高中数学三角函数专项(含答案)

高中数学三角函数专项(含答案)
一、填空题
1．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64
ACB AB π
∠==，
则四面体ABCD 体积的最大值为___________.
2．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是AB 中点，点F 为1CC 的中点，点P 为棱1DD 上一点，且满足//AP 平面1D EF ，则直线AP 与EF 所成角的余弦值为_______．
3．已知()()
()cos sin 3cos 0f x x x x ωωωω=+>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.
4．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6
π
-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ
上单调，则ω的最大值是___________.
5．平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均相等，1160BAD DAA A AB ∠=∠=∠=，直线1AC ⋂平面1A BD E =，则异面直线1D E 与AD 所成角的余弦值为_________.
6．给出下列命题：
①若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4； ②函数()tan f x x =在定义域内单调递增；
③若定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则()f x 是以2为周期的函数；
④设常数a ∈R ，函数2log ,04
()10,41x x f x x x ⎧<≤⎪
=⎨>⎪-⎩
若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x ，
2x ，3x ，且123x x x <<，则312(1)x x x +的值域为[64,)+∞．
其中正确命题的序号为_____． 7．
在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则a
c
的取值范围
是______．
8．已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，若函数()f x 的图象在区间[]0,2π上的最高点和最低点共有6个，下列说法正确的是___________. ①()f x 在[]0,2π上有且仅有5个零点； ②()f x 在[]0,2π上有且仅有3个极大值点； ③ω的取值范围是3137,1212⎡⎫
⎪⎢⎣⎭；
④()f x 在06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为单递增函数.
9．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知ABC 中，其中60A ∠=︒，1BC =，P 为费马点，则PB PC PA +-的取值范围是__________.
10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足122
2
PA PC +=
的点P 有__________个.
二、单选题
11．
已知函数()()2212sin 2,2212,x a x a
f x x a x a x a π⎧⎡⎤
⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝
⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩
，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12．把函数()sin y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动
3
π
个单位长度，再把所得图象上
所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A ．sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，x ∈R
B ．sin 26x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，x ∈R
C ．2sin 23x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，x ∈R
D ．sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，x ∈R
13．已知1F ，2F 分别是椭圆22
22:1(0)x y
E a b a b
+=>>的左､右焦点，若在椭圆E 上存在点
M ，使得12MF F △的面积等于2
122sin b F MF ∠，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（ ）
A
．⎫⎪⎪⎣⎭ B
．⎛ ⎝⎦ C
．1,22⎛ ⎝⎦
D
．⎫
⎪⎪⎣⎭
14．已知函数2()log f x x =，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()2()g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[0,4]π上的零点个数为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
15．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BE
t CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34
B ．78
C ．1
D ．54
16．在ABC ∆中，已知3sin sin ,2A C +=设2sin sin ,t A C =
则（ ）
A ．1
B
C
D ．98
17．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且
()2
2
2S a b c =--，则22
2b c bc
+的取值范围为（ ）
A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭
B
．4315⎡
⎫⎪⎢⎣⎭
C
．5915⎡
⎫⎪⎢⎣
⎭
D
．)⎡+∞⎣
18．设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，若,3
A a π
=2b 2c bc ++的
取值范围为（ ） A ．(1，9] B ．(3，9] C ．(5，9]
D ．(7，9]
19．已知1F 、2F 是椭椭圆和双曲线共有焦点，P 为两曲线的一个公共点，且126
F PF π
∠=，
记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则12
12
e e e e +⋅的最大值为 A ．4
B ．2
C ．83
D ．
163
20．设锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且1c =，2A C =，则ABC ∆周长的取值范围为（ ） A ．(0,22)+
B ．(0,33)+
C ．(22,33)++
D ．(22,33]++
三、解答题
21．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．
（1）当4
PAQ π
∠=
时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；
（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 22．已知(
)
3,sin a x ω=，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛
⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，其中0>ω，()f x a b =⋅，且函数()
f x 在12
x π=
处取得最大值.
（1）求ω的最小值，并求出此时函数()f x 的解析式和最小正周期； （2）在(1)的条件下，先将()y f x =的图像上的所有点向右平移
4
π
个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移3
y g x 的图像.若在区间5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，方程()210g x a +-=有两个
不相等的实数根，求实数a 的取值范围；
（3）在(1)的条件下，已知点P 是函数()y h x =图像上的任意一点，点Q 为函数()y f x =图像上的一点，点3,6
A π⎛ ⎝⎭
，且满足12OP OQ OA =+，求()1
04
h x +≥的解集. 23．已知函数2
211()cos sin cos sin 22
f x x x x x =+-.
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）求()f x 在区间,82ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的最大值和最小值.
24．已知函数2()23sin 2sin cos ()f x x x x a a R =-++∈，且(0)3f =. （1）求a 的值；
（2）若()f x ω在[0,]π上有且只有一个零点，0>ω，求ω的取值范围. 25．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.
（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值.
