空间向量基本定理课件
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OA OB OC
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课本12页练习题
课本13页例2
例2 如图1.2 3, 在平行六面体ABCD A1 B1C1 D1中, AB 4, AD 4, AA1
5, BAA1 60, DAA1 60, M , N 分别为D1C1 , C1 B1的中点.
求证：MN AC1 .
D1
分析：要证MN AC1 , 只需证明 MN AC1 0.
M
A1
B1
由已知,{ AB, AD, AA1 }可构成空间的一个基底,
把 MN 和 AC1分别用基底表示,
然后计算 MN AC1即可 .
D
证明：设 AB a , AD b, AA1 c这三个向
k
O
j
i
Q
空间向量基本定理
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理．
空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个
空间向量 p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得 p xa yb zc .
如何证明空间向量基本定理？
空间向量基本定理
由此可知，如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间
因此，如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向
量，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序
实数组（x，y，z），使得 p xi yj zk .
P
我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的
分向量.
思考：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c
代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？
向量组成的集合就是 { p | p xa yb zc, x, y, z R} .这个集合
可看作由向量 a，b，c 生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一
个基底，a，b，c 都叫做基向量.
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
空间向量基本定理
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长
Ԧ
与向量
Ԧ
，共面的充要
Ԧ
条件是存在实数对(x，y)，使得Ԧ = Ԧ + .
用途 证明空间三点P,M,A,B共面
（1） = + y ；
（2） = + y+ z( + + = 1).
复习回顾
3. 平面向量基本定理：
如果1 ，2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
三个不共面的向量a , b, c来表示呢 ?
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论．
设 i，j，k 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们
的有向线段有公共起点 O.对于任意一个空间向量
p OP ，设 OQ 为 OP 在
P
i，j 所确定的平面上的投影向量，
k
则 OP OQ QP .
这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
Ԧ
1 ，2 ，
使=
Ԧ 1 1 + 2 2 .
1 ，2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
探究新知
我们知道 , 平面内的任意一个向量 p都可以用两个不共线的向量a , b
来表示(平面向量基本定理 ). 类似地, 任意一个空间向量能否用任意
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点 P 在线段 AN 上，且 MN 2 ON , AP 4 AN ，用 OA ，OB ，OC 表示 OP
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解： OP OA AP OA AN OA (ON OA)
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OA ON OA OA OB OC
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量不共面,{a , b, c }构成空间的一个基底,
A
C
B
N
C1
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我们用它们表示 MN , AC1 , 则MN MC1 C1 N a b,
2
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AC1 AB BC CC1 a b c .
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所以MN AC1 a b (a b c )
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0
A
所以MN AC1
D1
M
A1
B1
Βιβλιοθήκη Baidu
D
C
B
N
C1
课本13页例3
如图，正方体 ABCD ABCD 的棱长为 1，E，F，G 分别为
C D ，AD ，DD 的中点.
（1）求证： EF AC ；（2）求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
D
C
E
F
A
G
B
D
A
C
B
解：
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ab ab ac ba bb bc
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2
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1 2 1 2
1
4 4 cos 60 4 5 cos 60
2
2
2
1 2
1 2 1
4 cos 60 4 4 5 cos 60
1.2空间向量基本定理
复习回顾
1. 共线向量定理
对空间中任意两个向量，（
Ԧ
≠ 0）， Ԧ ∥ 的充要条件是
存在实数，使Ԧ = .
用途 证明空间三点P,A,B共线
（1） = ；
（2） = + y( + = 1).
复习回顾
2. 共面向量定理
如果两个向量，不共线，则向量
度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由
空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三
个向量 xi，yj，zk，使 a xi yj zk .
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把
空间向量进行正交分解.
课本12页例1
如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上，
（1）设 DA i ，DC j ，DD k ，则 {i , j, k} 构成空间的一个单位正
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交基底.所以 EF D F D E i j (i j ) ， CA DA DC i j .
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所以 EF CA . 所以 EF AC .
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课本14页练习题
谢谢！
2
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（2）因为 CE CC C E j k ， AG AD DG i k ，
2
2
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j
k
i
k
CE AG
2
2 2
.
所以 cos CE , AG | CE || AG |
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所以 CE 与 AG 所成角的余弦值为 .
O
又向量 QP ，k 共线，因此存在唯一的实数 z，
i
j
使得 QP zk ，从而 OP OQ zk .
