2024年上海金山区高三二模数学试卷和答案

上海金山区2023-2024学年第二学期质量监控
高三数学试卷
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
（答案请写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合{}1,3,5,7,9M =，{}
2=8x
N x =，则M N = ___________．
2．已知向量(1,3)a =- ，(,1)b m =r ，若a b ⊥
，则实数m 的值为___________．
3．函数2
2log 1x
y x
+=-的定义域是___________．4．已知复数z 满足23i z z +=-，则z 的模为___________．5．设公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为
n S ，若202420226S S -=，则
2024a =___________．
6．若长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥E BCD
-的体积是___________．
7．设3
2
()f x x ax x =++(a ∈R )，若()y f x =为奇函数，则曲线()y f x =在点
(0,0)处的切线方程为___________．
8．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=(0a >，0b >)，给定的四点1(4,3)P -、2(3,4)P 、
3(4,3)P -、4(2,0)P -中恰有三个点在双曲线C 上，则该双曲线C 的离心率是
___________．
9．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，
得到如右图所示列联表：
取显著性水平0.05=α，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则m (m 440，m ∈N )的最小值为___________．
(参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；
参考值：2
( 3.841)0.05P χ≈ ）
10．在()()5
3
11x y ++的展开式中，记m
n
x y 项的系数为(),f m n ，则
()()3,02,1=f f +___________．
11．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，
线段BC 、CD 是救生栈道的一部分，其中300m BC =，
800m CD =，B 在A 的北偏东30︒方向，C 在A 的正北
方向，D 在A 的北偏西80︒方向，且90B ∠=︒．若救生艇在A 处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B C D --，则最短距离为___________m ．(结果精确到1m)
12．已知平面向量a 、b 、c 满足：||||1a b == ，1a c b c ⋅=⋅=
，
则2
a b c ⋅+ 的最小值为___________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5
分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点是椭圆22
1164
x y +=的一个顶点，则p 的值为
()．
(A)2
(B)3(C)4
(D)8
14．下列说法不正确的是(
)．
(A)一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
(B)若随机变量X 服从正态分布2
(3,)N σ，且(4)0.7P X = ，则
(34)0.2
P X <<=(C)若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关程度越高
(D)对具有线性相关关系的变量x 、y ，且回归方程为0.3y x m =-，若样本点
的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4
-（第11题图）
（第9题图）
15．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面
ABCD ，M 是线段ED 的中点，则以下命题中正确的是(
)．
(A)BM EN
=(B)CD MN ⊥(C)A 、M 、N 三点共线
(D)直线BM 与EN 相交
16．设3
(3)f x x x -=，有如下两个命题：
①函数()y f x =的图像与圆2
2
1x y +=有且只有两个公共点；
②存在唯一的正方形ABCD ，其四个顶点都在函数()y f x =的图像上．则下列说法正确的是()．
(A)①正确，②正确(B)①正确，②不正确(C)①不正确，②正确
(D)①不正确，②不正确
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置
写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数()y f x =，记()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，x ∈R ．（1）若函数()y f x =的最小正周期为π，当π
()16
f =时，求ω和ϕ的值；（2）若=1ω，π=6
ϕ，函数2
()2()y f x f x a =--有零点，求实数a 的取值范围．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）
以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，点G 是 DF
的中点，点P 在 CE
