2随机过程(上课用)

xf ( x ) dx
n
[x
i 1

i
a ] P ( xi )
2


( x a ) f ( x ) dx
2
第二章 随机过程
3、随机变量的数字特征(续)

（3）相关函数
无论是离散的还是连续的随机变量，两个随机
变量的相关函数统一定义为
R ( 1 , 2 ) E [ 1 2 ]
第二章 随机过程
一维概率分布函数和密度函数

因为随机过程在任一时刻对应1个随机变量
把随机过程在时刻
则该随机过程在时刻 F1 ( x , t 1 ) P [ ( t 1 ) x ]
t 1 对应随机变量记为
t 1的一维概率分布函数定
( t1 )
义为
其一维概率密度函数定
义为 f 1 ( x , t 1 )
(t ) 都是是连续的随机变量



xf 1 ( x , t ) dx
第二章 随机过程
2、随机过程的方差

同理，随机过程的方差也是一个关于时间 的函数，可由下式计算
( t ) D [ ( t )]
2
E {[ ( t ) a ( t )] }
2
若每个时刻对应的 则 (t )

T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
1 T
T
li m

T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
第二章 随机过程
二、能量谱密度和功率谱密度

能量信号f(t)的能量谱密度E(ω)
Pf 1 2


E ( ) d


E ( f )df

能量信号的帕什瓦尔定理
E
ET

T /2 T / 2
f
2
(t ) d t

f(t)信号在(-T/2,T/2)间隔内在1电阻上消耗的平均 功率 1 P f (t ) d t T
T /2 2 T T / 2

能量信号
0 E , 其 中 E li m

功率信号
0 P , 其中P
T
-2 Ω -Ω
0 Ω
2Ω
ω
这一对变换我们将在第6章用到。
第二章 随机过程
周期性矩形脉冲信号
-
f t

2

2
A
t
0
T
F n 0
T
A T
2

4
6

0

0
第二章 随机过程
2、付立叶变换的几个重要性质
若 f (t ) F ( )，则
f (t t0 )
f (t )e
j 0 t
第二章 随机过程
二、能量谱密度和功率谱密度

电压v(t)或电流i(t)在电阻R上产生的瞬时功率为
p (t ) u (t ) R
2
i (t ) R
2
其归一化瞬时功率为
p (t ) f
2
(t )
f(t)为电压或者电流信号。
第二章 随机过程
二、能量谱密度和功率谱密度

f(t)信号在(-T/2,T/2)间隔内在1电阻上消耗的能量

第二章 随机过程
概率论的基本概念复习

1、随机变量的概念
（1）样本空间的概念：在随机实验中，所有
可能的结果的集合（例如抛1次硬币，其样本 空间为{正面,反面}） （2）随机变量的概念：对于一个样本空间， 若每一个元素有一个随机的单值与之对应，则 称之为随机变量（例如，抛硬币如果是正面我 们用+1表示，反面用-1表示，+1或-1就是这个 实验的随机变量，通常记为ξ ）

(正,正,正)
(正,正,反) (正,反,正) (反,正,正) (反,反,反) (反,反,正) (反,成,反) (正,反,反) 所以这个实验样本空间为上述8个情况的集合
第二章 随机过程
通过抛硬币的例子来理解什么是随机过程
我们知道“抛1次硬币”的结果对应的值称 作“随机变量” 而“连续抛3次硬币”，每次实验都会对应 3个随机变量（第一次、第二次、第三次）， 因此不能再称作随机变量了 我们称这种实验叫做“随机过程”，记为 ξ (t)

dt

功率信号的互相关函数
R1 2

1 lim T T
T

2 T 2
f1 t f 2 t d t
第二章 随机过程
三、相关函数与自相关函数
能量信号的自相关函数和其能量谱密度构成 一对傅立叶变换
R ( ) E ( )
周期性功率信号的自相关函数和其功率谱密 度构成一对傅立叶变换
第二章 随机过程
常用付立叶变换(续)
D (t )
Sa (

2
)
τ
t
第一个过零点为 2
ω

(rad/s) 1
换算成以
Hz 为单位 , 是脉冲宽度的倒数
,即

第二章 随机过程
周期函数的付立叶变换(重要)

