2020年河南省洛阳市伊滨区中考数学三模试卷 (解析版)

2020年中考数学三模试卷
一、选择题
1．2020的相反数是（）
A．2020B．﹣2020C．D．
2．据统计截至目前我国外汇储备规模为30988亿美元．将30988亿用科学记数法表示为（）
A．30988×108B．3.0988×1011
C．3.0988×1012D．3.0988×1013
3．有4个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）
A．B．C．D．
4．某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是（）
A．B．C．D．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
6．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A＝36°，则∠BOC的度数为（）
A．18°B．36°C．60°D．72°
7．若一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则一次函数y＝﹣bx+k的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程中正确的是（）A．B．
C．D．
9．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（）
A．12B．15C．18D．21
10．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB＝1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）
A．k2018B．k2019C．D．k2019（2+k）
二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）
11．计算4sin45°＝．
12．已知x，y满足方程组，则x+y的值为．
13．在△ABC中，MN∥BC，S△AMN＝S四边形MNCB．则＝．
14．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）
15．如图，在Rt△ABC中BC＝AC＝4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD 折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，AD的长为．
三、解答题：共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第16～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
16．先化简，再求值÷（﹣m﹣1），其中m＝﹣2．
17．某校响应国家号召，鼓励学生积极参与体育锻炼．为了解学生一星期参与体育锻炼的时间情况，从全校2000名学生中，随机抽取50名学生进行调查，按参与体育锻炼的时间t（单位：小时），将学生分成五类：A类（0≤t≤2），B类（2＜t≤4），C类（4＜t≤6），D类（6＜t≤8），E类（t＞8）．绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）样本中E类学生有人，补全条形统计图；
（2）估计全校的D类学生有人；
（3）从该样本参与体育锻炼时间在0≤t≤4的学生中任选2人，求这2人参与体育锻炼时间都在2＜t≤4中的概率．
18．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）当p＝2时，求该方程的根．
19．如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC 所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，．tan75°≈3.7，≈1.7，≈
1.4）
20．如图，双曲线y1＝与直线y2＝k2x+b相交于A（1，m+2），B（4，m﹣1），点P 是x轴上一动点．
（1）求双曲线y1＝与直线y2＝k2x+b的解析式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）当△PAB是等腰三角形时，求点P的坐标．
21．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A 型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【选考题】
22．（1）问题发现
如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①∠AFB的度数是；
②线段AD，BE之间的数量关系为．
（2）类比探究
如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE ＝EC，直线AD和直线BE交于点F．请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE ⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B 时BD的长．
【选考题】
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）b＝，c＝，点B的坐标为；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）是否存在点P使得∠PCA＝15°，若存在，请直接写出点P的横坐标．若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．2020的相反数是（）
A．2020B．﹣2020C．D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：B．
2．据统计截至目前我国外汇储备规模为30988亿美元．将30988亿用科学记数法表示为（）
A．30988×108B．3.0988×1011
C．3.0988×1012D．3.0988×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将30988亿用科学记数法表示为3.0988×1012．
故选：C．
3．有4个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）
A．B．C．D．
【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1
解：如图所示：它的主视图是：．
故选：D．
4．某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学
每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】先画树状图（数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用A、B、C表示）展示所有9种可能的结果数，再找出小波和小睿选到同一课程的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：（数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程分别用A、B、C表示）
共有9种可能的结果数，其中小波和小睿选到同一课程的结果数为3，
所以小波和小睿选到同一课程的概率＝＝．
故选：B．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可
解：由x﹣1≥0，得x≥1，
由4﹣2x＞0，得x＜2，
不等式组的解集是1≤x＜2，
故选：D．
6．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A＝36°，则∠BOC的度数为（）
A．18°B．36°C．60°D．72°
【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此可得出答案．
解：由题意得∠BOC＝2∠A＝72°．
故选：D．
7．若一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则一次函数y＝﹣bx+k的图象不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数y＝kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b的取值范围确定一次函数y＝﹣bx+k图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
