2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题(5月月考)数学试题

2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题（5月月考）数学试题 请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足2
(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ） A
B
C
D
2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A
．y = B
．y =±
C
．y x = D
．2
y x =± 3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）
A ．12y x =
B ．2x y =
C ．12log y = x
D ．1y x
=- 4．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2
，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）
A
． B ．4π C
． D ．3π
5．设函数1,2()21,2,1
a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）
A ．12
B ．11
C ．6
D ．3
6． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()
*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）
A．75 B．65 C．55 D．45
7．函数
cos
()
cos
x x
f x
x x
+
=
-
在[2,2]
ππ
-的图象大致为
A．B．
C．D．
8．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．
A．收入最高值与收入最低值的比是3:1
B．结余最高的月份是7月份
C．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D ．前6个月的平均收入为40万元
9．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >> 10．已知集合{}10,1,0,12x A x
B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<<
B ．{}1,0,1-
C ．{}1,0-
D ．{}0,1 11．已知复数11i z i +=
-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．1
12．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥
B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n
C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥
D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知2a b ==，()()
22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 .
14．如图，直线l 是曲线()y f x =在3x =处的切线，则(3)f '=________.
15．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________
16．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以O 为圆心的半圆及直径AB 围成．在此区域内原有一个以OA 为直径、C 为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ ,其中P 、Q 分别在半圆O 与半圆C 的圆弧上,且PQ 与半圆C 相切于点Q ．已知AB 长为40米,设
BOP ∠为2θ．
（上述图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形COPQ 的周长为()f θ,求()f θ的表达式;
（2）要使改建成的展示区COPQ 的面积最大,求sin θ的值．
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =．
（1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦．
（2）求二面角M CB P --的余弦值．
19．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//EF AC ，1EF =，060ABC ∠=，CE ⊥平面ABCD ，3CE =，2CD =，G 是DE 的中点.
（Ⅰ）求证：平面//ACG 平面BEF ；
（ⅠⅠ）求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.
20．（12分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90/km h 的有30人，不超过90/km h 的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h 的有5人，不超过90/km h 的有15人.
（1）完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h 与驾驶员的性别有关； 平均车速超过90/km h
的人数
平均车速不超过90/km h 的人数 合计 男性驾驶员
女性驾驶员
合计
（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h 的人数为ξ，假定抽取的结果相互独立，求ξ的分布列和数学期望.
参考公式：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++ 临界值表：
()20P K k
0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．（12分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11A ACC ，12CC =，ABC ，1ACC △，均为正三角形，E 为AB 的中点．
（Ⅰ）证明：1//AC 平面1B CE ；
（Ⅱ）求斜三棱柱111ABC A B C -截去三棱锥1–B CBE 后剩余部分的体积．
22．（10分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC 是等边三角形,侧面11BCC B 是矩形,1,AB A B N =是1B C 的中点,M 是棱1AA 上的点,且1AA CM ⊥.
（1）证明：//MN 平面ABC ；
（2）若1AB A B ⊥,求二面角A CM N --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解题分析】 先化简得31i,55
z =+再求||z 得解. 【题目详解】
2i 2i(13i)31i,13i 1055
z -===++ 所以10||5
z =
. 故选：D 【题目点拨】
本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．A
【解题分析】
求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
【题目详解】
抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，
又e ＝p ，所以e c a ==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b 3=a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±3x ． 故选：A ．
【题目点拨】 本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．
3．C
【解题分析】
由每个函数的单调区间，即可得到本题答案.
【题目详解】
因为函数12,2x y x y ==和1y x
=-在(0,)+∞递增，而12
log y x =在(0,)+∞递减. 故选：C
【题目点拨】
本题主要考查常见简单函数的单调区间，属基础题.
4．B
【解题分析】
根据正四棱锥底边边长为2，高为2，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心.