任何周期信号都可分解
成付立叶级数

f (t )
jn t

n
C ne
R ( ) P ( )
第二章 随机过程
引言

为什么学习随机信号？
噪声是一种随机信号；
通信中传递的信息，对接收者来说是事先不知
道的，也就是随机的； 有的时候信道的传输特性也是随机变化的（例 如短波、微波传输的衰减受天气的影响很大）。
第二章 随机过程
本章内容结构
§2.1 随机过程的基本概念和统计特性 §2.2 平稳随机过程 §2.3 高斯随机过程 §2.4 随机过程通过线性系统 §2.5 窄带随机过程 §2.6 正弦波加窄带高斯噪声
2
(t ) 是连续的随机变量
2



x f 1 ( x , t )dx a ( t )
2
第二章 随机过程
3、随机过程的自相关函数

定义为：
R ( t 1 , t 2 ) E [ ( t 1 ) ( t 2 )]
如果每一时刻 则 R ( t1 , t Байду номын сангаас )
, 随机过程对应的随机变
第二章 随机过程
§2.1 随机过程的基本概念和统计特性
§2.1.1 随机过程 《测度论》中给出了随机过程的严格的数 学定义，可是非常抽象、不易理解 因此我们从一个随机过程的实例，及其样 本空间，来描述随机过程

第二章 随机过程
通过抛硬币的例子来理解什么是随机过程
我们都知道，抛1次硬币作为1次实验，得 到的结果可能是正或反，所以其样本空间 为{正，反} 设想我们连续抛3次硬币作为1次实验，那 么，其可能结果为：
jn t
F [ f ( t )] F[


n
C ne
]


n
C n F[ e

jn t
]
2

n
C n ( n )
第二章 随机过程
周期冲激信号的付立叶变换
δT(t) ΩδT(ω)
-3T -2T -T
T 2T 3T
t
其中 2 T
第二章 随机过程
2、随机变量的统计特性（即概率分布）

（1）离散型随机变量
常用分布律来表示，如抛硬币的分布律为
+1 0.5

-1 0.5
（2）连续型随机变量
只能用分布函数和概率密度函数来描述
F ( x ) P { x }
分布函数
概率密度函数
f ( x ) F ( x )
第二章 随机过程
F ( ) e
j t 0
F ( 0 )
f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f ( t ) cos 0 t
1 2
F1 ( ) F 2 ( )
1 2 F1 ( ) F 2 ( )
[ F ( 0 ) F ( 0 )]
1 2
) sin(

2
)
1 1 2 0 1 2

的分布律为
2 sin( )的分布律为 1 2 2
第二章 随机过程

2 1 1 2 0 1 2

第二章 随机过程
通过热噪声的例子来理解随机过程
这是在一个电阻上测量到的热噪声，它也属于一种 “随机过程”。图中画出了其3个样本，这种随机过 程的样本空间有无穷多个。 注意：每一个样本都是一个关于时间的函数
第二章 随机过程
随机变量和随机过程的区别与关系

区别：
随机变量与随机过程的样本空间是不同的
对应的二维概率密度函
2
数定义为
f（ x , y ; t 1 , t 2） ２
F 2 ( x , y ; t1 , t 2 ) xy
第二章 随机过程
我国的降雨量分布图 就是典型的二维密度函数的例子
第二章 随机过程
§2.1.3 随机过程的数字特征

1、数学期望（均值函数）
由于随机过程是由一系列随机变量组成的
这种区别体现在样本空间的数量上和性质上

关系：
随机过程在某一固定时刻的取值是一个随机变
量
第二章 随机过程
§2.1.2 随机过程的统计特性
由于随机过程由一系列随机变量组成 所以无法用某一随机变量的统计特征来描 述整个随机的统计特性 于是人们定义了

