概率论与数理统计》课后习题答案第四章

习题4.1

1．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．

解 可得X 的概率分布为

012

3~7

77110

30120120X ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

于是X 的数学期望为

7771()01231030120120

453

1208E X =⨯

+⨯+⨯+⨯==

2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．

解 可得X 的概率分布为

12~1

11n X n

n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦

于是X 的数学期望为

111

()121(1)1

22

E X n n n n

n n n n =⨯+⨯++⨯

++==

3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。

解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为

()50.10.5E X =⨯=

4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的

2

1

，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。 解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因

1

{1}{2}2

P X P X ==

= 即

1

21 41!

22!

e

e λ

λλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为

()4E X λ==

所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。

5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2

{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为

17

()42

E X +=

= 于是

22{()}{4}1 {22}6

P X E X P X P X <=<=<-<<=

6．设连续型随机变量X 的概率密度为

01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它

又知()0.75E X =,求,a b 的值

解 由密度函数的性质可得

()1p x dx +∞

-∞

=⎰

即

1

1

11

b a

ax dx b =⇒=+⎰

又由()0.75E X =，可得

1

()0.75b xp x dx x ax dx +∞

-∞

=⋅=⎰

⎰

即

0.752

a

b =+ 求解

11

0.752

a b a b ⎧

=⎪⎪+⎨

⎪=⎪+⎩ 可得 3,2a b ==.

7．设随机变量X 的概率密度为

0<1

()2 120 x x p x x x <⎧⎪

=-≤<⎨⎪⎩

其它

求数学期望()E X

解

1

20

1

3

3

12

20

1

()() (2) ()

1

3

3

E X xp x dx

x xdx x x dx x x x +∞

-∞==⋅+⋅-=

+-=⎰

⎰⎰

8.设随机变量X 的概率分布为 X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求(1)(21)E X -；（2）2

()E X .

解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中

()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-

则

(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-

(2）

22222

()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5

E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=

9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故

障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？

解 设X 为一周内机器发生故障的次数，由题意，~(5,0.2)X B ；又设Y 为一周的利润（单位：万元），则

10, 0

5, 1 0, 22, 2

X X Y X X =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪->⎩

于是一周的期望利润为

51

45()10{10}5{5}0{0}(2){2}

10{0}5{1}0(2){2}

10(0.8)50.2(0.8)0(2)(1{2})

5.21 (E Y P Y P Y P Y P Y P X P X P X C P X =⨯=+⨯=+⨯=+-=-=⨯=+⨯=++->=⨯+⨯⨯++--≤=万元)

10．计算第1,2,3各题中随机变量的方差。 解 （1）因X 的分布律为

12

3~7

77110

30120120X ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

故

3

()8

E X =

2777113

()0149103012012024

E X =⨯+⨯+⨯+⨯=

于是

2213977

()()(())2464192

D X

E X E X =-=

-=

(2) 因X 的概率分布为

12~1

11n X n

n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦

可得X 的数学期望为1

()2

n E X +=

，又 2

211111

()(1)(21)(1)(21)66

n i E X i n n n n n n n ===⋅++=++∑

于是