Q
探究新知
而在 i，j 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一
的有序实数对（x，y）
，使得 OQ xi yj .从而 OP OQ zk xi yj zk .
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OA OB OC
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课本13页例2
例2 如图1.2 3, 在平行六面体ABCD A1 B1C1 D1中, AB 4, AD 4, AA1
5, BAA1 60, DAA1 60, M , N 分别为D1C1 , C1 B1的中点.
求证：MN AC1 .
D1
分析：要证MN AC1 , 只需证明 MN AC1 0.
M
A1
B1
由已知,{ AB, AD, AA1 }可构成空间的一个基底,
把 MN 和 AC1分别用基底表示,
然后计算 MN AC1即可 .
D
证明：设 AB a , AD b, AA1 c这三个向
k
O
j
i
Q
空间向量基本定理
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理．
空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个
空间向量 p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得 p xa yb zc .
如何证明空间向量基本定理？
空间向量基本定理
由此可知，如果三个向量 a，b，c 不共面，那么所有空间
因此，如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向
量，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序
实数组（x，y，z），使得 p xi yj zk .
P
我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的
分向量.
思考：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c
代替两两垂直的向量i，j，k，你能得出类似的结论吗？
向量组成的集合就是 { p | p xa yb zc, x, y, z R} .这个集合
可看作由向量 a，b，c 生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一
个基底，a，b，c 都叫做基向量.
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
空间向量基本定理
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长
Ԧ
与向量
Ԧ
，共面的充要
Ԧ
条件是存在实数对(x，y)，使得Ԧ = Ԧ + .
用途 证明空间三点P,M,A,B共面
（1） = + y ；
（2） = + y+ z( + + = 1).
复习回顾
3. 平面向量基本定理：
如果1 ，2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
三个不共面的向量a , b, c来表示呢 ?
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论．
设 i，j，k 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们
的有向线段有公共起点 O.对于任意一个空间向量
p OP ，设 OQ 为 OP 在
P
i，j 所确定的平面上的投影向量，
k
则 OP OQ QP .
这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
Ԧ
1 ，2 ，
使=
Ԧ 1 1 + 2 2 .
1 ，2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
探究新知
我们知道 , 平面内的任意一个向量 p都可以用两个不共线的向量a , b
来表示(平面向量基本定理 ). 类似地, 任意一个空间向量能否用任意
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点 P 在线段 AN 上，且 MN 2 ON , AP 4 AN ，用 OA ，OB ，OC 表示 OP
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解： OP OA AP OA AN OA (ON OA)
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量不共面,{a , b, c }构成空间的一个基底,
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我们用它们表示 MN , AC1 , 则MN MC1 C1 N a b,
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AC1 AB BC CC1 a b c .
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所以MN AC1 a b (a b c )
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A
所以MN AC1
D1
M
A1
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D
C
B
N
C1
课本13页例3
如图，正方体 ABCD ABCD 的棱长为 1，E，F，G 分别为
C D ，AD ，DD 的中点.
（1）求证： EF AC ；（2）求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
D
C
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G
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D
A
C
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解：
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ab ab ac ba bb bc
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4 cos 60 4 4 5 cos 60
1.2空间向量基本定理
复习回顾
1. 共线向量定理
对空间中任意两个向量，（
Ԧ
≠ 0）， Ԧ ∥ 的充要条件是
存在实数，使Ԧ = .
用途 证明空间三点P,A,B共线
（1） = ；
（2） = + y( + = 1).
复习回顾
2. 共面向量定理
如果两个向量，不共线，则向量
度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由
空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三
个向量 xi，yj，zk，使 a xi yj zk .
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把
空间向量进行正交分解.
课本12页例1
如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上，
（1）设 DA i ，DC j ，DD k ，则 {i , j, k} 构成空间的一个单位正
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交基底.所以 EF D F D E i j (i j ) ， CA DA DC i j .
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所以 EF CA . 所以 EF AC .
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谢谢！
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（2）因为 CE CC C E j k ， AG AD DG i k ，
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CE AG
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所以 cos CE , AG | CE || AG |
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所以 CE 与 AG 所成角的余弦值为 .
O
又向量 QP ，k 共线，因此存在唯一的实数 z，
i
j
使得 QP zk ，从而 OP OQ zk .
Q
探究新知
而在 i，j 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一
的有序实数对（x，y）
，使得 OQ xi yj .从而 OP OQ zk xi yj zk .