一维概率分布函数和概率密度函数
二维概率分布函数和概率密度函数 。。。 N维概率分布函数和概率密度函数
F1 ( x , t 1 ) x
第二章 随机过程
二维概率分布函数和密度函数
把随机过程在时刻 把随机过程在时刻
则该随机过程在时刻
t 1 对应随机变量记为 t 2 对应随机变量记为
t 1、 t 2的二维概率分布函数定
( t1 )
(t 2 )
义为
F 2 ( x , y ; t1 , t 2 ) P [ ( t1 ) x 且 ( t 2 ) y ]
量都是连续的






xyf 2 ( x , y ; t 1 , t 2 ) dxdy
第二章 随机过程
[ 例 1]设 随 机 过 程 ( t ) s in ( t ), 其 中 是 一 个 随 机 变 量 ， 0 的 分 布 律 为 1 2

f



f (t ) d t
2
1 2


| F ( ) | d
2

即
E
| F ( ) |
2
第二章 随机过程
二、能量谱密度和功率谱密度

功率信号f(t)的功率谱密度P(ω)
1 T
T T
P f li m

2 T 2
f
2
t dt

1 2


2
1 1 1 ， 求 E ( )及 R ( , ) 1 2 2 4 2
解：由随机变量的均值
函数定义
E ( t ) E [ ( t )]， E (
1 2
) E [ (
1 2
)]
( t ) sin( t ) , (
0 1 2
?21221有关只与?dxdxxfxx?????????r?第二章随机过程由严狭义平稳引出宽广义平稳?如果一个随机过程满足下列条件则称之为宽或广义平稳过程?1均值函数为常数?2方差函数均为常数?3自相关函数只与两个时间点之间的时间差有关而与时间起点无关以后平稳过程均指宽平稳过程第二章随机过程例2若xt和yt为平稳过程证明ztxtyt也是平稳过程设xtyt相互独立1tyetxetytxetze????均为常数与为平稳过程与tyetxetytx??符符合第一条第条数数为常数即为常数tzetyetxe??2tytxdtzd??22tytxetytxe??2?2?常数22tytxetyetxetytxe????而222tyet常数xetyetxe???第二章随机过程例32续tx平稳22txetxetxd????常数?常数常数为常数同理2tye为常数为常数22tyetxe??tzd?为常数2222tytxetyetxetyetxe?????即符合平稳第2条件第二章随机过程例32续??t????t?t???ttyyttyyeettxxttxxeerxry?x?3??y??tztzerz??????tytxttxe??tx???????tyeytxe常数?yetxe常数???etye3?条件符合平稳第有关?只与可见zr也是平稳过程可得综合321tz独立和tytx第二章随机过程222平稳过程的各态历经性遍历性?简单地说一个随机过程如果做1次实验在时间上的统计特征等于做无数次试验的统计特征称这种过程具有遍历性?用数学表示即2时间平均值时间方差统计平均值统计方差aa???2???某一样本的自相关函数统计的自相关函数rr?具有遍历性的过程一定是平稳过程但反之不一定第二章随机过程223平稳随机过程的自相关函数ster???e012的平均功率t?????22tr??的直流功率2?te的交流功率tt22?0r3?????ter?4???rr为偶函数平稳过程的自相关函数0r?5r?自相关函数是有界的第二章随机过程224平稳过程的功率谱密度同样符合维纳辛钦定理?同样符合维纳辛钦定理即即??2?limt??tefpt???r??p平稳过程的自相关函数与功率谱密度是一对付立叶变换第二章随机过程23高斯过程?231高斯过程的定义?若一随机过程的任意n维分布都是高斯分布称为高斯过程这个条件过于严格很少使用??x????????????222exp2?1

第二章 随机过程
一、常用付立叶变换及性质

1、常用付立叶变换（最好记住）
δ(t) 1
t
1
2πδ(ω)
ω
t
ω
第二章 随机过程
常用付立叶变换(续)
cos 0 t
[ ( 0 ) ( 0 )]
t
-ω0 ω0 ω
sin 0 t
j [ ( 0 ) ( 0 )]
P ( ) d


P ( f )df

功率信号f(t)的功率
P

li m
| FT ( ) | T
2
T
FT(ω)为f(t)的截短函数fT(t)的付氏变换
第二章 随机过程
三、相关函数与自相关函数

能量信号的互相关函数
R12




f1
t f2 t
所以在时刻 所以在时刻
t 1 对应随机变量 t 2 对应随机变量
( t 1 ) 有一个均值
a ( t1 ) a (t 2 )
的函数
( t 2 ) 有一个均值
可以看出随机过程
(t )的均值是一个关于时间
记为 a ( t ) 或 E ( t ) E [ ( t )]