26．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．
27．已知函数()223cos sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数()f x 在02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的最大值和最小值.
28．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 222cos 20C C ++=． （1）求角C 的大小；
（2）若2b a =，ABC ∆的面积为
2
sin sin 2
A B ，求sin A 及c 的值． 29．已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<
）的图象如图所示：
（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程；
（2）当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并
求此时12x x +的值.
30．函数()sin()16
f x A x π
ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之
间的距离为
2
π， （1）求函数()f x 的解析式；
（2）设π(0,)2α∈，则()22
f α
=，求α的值
【参考答案】
一、填空题
1
23．
1
4032 4．11 5．56
6．③④
7．⎝⎭
8．②③
9．⎫
⎪⎪⎣⎭
10．18
二、单选题 11．D 12．D 13．A 14．A 15．B 16．B 17．C 18．D 19．A
20．C 三、解答题
21．（1
）
S =
⎝⎭
花卉种植面积0,4πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦]
；最小值为)
100001 （2）
PAQ ∠是定值，且4
PAQ π
∠=
．
【解析】 【分析】
（1）根据三角函数定义及4
PAQ π
∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α
表示出S 花卉种植面积，
（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】
（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4
PAQ π
∠=
，
∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫
=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 11
22
AB BP AD DQ =
⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭
(
)
5000
cos sin cos ααα=
=
+⎝
⎭，其中0,4πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦ ∴当sin 214πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时，
即8
π
α=时，S
)100001
=．
（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100
y
β-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xy
αβ
αβαβ-+++=
=-⋅+-，
∵PB DQ PQ +=，
∴100100x y -+-=100200
xy
x y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1
100001001002
200xy xy xy xy xy αβ⎛
⎫-⨯+-
⎪⎝⎭+=
==⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭
， ∴4
π
αβ+=
，
∴PAQ ∠是定值，且4
PAQ π
∠=．
【点睛】
本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题.
22．（1）ω的最小值为1
，()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，T π=，（2）104a <≤（3）原不等
式的解集为3,22428k k x
x k Z ππππ⎧⎫
+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
【解析】 【分析】
（1）先将()f x 化成正弦型，然后利用()f x 在12
x π=
处取得最大值求出ω，然后即可得到
()f x 的解析式和周期
（2）先根据图象的变换得到()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭，然后画出()g x 在区间5,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的图
象，条件转化为()g x 的图象与直线12y a =-有两个交点即可
（3）利用坐标的对应关系式，求出()h x 的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果． 【详解】 （1）因为(
)
3,sin a x ω=
，1,2cos 3b x πω⎛⎫⎛
⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以()32sin cos 3f x
a b x x πωω⎛
⎫=⋅=+
+ ⎪⎝
⎭
212sin cos sin cos 2x x x x x x
ωωωωωω
⎛⎫==
⎪ ⎪⎝
⎭11cos 21sin 2sin 2222
2x x x x ωωωω-=+=+sin 23x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭因为()f x 在12
x π=
处取得最大值.
所以22,1232
k k Z π
π
π
ωπ⨯
+
=+
∈，即121,k k Z ω=+∈
当0k =时ω的最小值为1
此时3()sin 232f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
，T π=
（2）将()y f x =的图像上的所有的点向右平移
4
π
个单位得到的函数为33sin 2sin 243262y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为
原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为3sin 62y x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
，然后将所得图像上所有的点向
下平移
3
2
个单位，得到函数()sin 6x y g x π⎛⎫-= ⎝=⎪⎭
()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间5,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的图象为：
方程()210g x a +-=有两个不相等的实数根等价于()g x 的图象 与直线12y a =-有两个交点 所以11212a ≤-<，解得1
04
a <≤
（3）设(),P x y ，()00,Q x y
因为点3,6A π⎛ ⎝⎭
，且满足1
2OP OQ OA =+ 所以00126132x x y y π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00
2332x x y y π⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为点()00,Q x y 为函数()y f x =图像上的一点 所以33
2sin 2233y x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
即1()sin 423y h x x π⎛
⎫==- ⎪⎝⎭
因为()104h x +≥，所以1sin 432x π⎛
⎫-≥- ⎪⎝
⎭
所以7242,63
6
k x k k Z ππ
π
ππ-≤-
≤+
∈ 所以
3,22428
k k x k Z ππππ+≤≤+∈ 所以原不等式的解集为3,22428k k x
x k Z ππππ⎧⎫
+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
23．（1）3,88k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（2）()max f x =，()min 12f x =- 【解析】 【分析】
（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．
（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值． 【详解】 解：（1）2211
()cos sin cos sin 22
f x x x x x =+-
11
()cos 2sin 222
f x x x ∴=
+
()242f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭ 令2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，()k Z ∈
解得388
k x k ππ
ππ-
+≤≤+，()k Z ∈ 即函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，()k Z ∈
（2）由（1）知n ()24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ ,82x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦ 520,44x π
π⎡⎤
∴+
∈⎢⎥⎣⎦
所以当242x ππ+
=，即8x π=时，()max f x = 当5244x π
π+=，即2x π=时，()min 12
f x =- 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．
24．（1）a =（2）15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 表达式，利用(0)f =a 的值.