上，异面直线BP 与AD 所成的角是30︒．（1）求证：AE BP ⊥；
（2）若3AB =，2AD =，求二面角E AG C --
的大小．
（第18题图）
（第15题图）
19．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分）
有标号依次为1，2，…，n (2n ，n ∈N )的n 个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从1-n 号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止．
（1）当2n =时，求2号盒子里有2个红球的概率；
（2）设n 号盒子中红球个数为随机变量n X ，求3X 的分布及[]3E X ，并猜想
[]n E X 的值（无需证明此猜想）．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆22
:143
x y Γ+=的右焦点为F ，直线l 与椭圆Γ交于不同的两点
11(,)M x y 、22(,)N x y ．
（1）证明：点M 到右焦点F 的距离为1
22
x -
；（2）设点1
(0,)2Q ，当直线l 的斜率为12，且QF 与QM QN + 平行时，求直线
l 的方程；
（3）当直线l 与x 轴不垂直，且△MNF 的周长为4时，试判断直线l 与圆
22:3C x y +=的位置关系，并证明你的结论．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域D ．若存在常数a (a ∈R )，使得对于任意的1x D ∈，都存在2x D ∈，满足12()()f x g x a +=，则称函数
()y g x =是函数()y f x =关于a 的“S 函数”．
（1）若()ln f x x =，()e x
g x =，试判断函数()y g x =是否是()y f x =关于0的“S 函数”，并说明理由；
（2）若函数()y f x =与()y g x =均存在最大值与最小值，且函数()y g x =是
()y f x =关于a 的“S 函数”，()y f x =又是()y g x =关于a 的“S 函数”，证
明：min max [()][()]f x g x a +=；
（3）已知()|1|f x x =-，()g x =
，其定义域均为[0,]t ．给定正实数t ，若
存在唯一的a ，使得()y g x =是()y f x =关于a 的“S 函数”，求t 的所有可能值．
评分标准参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．
{}3；
2．3；3．(2,1)-；
4．；5．
4；6．10；
7．y x =；
8．
72
；9．
44；10．40；11．475；
12．1-．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．D；
14．A；
15．D；
16．B．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（1）因为函数()y f x =的最小正周期2π
πω
=，所以2ω=．
…………
3分当π6x =
时，πsin 13ϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，所以ππ2π()32k k ϕ+=+∈Ζ，得π2π()6k k ϕ=+∈Ζ，因为0πϕ<<，所以取0k =得π
6
ϕ=．…………
6分
（2）当=1ω，π=
6ϕ时，()πsin 6f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，x ∈R ，
设()πsin [1,1]6t f x x ⎛⎫
==+
∈- ⎪⎝
⎭
．由题意得，220t t a --=在[1,1]x ∈-有解．
…………
8分
解法一：化简得22a t t =-．又因为2()2g t t t =-在[1,1]t ∈-上严格减，…………10分
所以[1,3]a ∈-．…………
14分
解法二：记2
()2g t t t a =--,由根的分布可得()010g ∆⎧⎨-⎩
， ，
…………
10分
所以[1,3]a ∈-．…………
14分
18．（1）因为//AD BC ，所以CBP ∠
是直线BP 与AD 所成角，为30︒，…………2分
所以1203090EBP ∠=︒-︒=︒，得BP BE ⊥，又因为AB BP ⊥，且BE AB B = ，所以BP ⊥平面ABEF ，…………
4分
由AE ⊂平面ABEF ，得AE BP ⊥．…………6分
（2）解法一：取 EC
的中点H ，连接EH ，GH ，CH ．因为120EBC ∠=︒，所以四边形BEHC 为菱形，
所以223213AE GE AC GC ====+=．取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ．则EM AG ⊥，CM AG ⊥，所以EMC ∠为所求二面角的平面角．
…………10分
又1AM =，所以13123EM CM ==-=．在BEC ∆中，由于120EBC ∠=︒，
由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，所以23EC =，因此EMC ∆为等边三角形，故所求的角为60︒．…………
14分
解法二：以B 为坐标原点，分别以BE 、BP 、BA
的方向为x 、y 、z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得(0,0,3)A ，(2,0,0)E ，(1,3,3)G ，(1,3,0)C -，
故(2,0,3)AE =- ，(1,3,0)AG = ，(2,0,3)CG =
，设1111(,,)n u v w =
是平面ACG 的一个法向量．
由1100
n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得111130230u v u w ⎧+=⎪⎨