【题目详解】
如图所示：
因为正四棱锥底边边长为22，
所以2,2OB SB == ，
O 到SB 的距离为1SO OB d SB
⨯==， 同理O 到,,SC SD SA 的距离为1，
所以O 为球的球心，
所以球的半径为：1，
所以球的表面积为4π.
故选：B
【题目点拨】
本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.
5．B
【解题分析】
画出函数()f x 的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．
【题目详解】 作出函数1,2()21,2,1a
x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩的图象如图所示，
令()f x t =，
由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个），
所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有四个或五个根），
由()1f x =，可得123,,x x x 的值分别为1,2,3，
则122313
12231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=
故选B ．
【题目点拨】
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.
6．B
【解题分析】
计算1225+++的和，然后除以5，得到“5阶幻方”的幻和.
【题目详解】 依题意“5阶幻方”的幻和为12525122526555
+⨯+++==，故选B. 【题目点拨】
本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前n 项和公式，属于基础题.
7．A
【解题分析】
因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ． 8．D
【解题分析】
由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确；
结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；
1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；
前6个月的平均收入为1(406030305060)456
+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．
9．A
【解题分析】
根据指数函数的单调性，可得1551a =>，再利用对数函数的单调性，将
,b c 与11,2
对比，即可求出结论. 【题目详解】
由题知105441551,1log
log 22
a b =>=>=>=， 551log 2log 2
c =<=
，则a b c >>. 故选:A.
【题目点拨】 本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..
10．C
【解题分析】
先化简集合A ，再与集合B 求交集.
【题目详解】 因为{}10212x A x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭
，{}1,0,1B =-， 所以{}1,0A B ⋂=-.
故选：C
【题目点拨】
本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题. 11．C 【解题分析】 化简复数，分子分母同时乘以1i +，进而求得复数z ，再求出z ，由此得到虚部.
【题目详解】
11i z i i
+==-，z i =-，所以z 的虚部为1-. 故选：C
【题目点拨】
本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.
12．D
【解题分析】
试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.
考点：点线面的位置关系.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．60︒
【解题分析】
根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：2
22422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1cos ,602
θθ︒⇒== 14．12
. 【解题分析】
求出切线l的斜率，即可求出结论. 【题目详解】
由图可知直线l过点
3 (3,3),0,
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
可求出直线l的斜率
3
31
2
302
-
==
-
k ，
由导数的几何意义可知，
1 (3)
2 f'=.
故答案为:1 2 .
【题目点拨】
本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.
15．3 2
【解题分析】
先还原几何体，再根据柱体体积公式求解【题目详解】
空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,3的直角三角形，高为3的棱柱，所以体积为13 133
22⨯⨯⨯=
【题目点拨】
本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题
16．.
【解题分析】
设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出球的半径的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出，再利用勾股定理求出点在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案．
【题目详解】
如图所示，设三棱锥的外接球为球，
分别取、的中点、，则点在线段上，
由于正方体的棱长为2，
则
的外接圆的半径为
， 设球的半径为，则，解得
.
所以，， 则
而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆， 由于
，所以
， 因此，点所构成的图形的面积为
.
【题目点拨】
本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）()4020
2f
θθ=+,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（2）
342
8
【解题分析】
（1）由余弦定理的2PC ,然后根据直线与圆相切的性质求出PQ ,从而求出()f θ;
（2）求得()S θ的表达式,通过求导研究函数的单调性求得最大值. 【题目详解】
解：（1）连PC ．由条件得0,2
πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
．
在三角形POC 中,10OC =,20OP =,POC πθ∠=-2,由余弦定理,得
()()2222cos 210054cos2PC OC OP OC OP θθ=+-⋅π-=+,
因为PQ 与半圆C 相切于Q ,所以CQ PQ ⊥,
所以()2
2
2
4001cos2PQ PC CQ θ=-=+,所以202PQ θ=．
所以四边形COPQ 的周长为
()
40f CO OP PQ QC θθ=+++=+,0,2
πθ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
．
（2）设四边形COPQ 的面积为()S θ,则
())
100
2sin cos OCP QCP S S S θθθθ=+=+△△,0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
．
所以()()()
2
2
1002cos 2sin 1004sin 2S θθθθθθ2
'=+-=-+,0,
2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
．
令()0S t '=,得sin 8
θ= 列表：
答：要使改建成的展示区COPQ 的面积最大,sin θ 【题目点拨】
本题考查余弦定理、直线与圆的位置关系、导数与函数最值的关系,考查考生的逻辑思维能力,运算求解能力,以及函数与方程的思想. 18． (1) 45
.