（2）令()0f x ω=，结合x 的取值范围以及三角函数的零点列不等式，解不等式求得ω的取值范围.
【详解】
（1）2()2sin cos f x x x x a =-++
sin 2x x a =+
2sin 23x a π⎛⎫=++- ⎪⎝
⎭
(0)f =(0)2sin 3f a π
∴=+=
即a =
（2）令()0f x ω=，则sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝
⎭， [0,]x π∈，2,2333πππωπω⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦
， ()f x 在[0,]π上有且只有一个零点， 223π
ππωπ∴+<，1536ω∴<， ω∴的取值范围为15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】 本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
25．（1）23
B π=
；（21. 【解析】
【分析】
（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;
（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据
三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值.
【详解】
（1）由题意可得：
sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=
∴()
22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-= 整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -=
∴sin cos()sin A A C C +=
∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2
C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23
B π= （2）在AB
C ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,
由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-,
∵ACD ∆为正三角形,
∴2254cos CD C A α=-=,
在ABC ∆中,由正弦定理得：
1sin sin AC βα
=, ∴sin sin AC βα=,
∴sin sin CD βα=,
∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=-- 2(2cos )α=-,
∵BAC β<∠,
∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-,
12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=
⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1cos sin 2
CD ββ=+,
1
cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝
⎭, ∵(0,)απ∈
∴当56πα=
时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题.
26．（1）π；（2）()()min max ππ,0,,148
x f x x f x =-===.
【解析】
(1) 函数()f x 解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出w 的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出()f x 的值域，进而求出()f x 的最小值与最大值..
【详解】
（1）()()π2cos sin cos sin2cos21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭， 因此，函数()f x 的最小正周期πT =．
（2） 因为ππ44x -≤≤ 所以ππ3π2444
x -≤+≤,
sin 24x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()1f x ⎡⎤∈⎣⎦， 所以当244x ππ+
=-，即4x π=-时，()min 0f x =，
当242x π
π+=，即8x π
=时，()max 1f x =.
所以4x π=-
时，()min 0f x =，8x π=时，()max 1f x .
【点睛】 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.
27．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
ππππ（2）5； -2 【解析】
【分析】
（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可
（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可 【详解】
（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝
⎭π， 22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭
； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2； 当2t π
=时，()f x 的最大值为：5
【点睛】
本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题
28．（1）34C π=
（2）sin A =1c = 【解析】
【分析】
（1）化简等式，即可求出角C ．
（2）利用角C 的余弦公式，求出c 与a 的关系式，再由正弦定理求出角A 的正弦值，再结合面积公式求出c 的值．
【详解】
（1）∵cos 220C C ++=，
∴22cos s 10C C +=+，即
)210C +=，
∴cos C = 又()0,C π∈，∴34C π=
. （2）∵2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，
∴c =，即sin C A =，
∴sin
A C =
∵1sin 2ABC S ab C ∆=，且in sin ABC S A B ∆=，
∴1sin sin 2ab C A B =，
∴sin sin sin ab C A B
= 2
sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭
1c =. 【点睛】
本题考查利用解三角形，属于基础题．
29．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，()62k x k Z ππ=+∈；（2）522a ≤<，3π. 【解析】
【分析】
（1）根据图像得A=2,利用412562T πππω=-=，求ω值，再利用6
x π=时取到最大值可求φ，从而得到函数解析式，进而求得对称轴方程；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，方程f （x ）＝2a ﹣3有两个不等实根转为f （x ）的图象与直线y ＝2a ﹣3有两个不同的交
点，从而可求得a 的取值范围，利用图像的性质可得12x x +的值.
【详解】
（1）由图知，2,
A =4156242=T ππππω=-=,解得ω=2，f(x)=2sin(2x+φ), 当6x π=时，函数取得最大值，可得2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 2,32k k Z π
π
ϕπ+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈ ，又(0,)2πϕ∈所以6
π=ϕ， 故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， 令262x k π
π
π+=+则()62
k x k Z π
π=+∈， 所以()f x 的对称轴方程为()62
k x k Z π
π=+∈； （2）70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦， 所以方程()23f x a =-有两个不等实根时，
()y f x =的图象与直线23y a =-有两个不同的交点，可得1232,a ≤-<
522
a ∴≤<, 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()()12f x f x =，有122266x x πππ+++=， 故123x x π+=
. 【点睛】 本题考查由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象及性质的综合应用，属于中档题．
30．（1）()2sin(2) 1.6f x x π=-+；（2）3
π. 【解析】
【详解】
（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2，
周期2222π
π
πωω⨯==⇒=，
∴f （x ）=2sin （2x-6π
）+1
（2）π(0,)2α∈，f （2
α）=2 ∴2sin （22α⨯-6π）+1=2,得sin （α-6π）=12，α=3π。