+=⎪⎩，取12w =-22z =-，可得平面ACG 的一个法向量
1(3,3,2)n =--
．
…………8分设2222(,,)n u v w =
是平面AEG 的一个法向量．
由2200
n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
可得22222300u w u -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取22w =，可得平面AEG
的一个法向量2(3,2)n =
．…………
10分
所以1212
121cos ,2
n n n n n n ⋅<>==⋅
．因
此
所
求
的
角
为
60︒．
…………14分
19．（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为62
11
33
C C 3C 5
P ⨯==；…………
5分
（2）由题可知3X 可取1,2,3，()2211
23332
32222
64643C C C C C 11C C C C 5
P X ==⨯+⨯=，…………7分
()2211
23333
2322226464C C C C C 13C C C C 5
P X ==+⨯=，
…………
9分
()()()3333
21135
P X P X P X ==-=-==
，…………
11分
所以3号盒子里的红球的个数3X 的分布列为1
231
315
5
5⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，…………
12分
3131
[]1232555
E X =⨯+⨯+⨯=．
…………
13分
猜想[]2n E X =．…………14分
20．（1）由(1,0)F ，得 (2)
分
11 ||22
22
x x MF====-=-
…………4分
（2）设直线l的方程为
1
2
y x m
=+，
联立
22
1,
43
1,
2
x y
y x m
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
消去y，得2230
x mx m
++-=．
由22
4(3)0
m m
∆=-->，得22
m
-<<．
从而
12
x x m
+=-，1212
13
()2
22
m
y y x x m
+=++=． (6)
分
又
1
(1,)
2
QF=-
，1212
3
(,1)(,1)
2
m
QM QN x x y y m
+=++-=-
．
由QF
与QM QN
+
平行，得
31
(1
1)()
22
m m
⨯-=-⨯-， (8)
分
解得1
m=，
故直线l的方程为11
2
y x
=+．…………10分
（3）设直线l的方程为y kx m
=+，
联立
22
1,
43
,
x y
y kx m
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
消去y，得222
(34)84120
k x kmx m
+++-=，
从而
122
2
122
8,
34
412.
34
km
x x
k
m
x x
k
⎧
+=-
⎪⎪+
⎨
-
⎪=
⎪+
⎩
由||||||4
MF NF MN
++=，
得12
22||4
22
x x MN
⎛⎫⎛⎫
-+-+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，即12
||
2
x x
MN+
=， (12)
分
亦即218234km k ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭，化简，整理得4222212219340k k m k m ++--=，即222(34)(33)0k k m ++-=，从而223(1)m k =+． (15)
分
又圆心C 到直线l 的距离
d r ==
==，
故直线l 与圆C 相切． (18)
分
21．（1）()y g x =不是()y f x =关于0的“S 函数”．…………2分
解法一：当11x >时，21ln 0x x e +>，所以不存在2x ，使得()()120f x g x +=……4分
解法二：因为函数()e x g x =(0x >)的值域为(1,)+∞，比如取1e x =，则1()1f x =，不存在2x ，使得21e 0x +=．…………4分
（2）设1min ()[()]f x f x =．
由题意，存在1x D ∈，使得1min ()[()]f x f x =．因为函数()y g x =是()y f x =关于a 的“S 函数”，所以存在2x D ∈，满足min 2[()]()f x g x a +=，
从而min max min 2[()][()][()]()f x g x f x g x a ++=
．…………
6分
同理，由()y f x =是()y g x =关于a 的“S 函数”，
可得max min [()][()]a g x f x +
，…………8分
综上，
min max [()][()]f x g x a +=． (10)
分
（3）记集合{|()[0},],A y y f x x t ∈==，[0,]{|(),}B y y a g x t x ∈==-．由()y g x =是()y f x =关于a 的“S 函数”，得A B ⊆．
①当01t <<时，[1,1]A t =-，[]B a a =，
高中11
从而11,t a a ⎧-⎪⎨⎪⎩
解得
11a t -+ ．
因a 唯一，
令11t -+=，解得0t =(舍)或1t =(舍)．…………12分
②当12t 时，[0,1]A =
，[]B a a =-，
从而,
1,0a a ⎧⎪⎨⎪⎩
解得
1a 因a
1=，解得1t =，符合题意．…………14分
③当2t >时，[0,1]A t =-
，[]B a a =，
从而0,
1,a a t ⎧⎪⎨⎪⎩-
解得
1t a - ．
因a 唯一，
1t =-，解得35
2t +=，符合题意．
…………16分
综上，t 的所有可能值为1或35
2+．
………18分。