解：一次函数y＝kx+b过一、二、四象限，
则函数值y随x的增大而减小，因而k＜0；
图象与y轴的正半轴相交则b＞0，
因而一次函数y＝﹣bx+k的一次项系数﹣b＜0，
y随x的增大而减小，经过二四象限，
常数项k＜0，则函数与y轴负半轴相交，
因而一定经过二三四象限，
因而函数不经过第一象限．
故选：A．
8．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程中正确的是（）A．B．
C．D．
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
解：设设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划工作每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：．
故选：C．
9．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（）
A．12B．15C．18D．21
【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到BC＝2AB＝6，AD＝6，再根据△ADE是等边三角形，即可得到△ADE的周长为6×3＝18．
解：由折叠可得，∠ACD＝∠ACE＝90°，
∴∠BAC＝90°，
又∵∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝6，
∴AD＝6，
由折叠可得，∠E＝∠D＝∠B＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ADE的周长为6×3＝18，
故选：C．
10．如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB＝1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长（）
A．k2018B．k2019C．D．k2019（2+k）【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长为k n﹣1（2+k），从而得出答案．
解：∵AB＝AC＝1，
∴△ABC的周长为2+k；
△BCD的周长为k+k+k2＝k（2+k）；
△CDE的周长为k2+k2+k3＝k2（2+k）；
依此类推，
第n个黄金三角形的周长为k n﹣1（2+k），
∴第2020个黄金三角形的周长为k2019（2+k）．
故选：D．
二、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）
11．计算4sin45°＝1．
【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
解：原式＝2+1﹣4×
＝2+1﹣2
＝1．
故答案为：1．
12．已知x，y满足方程组，则x+y的值为5．
【分析】方程组两方程相加即可求出所求．
解：，
①+②得：4x+4y＝20，
则x+y＝5，
故答案为：5
13．在△ABC中，MN∥BC，S△AMN＝S四边形MNCB．则＝．
【分析】由MN∥BC，推出△AMN∽△ACB，推出＝（）2＝，可得＝，由此即可解决问题．
解：∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ACB，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴＝＝+1．
故答案为+1．
14．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，则可判断点O是的中点，由折叠的性质可得OD＝OE＝R＝2，在Rt△OBD中求出∠OBD＝30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．
解：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，
则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，
∴S弓形BO＝S弓形CO，
在Rt△BOD中，OD＝DE＝R＝2，OB＝R＝4，
∴∠OBD＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴S阴影＝S扇形AOC＝＝．
故答案为：．
15．如图，在Rt△ABC中BC＝AC＝4，D是斜边AB上的一个动点，把△ACD沿直线CD 折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D垂直于Rt△ABC的直角边时，AD的长为4﹣4或4．
【分析】由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AB＝4，∠B＝∠A′CB＝45°，
①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，根据折叠的性质得到∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，
A′D＝AD＝x，推出A′C⊥AB，求得BH＝BC＝2，DH＝A′D＝x，然后列方程即可得到结果，②如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC＝∠ACD，于是得到∠A′DC＝∠A′CD，推出A′D＝A′C，于是得到AD＝AC＝2．
解：Rt△ABC中，BC＝AC＝4，
∴AB＝4，∠B＝∠A′CB＝45°，
①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，
∵∠B＝45°，
∴A′C⊥AB，
∴BH＝BC＝2，DH＝A′D＝x，
∴x+x+2＝4，
∴x＝4﹣4，
∴AD＝4﹣4；
②如图2，当A′D∥AC，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，
∵∠A′DC＝∠ACD，
∴∠A′DC＝∠A′CD，
∴A′D＝A′C，
∴AD＝AC＝4，
综上所述：AD的长为：4﹣4或4．
三、解答题：共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第16～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
16．先化简，再求值÷（﹣m﹣1），其中m＝﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝﹣，
当m＝﹣2时，
原式＝﹣
＝﹣
＝﹣1+2．
17．某校响应国家号召，鼓励学生积极参与体育锻炼．为了解学生一星期参与体育锻炼的时间情况，从全校2000名学生中，随机抽取50名学生进行调查，按参与体育锻炼的时间t（单位：小时），将学生分成五类：A类（0≤t≤2），B类（2＜t≤4），C类（4＜t≤6），D类（6＜t≤8），E类（t＞8）．绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）样本中E类学生有5人，补全条形统计图；
（2）估计全校的D类学生有720人；
（3）从该样本参与体育锻炼时间在0≤t≤4的学生中任选2人，求这2人参与体育锻炼时间都在2＜t≤4中的概率．
【分析】（1）根据总人数等于各类别人数之和可得E类别学生数；
（2）用D类别学生数除以总人数即可得D类人数占被调查人数的百分比，再乘以总人数2000即可得；
（3）列举所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
解：（1）E类学生有50﹣（2+3+22+18）＝5（人），
补全图形如下：
故答案为：5；
（2）D类学生人数占被调查总人数的×100%＝36%，
所以估计全校的D类学生有2000×36%＝720（人）；
故答案为：720；
（3）记0≤t≤2内的两人为甲、乙，2＜t≤4内的3人记为A、B、C，
从中任选两人有20种可能结果，
其中2人锻炼时间都在2＜t≤4中的有AB、AC、BC这6种结果，
∴这2人锻炼时间都在2＜t≤4中的概率为．
18．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）当p＝2时，求该方程的根．
【分析】（1）将方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝4p2+1＞0，由此可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）代入p＝2，求出△的值，利用公式法求出方程的根即可．
【解答】（1）证明：方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2＝0，
△＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）＝1+4p2．
∵p2≥0，
∴4p2+1＞0，即△＞0，
∴这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：当p＝2时，原方程为x2﹣5x+2＝0，
∴△＝25﹣4×2＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
19．如图是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC 所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米．参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，．tan75°≈3.7，≈1.7，≈
1.4）
【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．
解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.22，
∴GM＝AB＝2.22，
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG＝2.125，
∴DM＝FG+GM﹣DF≈2.9米．
答：篮筐D到地面的距离是2.9米．
20．如图，双曲线y1＝与直线y2＝k2x+b相交于A（1，m+2），B（4，m﹣1），点P 是x轴上一动点．
（1）求双曲线y1＝与直线y2＝k2x+b的解析式；
（2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围；
（3）当△PAB是等腰三角形时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入y1＝求出k1和m值，得到点A、B的坐标，将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）分PA＝PB、PA＝AB、PA＝AB三种情况，利用等腰三角形的性质即可求解．解：（1）将点A、B的坐标代入y1＝得：，解得：，
双曲线的表达式为：y1＝，
点A、B的坐标分别为：（1，4）、（4，1），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：，
故直线y2的表达式为：y2＝﹣x+5；
（2）从函数图象可以看出，当y1＞y2时，0＜x＜1或x＞4，
故x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4；
（3）设点P（a，0），而点A、B的坐标分别为：（1，4）、（4，1），
则PA2＝（a﹣1）2+42，AB2＝18，PB2＝（a﹣4）2+12，
①当PA＝PB时，（a﹣1）2+42＝（a﹣4）2+12，
解得：a＝0，
∴P1（0，0）；
②当PA＝AB时，（a﹣1）2+42＝18，
解得：，
∴；
③当PA＝AB时，（a﹣4）2+12＝18，
解得：，
∴；
综上所述，P1（0，0），
．
21．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A 型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据：
“1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元”列方程组求解即可；
（2）首先根据“A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型灯的只数之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．
解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购进A型节能灯m只，总费用为W元，
根据题意，得：W＝5m+7（50﹣m）＝﹣2m+350，
∵﹣2＜0，
∴W随m的增大而减小，
又∵m≤3（50﹣m），解得：m≤37.5，
而m为正整数，
∴当m＝37时，W最小＝﹣2×37+350＝276，
此时50﹣37＝13，
答：当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱．
【选考题】
22．（1）问题发现
如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①∠AFB的度数是60°；
②线段AD，BE之间的数量关系为AD＝BE．
（2）类比探究
如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE ＝EC，直线AD和直线BE交于点F．请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE
⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B 时BD的长．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），即可解决问题．
（2）证明△ACD∽△BCE，可得＝＝，∠CBF＝∠CAF，由此可得结论．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
解：（1）如图1中，
∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ACD＝∠CBF，
设BC交AF于点O．
∵∠AOC＝∠BOF，
∴∠BFO＝∠ACO＝60°，
∴∠AFB＝60°，
故答案为60°，AD＝BE．
（2）结论：∠AFB＝45°，AD＝BE．
理由：如图2中，
∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，
∴∠ACD＝45°+∠BCD＝∠BCE，＝＝，∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝，∠CBF＝∠CAF，
∴AD＝BE，
∵∠AFB+∠CBF＝∠ACB+∠CAF，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°．
（3）如图3中，
∵AEB＝∠ACB＝90°，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，
∵∠FAE＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝cos30°＝，
∴EC＝BD，
在Rt△ADE中，∵AE＝3，∠DAE＝30°，
∴DE＝DE＝，
∴BE＝＝4，
∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，
如图4中，当D，EB在同一直线上时，同法可知BD＝DE+EB＝4+，
综上所述，BD＝或．
【选考题】
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）b＝﹣2，c＝﹣3，点B的坐标为（﹣1，0）；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）是否存在点P使得∠PCA＝15°，若存在，请直接写出点P的横坐标．若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分∠ACP是直角、∠P′AC为直角两种情况，分别求解即可；
（3）分点P在直线AC下方、P（P′）在直线AC的上方两种情况，分别求解即可．解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①，
令y＝0，则x＝3或﹣1，故点B（﹣1，0）；
故答案为：﹣2，﹣3，（﹣1，0）；
（2）存在，
理由：如图1所示：
当①∠ACP是直角时，
由点A、C的坐标知，OC＝OA，即∠ABC＝45°，则PC与x轴的夹角为45°，
则设PC的表达式为：y＝﹣x﹣3②，
联立①②并解得：x＝0或1（舍去0），
故点P（1，﹣4）；
②当∠P′AC为直角时，
同理可得：点P′的坐标为：（﹣2，5）；
综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）；
（3）存在，
理由：如图2所示，
①当点P在直线AC下方时，
由（2）知：∠OCA＝45°，
又∵∠PCA＝15°，
∴∠OCP＝45°+15°＝60°，
即直线PC的倾斜角为30°，
则直线PC的表达式为：y＝x﹣3③，
联立①③并解得：x＝2+或0（舍去0）；故x＝2+；
②当点P（P′）在直线AC的上方时，
同理可得：点P的横坐标为：2+；
综上，点P的横坐标是：．。