(2)
. 【解题分析】
分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可. 详解：
（1）∵ABCD 是矩形， ∴AD CD ⊥，
又∵PD ⊥平面ABCD ，
∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，
∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，
由4PD CD ==，2AD =，得()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()0,0,4P ，()1,0,2M ， 则()2,0,4AP =-，()2,0,0BC =-，()1,4,2MB =-， 设平面CMB 的一个法向量为()1111,,n x y z =， 则1100
BC n MB n ⎧⋅=⎪
⎨
⋅=⎪⎩，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =，
∴()10,1,2n =， ∴111
4
cos ,5
255AP n AP n AP n ⋅=
=
=⋅⋅，
故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45
． （2）由（1）可得()0,4,4PC =-，
设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，
则2200
BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =，
∴()20,1,1n =， ∴12310
cos ,52
n n =
=⋅，
故二面角M CB P --的余弦值为
310
10
． 点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题. 19． (Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)155
． 【解题分析】
试题分析：（Ⅰ）连接BD 交AC 于O ，得//OG BE ，所以//OG 面BEF ，又//EF AC ，得//AC 面BEF ，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；
（Ⅱ）如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面ABF 的一个法向量m ，利用向量AD 和向量m 夹角公式，即可求解AD 与平面ABF 所成角的正弦值． 试题解析：
（Ⅰ）连接BD 交AC 于O ，易知O 是BD 的中点，故OG //BE ，BE ⊂面BEF ，OG 在面BEF 外，所以OG//面BEF ；
又EF //AC ，AC 在面BEF 外，AC//面BEF ，又AC 与OG 相交于点O ，面ACG 有两条相交直线与面BEF 平行，故面A C G ∥面BEF ；
（Ⅱ）如图，以O 为坐标原点，分别以OC 、OD 、OF 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()
0,3,0B - ，
()3,0D ，(3F ， ()1,3,0AD =，()1,3,0AB =-，(3AF =，
设面ABF 的法向量为(),,m a b c =，依题意有m AB m AF ⎧⊥⎨⊥⎩，()()()(,,1,3,030
,,330
a b c a b a b c a c ⎧
⋅-==⎪⎨⋅==⎪⎩
，令3a =1b =，
1c =-，(
)
3,1,1m =
-，3315
cos ,441
AD m +=
=⨯+， 直线AD 与面ABF 15
20．（1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关（2）详见解析 【解题分析】
（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.
（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望. 【题目详解】 （1）
平均车速超过90/km h
的人数
平均车速不超过
90/km h 的人数
合计
男性驾驶员 30 10 40 女性驾驶员 5 15 20 合计
35
25
60
因为22
60(3015510)61613.71402035257
K ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯，
13.7110.828>，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.
（2）ξ服从153,
60B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，即13,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
3
033127(0)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 2
1
133127(1)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 12
23
319(2)4464
P C ξ⎛⎫
⎛⎫=== ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
03
33
311(3)4464
P C ξ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
所以ξ的分布列如下
ξ的期望()0123646464644
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯= 【题目点拨】
本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题. 21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）5
2
【解题分析】
（Ⅰ）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接1BC ，交1B C 于点M ，连接ME ，证明1//ME AC ； （Ⅱ）由题意可知点1B 到平面ABC 的距离等于点1C 到平面ABC 的距离，根据体积公式剩余部分的体积是
1111ABC A B C B BCE V V ---.
