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52
λ=
19．解：（1）由(1)0g -=知，()g x 的图象直线过点(1,0)-， 设切点坐标为00(,)T x y ，由'()x
f x e =得切线方程是000()x x y e e x x -=-
此直线过点(1,0)-，故0
000(1)x x e
e x -=--，解得00x =，
所以'(0)1a f == .………3分 （2）由题意得2,(0,)x
m e
x x <-∈+∞恒成立，
令2
(),(0,)x
m x e x x =-∈+∞，则'()2x
m x e x =-，再令()'()2x
n x m x e x ==-，则'()2x
n x e =-， 故当(0,ln 2)x ∈时，'()0n x <，()n x 单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，'()0n x >，()n x 单调递增， 从而()n x 在(0,)+∞上有最小值(ln 2)22ln 20n =->，
所以()m x 在(0,)+∞上单调递增， .………6分 所以(0)m m ≤，即1m ≤ .………8分 注：漏掉等号的扣2分
（3）若0a <，()()()x
F x f x g x e ax b =-=--在(0,)+∞上单调递增，
故()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点的必要条件是(0)0F <，即1b >， ………10分 以下证明当1b >时，()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点。

①若0a <，
由于(0)10F b =-<，()()0b b a a b b F e a b e a a
---=---=>，且()F x 在(0,)+∞上连续 故()F x 在(0,)b
a
-上必有零点； ………12分 ②若0a ≥，(0)10F b =-<，
由（2）知2
2
1x
e x x >+>在(0,)x ∈+∞上恒成立， 取0x a b =+，则
0()()()a b F x F a b e a a b b +=+=-+-22()(1)0a b a ab b ab b b >+---=+->
由于(0)10F b =-<，()0F a b +>，且()F x 在(0,)+∞上连续 故()F x 在(0,)a b +上必有零点，
综上得：实数b 的取值范围是(1,)+∞。

.………16分 20. 解：（1）22n n n S a a =+ ①， 21112n n n S a a +++=+ ②，
②-①得：221
112n n n n n a a a a a +++=-+-，即11()(1)0n n n n a a a a +++--=
因为{}n a 是正数数列，所以110n n
a a +--=，即11n n a a +-=，
所以{}n a 是等差数列，其中公差为1， 在22n n n S a a =+中，令1n =，得11a =
所以n a n = ……………2分
由1
2n n n n
b b b a +=+
得
1112n n
b b n n
+=⋅+，
所以数列{
}n b n 是等比数列，其中首项为12
，公比为
1
2
，
所以
1(),22
n n n n b n b n ==即. ……………………5分
注：也可累乘求{}n b 的通项
（2）221
2
()2n n
n n b n c S n n +++=
=+，裂项得1
11
2(1)2n
n n c n n +=
-⋅+
……………………7分 所以12
1
112(1)2n n c c c n +++
+=
-
+ ……………………9分
（3）假设存在正整数
,,()p q r p q r <<，使得,,p q r b b b 成等差数列，则2p r q b b b +=，即
2222
p r q p r q +=，
因为111
11222n n
n n n n n n
b b ++++--=
-=，所以数列{}n b 从第二项起单调递减， 当
1p =时，12222r q r q
+=，
若2q
=，则
1
22
r r =，此时无解； 若3q =，则
1
24
r r =，因为{}n b 从第二项起递减，故4r =，所以1,3,4p q r ===符合要求………11分
若4q
≥，则
11
4
2q b b b b ≥≥，即12q b b ≥，不符合要求，此时无解； 当
2p ≥时，一定有1q p -=，否则若2q p -≥，则
2
44
2221p p q
P b b p b b p p
+≥=
=≥++，即
2p q b b ≥，矛盾，
所以1q p -
=，此时
122r p
r =，令1r p m -
=+，则12m r +=，所以121m p m +=--，
12m q m +=-，
综上得：存在
1,3,4p q r ===或121m p m +=--，12m q m +=-，12m r +=满足要
求………………16分
第二部分（加试部分）答案
21．A ．解：因为1315⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，即213315x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23
35x y +=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，
所以2132⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
A ，……5分
法1：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则1
21103201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA ，即21
320
20
321a c a c b d b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，……7分 解得2
1
3
2
a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以1
2132--⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦A .……10分 法2：因为1d
b a b ad b
c a
d bc c d c
a ad bc
ad bc --⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤
--=⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
，且21det()2213132==⨯-⨯=A ， 所以1
1
21213232---⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
A .……10分
注：法2中没有交待逆矩阵公式而直接写结果的扣2分
B ．解：（1）因为直线l 的参数方程是:
2
2x m y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
(t 是参数)， 所以直线l 的普通方程为0x y m --=． -------------------2分
因为曲线C 的极坐标方程为6cos ρ
θ=，故26cos ρρθ= ，所以226x y x +=
所以曲线C 的直角坐标方程是2
2(3)9x y -+= -------------------5分
(2)设圆心到直线l 的距离为d ，则223122d -=
又3222
m d
-=
= ------------------8分
所以
34m -=，即 1m =-或7m = -------------------10分
22．解：⑴记 “6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习” 为事件
A ，则6163()=1264
P A =-
. 答：6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为
63
64
……3分
⑵ξ所有可能取值是0,2,4,6，记“6名学生中恰有i 名被分到甲学校实习”为事件i A (01,6i
=，，)，则
33
63365
(0)()216
C C P P A ξ====，
2442
646224246615
(2)()()()2232C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，
155165611515663
(4)()()()2216
C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=，
066066660606661
(6)()()()2232
C C C C P P A A P A P A ξ==+=+=+=， ……7分
所以随机变量ξ的概率分布为：
ξ
0 2 4 6
P
5
16 1532 316 132
所以随机变量ξ的数学期望()
024+6163216328E ξ=⨯+⨯+⨯⨯= .……9分
答：随机变量ξ的数学期望15
()
8
E ξ=
.……10分 23．解（1）因为55(,)2
M a b =，所以5
b 为5位数且与5
a 有2项不
同，
又因为首项为1，故5a 与5b 在后四项中有两项不同，所以5b 的个数为2
46C = .……3分
（2）当(,)
n n M a b =0时，n
b 的个数为0
1
n C -；
当(,)
n n M a b =1时，n
b 的个数为11
n C -，
当(,)n
n
M a b =2时，n
b 的个数为21
n C -，
………
当(,)n 1n
n
M a b =-时，n
b 的个数为11
n n C --，
设(,)n
n
M a b 的和为S ， 则
012
1
1111
012(1)n n n n n S C C C n C -----=++++-， .……6分
倒序得1
210
1
111
(1)210n n n n n S n C
C C C -----=-+
+++，
倒序相加得0
111
111
2(1)[](1)2n n n n n S n C
C C n -----=-++=-⋅，即
2
(1)2n S n -=-⋅，
所以(,)n
n
M a b 的和为2
(1)2
n n --⋅。