【题目详解】
（Ⅰ）如图，连接1BC ，交1B C 于点M ，连接ME ，则1//ME AC ． 因为1AC ⊄平面1B CE ，ME ⊂平面1B CE ，所以1//AC 平面1B CE ．
（Ⅱ）因为11B C 平面ABC ，所以点1B 到平面ABC 的距离等于点1C 到平面ABC 的距离． 如图，设O 是AC 的中点，连接1OC ，OB ．因为1ACC △为正三角形，所以1OC AC ⊥， 又平面ABC ⊥平面11A ACC ，平面ABC
平面11A ACC AC =，所以1OC ⊥平面ABC ．
所以点1C 到平面ABC 的距离1OC =，故三棱锥1B BCE -的体积为
111
1
11111
1332322
B BCE BCE V S
OC BE CE OC -=⋅=⨯⋅⋅⋅=⨯⨯=．
而斜三棱柱111ABC A B C -的体积为11
11
2322
ABC V S
OC AB CE OC =⋅=⋅⋅⋅=⨯=．
所以剩余部分的体积为15322
-
=．
【题目点拨】
本题考查证明线面平行，计算体积，意在考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，一般证明线面平行的方法1.证明线线平行，则线面平行，2.证明面面平行，则线面平行，关键是证明线线平行，一般构造平行四边形，则对边平行，或是构造三角形中位线. 22．（1）见解析（2）25
5
- 【解题分析】
（1）连结BM ，推导出BC ⊥BB 1，AA 1⊥BC ，从而AA 1⊥MC ，进而AA 1⊥平面BCM ，AA 1⊥MB ，推导出四边形AMNP 是平行四边形，从而MN ∥AP ，由此能证明MN ∥平面ABC ．
（2）推导出△ABA 1是等腰直角三角形，设AB 2a =，则AA 1＝2a ，BM ＝AM ＝a ，推导出MC ⊥BM ，MC ⊥AA 1，BM ⊥AA 1，以M 为坐标原点，MA 1，MB ，MC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣CM ﹣N 的余弦值． 【题目详解】
（1）如图1，在三棱柱111ABC A B C -中，连结BM ，因为11BCC B 是矩形， 所以1BC BB ⊥，因为11//AA BB ，所以1AA BC ⊥， 又因为1AA MC ⊥，BC MC C ⋂=，所以1AA ⊥平面BCM ， 所以1AA MB ⊥，又因为1AB A B =，所以M 是1AA 中点，
取BC 中点P ，连结NP ，AP ，因为N 是1B C 的中点，则1//NP BB 且11
2
NP BB =
， 所以//NP MA 且NP MA =，所以四边形AMNP 是平行四边形，所以//MN AP ， 又因为MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC .
（图1） （图2） （2）因为1AB A B ⊥，所以1ABA ∆
是等腰直角三角形，设AB =，
则12AA a =，BM AM a ==.在Rt ACM ∆
中，AC =
，所以MC a =.
在BCM ∆中，22222CM BM a BC +==，所以MC BM ⊥，
由（1）知，则1MC AA ⊥，1BM AA ⊥，如图2，以M 为坐标原点，1MA ，MB ，MC 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则()0,0,0M ，()0,0,C a ，()12,,0B a a . 所以,
,22a a N a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，则()0,0,MC a =，,,22a a MN a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 设平面CMN 的法向量为()1,,n x y z =，
则110,0,n MC n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.
22az a a
ax y z =⎧⎪
⎨++=⎪⎩
取1x =得2y =-.故平面CMN 的一个法向量为()11,2,0n =-， 因为平面ACM 的一个法向量为()20,1,0n =，
则121212cos ,n n n n n n ⋅=
=因为二面角A CM N --为钝角， 所以二面角A CM N --
的余弦值为. 【题目点拨】
本题考查线面平行的证明，考查了利用空间向量法求解二面角的方法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。